$SO(N)$ 与 $SU(N)$ 的对比

在这里, 要对 $SU(N)$ 群做与 $SO(N)$ 群相同的事. 它们的区别如下

$SO(N)$ $SU(N)$
实 复
只有上标 有上标, 有下标
Special $O^T O=1$ $U^{\dagger} U = 1$
$O(N)\to SO(N)$ $U(N) \to SU(N)$
$\det O=\pm 1\to \det O = 1$ $\det U = e^{\mathrm{i}\alpha} \to \det U = 1$

$SU(3)$ 群的表示

全对称张量 $\phi^{ijk}$ 生成 $SU(3)$ 的一个 $10$ 维不可约表示.

$$\begin{align} \phi^{333}, \phi^{331}, \phi^{332}, \phi^{322}, \phi^{321}, \phi^{311}, \phi^{222}, \phi^{221}, \phi^{111}, \phi^{112} \end{align}$$

$SU(N)$ 群的下标

从 $SO(N)$ 群的 $O^T O=1$ 到 $SU(N)$ 群的 $U^{\dagger} U = 1$ 就引出了下标

$$\begin{align} \psi_i \equiv \psi^{i*} \end{align}$$

因此

$$\begin{align} \zeta^{\dagger}\psi = \zeta^{j*}\psi^j = \zeta_j\psi^j \end{align}$$

把 $U^{ij}$ 也写成 $U^i_{\,j}$ 的形式, 来保证上标只和下标求和, 下标只和上标求和, 所以 tensor 之间的变换就写为

$$\begin{align} \psi^i \to& \psi'^i = U^i_{\,j} \psi^j \\ \psi_i \to& \psi'_i = \psi_j (U^{\dagger})^j_{\,i} \end{align}$$

总的来说就是: 上标由 $U$ 变换, 下标由 $U^{\dagger}$ 变换.

Example: \begin{align} \phi^{ij}_k \to \phi'^{ij}_k = U^i_{\,l} U^j_{\,m} \phi^{lm}_n (U^{\dagger})^n_{\,k} \end{align}

在此记法下, 它们的 trace 为一个上标和一个下标的求和

$$\begin{align} \delta^k_{\,j} \phi^{ij}_k \equiv \phi^{ij}_j \end{align}$$
Exercise: \begin{align} \phi^{ij}_j \to U^i_{\,l}U^j_{\,m} \phi^{lm}_n(U^{\dagger})^n_{\,j} =& U^i_{\,l}\delta ^n_{\,m} \phi^{lm}_n = U^i_{\,l} \phi^{ln}_n \end{align}

$SO(N)$ 群的不可约表示

因为上标和下标按不同的方式变换, 所以它们各自有独立的对称性.

书上说

Thus, in summary, the irreducible representations of $SU(N)$ are realized by traceless tensors with definite symmetry properties under permutation of indices. Convince yourself that for $SU(N)$ , the dimensions of the representations defined by the following tensors $\phi^i$ , $\phi^{ij}$ (antisymmetric), $\phi^{ij}$ (symmetric), $\phi^i_{\,j}$ , and $\phi^{ij}_k$ (antisymmetric in the upper indices) are, respectively, $N , N (N − 1)/2, N (N + 1)/2, N^2 − 1$ and $\frac{1}{2} N (N − 2)(N + 1)$.
Example: symmetric traceless representation $S^{ij}_k = S^{ji}_k$ 是 $\frac{1}{2}N(N+1)N-N =\frac{1}{2}N(N-1)(N+2)$ 维的. 先不考虑下标, 目标的对称表示共有 $\frac{1}{2}N(N+1)$ 种, 下标还有 $N$ 种可能, 再 减去 $N$ 个迹. 这 $N$ 个迹 $S^{ij}_i$ 对应 $N$ 个不同的 $j$ .
Exercise: 说明 antisymmetric traceless representation $A^{ij}_k = - A^{ji}_k$ 是 $\frac{1}{2}N(N-1)N - N = \frac{1}{2}N(N+1)(N-2)$ 维的.

$SU(N)$ 群的不可约表示是由具有确定对称性的无迹张量生成的. (不知道第二句话的意思 是否是说所有的 $SU(N)$ 群的不可约表示都只有这几个维度, 这里貌似是不加证明地给出 了这个结论) .

Example: $SU(5)$ 有 $5, 10, 15, 24, 45$ 维的不可约表示.

上下标之间的移动

前面用到了 $SU(N)$ 的 unitary $U^{\dagger}U = 1$ . 它可以如下表示

$$\begin{align} \varepsilon_{i_1i_2\cdots i_N} U^{i_1}_{\,j_1}U^{i_2}_{\,j_2} \cdots U^{i_N}_{\,j_N} = \varepsilon_{j_1j_2\cdots j_N} \end{align}$$

两边同时乘 $(U^{\dagger})^{j_N}_{p_N}$ 并对 $j_N$ 求和有

$$\begin{align} \varepsilon_{i_1i_2\cdots i_N} U^{i_1}_{\,j_1}U^{i_2}_{\,j_2} \cdots U^{i_N}_{\,j_N}(U^{\dagger})^{j_N}_{p_N} =& \varepsilon_{j_1j_2\cdots j_N}(U^{\dagger})^{j_N}_{p_N} \\ \Downarrow& \\ \varepsilon_{i_1i_2\cdots p_N} U^{i_1}_{\,j_1}U^{i_2}_{\,j_2} \cdots U^{i_{N-1}}_{\,j_{N-1}} =& \varepsilon_{j_1j_2\cdots j_N}(U^{\dagger})^{j_N}_{p_N} \end{align}$$

重复上述过程可以把 $U$ 换成 $U^{\dagger}$ .

Example: 定义 \begin{align} \phi_{kpq} \equiv \epsilon_{ijpq} \phi^{ij}_k \end{align} 那么它的变换 \begin{align} \varepsilon_{ijpq} \phi^{ij}_k \to \varepsilon_{ijpq} U^i_{\,l}U^j_{\,m} \phi^{ij}_k (U^{\dagger})^n_{\,k} = (U^{\dagger})^s_{\,p}(U^{\dagger})^t_{\,q}(U^{\dagger})^n_{\,k} \phi_{nst} \end{align}

总结一下, 用两个反对称符号, 就可以将 $SU(N)$ 群张量的上下标上下移动.

Reference

  • A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, 2016, Princeton University Press
  • https://en.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group