从冰上的水 - 多体物理读书会:第六章Matsubara的虚时演化

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引入

引入一

格林函数的定义中有两项, 是

$$\begin{align*} \langle A(t) B(t') \rangle\quad,\quad \langle B(t') A(t) \rangle \end{align*}$$

但是, 如果时间不是一个实数, 而可以是复数, 允许有虚部的话, 那么这两项就不是相互独立的了. 因为

$$\begin{align*} \Xi \langle A(t) B(0) \rangle =& \mathrm{Tr} \left\{ e^{-\beta H} \cdot e^{-\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}Ht} A(0) e^{\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}Ht} \cdot B(0)\right\} \\ =& \mathrm{Tr} \left\{ e^{-\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}H(t+\mathrm{i}\hbar \beta)} A(0) e^{\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}H(t+\mathrm{i} \hbar \beta) }\cdot e^{-\beta H} \cdot B(0)\right\} \\ =& \mathrm{Tr} \left\{ e^{-\beta H} \cdot B(0) \cdot e^{-\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}H(t+\mathrm{i}\hbar \beta)} A(0) e^{\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}H(t+\mathrm{i} \hbar \beta) }\right\} \\ =& \Xi \langle B(0) A(t+\mathrm{i}\hbar\beta) \end{align*}$$

也就是

$$\begin{align} \label{eq:p} \langle A(t)B(0)\rangle = \langle B(0)A(t+\mathrm{i}\hbar\beta) \end{align}$$

因此,引入复数时间将会使格林函数的定义更加精简? 这和其周期性有什么关系?

引入二

时间演化算符

$$\begin{align} U(t,0) = e^{\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}Ht} \end{align}$$

和巨正则系综的密度算符

$$\begin{align*} \rho =\frac{1}{\Xi} e^{-\beta H} \\ \rho \Xi =e^{-\beta H} \end{align*}$$

(其中 $H$ 包含了化学势) 十分相似. 也可以说巨正则系综的密度算符是一个特殊的时间演化算符

$$\begin{align*} U(t,0) &\rightarrow e^{\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}Ht}\\ \rho \Xi &\rightarrow e^{-\beta H} \\ \Downarrow \\ \rho \Xi &= U(-i\hbar \beta,0) = e^{-\beta H} \end{align*}$$

所以得出结论:

$\rho \Xi$ 是时间

$$\begin{align} t=-i\hbar \beta \end{align}$$

的时间演化算符, 对应一个虚数时间. 它将系统从无穷高的温度 $T\to +\infty$ 演化到 $T = \frac{1}{k \beta}$ .

这最先由 Kubo 在 1950s 早期发现. 接下来呢, Matsubara 就 pick up 了 Kubo 的这个发现, 写下了第一个有限温多体问题的虚时方程!

知道了配分函数, 就知道了一切. 而配分函数不过是演化算符的求迹!

$$\begin{align} \Xi = \mathrm{Tr} [ U(-\mathrm{i}\hbar \beta, 0)] \end{align}$$

引入三

对于非零温的情况, 微扰 $V$ 不仅出现在演化算符中, 还出现在密度算符中. 虚时的引入, 可以使得两部分合并, 在对 $V$ 进行展开时只进行一次展开即可.

Modified Heisenberg Representation

一个纯虚的时间, 对应于温度的演化, 与真实的时间无关. 如果时间是虚, 那么可以定义

$$\begin{align*} \tau = \mathrm{i}t \end{align*}$$

是一个实数.

由虚时演化的 Heisenberg Representation 叫做 Modified Heisenberg Representation ,在此表象下的算符为

$$\begin{align*} A(\tau) = e^{\frac{1}{\hbar}H\tau} A(0) e^{-\frac{1}{\hbar}H\tau} \end{align*}$$

此算符关于虚时间,实数 $\tau$ 对应的运动方程为

$$\begin{align*} \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t}A(t) =& [A(t),H] \\ \Downarrow & \\ -\hbar \frac{\partial}{\partial \mathrm{i}t}A(\tau) =& [A(\tau),H] \\ \Downarrow &\\ -\hbar \frac{\partial}{\partial \tau}A(\tau) =& [A(\tau),H] \\ \end{align*}$$

