从冰上的水 - 专业笔记

NSR 计算 s-wave BEC-BCS crossover 的临界温度

2024-11-13T00:00:00+08:00

Sokhotski-Plemelj 积分

根据 Sokhotski-Plemelj 定理有 \begin{align} \frac{1}{x + \mathrm{i}0^+} = \mathcal{P}\left(\frac{1}{x}\right) -\mathrm{i}\pi\delta(x) \end{align} 因此有 \begin{align} \mathrm{Im} \int\mathrm{d}x\cdot \frac{f(x)}{a x^2 + bx + c + \mathrm{i}0^+} = \frac{-\pi}{a|x_1-x_2|}\int \mathrm{d}x\cdot f(x)[\cdot \delta(x-x_1) + \delta(x - x_2)] \end{align} 其中 $x_1, x_2$ 是 $a x^2 + bx + c$ 的两个根。在数值计算自能虚部时，对 $q$ 的积分是形如的积分。

计算积分（源文件：nsr.py）(大概运行了37分钟)

In [2]

# Reference:
# 博士学位论文： BEC-BCS 过渡体系的热力学性质与旋量 BEC 中的非阿贝尔约瑟夫森效应的研究 齐燃
# 计算过程，全部以温度 T 做单位，进行无量纲化处理
import numpy as np
from scipy import integrate
from scipy.special import zeta
from scipy import optimize
from scipy.misc import derivative
import matplotlib.pyplot as plt
from mpmath import polylog


def bose(beta, energy):
    """ Bose 分布函数
    有些计算中, energy 也可能是负的.
    """
    x = -beta * energy
    if energy > 0:
        return np.exp(x) / (1 - np.exp(x))
    else:
        return 1 / (np.exp(-x) - 1)


def fermi(beta, energy):
    '''
    Fermi distribution function
    '''
    x = -beta * energy
    return np.exp(x) / (1 + np.exp(x))


def free_fermion_density(mu):
    """
    Integrate[q^2/\[Pi]^2 1/(E^(q^2/2-\[Mu])+1),{q, 0, \[Infinity]}]
    >>  -(PolyLog[3/2,-E^\[Mu]]/(Sqrt[2] \[Pi]^(3/2)))
    """
    return - polylog(s=3/2, z=-np.exp(mu)).real / (np.sqrt(2) * np.pi**(3/2))


class PrincipalValueInt():
    """Calculate a 2nd order Cauchy integral:
    int  dx    f(x) / (a*x^2 + b^x + i0^+)
    latex:
    \int \mathrm{d}x \frac{f(x)}{a x^2 + b x + \mathrm{i}0^+}

    Attributes
    ----------
    get_image : float
                Calculate the imaginary part of the integral.
    get_real : float
        Calculate the real part of the integral.
    """

    def __init__(self, numerator, coeff: list,
                 lower_lim, upper_lim, debug=False):
        """
        numerator: function f(x)
        coeff: [a, b, c] is the coefficients in the denominator.
        lower_lim: lower limit of the integral
        upper_lim: upper limit of the integral
        """
        self.debug = debug
        self.numerator = numerator
        if isinstance(numerator, (int, float)):
            self.numerator = lambda x: numerator
        else:
            self.numerator = numerator
        self.lower_lim = lower_lim
        self.upper_lim = upper_lim
        self.a = coeff[0]
        if self.a == 0:
            raise ValueError("a should not be 0!")  # TODO: deal the a=0 case.
        self.b = coeff[1]
        self.c = coeff[2]
        self.delta = self.b**2 - 4*self.a*self.c
        self.root_exist = (self.delta > 0) and (self.a != 0)

        if self.root_exist:
            if self.a > 0:
                self.root1 = (-self.b - np.sqrt(self.delta)) / (2*self.a)
                self.root2 = (-self.b + np.sqrt(self.delta)) / (2*self.a)
            else:
                self.root1 = (-self.b + np.sqrt(self.delta)) / (2*self.a)
                self.root2 = (-self.b - np.sqrt(self.delta)) / (2*self.a)
            # cherck if the roots in the integral interval
            self.root1_in = lower_lim < self.root1 and self.root1 < upper_lim
            self.root2_in = lower_lim < self.root2 and self.root2 < upper_lim

