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原子自发辐射与主方程

模型

\[ H = H_A + H_R + V \]
  • \(H_A\) : 要研究的系统 \(A\) 的哈密顿量， 比如原子 (Atom)。
  • \(H_R\) : 系统所处的热库 (Reservoir) \(R\) 的哈密顿量，比如真空电磁场 (Radiation)
  • \(V = -AR\) : 系统与热库的耦合。\(A\) 系统子空间的算符。\(R\) 热库子空间的算符。

对于二能级原子与真空电磁场的耦合：

\[ \begin{align} H_A = \frac{\hbar}{2}\left(\omega_{ba}|b\rangle\langle b| - \omega_{ba}|a\rangle\langle a|\right) \end{align} \]

真空电磁场：

\[ \begin{align} H_R = \sum_i \hbar \omega_i a_i^{\dagger} a_i \end{align} \]

偶极近似下，算符 \(A\) 是原子偶极跃迁的矩阵元，算符 \(R\) 是量子化的电场强度。具体来讲:

\[ \begin{align} A =& D (|a\rangle\langle b| + |b\rangle\langle a|) \\ R =& \sum_i \epsilon_i (a_i - a_i^\dagger) \end{align} \]

其中 \(D, \epsilon_i\) 都是系数。

粗粒化的时间演化 (coarse-grained rate of variation)

有两个重要的时间尺度。第一个是热库的关联时间 \(\tau_c\) 。第二个是系统 \(A\) 演化的时间尺度 \(T_R\)。他们应当满足 \(\tau_c\ll T_R\) 主方程的时间尺度 \(\Delta t\) 的量级为

\[ \begin{align} \tau_c \ll \Delta t \ll T_R \end{align} \]

以下考虑相互作用绘景，任意算符 \(O\) 在相互作用绘景中记为 \(\tilde{O}(t) = e^{-\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}Oe^{\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}\) 。系统加热库的密度矩阵记为 \(\rho(t)\) 。在相互作用绘景中

\[ \begin{align} \tilde{\rho}(t) =& e^{-\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}\rho(t)e^{\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}\\ \tilde{V}(t) =& e^{-\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}Ve^{\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}\\ \tilde{A}(t) =& e^{-\frac{1}{i\hbar} H_A}Ae^{\frac{1}{i\hbar} H_A}\\ \tilde{R}(t) =& e^{-\frac{1}{i\hbar} H_R}Re^{\frac{1}{i\hbar} (H_R)} \end{align} \]

根据密度矩阵在相互作用绘景中的演化方程 \(i\hbar \dot{\tilde{\rho}(t)} = [\tilde{V(t)}, \tilde{\rho}(t)]\)， 可知在我们粗粒化的时间 \(t\) 到 \(t + \Delta t\) 内，密度矩阵的演化为

\[ \begin{align} \tilde{\rho}(t + \Delta t) = \tilde{\rho}(t) + \frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt'\, \left[ \tilde{V}(t'), \tilde{\rho}(t') \right] \end{align} \]

我们对上式迭代一次，并把环境求偏迹掉，得到环境密度矩阵 \(\tilde{\sigma}(t) = \mathrm{Tr}_R [\tilde{\rho}(t)]\) 的演化增量

\[ \begin{align} \Delta\tilde{\sigma}(t) \equiv & \tilde{\sigma}(t + \Delta t) - \tilde{\sigma}(t) \\ =& \frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt'\, \mathrm{Tr}_R\left[ \tilde{V}(t'), \tilde{\rho}(t) \right]\\ & + \left(\frac{1}{i\hbar}\right)^2\int_t^{t+\Delta t} dt'\, \int_t^{t'} dt''\, \mathrm{Tr}_R\left[ \tilde{V}(t'), \left[\tilde{V}(t''), \tilde{\rho}(t'') \right] \right] \end{align} \]

直到上式，都是严格精确的，没有做任何近似。

对热库的假设

热库很大，处于定态

热库，顾名思义，要比研究的系统 \(A\) 大得多。把系统 \(A\) 求偏迹掉，热库的密度矩阵记为 \(\tilde{\sigma}_R(t) = \mathrm{Tr}_A [\tilde{\rho} (t)]\) 。

