完备非正交基底

2026-08-04

-physics

当做普通的量子力学基底来考虑

下面的内容，先忽略上标和下标的区别，统一视为下标。后面会说明它们在张量记号下的含义。

正交基底与非正交基底之间的变换关系

在一个线性空间中，有一组正交基底

$$ \begin{align} |e_n\rangle \end{align} $$

和一组非正交基底

$$ \begin{align} |e_{\mu}\rangle. \end{align} $$

它们之间的变换关系为

$$ \begin{align} |e_{\mu} \rangle = \sum_n |e_n\rangle\langle e^n| e_{\mu}\rangle = \sum_n |e_n\rangle T^n{}_{\mu}, \end{align} $$$$ \begin{align} \langle e_{\mu} | = \sum_n \langle e_{\mu}| e^n\rangle \langle e_n| = \sum_n \langle e_n | \left(T^*\right)^n{}_{\mu}. \end{align} $$

反之

$$ \begin{align} |e_n\rangle = \sum_{\mu} |e_{\mu}\rangle \left(T^{-1}\right)^{\mu}{}_n, \end{align} $$$$ \begin{align} \langle e_n | = \sum_{\mu} \left[ \left(T^{-1} \right)^* \right]^{\mu}{}_n \langle e_{\mu}|, \end{align} $$

其中

$$ T^n{}_{\mu} = \langle e^n | e_{\mu} \rangle. $$

由此可得非正交基底的完备关系

$$ \begin{align} 1 =& \sum_n | e_n \rangle \langle e^n| = \sum_n \sum_{\mu \nu} |e_{\mu}\rangle \left(T^{-1}\right)^{\mu}{}_{n} \left[ \left(T^{-1}\right)^*\right]^{\nu}{}_n \langle e_{\nu} | \\ =& \sum_{\mu \nu} | e_{\mu} \rangle S^{\mu \nu} \langle e_{\nu}|, \end{align} $$

其中

$$ \begin{align} S^{\mu \nu} = \left[\left(T^{\dagger}T\right)^{-1}\right]^{\mu \nu} , \quad \left( T^{\dagger}T\right)_{\mu \nu} = \langle e_{\mu} | e_{\nu}\rangle. \end{align} $$

矢量的分量在基底之间的变换关系

空间中的任意态 $|\psi\rangle$ 用正交基底展开，

$$ \begin{align} |\psi\rangle = \sum_n |e_n\rangle \langle e^n | \psi\rangle = \sum_n \psi^n | e_n \rangle. \end{align} $$

转换到非正交基底

$$ \begin{align} |\psi\rangle = \sum_{\mu \nu} | e_{\mu} \rangle S^{\mu \nu} \langle e_{\nu}| \psi\rangle =\sum_{\mu} \psi^{\mu} |e_{\mu} \rangle, \end{align} $$

其中

$$ \psi^{\mu} = \sum_{\nu} S^{\mu \nu} \langle e_{\nu}| \psi\rangle = \sum_n \left(T^{-1}\right)^{\mu}{}_{n} \psi^n. $$

反之

$$ \begin{align} \psi^n = \sum_{\mu} T^n{}_{\mu} \psi^{\mu}. \end{align} $$

Tensorial formalism

接下来用张量的上下标的符号来描述非正交基底。

非正交完备基矢和一些相关概念的定义

在 Hilbert space $\mathcal{H}$ 中的一组非正交（当然正交是一种特殊的情况，也满足这些定义），完备的基矢为

$$ \begin{align} | e_{\mu} \rangle \end{align} $$

在 2020 - Sakurai and Napolitano - Modern Quantum Mechanics 中的 D.C. 的意义下，它有对应的左矢

$$ \begin{align} \langle e_\mu | \end{align} $$

每一基矢都存在一个与之正交归一的矢量，它们构成另外一组基矢，用上标标记

$$ \begin{align} \langle e^{\mu} | \end{align} $$

同样的，它也有对应的右矢

$$ \begin{align} | e^{\mu} \rangle \end{align} $$

在 REF:1991 中，也把它们分为 proper 或 improper ,总结如下

$$ \begin{align} \begin{matrix} \mathrm{proper} & \mathrm{improper} \\ \hline |e_{\mu}\rangle & \langle e_{\mu} | \\ \langle e^{\mu}| & |e^{\mu}\rangle \end{matrix} \end{align} $$