    def get_imag(self):
        """Imaginary part of the integral."""
        if self.root_exist:
            imag = (self.root1_in) * self.numerator(self.root1)
            imag += (self.root2_in) * self.numerator(self.root2)
            imag *= -np.pi / np.abs(self.root2 - self.root1)
        else:
            imag = 0
        imag *= 1/self.a
        return imag

    def get_real(self):
        """
        Real part of the integral.

        Note(TODO):
        When upper_lim is very larg, e.g. self.upper_lim > 1e4,
        if the function do not decay to 0, the result is wrong.
        The same warning in Mathematica:
        NIntegrate[1/(x-10^8)^2, {x, 1, 10^8+1}]
        """
        if self.root_exist:
            if (not self.root1_in) and (not self.root2_in):
                if self.debug:
                    print('No root in!!!!!!!!!')
                res = integrate.quad((lambda x: self.numerator(x)
                                      / (self.a*x**2 + self.b*x + self.c)),
                                     self.lower_lim, self.upper_lim)[0]
                inte_metheod = 'no_root_in'
            elif self.root1_in and self.root2_in:
                if self.debug:
                    print('All root in~~~~~~~~~')
                mid = (self.root2 + self.root1)/2

                real1 = integrate.quad((lambda x: self.numerator(x)
                                        / (self.a * (x - self.root2))),
                                       self.lower_lim, mid,
                                       weight='cauchy', wvar=self.root1)[0]

                right_range = 2*self.root2 - self.root1
                if self.upper_lim > right_range:
                    # 如果积分上限特别大, 就分段积, 要不然算法找不到 pole 的贡献.
                    if self.debug:
                        print('Big upbound, range has been split!')
                    real2 = integrate.quad((lambda x: self.numerator(x)
                                            / (self.a * (x - self.root1))),
                                           mid, right_range,
                                           weight='cauchy', wvar=self.root2)[0]
                    real2 += integrate.quad((lambda x: self.numerator(x)
                                             / (self.a*x**2 + self.b*x +
                                                self.c)),
                                            right_range, self.upper_lim)[0]

                else:
                    real2 = integrate.quad((lambda x: self.numerator(x)
                                            / (self.a * (x - self.root1))),
                                           mid, self.upper_lim,
                                           weight='cauchy', wvar=self.root2)[0]
                res = real1 + real2
                inte_metheod = 'all_root_in'
            elif self.root1_in:
                if self.debug:
                    print('root1 in 111111111111111111111')
                res = integrate.quad((lambda x: self.numerator(x)
                                      / (self.a * (x - self.root2))),
                                     self.lower_lim, self.upper_lim,
                                     weight='cauchy', wvar=self.root1)[0]
                inte_metheod = 'root1_in'
            else:
                if self.debug:
                    print('root2 in 2222222222222222')

                right_range = 2*self.root2 - self.root1
                if self.upper_lim > right_range:
                    # 如果积分上限特别大, 就分段积, 要不然算法找不到 pole 的贡献.
                    if self.debug:
                        print('Big upbound, range has been split!')
                    res = integrate.quad((lambda x: self.numerator(x)
                                          / (self.a * (x - self.root1))),
                                         self.lower_lim, right_range,
                                         weight='cauchy', wvar=self.root2)[0]
                    res += integrate.quad((lambda x: self.numerator(x)
                                           / (self.a*x**2 + self.b*x +
                                              self.c)),
                                          right_range, self.upper_lim)[0]
                else:
                    res = integrate.quad((lambda x: self.numerator(x)
                                          / (self.a * (x - self.root1))),
                                         self.lower_lim, self.upper_lim,
                                         weight='cauchy', wvar=self.root2)[0]
                inte_metheod = 'root2_in'
        else:
            if self.a == 0:
                if self.debug:
                    print('a = 0 ! 000000000000')
                res = integrate.quad(lambda x: self.numerator(x)/self.b,
                                     self.lower_lim, self.upper_lim,
                                     weight='cauchy', wvar=-self.c/self.b)[0]
                inte_metheod = 'trivial'
            else:
                if self.debug:
                    print('Root Not Exist!...................')
                res = integrate.quad((lambda x: self.numerator(x)
                                      / (self.a*x**2 + self.b*x + self.c)),
                                     self.lower_lim, self.upper_lim)[0]
                inte_metheod = 'root_not_exist'
        return res, inte_metheod


