Theory

取单位 $\hbar = M = 1$ .

在 BEC极限下, 原子两两配对, 形成的 dimmer 的粒子数密度为

$$\begin{align} n_{\mathrm{dimmer}} = \frac{N}{V} \sum_{\vec{k}} n_B(\xi_q + E_b) = \frac{1}{2\pi^2}\int_0^{\infty} \mathrm{d}q \frac{q^2}{e^{\beta(q^2/4 - 2\mu + E_b)} - 1} \end{align}$$

因此, 忽略极少数没有配对的原子, 总的原子的粒子数密度就是

$$\begin{align} n_{\mathrm{total}} = 2n_{\mathrm{dimmer}} \end{align}$$

如果原子是两分量的, 比如 Bose 原子通过 p 波相互作用配对, 或者费米子通过 s 波相互 作用配对, 那么能量单位可以取为 $E_{n, p} = \frac{k_{n, p}^2}{2} = \frac{(3 \pi^2 n_{\mathrm{total}})^{2/3}}{2}$

如果原子是单分量的, 比如 Bose 原子通过 d 波相互作用配对, 那么能量单位可以取为 $E_{n, d} = \frac{k_{n, d}^2}{2} = \frac{(6 \pi^2 n_{\mathrm{total}})^{2/3}}{2}$

在 BEC 极限下, 给定密度的情况下, 当 $2\mu$ 刚好能够形成束缚态, 也就是 $2\mu = E_b$ 时, 处于临界状态. 如果 fix 粒子数密度 $n_{\mathrm{total}}$ , 那么可以算出 $n_{\mathrm{total}} /T_{BEC}$ , 也就是取能量单位 $E_n$ 时的临界温度.

两分量费米子 s 波相互作用在 BEC 极限下的 BEC 临界温度为

$$\begin{align} T_{\mathrm{BEC}} \approx 0.218 E_F \end{align}$$

Numerical

import numpy as np
from scipy.integrate import quad


mu = -1
E_b = 2*mu


def density(q):
    volume = q**2 / (np.pi**2)
    a = q**2/4 - 2*mu + E_b
    return volume / (np.exp(a) - 1)


n = quad(density, 0, 100, points=[0])[0]
ef_p = (3*np.pi**2 * n)**(2/3) / 2
ef_d = (6*np.pi**2 * n)**(2/3) / 2
tcef_p = 1 / ef_p
tcef_d = 1 / ef_d

print(n)
print(tcef_p, tcef_d)

code

0.9382979415622876
0.2180329612206701 0.13735215870641743

Reference

Zhai, H. Ultracold atomic physics. (Cambridge University Press, 2020).