从冰上的水 - Legendre Transform

Intro

多次看到过 Legendre transform 这个名词.

Reference [Am. J. Phys. 77 (7), July 2009] 非常详细清晰友好地解答了我心中的各种疑惑, 现将它做一个整理.

它在开头说道:

The Legendre transform is a powerful tool in theoretical physics and plays an important role in classical mechanics, statistical mechanics, and thermodynamics.

Legendre transform 在理论物理领域是一个强有用的工具, 在经典力学, 统计力学, 以及热力学中发挥了的作用.

进行 Legendre transform 之后, 相当于是相同的信息, 用了不同的方式进行展示 (display).

Definition

给定一个函数 $F(x)$ 如果它满足

是一个凸(convex)函数, 也就是像 $y=x^2$ 这种二阶导数恒正的函数. 并且是光滑的函数.
F 的导数, 比 x 本身, 更加容易去测量, 控制或者考虑.

那么对它 Legendre transform 更加方便.

对于函数 $F(x)$ 它的斜率

$$ \begin{align} s(x) \equiv \frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x} \end{align} $$

$s(x)$ 是一个单调函数, 也就是说 s 和 x 是一一对应的. 那么, 就可以将 s 做为一个独立变量来代替 x, 即

$$ \begin{align} F(x(s)) \end{align} $$

也就是说我们用了 F 的导数, 而不是 x 本身来描述这个函数关系.

这个用复合函数的方法, 将 x 用 F 的导数, 即 s 做了替换. 这是最容易想到的. 而 Legendre transform 提供了另一种方法, 定义 $F(x)$ 的 Legendre transform $G(s)$ 为

$$ \begin{align} G(s) \equiv s x(s) - F(x(s)) \end{align} $$

需要注意的是上式只有一个独立变量 s . Legendre transform 的好处是, $G(s)$ 和 $F(x)$ 一种对称的的关系(此外 Reference [Am. J. Phys. 77 (7), July 2009] 给出一一种几何上的直观理解) 以及一些其它的性质. 这体现在

新函数对新变量的导数是旧变量，反之亦然
$$ \begin{align} x(s) = \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}s} \\ s(x) = \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} \end{align} $$
Legendre 变换的逆变换是它本身. 也就是说经过两次 Legendre 变换后, 回到函数本身. 形式上将这种关系表示为
$$ \begin{align} \{F, x\} \Leftrightarrow \{G, s\} \\ G(s) + f(x) = sx \end{align} $$
要注意独立变量只有一个, $s, x$ 并不相互独立.
它们的极值
$$ \begin{align} F_{\mathrm{min}} = -G(0) \\ G_{\mathrm{min}} = -F(0) \end{align} $$

Examples

Lagrangian to Hamiltonian

In Statistical Thermodynamics (added in 2026-05-26)

一个封闭热力学系统，当给定体积 V，粒子数 N，和熵 S 后，他的能量为这三个变量的函数

$$ \begin{align} E(N, S, V) \end{align} $$

如果我们对 $N, S, V$ 这三个变量做微小改变，那么系统的能量也会做微小改变，即

$$ \begin{align} \mathrm{d}E(N, S, V) =& \left.\left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)\right|_{S, V} \mathrm{d}N + \left.\left(\frac{\partial E}{\partial S}\right)\right|_{N, V} \mathrm{d}S + \left.\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)\right|_{N, S} \mathrm{d}V\\ =& \mu \mathrm{d}N + T \mathrm{d}S - p \mathrm{d}V \end{align} $$

如果我们想用能量来描述这个系统，也就是说固定系统的 $N, T, V$ (正则系综)。那么我们就可以做 Legendre 变换（可以差一个符号约定）得到 Helmholtz free energy,

$$ \begin{align} F = E - \left.\left(\frac{\partial E}{\partial S}\right)\right|_{N, V} S = E - T S \end{align} $$

那么

$$ \begin{align} S = -\left.\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)\right|_{N, V} \end{align} $$

对应的微分

$$ \begin{align} \mathrm{d}F(N, T, V) =& \left.\left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)\right|_{T, V} \mathrm{d}N + \left.\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)\right|_{N, V} \mathrm{d}T + \left.\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)\right|_{N, T} \mathrm{d}V\\ =& \mu \mathrm{d}N - S \mathrm{d}T - p \mathrm{d}V. \end{align} $$

同样的，我们也可以对 N 做 Legendre 变换，得到 $\mu, T, V$ 巨正则系综的巨热力学势，

$$ \begin{align} \Omega = F - \left.\left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)\right|_{T, V} N = F - \mu N = E - T S - \mu N \end{align} $$$$ \begin{align} N = -\left.\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\right)\right|_{T, V} \end{align} $$$$ \begin{align} \mathrm{d}\Omega(\mu, T, V) =& \left.\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\right)\right|_{T, V} \mathrm{d}\mu + \left.\left(\frac{\partial \Omega}{\partial T}\right)\right|_{\mu, V} \mathrm{d}T + \left.\left(\frac{\partial \Omega}{\partial V}\right)\right|_{\mu, T} \mathrm{d}V\\ =& -N \mathrm{d}\mu - S \mathrm{d}T - p \mathrm{d}V. \end{align} $$

类似的，还可以把 F 对体积做 Legendre 变换得到等温等压系综的 Gibbs 自由能 $G(T, p, N) = E - TS + pV$，以及把内能 E 对体积做 Legendre 变换得到等温等压系综的焓(Enthalpy) $H(S, p, N) = E + pV$.

Reference

Herbert Goldstein Charles P. Poole John Safko - Classical Mechanics
Making sense of the Legendre transform, Am. J. Phys. 77 (7), July 2009 (arXiv:0806.1147v2 [physics.ed-ph] 4 Mar 2009)