def _g(x, y, muT, debug=False):
    """Qi PhD Eq.(3.48)

    Parameters
    ----------
    x : float
        x
    y : float
        y
    muT : float
          μ / T
    debug : bool
            debug
    Returns
    -------
    res : float
          g
    """
    a = x**2/2 + y**2/8 - muT
    b = x*y / 2
    if debug:
        print(f'a = {a:.2f}, b = {b:.2f}')
    if b == 0:
        # g = 4/(1 + np.exp(a))
        g = 4*np.exp(-a) / (np.exp(-a) + 1)
    else:
        g = np.exp(-b) + np.exp(-a)
        denominator = np.exp(-b) + np.exp(-a - 2*b)
        if denominator == 0:
            g = np.inf
        else:
            g /= denominator
        g = np.log(g)
        g *= 2/b
    return g


def _g_diff_a(x, y, muT):
    """d g / d a"""
    a = x**2/2 + y**2/8 - muT
    b = x*y / 2
    if b == 0:
        dg = np.exp(-a)
        dg /= (np.exp(-a) + 1)**2
    else:
        dg = 1 - np.exp(-2*b)
        dg /= 1 + np.exp(-2*b) + np.exp(-a-b) + np.exp(a-b)
        dg *= -2 / b
    return dg


def Gamma_0_re(q, omega, mu, a):
    """ 以 T 作单位制下的 particle-partilce propagator
    Eq.(3.47)
    Real part of inverse BCS pair propagator.

    a: a_s, s-wave scattering length, in unit of temperature
    q: q / sqrt(T)
    omega: omega / T
    mu : mu / T
    """

    Omega = omega + 2*mu - q**2/4

    re = -1 / (4*np.pi*a)
    pv = PrincipalValueInt(numerator=lambda x: x**2 * _g(x, q, muT=mu),
                           coeff=[1, 0, -Omega],
                           lower_lim=0, upper_lim=10).get_real()[0]
    re += pv / (4*np.pi**2)
    if Omega < 0:
        re += np.sqrt(-Omega) / (4*np.pi)
    return re


def Gamma_0_im(q, omega, mu):
    """ 以 T 作单位制下的 particle-partilce propagator
    (3.47)
    Imaginary part of inverse BCS pair propagator.
    虚部与散射长度无关!!!!!

    a: a_s, s-wave scattering length, in unit of temperature
    q: q / sqrt(T)
    omega: omega / T
    mu : mu / T
    """

    Omega = omega + 2*mu - q**2/4

    if Omega > 0:
        im = np.sqrt(Omega) / (8*np.pi)
        im *= _g(np.sqrt(Omega), q, muT=mu) - 2
    else:
        im = 0
    return im


def find_muT_at_Tc(a):
    """Find Tc

    use Re(0, 0, muT, aT) = 0, given a aT, return muT

    Parameters
    ----------
    a : scattering length (a_s * sqrt(T))
    Returns
    -------
    muT : float
          μ / T
    """
    res = optimize.root(lambda muT: Gamma_0_re(q=0, omega=0, mu=muT, a=a), -1)
    if not res.success:
        print('IMPORTANT ERROR !!!!!!!!!! ROOT NOT FIND!!!!!!find muT!')
    muT = res.x[0]
    return muT


def find_omegaT(qT, muT, a, debug=False):
    """Given aT, aT, find the dispersion curve ω_q
    a: s-wave scattering length in unit of temperature
    """
    def re_qT_omegaT(omegaT, qT=qT):
        return Gamma_0_re(q=qT, omega=omegaT, mu=muT, a=a)