它们的正交归一性可以写为

$$ \begin{align} \langle e^{\mu} | e_{\nu}\rangle =& \delta^{\mu}{}_{\nu} \\ \langle e_{\mu} | e^{\nu}\rangle =& \delta_{\mu}{}^{\nu} \end{align} $$

它们之间的度规（Metric）定义为

$$ \begin{align} S_{\mu \nu} \equiv & \langle e_{\mu} | e_{\nu} \rangle \\ S^{\mu \nu} \equiv & \langle e^{\mu} | e^{\nu} \rangle \end{align} $$

可以发现 metric S 是一个厄米矩阵。

在 Hilbert space $\mathcal{H}$ 中的任意矢量 $|\psi\rangle$ ,定义它在这组基矢上的投影，或分量为（proper 的两个）

$$ \begin{align} \psi^{\mu} \equiv& \langle e^{\mu} | \psi\rangle \\ \psi_{\mu} \equiv& \langle \psi | e_{\mu}\rangle \end{align} $$

以及 improper 的两个

$$ \begin{align} \psi^{\mu *} \equiv& \langle \psi | e^{\mu} \rangle \\ \psi_{\mu}^{*} \equiv& \langle e_{\mu} | \psi \rangle \end{align} $$

由于 $\psi^{\mu}$ 只有一个指标，没法通过是行指标还是列指标来区分往左矢还投影还是往右矢投影， 所以固定上指标是往 proper 的左矢投影。 往上指标右矢的投影就直接写成其复共轭。也有文章用一个占位符，即 $\psi^{\cdot \mu}$ 来表示 $\psi^{\mu *}$ ，这里不采用。

同理固定下指标 $\psi_{\mu}$ 是往 proper 的右矢投影。

一些有用的结论

与正交基底类似的，在非正交基底中也存在单位算符

$$ \begin{align} 1 = \sum_{\mu} | e_\mu \rangle \langle e^{\mu} | = \sum_{\mu} | e^\mu \rangle \langle e_{\mu} | \end{align} $$

证明：把它作用在任基矢上 $\sum_{\mu} | e_\mu \rangle \langle e^{\mu} | e_{\nu}\rangle = \sum_{\mu} | e_\mu \rangle \delta^{\mu}{}_{\nu} = |e_{\nu}\rangle$ ，相当于一个单位算符，易得作用在任意矢量上都相当于一个单位算符。

虽然 $S_{\mu \nu}$ 和 $S^{\mu \nu}$ 看起来像是同一个矩阵的矩阵元，但实际上它们是两个互逆的矩阵，

$$ \begin{align} \sum_{\lambda} S_{\mu \lambda} S^{\lambda \nu} =& \sum_{\lambda} \langle e_{\mu} | e_\lambda \rangle \langle e^{\lambda} | e^{\nu}\rangle = \langle e_{\mu} | e^{\nu}\rangle \\ =& \delta_{\mu}{}^{\nu} \end{align} $$

度规可以把一个指标升上去或降下来，

$$ \begin{align} \psi^{\mu} =& \langle e^{\mu} | \psi \rangle = \sum_{\nu} \langle e^{\mu} | e^{\nu}\rangle\langle e_{\nu} | \psi \rangle \\ =& \sum_{\nu} S^{\mu \nu} \psi_{\nu}^* \end{align} $$

同理

$$ \begin{align} \psi_{\mu}^* = \sum_{\nu} S_{\mu \nu} \psi^{\nu} \end{align} $$

对于任意算符也是一样，例如，

$$ \begin{align} B_{\mu \nu} =& \langle e_{\mu} | B | e_{\nu}\rangle \\ =& \sum_{\lambda} S_{\mu \lambda} B^{\lambda}{}_{\nu} \\ =& \sum_{\lambda} B_{\mu}{}^{\lambda} S_{\lambda \nu} \end{align} $$

对任意态 $|\psi\rangle$ , $\psi^{\mu}$ 和 $\psi^{\nu}$ 分别就是在两组互相对偶的非正交基底上的展开系数，

$$ \begin{align} |\psi\rangle = \sum_{\mu} | e_{\mu}\rangle \langle e^{\mu}| \psi\rangle = \sum_{\mu} \psi^{\mu} | e_{\mu} \rangle \end{align} $$$$ \begin{align} \langle \psi | = \sum_{\mu} \langle\psi | e_{\mu}\rangle \langle e^{\mu}| = \sum_{\mu} \langle e^{\mu}| \psi_{\mu} \end{align} $$

