问题
证明积分： \begin{equation} \label{eq:1} \int_{0}^{+\infty}\mathrm{d}x \delta (x)f(x) = \frac{1}{2}f(0) \end{equation}
Dirac delta函数的定义
一般定义
一般定义为 \begin{equation} \label{eq:2} \delta (x) =\left\{ \begin{array}{ccc} +\infty & ,& x = 0 \\ 0 &, & x \neq 0 \end{array}\right. \end{equation} 且满足 \begin{equation} \label{eq:3} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \mathrm{d}x = 1 \end{equation} 但这不够严格。Dirac delta 函数不是一个函数，它是一个分布。
严格定义
如果一个分布$\delta(x)$作用在一个test function$f(x)$上，得到的结果是$f(0)$ \begin{equation} \label{eq:4} \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x \delta(x)f(x) = f(0) \end{equation} ，那么这个分布就是Dirac delta 函数。
性质
通过初步的尝试，发现只要证明 \begin{equation} \label{eq:5} \delta (x) f(x) = \delta (x) f(-x) \end{equation} 即可证明结论(\ref{eq:1})。 一般来说，$\delta (x)$当然是一个偶函数，但是$f(x)$却是任意一个函数。它们乘在一起是一个偶函数，这是为什么呢？想像一下$\delta(x)$的形状，就得出了答案，因为与$\delta(x)$相乘后$f(x)$在$x\neq 0$时都为零了，所以应该有 \begin{equation} \label{eq:6} \delta (x) f(x) = \delta (x) f(0) \end{equation} 只要证明了(\ref{eq:6})，就能证明$\delta(x)f(x)$是一个偶函数。\\ 如何验证？能利用的就只有Dirac delta 函数的定义，所以把(\ref{eq:6})右边的$f(0)$移到左边，右边就只剩一个$\delta(x)$，那么验证左边满足Dirac delta 函数的定义，就可以证明(\ref{eq:6})了。\\ 把(\ref{eq:6})右边的$f(0)$移到左边后得到 \begin{equation} \label{eq:7} \delta(x) \frac{f(x)}{f(0)} = \delta(x) \end{equation} 验证把(\ref{eq:7})的左边是一个Dirac delta 函数，那么根据定义，只要看把它作用到一个test function上，看它的结果就好了 \begin{equation} \label{eq:8} \begin{split} \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\left[\delta(x)\frac{f(x)}{f(0)}\right]g(x) =& \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\delta(x)\left[\frac{f(x)}{f(0)}g(x)\right]\\ =&\frac{f(0)}{f(0)}g(0)\\ =& g(0) \end{split} \end{equation} 所以(\ref{eq:7})得到了验证。
证明
(\ref{eq:5})得到了证明，(\ref{eq:1})的证明就显然了，我就懒得写了。