    if qT > 1e-4:
        res = optimize.root(re_qT_omegaT, 0, options={'xtol': 1e-9})
        # 如果比较低的精度就能满足要求, 可以用比较低的精度, 来避免返回 res.success=False.
        if debug and (not res.success):
            print('Error infind omegaT, error message is:')
            print(res.message)
            print('error parameters is')
            print(f'qT={qT:.15f}, muT={muT:.15f}')
            print(f'res para={1/a:.15f}, root={res.x[0]}')
        omegaT = res.x[0]
    else:                       # 线性近似
        # TODO: 为了避免在 qT 很小时会剧烈抖动而找不到根, 采用了线性近似. 这个还是要改
        # 的. 现在去除了乘了两次 fluc 的 bug 后应该就没有这个问题了.
        omegaT = qT / (1e-4) * optimize.root((lambda omegaT:
                                                re_qT_omegaT(omegaT,
                                                            qT=1e-4)),
                                                0, options={'xtol':
                                                            1e-13}).x[0]
    return omegaT


class Density():
    """Density, in unit of Temperature
    """
    def __init__(self, mu, a, debug=True):
        """
        mu : chemical potential in unit of temperature, μ / T
        a: s-wave scattering length in unit of temperature,
        """
        self.mu = mu
        self.a = a
        self.debug = debug

    def _im_diff_mu_s(self, qT: float, omegaT: float):
        """d im / d μ, (delta part has no contribution)
           验证过, 没有问题! s-wave
        """
        OT = omegaT + 2*self.mu - qT**2/4
        if OT > 0:
            dim = (_g(np.sqrt(OT), qT, muT=self.mu) - 2) / np.sqrt(OT)
            dim += np.sqrt(OT) * _g_diff_a(np.sqrt(OT), qT, muT=self.mu)
            dim /= 8*np.pi
            dim += - np.sqrt(OT) / (8*np.pi) * _g_diff_a(np.sqrt(OT), qT,
                                                         muT=self.mu)
        else:
            dim = 0
        return dim

    def _fluc1_dense(self, qT, omegaT):
        """Eq. (3.49) and Eq. (3.49)"""
        real = Gamma_0_re(q=qT, omega=omegaT, mu=self.mu,
                          a=self.a)
        imag = Gamma_0_im(q=qT, omega=omegaT, mu=self.mu)

        volume_elem = (1 / np.pi) * (1 / (2*np.pi**2))

        diff_re = derivative((lambda mu: Gamma_0_re(q=qT, omega=omegaT, mu=mu,
                                                    a=self.a)),
                             self.mu, dx=.1)
        diff_im = self._im_diff_mu_s(qT, omegaT)
        fluctdens = qT**2 * bose(1, omegaT)
        fluctdens *= (imag*diff_re - real*diff_im) / (imag**2+real**2)
        res = fluctdens * volume_elem
        return res

    def _fluc1_s(self, qT, BCS):
        """ 计算 pair 涨落在连续激发区的贡献 """
        # 实部为 0 时对应的准粒子激发
        omega_p = find_omegaT(qT=qT, muT=self.mu,
                              a=self.a)
        # print('omega p is', omega_p)

        if BCS:
            "如果在 BCS 极限下的的话, 连续激发边界的边界有比较重要的贡献"
            boundary = qT**2/4 - 2*self.mu  # 连续激发的边界
            # 从连续激发边界, 到准粒子激发处的贡献
            int1 = integrate.quad((lambda omega:
                                   self._fluc1_dense(qT=qT, omegaT=omega)),
                                  boundary, -2*omega_p, epsrel=1e-3, limit=40)
        else:
            int1 = [0]

