从冰上的水 - 多体物理读书会: 5.2和5.3节 contraction-Grenn's Function-Feynman graphs三者之间的对应

contraction 与因果格林函数对应

因果格林函数的定义式

第三章中因果格林函数的定义为

\begin{array}{r} G_{A B}^{c} (t - t^{'}) \equiv - i ⟨ T_{ε} (A (t) B (t^{'})) ⟩ \end{array}

如果系统取为零温无相互作用费米气体, 算符 $A (t), B (t^{'})$ 取为 $a_{k} (t), a_{l}^{†} (t^{'})$ ,上式就变为

\begin{array}{r} G_{k l}^{0, c} (t - t^{'}) = - i ⟨ T_{ε} (a_{k} (t) a_{l} (t^{'})) ⟩ = - i ⟨ η_{0} ∣ T_{ε} {a_{k} (t) a_{l}^{†} (t^{'})} ∣ η_{0} ⟩ \end{array}

其中目标 $0$ 代表无相互作用.

contraction 的定义

根据 contraction 的定义, 可得 ( 收缩符号不好在这打, 用大括号代替了 )

$\begin{aligned} \underset{⏟}{a_{k} (t) a_{l}^{†} (t^{'})} = & ⟨ η_{0} ∣ \underset{⏟}{a_{k} (t) a_{l}^{†} (t^{'})} ∣ η_{0} ⟩ \\ = & ⟨ η_{0} ∣ T_{ε} {a_{k} (t) a_{l}^{†} (t^{'})} - N {∣ a_{k} (t) a_{l}^{†} (t^{'})} ∣ η_{0} ⟩ \\ = & ⟨ η_{0} ∣ T_{ε} {a_{k} (t) a_{l}^{†} (t^{'})} ∣ η_{0} ⟩ \\ = & ⟨ η_{0} ∣ T_{ε} {a_{k} (t) a_{l}^{†} (t^{'})} ∣ η_{0} ⟩ δ_{k l} \end{aligned}$

其中第一个等号是因为收缩是一个数, 第二个等号是 contraction 的定义, 第三个等号是因为正规 normal product 在基态下的期望是 $0$ .

根据 contraction 的定义, 对于费米子也可直接得到

\begin{array}{r} \underset{⏟}{a_{k} (t) a_{l}^{†} (t^{'})} = - \underset{⏟}{a_{l}^{†} (t^{'}) a_{k} (t)} \end{array}

结论

对比 ( $???$ ) 和 $(2)$ 可得

\begin{array}{r} \underset{⏟}{a_{k} (t) a_{l}^{†} (t^{'})} = i G_{k l}^{0, c} (t - t^{'}) δ_{k l} = i G_{k}^{0, c} (t - t^{'}) δ_{k l} \end{array}

time-ordering 算符的 convention

当 time-ordering 算符作用的两个算符相等时,通常取消灭算符的时间要稍小于产生算符, 也就是

\begin{array}{r} t_{annihilation operator} - t_{creation operation} = 0^{-} \end{array}

因果格林函数与粒子数平均值的关系

书中第三章中有结论

\begin{array}{r} i G_{k}^{c} (t - t^{'} = 0^{-}) = - ⟨ n_{k} ⟩ \end{array}

Feynman graphs 的正负号问题

图的正负号与收缩中带 " $'$ " 的 $t$ 在右边时的符号相同.

总结

综合上面的考虑, 我发现只要用以下五条规则就可以把 contraction-Grenn's Function-Feynman graphs 以及粒子数算符在基态上的期望相联系

\begin{array}{r} t_{annihilation operator} - t_{creation operation} = 0^{-} \end{array}

\begin{array}{r} \underset{⏟}{a_{k} (t) a_{l}^{†} (t^{'})} = i G_{k}^{0, c} (t - t^{'}) δ_{k l} \end{array}

\begin{array}{r} \underset{⏟}{a_{k} (t) a_{l}^{†} (t^{'})} = - \underset{⏟}{a_{l}^{†} (t^{'}) a_{k} (t)} \end{array}

\begin{array}{r} i G_{k}^{c} (t - t^{'} = 0^{-}) = - ⟨ n_{k} ⟩ \end{array}

\begin{array}{r} 图 的 正 负 号 与 收 缩 中 带 "' " 的 t 在 右 边 时 的 符 号 相 同 . \end{array}

注

$L a T e X$ 中收缩的打法可以参考 http://tug.ctan.org/macros/latex/contrib/simplewick/simplewick.pdf 使用 simplewick.sty