Drude Model
物理图像
金属元素的原子聚在一起形成金属时, 价电子分离出来, 并且在金属中自由的游荡, 而金属 离子保持完好, 扮演着不动的正电荷粒子的角色. 一个原子总共有 $Z_{\alpha}$ 个电子. 总电量是 $-Z_{\alpha}e$ (取 $e$ 是正数). 价电子有 $Z$ 个. $Z_{\alpha}-Z$ 个电子 相对紧地束缚在原子核周围, 称为 core electrons.
Drude Model 的几个基本假设:
1. 在碰撞之间, 电子与其它电子以及离子实的相互作用都被忽略(也就是忽略了长程库伦相 互作用). 前者为 independent electron approximation, 后者为 free electron approximation. 2. 碰撞是瞬时的, 突然地改变电子的速度. 碰撞为电子与离子实的碰撞. 两次碰撞的平均 时间间隔为 $\tau$ , 它有 relaxation time, collision time, mean free time 几种 不同的叫法. 那么电子发生碰撞的概率是 $\frac{1}{\tau}$ . 3. 电子只通过碰撞来达到与环境的热平衡. 电子在碰撞后, 速度与碰撞前的速度完全无关, 而时随机地得到一个与碰撞周围的温度相匹配的温度.
主要结论
current density $\vec{j}$ 和电场强度 $\vec{E}$ 之间的线性关系
Ohm's 定律
$$\begin{align*} V =& I \cdot R \\ &\Downarrow \\ \vec{E} =& \rho \cdot \vec{j} \end{align*}$$为什么要从第一式变到第二式. 因为 $R$ 与导体的形状有关系. 而 $\rho$ 只与导体的成 份有关系, 更加普适. 这是很重要的思想. 给导体加上电场在导体中, 能产生多大的电流, 就是 $\rho$ 的意义, 用来描述导体的导电性的大小.
从更加微观的意义上考虑 current density
$$\begin{align} \vec{j} = -ne \vec{v} \end{align}$$$\vec{j}$ 从量纲上考虑是单位面积单位时间的电荷量. 电子的速度 $\vec{v}$ 是长度比 上时间. $n$ 是单位体积. 三者相乘就单位面积单位时间的电量.
$\vec{v}$ 是一个平均速度. 通过假设推导 $\vec{v}$ . $\vec{v}$ 的产生原因是 $\vec{E}$ 的存在. 因为无电场时, 没有电流, 即 $\vec{v}=0$ .
考虑 $\vec{E}$ 对 $\vec{v}$ 的影响. 受到的力产生的加速度为
$$\begin{align} \vec{a} = -\frac{e \vec{E}}{m} \end{align}$$考虑电子两次碰撞之间的时间 $\tau$ 内产生的加速后的平均速度为
$$\begin{align} \vec{v}_{\mbox{avg}} = 0 - \frac{e \vec{E}\tau}{m} \end{align}$$所以
$$\begin{align} \vec{j} = \frac{ne^2\tau}{m}\vec{E} \end{align}$$微观量就可以由宏观可测的量推出
$$\begin{align} \tau = \frac{m}{\rho ne^2} \end{align}$$电子的运动方程
假设电子在 $t$ 时刻的平均动量为 $\vec{p}(t)$ , 外场给电子的力为 $\vec{f}(t)$ .
在 $\Delta t$ 时间内没有发生碰撞的电子, 对平均动量的贡献为
$$\begin{align} \vec{p}(t) + \int_t^{t+ \Delta t}\vec{f}(t)\mathrm{d}t \end{align}$$将第二项展开到 $\Delta t$ 的二阶(假设 $\vec{f}(t)$ 的原函数为 $\vec{F}(t)$ )
$$\begin{align} \int_t^{t+ \Delta t}\vec{f}(t)\mathrm{d}t =& \vec{F}(t+ \Delta t) - \vec{F}(t) \\ =& \vec{F}(t) + \vec{F}'(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 - \vec{F}(t)\\ =& \vec{f}(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \end{align}$$所以
$$\begin{align} \vec{p}(t) + \int_t^{t+ \Delta t}\vec{f}(t)\mathrm{d}t = \vec{p}(t) + \vec{f}(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \end{align}$$在 $\Delta t$ 时间内发生碰撞的电子. 根据假设, 碰撞后, 它的平均动量为 $\vec{0}$ . 所以它的经过不路 $\Delta t$ 时间的受力后, 平均动量的量级为(可见碰撞后的电子速 度取为碰撞周围达到热平衡的条件是很重要的)
$$\begin{align} \vec{f}(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \end{align}$$那么在 $\Delta t$ 时间后, 它的平均动量变为
$$\begin{align} \vec{p}(t + \Delta t) = \left( 1 - \frac{\Delta t}{\tau} \right) \left[ \vec{p}(t) + \vec{f}(t)\delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \right] + \frac{\Delta t}{\tau}\left[ \vec{f}(t)\delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \right] \end{align}$$舍去 $\mathcal{O}(\Delta t)^2$ , 取 $\Delta t \to 0$ 后, 得到电子的运动 方程
$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec{p}(t) = - \frac{\vec{p}(t)}{\tau} + \vec{f}(t) \end{align}$$The Sommerfeld Theory of Metals
与 Drude Model 的主要区别在于将电子作为全同费米子来处理, 考虑 Fermi-Dirac 分布.
又名 Free Electron Model ,Drude-Sommerfeld Model.
总结
随着学习的不断加深, 越来越要重视清晰的物理图像. 中学的物理由于物理图像都是日常生 活中的图像, 与经验相符, 所以已经自然而然地存在于经验当中, 所以重点在于学习用数学 来描述物理图像.
本科的学习不够深入, 只知道物理图像是必要的, 也没有体会到物理图像的重要性. 现在学 习的图像都很抽象, 之前似乎陷在数学之中了. 以后要非常重视清晰的物理图像.
Reference
Ashcroft, Mermin, Solid State Physics