Matsubara function

Defination

与因果格林函数一样的定义, 只不过由于时间是虚的, $\mathrm{i}$ 被 $t$ 吸收变成实数 $\tau$ , 定义中不再有 $\mathrm{i}$ 出现

$$\begin{align*} G_{AB}^M(t,t') = -\langle T_{\varepsilon}(A(\tau)B(\tau))\rangle \end{align*}$$

对应的运动方程为

$$\begin{align*} -\hbar \frac{\partial}{\partial \tau}G_{AB}^M (\tau, \tau') = \hbar \delta(\tau-\tau')\langle [A,B]_{-\varepsilon}\rangle +\langle \langle \,[A(\tau),H] \,;\,B(\tau') \, \rangle\rangle^M \end{align*}$$

有一疑问, 定义中是否要加一限制 $\tau-\tau'\in [-\hbar\beta,\hbar\beta]$ ?为什么加? 这里暂且假设是. 下面的推导也说得通.

周期性

Matsubara function 在区间 $[-\hbar\beta,\hbar\beta]$ 之间, 对于 Boson 是关于原点对称的, Fermion 关于原点是反对称的. 证明如下

$$\begin{align*} \mathrm{For} \tau < 0 &, \quad \mathrm{then} \quad \tau+\hbar\beta > 0\\ \Xi G(\tau+\hbar\beta) =& -\mathrm{Tr} \left\{ e^{-\beta H}\cdot e^{\frac{1}{\hbar}H(\tau+\hbar\beta)}A(0) e^{-\frac{1}{\hbar}H(\tau+\hbar\beta)}\cdot B(0) \right\} \\ =& -\mathrm{Tr} \left\{ e^{\frac{1}{\hbar}H\tau}A(0) e^{-\frac{1}{\hbar}H\tau}\cdot e^{-\beta H}\cdot B(0) \right\} \\ =& -\mathrm{Tr} \left\{ e^{-\beta H}\cdot B(0)\cdot e^{\frac{1}{\hbar}H\tau}A(0) e^{-\frac{1}{\hbar}H\tau} \right\} \\ =& -\varepsilon\mathrm{Tr} \left\{ T_{\varepsilon}(A(\tau) \cdot B(0))\right\} \\ =& \varepsilon\Xi G(\tau) \end{align*}$$

也可以利用关系 \eqref{eq:p} 的变形

$$\begin{align*} \langle A(\tau)B(\tau')\rangle = \langle B(\tau')A(\tau-\hbar\beta)\rangle \end{align*}$$

即

$$\begin{align*} \mathrm{For} \tau < 0 &, \quad \mathrm{then} \quad \tau+\hbar\beta > 0\\ G(\tau+\hbar\beta) =& -\langle A(\tau+\hbar\beta) B(t) \rangle \\ =& -\langle B(0) A(\tau)\rangle \\ =& -\varepsilon \langle T_{\tau} A(\tau)B(0) \rangle \\ =& \varepsilon G(\tau) \end{align*}$$

所以关系 \eqref{eq:p} 与 Matsubara function 的对称与反对称性是相关的.

Fourier Transform

Matsubara function 按区间 $[-\hbar\beta,\hbar\beta]$ 延拓成周期为 $2\hbar\beta$ 的周期函数. 对周期函数的 Fourier Transform , 其结果是离散的

$$\begin{align*} \omega_n = n\frac{2\pi}{2\hbar\beta} = \frac{n\pi}{\hbar\beta} \end{align*}$$

Fourier 展开为

$$\begin{align*} G(\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{-\mathrm{i}\omega_n\tau} \end{align*}$$

where

$$\begin{align*} C_n =\frac{1}{2\hbar\beta} \int_{-\hbar\beta}^{\hbar\beta}\mathrm{d}\cdot\tau G(\tau) e^{\mathrm{i}\omega_n\tau} \end{align*}$$

记

$$\begin{align*} E_n =& \hbar\omega = \frac{n\pi}{\beta} \\ G(E_n) =& \hbar\beta C_n \end{align*}$$

则得到书上的形式

$$\begin{align*} G(\tau) =& \frac{1}{\hbar\beta}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_n\tau} G(E_n) \\ G(E_n) =& \frac{1}{2}\int_{-\hbar\beta}^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\cdot G(\tau)e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_n\tau} \end{align*}$$