与正交基底的变换关系

正交基底的对偶基底就是它本身，即

$$ \begin{align} |e_n \rangle = |e^n\rangle \end{align} $$

度规是单位阵

$$ \begin{align} S_{mn} = \langle e_m | e_n \rangle = \delta_{mn}, \quad S^{mn} = \delta^{mn} \end{align} $$

展开系数

$$ \begin{align} \psi^n = \langle e^n | \psi \rangle = \langle e_n | \psi\rangle = \psi_n^* \end{align} $$

变换矩阵

$$ \begin{align} T^n{}_{\mu} = T_{n\mu} = \langle e_n|e_{\mu}\rangle = \langle e^n|e_\mu\rangle \end{align} $$$$ \begin{align} T_n{}^{\mu} = T^{n\mu} = \langle e^n|e^{\mu}\rangle = \langle e_n|e^\mu\rangle \end{align} $$$$ \begin{align} \sum_n T_{\mu n} T^{n \nu} = \sum_n \langle e_{\mu} | e_n\rangle \langle e^n|e^{\nu}\rangle = \delta_\mu{}^{\nu} \end{align} $$

注意，类似于度规，在这里 $T_{\mu n}$ 和 $T^{n \mu}$ 是两个互逆的矩阵的矩阵元。

变换关系为

$$ \begin{align} \psi^n = T^n{}_{\mu} \psi^{\mu} \end{align} $$$$ \begin{align} \psi^{\mu} = T^{\mu}{}_n \psi^{n} \end{align} $$

证明如下

$$ \begin{align} |\psi\rangle =& \sum_n |e_n\rangle\langle e^n|\psi\rangle = \sum_n \psi^n |e_n\rangle \\ =& \sum_n \sum_{\mu} |e_n \rangle \langle e^n | e_{\mu}\rangle \langle e^{\mu} | \psi\rangle = \sum_n \sum_{\mu} T^n{}_{\mu} \psi^{\mu} | e_n \rangle \end{align} $$$$ \begin{align} |\psi\rangle =& \sum_{\mu} | e_{\mu}\rangle \langle e^{\mu} | \psi\rangle = \sum_{\mu} \psi^{\mu} | e_{\mu}\rangle \\ =& \sum_{\mu}\sum_n | e_{\mu}\rangle \langle e^{\mu} |e_n\rangle\langle e^n| \psi\rangle = \sum_{\mu}\sum_n T^{\mu}{}_n \psi^n |e_\mu\rangle \end{align} $$

应用：非正交基底下的广义本征值问题

Hamiltonian $\hat{H}$ 可以生成 Hilbert space 的一个 Krylov subspace

$$ \begin{align} \mathcal{K}_n =& \mathrm{span}\{|\psi\rangle, \hat{H}|\psi\rangle, \hat{H}^2|\psi\rangle, \cdots, \hat{H}^{n - 1}|\psi\rangle \} \\ \equiv& \mathrm{span}\{|e_{\mu}\} \end{align} $$

$\hat{H}$ 的本征值问题

$$ \begin{align} \quad \hat{H} |n_{\mathrm{exact}}\rangle = E_n |n_{\mathrm{exact}}\rangle \end{align} $$

在这个子空间中，可以高效求解（见2026-07-07: Krylov 空间对角化）。 在子空间中的近似本征态 $|n\rangle \approx |n_{\mathrm{exact}}\rangle$ 满足，

$$ \begin{align} \sum_{\nu} \langle e_{\mu} |\hat{H}| e_{\nu}\rangle \langle e^{\nu}|n\rangle = \sum_{\nu} E_n \langle e_{\mu} | e_{\nu} \rangle\langle e^{\nu} | n\rangle \end{align} $$

写成矩阵形式即

$$ \begin{align} H c_n = E_n Sc_n \end{align} $$

其中 $H_{\mu \nu} = \langle e_{\mu} | \hat{H} |e_{\nu}\rangle$ , $S_{\mu \nu} = \langle e_{\mu} | e_{\nu}\rangle$ , $(c_n)^{\nu} = \langle e^{\nu}|n\rangle$ , $|n\rangle = \sum_{\nu}(c_n)^{\nu} | e_{\nu}\rangle$ 。 这是一个广义本征值问题。

Reference

#linear algebra #generalized eigenvalue problem #non-orthogonal basis #mathematics #Krylov subspace