问题

三维库仑势的形式为:

V(r)=1r

按动量Fourier展开:

V(r)=1(2π)3+d3kV(k)eikr

V(k)

求解

V(k)=+d3rV(r)eikr=02πdφ0+dr0πdθ1reikrcosθr2sinθ=2π0+dr0πdθeikrcosθrsinθ=2π0+dr11dcosθeikrcosθr=2π0+dr[eikrcosθr1ikr]cosθ=1cosθ=1=2π0+dr[(eikreikr)1ik]=2πik[eikrikeikrik]0+

eikreikr+ 处发散。

使其收敛

为了解决发散问题,可在一开始令

V(r)=1r=limμ0eμrr

所以

V(k)=limμ02π0+dr[(e(ikμ)re(ikμ)r)1ik]=limμ02πik[e(ikμ)rikμre(ikμ)rikμr]0+ =limμ02πik[1ikμ1ikμ]=limμ02πik2ikk2+μ2=limμ04πk2+μ2=4πk2

函数满足一致收敛,积分与极限才可交换顺序。

类似的变换

用同样的方法, 可以得到

limη0+d3r.eikrrerη=8πk4 limη0+d3r.eikrerη=0

用 Mathematica 可以验证.

Reference

  • 关于使其收敛的说明, 分别从物理的角度, 数学的角度阐述这样做的合理性和必要性: https://physics.stackexchange.com/questions/7462/fourier-transform-of-the-coulomb-potential