对于 Boson, 其周期实际为 $\hbar\beta$ ,所以其变换为

$$\begin{align*} G(\tau) =& \frac{1}{\hbar\beta}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_n\tau} G(E_n) \\ G(E_n) =& \int_{0}^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\cdot G(\tau)e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_n\tau} \\ E_n =& n\frac{2\pi}{\hbar\beta} = \frac{2n\pi}{\hbar\beta} \end{align*}$$

而对于 Fermion

$$\begin{align*} & \int_{-\hbar\beta}^{0}\mathrm{d}\tau\cdot G(\tau)e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_n\tau} \\ =& \int_{0}^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau'\cdot G(\tau+\hbar\beta)e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_n\tau} \cdot e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_n\hbar\beta} \\ =& \int_{0}^{\hbar\beta}\mathrm{d}\tau\cdot (-G(\tau))e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_n\tau} \cdot e^{\mathrm{i}\cdot n\pi} \\ \end{align*}$$

只有 $E_n=(2n+1)\pi/\beta$ 时 $G_n$ 才不为零.

Relation to the Green's Function

它们的关系可以由 Spectral function 联系.

$$\begin{align*} \langle A(\tau) B(0) \rangle = \frac{1}{\Xi} \sum_{nm} \langle E_n | A |E_m \rangle \langle E_m |B |E_n\rangle e^{\frac{1}{\hbar}(E_n-E_m)\tau}e^{-\beta E_n} \end{align*}$$ $$\begin{align*} S_{AB}(E) = \frac{\hbar}{\Xi} \sum_{nm} \langle E_n | A |E_m \rangle \langle E_m |B |E_n\rangle e^{-\beta E_n}(1-\varepsilon e^{-\beta E}) \delta[E-(E_m-E_n)] \end{align*}$$

比较以上两式可得

$$\begin{align*} \langle A(\tau) B(0) \rangle = \frac{1}{\hbar}\int \mathrm{d}E\cdot \frac{S_{AB}(E)}{1-\varepsilon e^{-\beta E}}e^{-\frac{1}{\hbar}E\tau} \end{align*}$$

知道了 $\langle A(\tau)B(0)\rangle$ , 便可求得 Matsubara function

$$\begin{align*} G_{AB}(E_n) =& -\int_0^{\hbar\beta}e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_n\tau} \langle A(\tau)B(0)\rangle \cdot\mathrm{d}\tau \\ =& \int \mathrm{d}E\cdot \frac{S_{AB}}{\mathrm{i}E_n-E} \end{align*}$$

第一个等号是因为积分区间中 $\tau > 0$ ,所以 $G(\tau) = -\langle A(\tau)B(0)\rangle$ . 与 Grenn's function 相比, 只是把原来的 $E\pm\mathrm{i}0^+$ 换成了 $\mathrm{i}E_n$ . 从原来的实轴附近变到了虚轴. 原因大概是与能量共轭的量时间也从实轴变到了虚轴.

Grand Canonical Partition Function

Dirac Representation

对应于实时, 虚时也可以定义 Dirac Representation .

$$\begin{align*} A_D(\tau) = e^{\frac{1}{\hbar}H_0\tau} A_S e^{-\frac{1}{\hbar}H_0\tau} \end{align*}$$

运动方程

$$\begin{align*} -\hbar \frac{\partial}{\partial t}U_D(\tau,\tau') = V_D(\tau)U_D(\tau,\tau') \end{align*}$$

一切都与实时相类似. 虚时同样有

$$\begin{align*} U_D(\tau,\tau') = T_{\tau}e^{-\frac{1}{\hbar}\int_{\tau'}^{\tau}\mathrm{d}\tau'' \cdot V_D(\tau'')} \end{align*}$$

Grand Canonical Partition Function

$$\begin{align*} e^{-\frac{1}{\hbar}H\tau} = e^{-\frac{1}{\hbar}H_0\tau}U_D(\tau,0) \end{align*}$$

所以 Grand Canonical Partition Function 就表示为 Diarc 演化算符在无相互作用系统下的迹

$$\begin{align*} \Xi =\mathrm{Tr} e^{-\frac{1}{\hbar}H_0\tau}U_D(\tau,0) = \mathrm{Tr} \left\{ e^{-\beta H_0} U(\hbar \beta,0) \right\} \end{align*}$$