由于热库比系统 \(A\) 大得多，所以可以认为一直不变

\[ \begin{align} \tilde{\sigma}_R(t) \approx \tilde{\sigma}_R(t) = \sigma_R \end{align} \]

其次，假设热库一直处在一个定态上，也就是说

\[ \begin{align} [\sigma_R, H_R] = 0 \end{align} \]

记热库的能量本征态为

\[ \begin{align} H_R |\mu \rangle = E_{\mu} |\mu \rangle \end{align} \]

那么定态 \(\sigma_R\) 可以展开为

\[ \begin{align} \sigma_R = \sum_{\mu} p_{\mu} | \mu \rangle \langle \mu | \end{align} \]

假设 \(R\) 在 \(\sigma_R\) 上的均值为 \(0\)

\[ \begin{align} \mathrm{Tr}[\sigma_R R] = \mathrm{Tr}[\sigma_R \tilde{R}(t)] \end{align} \]

因此就有

\[ \begin{align} \mathrm{Tr}_R[\tilde{V}(t')\sigma_R] = 0 \end{align} \]

热库关联时间很短

定义热库中的算符 \(R\) 的双时平均

\[ \begin{align} g(\tau) \equiv g(t' - t'') \equiv \mathrm{Tr}\left[\sigma_R \tilde{R}(t') \tilde{R}(t'')\right] = \mathrm{Tr}\left[\sigma_R \tilde{R}(\tau) \tilde{R}(0)\right] \end{align} \]

我们假设 \(g(\tau)\) 只集中在 \(\tau<\tau_c\) 的范围内， 在 \(\tau > \tau_c\) 迅速衰减。这在热库很大是，是自然的。热库很大，能谱倾向于连续，求和在 \(\tau\) 很大时，就会干涉相消。

真空电磁场作为热库

真空电磁场的密度矩阵为

\[ \begin{align} \sigma_R = |0\rangle \langle 0| \end{align} \]

是一个温度为零的玻色场，每一个模式都处于基态，没有任何光子激发。它显然满足

\[ \begin{align} \mathrm{Tr}_R[\tilde{V}(t')\sigma_R] = -\tilde{A}(t') \langle 0 |\tilde{R}(t') | 0\rangle = -\tilde{A}(t') \sum_i \epsilon_i \langle 0 | (a_i - a_i^\dagger) | 0\rangle = 0 \end{align} \]

真空电磁场的 \(g(\tau)\) 为

\[ \begin{align} g(\tau) = \sum_{i} |\epsilon_i|^2 \langle 0 | a_i e^{i \omega_i\tau} a_i^{\dagger} |0\rangle = \sum_i |\epsilon_i|^2 e^{-i\omega_i \tau} \end{align} \]

这个是可以具体算出的，但是可以看出，当 \(\omega_i\) 非常密时，当 \(\tau\) 大于某个值时，会由于干涉相消变成 \(0\) 。一个用于理解的情况是，\(\epsilon_i\) 是一个常数，\(\omega_i\) 太密，以至于连续，求和化积分，结果就变成一个 \(\delta\) 函数，只在 \(\tau=0\) 时非零。

对相互作用的假设

当然是弱耦合。

其次，因为是弱耦合，这也会导致系统 \(A\) 和热库的关联

\[ \begin{align} \tilde{\rho}_{\mathrm{correl}}(t) \equiv \tilde{\rho}(t) - \mathrm{Tr}_R [\tilde{\rho}(t)]\otimes \mathrm{Tr}_A [\tilde{\rho}(t)] \end{align} \]

在粗粒化的时间尺度下(\(\tau_c \ll \Delta t\))只作为高阶项贡献（详见书），因此可以将总的密度矩阵近似为直积

\[ \begin{align} \tilde{\rho}(t) \approx \mathrm{Tr}_R [\tilde{\rho}(t)]\otimes \mathrm{Tr}_A [\tilde{\rho}(t)] \end{align} \]

