Ising model
1D Ising model
见 2021-03-11-Susskind's Statistical Mechanics
2D Ising model
Kramers-Wannier duality
对于二维正方晶格
$$ \begin{align} H = -J \sum_{\langle i j\rangle} s_i s_j, \quad s_i = \pm 1 \end{align} $$我们用两种方法计算配分函数
$$ \begin{align} Z =& \sum_{\{s_i\}} e^{\beta J \sum_{\langle i j\rangle} s_i s_j}. \end{align} $$方法一：高温展开（High temperature, HT）
$$ \begin{align} Z_{HT} =& \sum_{\{s_i\}} e^{\beta J \sum_{\langle i j\rangle} s_i s_j} \\ =& \sum_{\{s_i\}} \prod_{\langle i j \rangle} e^{\beta J s_i s_j} \\ =& \sum_{\{s_i\}} \prod_{\langle i j \rangle} \cosh(\beta J) \left[ 1 + s_i s_j \tanh (\beta J) \right] \\ =& \cosh^{N_b}(\beta J)\sum_{\{s_i\}} \prod_{\langle i j \rangle} \left[ 1 + s_i s_j \tanh (\beta J) \right] \end{align} $$其中 $N_b$ 是晶格中键的个数。
可以按照 $\tanh$ 的阶数把对连乘的求和展开
$$ \begin{align} & \prod_{\langle i j \rangle} \left[ 1 + s_i s_j \tanh (\beta J) \right] \\ =& 1 + \sum_{\langle i j\rangle} s_i s_j \tanh(\beta J) \\ & + \sum_{\langle i j\rangle} \sum_{\langle k l\rangle < \langle i j\rangle} s_i s_j s_k s_l \tanh^2 (\beta J) \\ & + \sum_{\langle i j\rangle} \sum_{\langle k l\rangle < \langle i j\rangle} \sum_{\langle m n\rangle < \langle k l\rangle < \langle i j\rangle} s_i s_j s_k s_l s_m s_n \tanh^3 (\beta J) \\ & + \cdots \end{align} $$其中 $\sum_{\langle i j \rangle}$ 表示对相邻格点求和， $\sum_{\langle k l\rangle < \langle i j\rangle}$ 表示每种组合只计算一次。 比如一个 $3\times 3$ 的晶格
a - b - c
| | |
d - e - f
| | |
h - i - j
对于一对格点，也就是一个键求和，
$$ \begin{align} &\sum_{\langle i j\rangle} s_i s_j \\ =& s_a s_b + s_a s_d + s_b s_c \\ & + s_b s_e + s_c s_f + s_d s_h \\ & + s_d s_e + s_e s_i + s_e s_f \\ & + s_f s_j + s_h s_i + s_i s_j \end{align} $$上式中的每一项，对构型求和都为
对于两对格点的情况，当这两个键没有连在一起时，为
我们发现，对于每一项，只要选出来的格点对中，存在只用了奇数次的格点时，它就为
其中
之所以叫高温展开，是因为当温度无穷高，$\beta \to 0$ 时，求和项只剩下 $n_C = 0$ 。 温度越低， $n_C$ 大的闭合回路就贡献越大。如果考虑了所有闭合回路，这个结果是严格的。
方法二：低温展开（Low temperature, LT）
$$ \begin{align} Z_{LT} = & \sum_{\{s_i\}} \prod_{\langle i j \rangle} e^{\beta J s_i s_j} \\ = & 2 e^{N_b \beta J} + 2 e^{N_b \beta J} \sum_{i} e^{-2\beta J \cdot 4} + \cdots \\ = & 2 e^{N_b \beta J} \sum_{CD} e^{-2\beta J \cdot n_{CD}} \end{align} $$其中 $CD$ 是表示对偶晶格的闭合回路，即格点变成键，键变成格点。 第二个等号后面，第一项是零温基态的构型对应的贡献， 第二项是翻转一个自旋对应的构型的贡献（翻转一个自旋，改变四个键，每个键能量增加 $2 J$）。 翻转一个自旋，相于这个自旋周围的键形成一个闭合回路，也就是 domain wall。
得相变点
如果晶格的对偶晶格还是本身，那么高温展开和低温展开中的闭合回路求和对应同一个函数，记为
$$ \begin{align} f(x) = \sum_C x^{n_C} = \sum_{CD} x^{n_{CD}} \end{align} $$那么配分函数
$$ \begin{align} Z_{HT} = \cosh^{N_b}(\beta J)2^{N} f(\tanh(\beta J)) \end{align} $$$$ \begin{align} Z_{LT} = 2 e^{N_b \beta J} f (e^{-2\beta J}) \end{align} $$它们对应的 Helmholtz 自由能密度
$$ \frac{F_{HT}}{N} = - \frac{1}{N\beta}\ln Z_{HT} = - \frac{1}{\beta} \left[ \frac{N_b}{N} \ln \cosh(\beta J) + \ln 2 + \frac{1}{N}\ln f(\tanh(\beta J)) \right] $$$$ \frac{F_{LT}}{N} = - \frac{1}{N\beta}\ln Z_{LT} = - \frac{1}{\beta} \left[ \frac{\ln 2 }{N} + \frac{N_b}{N} \beta J + \frac{1}{N}\ln f(e^{-2 \beta J}) \right] $$如果系统存在，且只存在一个相变点，也就是在某个温度下自由能不解析，
那么它只能是在热力学极限 $N\to \infty$ 时，
函数 $f(x)$ 在
而 $F_{HT}$ 和 $F_{LT}$ 对于任意的 $\beta$ 都应该是相同的。 所以这个唯一的相变点 $\beta = \beta_C$ ，应该对应 $x = x_C$ ，即
$$ \begin{align} x_C = \tanh(\beta_C J) = e^{- 2 \beta_C J} \end{align} $$由此可解得
$$ \begin{align} \beta_C J = \frac{1}{2} \ln (1 + \sqrt{2}) \end{align} $$相变温度
$$ \begin{align} \frac{T_C}{J} = \frac{2}{\ln (1 + \sqrt{2})} \approx 2.269 \end{align} $$也容易验证，当 $\beta = \beta_C$ 时，高温展开和低温展开的自由能密度中剩下的解析的部分也相等 （需要用到 $\lim_{N\to\infty} N_b/N = 2$ ）。
正方晶格的对偶晶格是它本身，所以如果正方晶格存在唯一的一个相变点，这就是它的相变温度。
Kramers-Wannier duality 本身并不能说明系统是否存在相变以及相变点的个数，它只能给出相变点的候选位置。
所以这个方法的关键是利用了一个事实，即用不同的方法得到的自由能在相变点上，解析的部分和不解析的部分会分别对应相等。由于自由能中存在一些求和只能形式上写出，并不能解析求出，所以无法直接让不同方法得到的自由能相等。但在相变点处，自由能被分成了两部分，本部分会分别对应相等，这降低了求解难度。