特殊二阶矩阵的本征值求解
对角矩阵元相等
形如
$$
H = \left( \begin{array}{cc}
a & b\\\\
b & c
\end{array}\right)
$$
与以下自旋问题类比：
在 $x-z$ 平面内任意方向加磁场 $\vec{a} = (a_1, 0, a_3)$ 求解能量本征值，Hamiltonian写为
$$
H = a_0 + \vec{\sigma}\cdot\vec{a} = \left(\begin{array}{cc}
a_0+a_3 & a_1\\\\
a_1 & a_0-a_3
\end{array}\right)
$$
沿
$$
E = a_0 \pm \sqrt{a_1^2 +a_3^2}
$$
所以原问题的本征值可直接写出为
$$
\lambda = \frac{a+c}{2} \pm \sqrt{b^2 +\frac{(a - c)^2}{4}}
$$