Shot noise
对可观测量期望进行参数估计
一个系统处在态 $\rho$ 上，我们想得到某个可观测量 $\hat{O}$ ，的期望 $\langle \hat{O} \rangle = \mathrm{Tr}(\hat{O}\rho)$ 。
$\langle \hat{O} \rangle$ 可以看作是系统的一个参数。得到 $\langle \hat{O} \rangle$ 的过程可以看成是一个估计的过程（estimation process）。
测量过程
算符 $\hat{O}$ ，可以在它的本征基底 $\{|m\rangle\}$ 下做测量，其中 $|m\rangle$ 是本征值为 $\hat{O}|m\rangle = O_m |m\rangle$ 的本征态。 在测量后，系统一定处在它的某个本征态上。
测量过程可以由一系列 measurement operation
$$ \begin{align} \mathcal{E}_m(\rho) = M_m \rho M_m^\dagger, \end{align} $$描述，其中 $M_m = |m\rangle\langle m|$ 是 measurement operator 。 测量过后，系统处在态
$$ \begin{align} \frac{\mathcal{E}_m(\rho)}{\mathrm{Tr}\left( \mathcal{E}_m(\rho) \right)} \end{align} $$上的概率是
$$ \begin{align} \mathrm{Tr}\left( \mathcal{E}_m(\rho) \right) \end{align} $$随机变量：从样本空间到可测空间的函数
假设系统在测量之前处在态 $\rho$ 。
可观测量的测量数值由随机变量（random variable）
$$ \begin{align} X_{\hat{O}}:\left\{ \frac{\mathcal{E}_m(\rho)}{\mathrm{Tr}\left( \mathcal{E}_m(\rho)\right)} \right\} \to \left\{ O_m \right\} \end{align} $$描述。它是一个从样本空间（sample space）
$$ \begin{align} \left\{\frac{\mathcal{E}_m(\rho)}{\mathrm{Tr}\left( \mathcal{E}_m(\rho) \right)}\right\} \end{align} $$到可测空间（measurable space）$\{O_m\}$ 的函数。样本空间就是测量结果，也就是仪器上显示的结果构成的集合。在这里，我们假设仪器显示的结果就是系统在被观测后塌缩到的态。而这里的可测空间则由可观测量所有的本征值 $O_m$ 和上面的 $\sigma$ 代数构成。
测量后的结果（outcome） $|m\rangle\langle m|$ 对应的概率是，
$$ \begin{align} P(X_{\hat{O}} = O_m) = \mathrm{Tr}\left[ \mathcal{E}_m(\rho) \right]. \end{align} $$随机变量 $X_{\hat{O}}$ 的期望值是
$$ \begin{align} E[X_{\hat{O}}] = \sum_m O_m P(X_{\hat{O}} = O_m) = \langle \hat{O}\rangle, \end{align} $$其中 $\langle \hat{O}\rangle = \mathrm{Tr}[\hat{O}\rho]$ 是 $\hat{O}$ 的系综平均。
方差（variance）为
$$ \begin{align} \mathrm{var}\left[ X_{\hat{O}} \right] = E[X_{\hat{O}}^2] - E[X_{\hat{O}}]^2 = \langle \hat{O}^2\rangle - \langle \hat{O}\rangle^2 \end{align} $$如果 $\rho$ 是纯态，它就是量子涨落（quantum fluctuation）。
Estimators
在实验中，为了得到精确的结果，我们通常重复运行同一个线路 $N_{\mathrm{shots}}$ 次。 我们可以用不同的估计量（estimator）来对参数 $\langle \hat{O} \rangle$ 进行估计。
例如，我们可以选 sample mean estimator,
$$ \begin{align} \bar{X}_{\hat{O}} = \frac{1}{N_{\mathrm{shots}}}\sum_{l=1}^{N_{\mathrm{shots}}} X_{\hat{O}, l}. \end{align} $$我们假设每次运行线路的都是相同的，每次的测量结果都是相互独立的。 $\{X_{\hat{O}, l}\}$ 对应的是独立同分布（independent and identically distributed，i.i.d.）。 sample mean estimator 的期望值（expectation value）为
$$ \begin{align} E[\bar{X}_{\hat{O}}] = \frac{1}{N_{\mathrm{shots}}}\sum_{l=1}^{N_{\mathrm{shots}}} E[X_{\hat{O}, l}] = \langle \hat{O}\rangle, \end{align} $$方差为
$$ \begin{align} \mathrm{var}\left[ \bar{X}_{\hat{O}} \right] =& \frac{1}{N_{\mathrm{shots}}^2}\sum_{l=1}^{N_{\mathrm{shots}}} \mathrm{var} [ X_{\hat{O}, l} ] = \frac{1}{N_{\mathrm{shots}}^2} N_{\mathrm{shots}} \mathrm{var} [ X_{\hat{O}} ]\\ =& \frac{1}{N_{\mathrm{shots}}}\mathrm{var} [ X_{\hat{O}} ]. \end{align} $$因此，在实验次数 $N_{\mathrm{shots}}\to \infty$ 的极限下，方差 $\mathrm{var}\left[ \bar{X}_{\hat{O}} \right] \to 0$ 。 也就是说，只要我们运行的次数足够多，就可以得到精确的结果。
