问题
将微分方程
$$\begin{align} \label{eq:inhomo} \mathcal{L} \psi(x) = k^2 \psi(x) \end{align}$$的通解 $\phi(k, x)$ 在 $k = 0$ 处级数展开
$$\begin{align} \phi(k, x) = u_0 + k^2 u_1 + \mathcal{O}(k^4) \end{align}$$将展开的结果代回原方程可得
$$\begin{align} \mathcal{L} u_0 =& 0 \\ \label{eq:step} \mathcal{L} u_1 =& u_0 \end{align}$$那么 $u_{0}$ 是否是方程
$$\begin{align} \label{eq:homo} \mathcal{L} \psi(x) = 0 \end{align}$$的通解?
看起来是
解方程 $(\ref{eq:homo})$ 得到通解, 然后再解 $(\ref{eq:step})$ , 逐阶求解, 就得到 了 $(\ref{eq:inhomo})$ 的通解.
Reference
Yu, Z., Thywissen, J. H. & Zhang, S. Supplementary Material: Universal Relations for a Fermi Gas Close to a p-wave Interaction Resonance.
旧
将微分方程 \begin{align} \mathcal{L} \psi(x) = k^2 \psi(x) \end{align} 的通解 $\phi(k, x)$ , 取 $k\to 0$ 时的极限, 能否得 \begin{align} \mathcal{L} \psi(x) = \psi(x) \end{align} 的全部解?