近似之后的结果

现在，我们结合对大环境小系统，弱耦合的假设，对之前的严格结果

\[ \begin{align} \Delta\tilde{\sigma}(t) \equiv & \tilde{\sigma}(t + \Delta t) - \tilde{\sigma}(t) \\ =& \frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt'\, \mathrm{Tr}_R\left[ \tilde{V}(t'), \tilde{\rho}(t) \right]\\ & + \left(\frac{1}{i\hbar}\right)^2\int_t^{t+\Delta t} dt'\, \int_t^{t'} dt''\, \mathrm{Tr}_R\left[ \tilde{V}(t'), \left[\tilde{V}(t''), \tilde{\rho}(t'') \right] \right] \end{align} \]

进行化简。

\(V\) 的一阶项为零

\[ \begin{align} \mathrm{Tr}_R\left[ \tilde{V}(t'), \tilde{\rho}(t) \right] = \tilde{A}(t') \tilde{\sigma}(t) \, \mathrm{Tr}\left[ \tilde{R}(t'), \sigma_R \right] = 0 \end{align} \]

因此一阶项消失。

截断 \(V\) 的二阶项

也就是把 \(V\) 的二阶项中的 \(\tilde{\rho}(t'')\) 换成 \(\tilde{\rho}(t)\)

利用 \(\tau >\tau_c\) 时 \(g(\tau) \to 0\)，把对 \(t'\) 和 \(t''\) 的积分解耦

\[ \begin{align} \int_t^{t+\Delta t} dt'\, \int_t^{t'} dt''\ = \int_0^{\Delta t} d\tau \, \int_{t+\tau}^{t+\Delta t} dt'\ \approx \int_0^{\infty} d\tau \, \int_{t}^{t+\Delta t} dt'\ \end{align} \]

此时，严格的结果现在变成了

\[ \begin{align} \frac{\Delta \tilde{\sigma}(t)}{\Delta t} =& - \frac{1}{\hbar^2}\int_0^\infty d\tau \, \frac{1}{\Delta{t}}\int_t^{t+\Delta t} d t' \\ &\left\{ g(\tau) \left[\tilde{A}(t')\tilde{A}(t'-\tau) \tilde{\sigma}(t) - \tilde{A}(t'-\tau) \tilde{\sigma} (t) \tilde{A}(t')\right] \right. \\ &\left. + g(-\tau)\left[ \tilde{\sigma} (t)\tilde{A}(t'-\tau) \tilde{A}(t') - \tilde{A}(t') \tilde{\sigma} (t)\tilde{A}(t'-\tau) \right] \right\} \end{align} \]

在能量本征态下写出，积掉 \(t'\)，做久期近似

在能量本征表象下，花括号中的四项中关于 \(t'\) 的部分是相同的，因此可以拿出来积掉

\[ \begin{align} \frac{1}{\Delta t} \int_t^{t+\Delta t} dt'\, e^{-i (\omega_{ba} - \omega_{dc})} \end{align} \]

在 \(|\omega_{ba} - \omega_{dc}|\Delta t \ll 1\) 时， 结果为 \(1\) 。 在 \(|\omega_{ba} - \omega_{dc}|\Delta t \gg 1\) 时， 结果为 \(0\) 。 在 \(|\omega_{ba} - \omega_{dc}|\Delta t \sim 1\) 时， 为弱耦合，可以忽略。

因此

\[ \begin{align} \frac{\Delta \tilde{\sigma}_{ab}(t)}{\Delta t} = \sum_{c, d}^{\mathrm{sec}} e^{-i(\omega_{ba} - \omega_dc)t} \mathcal{R}_{abcd}\tilde{\sigma}_{cd}(t) \end{align} \]

其中

\[ \begin{align} \mathcal{R}_{abcd} =& -\frac{1}{\hbar^2} \int_0^{\infty} d\tau\, \\ =& \left\{ g(\tau)\left[ \delta_{bd} \sum_n A_{an}A_{nc} e^{i\omega_{cn}\tau} -A_{ac}A_{db}e^{i\omega_{ca}\tau} \right] \right. \\ &+\left. g(-\tau)\left[ \delta_{ac} \sum_n A_{dn}A_{nb} e^{i\omega_{nd}\tau} -A_{ac}A_{db}e^{i\omega_{bd}\tau} \right] \right\} \\ \end{align} \]

Reference

  • Cohen-Tannoudji, Claude, Jacques Dupont-Roc, and Gilbert Grynberg. Atom-Photon Interactions: Basic Processes and Applications. New York: Wiley, 1992. Chapter IV.