问题
一个简单的计算
$$\begin{align} \mathrm{i}\sqrt{-1} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1 \end{align}$$但在 Mathematica 中
In[1]:= I*Sqrt[-1]
Out[1]= -1
结果差了一个负号。
或者另一种计算方法
$$\begin{align} \mathrm{i}\sqrt{-1} = \mathrm{i}\cdot \mathrm{i} = \mathrm{i}^2 = -1 \end{align}$$就会给出与 Mathematica 相同的结果。
原因
$$\begin{align} \sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w} \end{align}$$并不总是成立。在我们的例子里
$$\begin{align} \sqrt{-1}\sqrt{-1}\neq \sqrt{(-1)^2} \end{align}$$一般来讲,也是 Mathematica 的约定,将根号函数的割线取为实轴负半轴 根号函数的割线取为实轴负半轴 ,将辐角 $\theta\in (-\pi, \pi]$ 选为第一黎曼面,也就是主值所在的黎曼面。所以平时做复数运算时要小 心。
Reference
- Wolfram Language and System:Mathematical Functions
- Wikipedia: Square root
- Wikipedia: Exponentiation Failure of power and logarithm identities 部分