展开后就是

$$\begin{align*} \Xi =& \mathrm{Tr} \left\{ e^{-\beta H_0} U(\hbar \beta,0) \right\} \\ =&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\left( -\frac{1}{\hbar} \right)^n \int_0^{\hbar\beta} \cdots \int_0^{\hbar\beta} \mathrm{d}\tau_1\cdots \mathrm{d}\tau_n \mathrm{Tr}\left\{ e^{-\beta H_0} T_{\tau}(V_D(\tau_1)\cdots V_D(\tau_n)) \right\} \end{align*}$$

Single-Particle Matsubara function

Defination

Single-Particle Matsubara function 定义为

$$\begin{align*} G_k(\tau) = -\langle T_{\tau}(a_k(\tau)a_k^{\dagger}(0)) \rangle \end{align*}$$

它也满足 Dyson equation

$$\begin{align*} G_k(E_n) = \frac{\hbar}{\mathrm{i}E_n -(\varepsilon(\vec{k})-\mu)-\Sigma^M(k,E_n)} \end{align*}$$

Equation of Motion

类似实时, 由 Heisenberg 运动方程可以得到产生和消灭算符的虚时演化

$$\begin{align*} a_k(\tau) =&a_k e^{-\frac{1}{\hbar}(\varepsilon(\vec{k})-\mu)\tau}\\ a_k^{\dagger}(\tau) =&a_k^{\dagger} e^{\frac{1}{\hbar}(\varepsilon(\vec{k})-\mu)\tau} \end{align*}$$

注意二者并不互为厄米! 由单粒子的谱函数, 可以得到 Single-Particle Matsubara function 的具体形式

$$\begin{align*} G_k^{0,M}(E_n) = \frac{\hbar}{\mathrm{i}E_n-(\varepsilon(\vec{k})-\mu)} \end{align*}$$

当然也可由 $G_k^{0,\alpha}(E)$ 做 $E\pm \mathrm{i}0^+ \rightarrow \mathrm{i}E_n$ 的替换得到上述结果.

Start Point of Digramatic Perturbation Theory

微扰 $V$ 存在的情况下, Single-Particle Matsubara function 为

$$\begin{align*} G_k^M (\tau_1,\tau_2) = -\frac{1}{\Xi}\mathrm{Tr}\left\{ e^{-\beta H_0} U_D(\hbar\beta,0) T_{\tau}[a_k(\tau_1) a_k^{\dagger}(\tau_2)] \right\} \end{align*}$$

将其从 Heisenberg 表象换到 Dirac 表象

$$\begin{align*} T_{\tau}[a_k(\tau_1)a_k^{\dagger}(\tau_2)]=& T_{\tau}[U(0,\tau_1)a_k^D(\tau_1)U(\tau_1,0)U(0,\tau_2) a_k^{\dagger D}(\tau_2)U(\tau_2,0)]\\ =& T_{\tau}[a_k^D(\tau_1) a_k^{\dagger D}(\tau_2)] \end{align*}$$ $$\begin{align*} G_k^M (\tau_1,\tau_2) =& -\frac{1}{\Xi}\mathrm{Tr}\left\{ e^{-\beta H_0} U_D(\hbar\beta,0) T_{\tau}[a_k^D(\tau_1) a_k^{\dagger D}(\tau_2)] \right\}\\ =& -\frac{\mathrm{Tr}\left\{ e^{-\beta H_0} T_{\tau}[ U_D(\hbar\beta,0)a_k^D(\tau_1) a_k^{\dagger D}(\tau_2)] \right\}}{\mathrm{Tr}\left\{ e^{-\beta H_0} T_{\tau} U_D(\hbar\beta,0)\right\}} \\ \end{align*}$$

为什么把 $U_D(\hbar\beta,0)$ 扔进了编时里边? 如果给 $U_D(\hbar\beta,0)$ 编时的话, 按 $0$ 算还是按 $\tau$ 算? 这和零温的情况很类似. 如果求迹也有 Wick 定理, 那么就可以发展非零温的 Digramatic Perturbation Theory .

致谢

除了 Wolfgang Nolting 的书外, 还参考了 Piers Coleman 的 Introduction to Many-Body Physics 一书.