自由费米气体， 假设处在体积为 $V$ 的正方体中, 采用周期性边界条件, 总共有 $N$ 个费米子. 那么粒子数密度为:
$$\begin{align*} n = \frac{N}{V} \end{align*}$$总的粒子数 $N$ 在动量空间中可以表示成:
$$\begin{align*} N = 2 \cdot\frac{\frac{4\pi}{3}k_F^3}{\Delta k} \end{align*}$$$2$ 表示一个态上可以占据自旋相反的两个电子. 分子为费米球的体积. $\Delta k$ 为动量空间中的体积元,为:
$$\begin{align*} \Delta k = \frac{(2 \pi )^3}{V} \end{align*}$$所以最终的结果为:
$$\begin{align*} n = 2 \cdot \frac{1}{V}\frac{\frac{4\pi}{3}k_F^3}{\frac{(2 \pi )^3}{V}} = \frac{k_{F}^3}{3 \pi^2} \end{align*}$$费米能量为:
$$\begin{align*} \varepsilon_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m} \end{align*}$$所以对于费米气体 $n, k_F, \varepsilon _F$ 具有相同的信息, 三者并不独立.