        # 准粒子激发的贡献
        int3 = integrate.quad(lambda omega: self._fluc1_dense(qT=qT,
                                                              omegaT=omega),
                              -10*omega_p, 11*omega_p, epsrel=1e-3, limit=40)
        res = int1[0] + int3[0]
        return res

    def _fluc2_s(self, qT):
        """ use Qi PhD Eq.(3.52) at Tc
            pair 涨落的 single pole 部分.
        """
        volume_elem = qT**2 / (2*np.pi**2)

        def omega_q(muT):
            return find_omegaT(qT=qT, muT=muT, a=self.a)

        diff = derivative(omega_q, self.mu, dx=.1)
        energy = omega_q(self.mu)  # qT**2/4  # - 2*muT - aT**2
        if energy < qT**2/4 - 2*self.mu:
            fluc = bose(1, energy)
            fluc *= - diff
            fluc *= volume_elem
        else:
            fluc = 0
        return fluc

    def s_wave_density(self, para, debug=True):
        """ n / (T)^(3/2)
        Calculate the density.

        According the interaction strength, we use three different method to
        calculate the density.

        Parameters
        ----------
        muT : float
              μ / T
        aT : folat
             1 / (as * sqrt(T))
        Returns
        -------
        n : float
            density
        """
        if para.method == 'SinglePole_StrongBEC':
            """
            method [1]: SinglePole_StrongBEC.
            In Strong BEC limit, the density are mainly contributed by the
            dimers formed by two Fermion.

            Mathematica code:
            Integrate[q^2/(Exp[q^2/4]-1),{q,0,Infinity}]
            >> 2 Sqrt[\[Pi]] Zeta[3/2]
            """
            n = 4*np.sqrt(np.pi)*zeta(3/2)

        elif para.method == 'SinglePole':
            """
            method [2]: SinglePole.
            准粒子激发在 q=0 时, ω(q)=0. 因此, 在 μ<0 时, 准粒子激发完
            全位于连续激发外, 是孤立的奇点. 此时, 考虑自由费米子(几乎可以忽略) 和 Single
            Pole 的 pair 涨落的贡献.
            """
            n_fluc2 = integrate.quad(self._fluc2_s, 0, para.n_fluc2_up,
                                     epsrel=para.n_fluc2_epsrel)
            # 此处也用较低的精度即可. 接近 0 时平滑地走近于一个常数. TODO: 动量积分的下限
            # 做了近似, 0 处有bug
            n_fluc = n_fluc2[0]
            n_free = free_fermion_density(self.mu)
            n = n_free + n_fluc
            # print('*************', n_fxluc, n_free)
        elif para.method == 'NSR':
            """
            method [3]: NSR.
            在 μ>0 时, 准粒子激发几乎位于连续激发内, 在低动量低频率区有尖锐的
            准粒子峰贡献.
            BEC Unitary侧, 考虑自由费米子 和 pair 涨落(连续激发)."""
            n_fluc1 = integrate.quad((lambda qT:
                                      self._fluc1_s(qT, BCS=para.fluc1_BCS)),
                                     para.n_fluc1_a, para.n_fluc1_b,
                                     epsrel=para.n_fluc1_epsrel,
                                     limit=para.n_fluc1_limit)
            n_fluc = n_fluc1[0]
            n_free = free_fermion_density(self.mu)
            n = n_free + n_fluc
        return n


def plot_Tc(aT, para, debug=False):
    """
    aT : scattering length in unit of temperature
    """
    muT = []
    density_T = []
    for aTi in aT:
        print('Calculating the results for point a_s*sqrt(T)=',
              aTi, ' START!')
        muTi = find_muT_at_Tc(a=1/aTi)
        muT.append(muTi)
        density_T.append(Density(mu=muTi, a=1/aTi).s_wave_density(para))
        print('Calculating the results for point a_s*sqrt(T)=',
              aTi, ' FINISH!')

