Symmetry and Degeneration

群的不可约表示，哈密顿量，态矢

系统(哈密顿量)的对称性

哈密顿量 $\hat{H}$ 的所有对称性构成群 $G$. $H$ 在 $G$ 中的任意一个群元 $g$ 的变换下保持不变. 群 $G$ 中的任意群元 $g$ 都满足 $$ g \hat{H} g^{-1} = \hat{H}, \quad\mathrm{or}\quad g \hat{H} = \hat{H} g $$ 也就是说 $g$ 和 ${H}$ 对易.

哈密顿量 $\hat{H}$ 也可以看成是一个变化操作, 它和群 $G$ 作用在相同的空间, 但它不在群 $G$ 中. 它的物理意义是系统的时间演化算符的生成元, 即薛定谔方程, $$ \mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle $$

群的表示与基底

有限群有幺正表示(finite groups have unitary representations (Zee, 2016, p. 96)). 下面考虑的都群的幺正表示.

选取 $\hat{H}$ 的本征态作为一组基底,哈密顿量在这组基底下的表示矩阵 $H$ ($H$ 是矩阵, $\hat{H}$ 是算符) 是对角的. 同时这组基底也负载了群的表示, 群元 $g$ 的表示矩阵 $D(g)$.

一维表示

一维的希尔伯特空间, 基底只有一个, 记为 $|1 \rangle$ , 这个希尔伯特空间中所有的都是这个态处在不同的相位上,标记一个态只需要用相位 $\theta$ 这一个参数 $$ |\theta\rangle = e^{\mathrm{i}\theta}|1\rangle $$ 对于一维的希尔伯特空间, 哈密顿量只能是一个常数. 此时系统具有 $U(1)$ 对称性. $U(1)$ 是一个阿贝尔的群, 只有一维表示. 基底 ${|1 \rangle}$ 负载这个以为表示, 群元 $g(\theta)$ 在这个基底下的表示为 $$ D[g(\theta)] = e^{\mathrm{i}\theta} $$ 对于给定群元 $g(\theta)$, 它是一个数.

二维表示

基底有两个, 记为 ${|\uparrow \rangle, |\downarrow\rangle}$.

Reference

• Zee, A. Group Theory in a Nutshell for Physicists. (Princeton University Press, Princeton, 2016).