Bias
量子计算机上有噪声。
我们测量有噪声的 $\rho$ 与测量理想无噪声的 $\rho_{\mathrm{ideal}}$ ，结果会有所不同。
无噪声的 $\rho_{\mathrm{ideal}}$ 的期望是
$$ \begin{align} \langle \bar{X}_{\hat{O}} \rangle_{\mathrm{ideal}} = \mathrm{Tr}[\hat{O}\rho_{\mathrm{ideal}}] \end{align} $$我们的 estimator 给出的估计，会与理想值，或真实值，存在 bias
$$ \begin{align} \mathrm{bias}[\bar{X}_{\hat{O}}] = E[\bar{X}_{\hat{O}}] - \langle \hat{O} \rangle_{\mathrm{ideal}}. \end{align} $$Estimator 的 mean square error 为
$$ \begin{align} \mathrm{MSE}[\bar{X}_{\hat{O}}] =& E[(\bar{X}_{\hat{O}} - \langle \hat{O} \rangle_{\mathrm{ideal}})^2] \\ =& \mathrm{bias} [\bar{X}_{\hat{O}}]^2 + \mathrm{var}[\bar{X}_{\hat{O}}]. \end{align} $$我们可以用 error mitigated estimator 来减少 bias 。
例子
我们测量 $\hat{\sigma}^z = |1\rangle\langle 1| - |0\rangle\langle 0|$, 时，它有两个本征值 $-1, 1$, 本征态 $|0\rangle, |1\rangle$ 。
我们在 computational basis $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ 下进行测量。 对应的 quantum operations $M_m$ for this measurement 是
$$ \begin{align} M_{|0\rangle\langle 0|} = |0\rangle\langle 0 |, M_{|1\rangle\langle 1|} = |1\rangle\langle 1 |. \end{align} $$我们将这个可观测量 $\hat{\sigma}^z$ 的随机变量记为 $X_{\hat{\sigma}^z}$ 。 它是一个函数，从 measurement outcomes $\{|0\rangle\langle 0|, |1\rangle\langle 1|\}$ 到本征值的集合构成的可测空间 $\hat{\sigma}^z$ $\{-1, 1\}$ 的函数。 即
$$ \begin{align} X_{\hat{\sigma}^z} (|0\rangle\langle 0|) =& -1, \\ X_{\hat{\sigma}^z} (|1\rangle\langle 1|) =& 1. \end{align} $$对应的概率为
$$ \begin{align} P(X_{\hat{\sigma}^z} = -1) =& \mathrm{Tr}\left[ M_{|0\rangle\langle 0|} \rho M^{\dagger}_{|0\rangle\langle 0|} \right], \\ P(X_{\hat{\sigma}^z} = 1) =& \mathrm{Tr}\left[ M_{|1\rangle\langle 1|} \rho M^{\dagger}_{|1\rangle\langle 1|} \right] \end{align} $$可观测量的期望为
$$ \begin{align} E[X_{\hat{\sigma}^z}] =& P(X_{\hat{\sigma}^z} = 1) - P(X_{\hat{\sigma}^z} = -1) \\ =& \mathrm{Tr}\left[ \hat{\sigma}^z \rho \right] = \langle \hat{\sigma}^z \rangle . \end{align} $$由
$$ \begin{align} E[X^2_{\hat{\sigma}^z}] =& P(X_{\hat{\sigma}^z} = 1) +(-1)^2 P(X_{\hat{\sigma}^z} = -1) \\ =& \mathrm{Tr}\left[ \left( \hat{\sigma}^z \right)^2\rho \right] = \langle \left( \hat{\sigma}^z \right)^2 \rangle =1 . \end{align} $$可以得到这个可观测量的方差 ，
$$ \begin{align} \mathrm{var}[X_{\hat{\sigma}^z}] = E[X^2_{\hat{\sigma}^z}] - E[X_{\hat{\sigma}^z}]^2 = 1 - \langle \hat{\sigma}^z \rangle ^2. \end{align} $$定义 sample mean estimator ，
$$ \begin{align} \bar{X}_{\hat{\sigma}^z} = \frac{1}{N_{\mathrm{shots}}} \sum_{l=1}^{N_{\mathrm{shots}}} X_{l, \hat{\sigma}^z}. \end{align} $$其中 $X_{l, \hat{\sigma}^z}$ 是第
这个 estimator 的标准差（standard errors） $\sqrt{\mathrm{var}[\bar{X}_{\hat{\sigma}^z}]}$ 常被用作 error bar 。