群的不可约表示，哈密顿量，态矢
系统(哈密顿量)的对称性
哈密顿量 \(\hat{H}\) 的所有对称性构成群 \(G\). \(H\) 在 \(G\) 中的任意一个群元 \(g\) 的变换下保持不变. 群 \(G\) 中的任意群元 \(g\) 都满足
\[ g \hat{H} g^{-1} = \hat{H}, \quad\mathrm{or}\quad g \hat{H} = \hat{H} g \]也就是说 \(g\) 和 \({H}\) 对易.
哈密顿量 \(\hat{H}\) 也可以看成是一个变化操作, 它和群 \(G\) 作用在相同的空间, 但它不在群 \(G\) 中. 它的物理意义是系统的时间演化算符的生成元, 即薛定谔方程,
\[ \mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle \]群的表示与基底
有限群有幺正表示(finite groups have unitary representations (Zee, 2016, p. 96)). 下面考虑的都群的幺正表示.
选取 \(\hat{H}\) 的本征态作为一组基底,哈密顿量在这组基底下的表示矩阵 \(H\) (\(H\) 是矩阵, \(\hat{H}\) 是算符) 是对角的. 同时这组基底也负载了群的表示, 群元 \(g\) 的表示矩阵 \(D(g)\).
一维表示
一维的希尔伯特空间, 基底只有一个, 记为 \(|1 \rangle\) , 这个希尔伯特空间中所有的都是这个态处在不同的相位上,标记一个态只需要用相位 \(\theta\) 这一个参数
\[ |\theta\rangle = e^{\mathrm{i}\theta}|1\rangle \]对于一维的希尔伯特空间, 哈密顿量只能是一个常数. 此时系统具有 \(U(1)\) 对称性. \(U(1)\) 是一个阿贝尔的群, 只有一维表示. 基底 \(\{|1 \rangle\}\) 负载这个以为表示, 群元 \(g(\theta)\) 在这个基底下的表示为
\[ D[g(\theta)] = e^{\mathrm{i}\theta} \]对于给定群元 \(g(\theta)\), 它是一个数.
二维表示
基底有两个, 记为 \(\{|\uparrow \rangle, |\downarrow\rangle\}\).
Reference
- Zee, A. Group Theory in a Nutshell for Physicists. (Princeton University Press, Princeton, 2016).