从冰上的水 - 多体物理读书会：3.1节习题

不对易算子的指数运算 (Baker-Hausdorff theorem)

通过级数展开，容易得到关于算符 $A, B$ 的式子的级数展开 -

\begin{array}{r} e^{λ A} B e^{- λ A} = \sum_{n = 0}^{\infty} α_{n} λ^{n} \end{array}

其中

\begin{aligned} α_{0} = & B \\ α_{n} = & [A, [A, \dots [A, B] \dots]] \frac{1}{n!}, n \geq 1 \end{aligned}

如果 $[A, [A, B]] = 0$ ，那么有 -

\begin{array}{r} e^{λ A} B e^{- λ A} = B + λ [A, B] \end{array}

由( $???$ ) 可以证明下式 - $\frac{d}{d λ} (e^{λ A} e^{λ B}) = (A + B + λ [A, B]) (e^{λ A} e^{λ B})$ 我在证明( $???$ )时有卡住。解决方法为直接对( $???$ )的左边计算，然后利将结果利用( $???$ )代换，就得到( $???$ )的右边的形式

\begin{aligned} \frac{d}{d λ} (e^{λ A} e^{λ B}) = & A e^{λ A} e^{λ B} + e^{λ A} B e^{λ B} \\ = & A e^{λ A} e^{λ B} + (B e^{λ A} + λ [A, B] e^{λ A}) e^{λ B} \\ = & (A + B + λ [A, B]) (e^{λ A} e^{λ B}) \end{aligned}

本质上，这就是一个联立方程的问题，强行消元的思路即可。最后一问是根据( $???$ )证明 - $e^{A} e^{B} = e^{A + B + \frac{1}{2} [A, B]}$ 经验： 1. 其思路是已知导数求原函数的思路。其导数是( $???$ )，将( $???$ )的左边看成 $f^{'} (λ)$ ，求 $f (λ)$ 即可。题目评述：\ 1. 非对易算符的指数运算并不想当然地简单地满足指数相加。

Kubo identity 的证明

Kubo identity 如下 - $\frac{i}{ℏ} [A (t), ρ] = ρ \int_{0}^{β} d λ \dot{A} (t - i λ ℏ)$ 这个问题看似无从下手，右边是一个看似奇怪的积分，对一个参数 $λ$ 从 $0$ 积分积到 $β$ 。下手的地方应该是撇开不重要的量，看出式子中最重要的关系。

首先需要注意的是 $\dot{A} (t - i λ ℏ)$ 的含义，是把 $(t - i ℏ)$ 看成一个整体， $A$ 对这个整体的导数，因此有以下关系

\begin{array}{r} \frac{d}{d λ} A = \dot{A} (t - i λ ℏ) \cdot (- i ℏ) \end{array}

为了分析( $???$ )中的关系，先把( $???$ )写出其具体的形式，用最基本的量表示出来 $\frac{i}{ℏ} [e^{- \frac{1}{i ℏ} H t} A e^{\frac{1}{i ℏ} H t}, e^{- β H}] \frac{1}{Tr (e^{- β H})} = \frac{1}{Tr (e^{- β H})} e^{- β H} \int_{0}^{β} d λ \frac{1}{- i ℏ} \frac{d}{d λ} (e^{- \frac{1}{i ℏ} H (t - i λ ℏ)} A e^{\frac{1}{i ℏ} H (t - i λ ℏ)})$

\begin{array}{r} ⇓ \end{array}

$[e^{- \frac{1}{i ℏ} H t} A e^{\frac{1}{i ℏ} H t}, e^{- β H}] = e^{- β H} \int_{0}^{β} d λ \frac{d}{d λ} (e^{- \frac{1}{i ℏ} H (t - i λ ℏ)} A e^{\frac{1}{i ℏ} H (t - i λ ℏ)})$ 化成( $???$ )之后，关系就非常明显了。右边的积分已经知道了原函数，那么将上下限代入就可得到最具体的形式，就可以变到左边形式。\ 经验： 1. 我首先看到右边的 $\dot{A}$ 和左边的对易子，就想到了Heisenberg运动方程。这样只是盲目地猜测，去试探地计算。试过之后不行，就应该另寻它路了,而不应该在上面纠缠不清。 2. 比较好的思路是：看到这样的证明，首先应该设法把无关的常数撇开，将式子写成用最基本的量表达的最具体的形式，然后分析其中与证明相关的关键变量。题目评述： 1. Kubo identity 将虚时演化加入到了Heisenberg运动方程中去，将虚时演化与实时演化相结合。 2. 左边就类似于Heisenberg运动方程中的 $[A, H] (t)$ ,右边就类似于 $\dot{A}$ 。 3. 加入虚时演化后，与于Heisenberg运动方程相比， $[A, H] (t)$ 变成了与密度算符的对易子 $[A, ρ] (t)$ ,而原来的 $\dot{A}$ 加入了对虚时的演化。 4. Kubo identity 与原来的Heisenberg运动方程相比，多出一个负号，不知可否理解为虚时与实时之间相差的 $i$ 所引起。