    n_T = np.array(density_T)  # density in unit of temperature
    kF = (3*np.pi**2*n_T) ** (1/3)  # Fermi momentum in unit of temperature
    EF = kF**2 / 2  # Fermi energy in unit of temperature
    kfas = aT / kF  # 1 / (k_F * a_s)
    Tc_EF = 1 / EF
    plt.plot(kfas, Tc_EF, 'o', label="This numerical program")


def plot_paper():
    """
    The data from the published papers.
    """
    paper_data = np.array([[-1.99903, 0.016667],
                           [-1.59262, 0.034058],
                           [-1.30582, 0.052899],
                           [-0.98741, 0.084058],
                           [-0.73053, 0.119565],
                           [-0.47717, 0.16087],
                           [-0.21622, 0.2],
                           [-0.0841, 0.214493],
                           [0.0013, 0.222464],
                           [0.10593, 0.228986],
                           [0.22578, 0.231884],
                           [0.35702, 0.231159],
                           [0.4381, 0.231159],
                           [0.56522, 0.226087],
                           [0.68084, 0.222464],
                           [0.83905, 0.221014],
                           [1.02812, 0.218841],
                           [1.19024, 0.218116],
                           [1.3524, 0.218116],
                           [1.41418, 0.218116]
                           ])
    t_star = np.array([[-1.99602, 0.029288],
                       [-1.76099, 0.038028],
                       [-1.53813, 0.052065],
                       [-1.33351, 0.070343],
                       [-1.09651, 0.102372],
                       [-0.86968, 0.147815],
                       [-0.62669, 0.217954],
                       [-0.48093, 0.271542],
                       [-0.26232, 0.365333]
                       ])
    plt.plot(paper_data[:, 0], paper_data[:, 1],
             label='results from published papers')
    plt.plot(t_star[:, 0], t_star[:, 1], '--')


class Para():
    """ 指定一些数值计算中需要调的参数.
    """
    def __init__(self, method: str, n_fluc2_up,
                 n_fluc2_limit, n_fluc2_epsrel,
                 n_fluc1_a, n_fluc1_b, n_fluc1_limit, n_fluc1_epsrel,
                 fluc1_BCS):
        """
        Parameters
        method : the method to be used when calculate the density.
                 There are three method can be use:
                 'SinglePole_StrongBEC', 'SinglePole', 'NSR'
        fluc1_BCS: bool
                 如果在 BCS 极限下的的话, 连续激发边界的边界有比较重要的贡献.
        """
        self.method = method

        self.n_fluc2_up = n_fluc2_up
        self.n_fluc2_limit = n_fluc2_limit
        self.n_fluc2_epsrel = n_fluc2_epsrel

        self.n_fluc1_a = n_fluc1_a
        self.n_fluc1_b = n_fluc1_b
        self.n_fluc1_limit = n_fluc1_limit
        self.n_fluc1_epsrel = n_fluc1_epsrel

        self.fluc1_BCS = fluc1_BCS


def runscp():
    # ============ Single pole 近似下, aT 取 1.5~4 (取 10 个点)是可以的. ==========
    paraSinglePole = Para(method="SinglePole",
                              n_fluc2_limit=10,
                              n_fluc2_up=10,
                              n_fluc2_epsrel=1e-2,
                              n_fluc1_a=2e-2, n_fluc1_b=10,
                              n_fluc1_limit=5, n_fluc1_epsrel=1e-3,
                              fluc1_BCS=False)
    plot_Tc(aT=[1.5, 2, 3, 4], para=paraSinglePole, debug=True)

    paraNSR = Para(method="NSR",
                   n_fluc2_limit=10,
                   n_fluc2_up=10,
                   n_fluc2_epsrel=1e-2,
                   n_fluc1_a=2e-2, n_fluc1_b=10,
                   n_fluc1_limit=5, n_fluc1_epsrel=1e-3,
                   fluc1_BCS=False)
    # plot_Tc(aT=[.1, .3, 0.5, 0.8, 1.0], para=paraNSR, debug=True)
    plot_Tc(aT=[0.1, 0.3], para=paraNSR, debug=True)

    paraNSR_BCS = Para(method="NSR",
                       n_fluc2_limit=10,
                       n_fluc2_up=10,
                       n_fluc2_epsrel=1e-2,
                       n_fluc1_a=2e-2, n_fluc1_b=10,
                       n_fluc1_limit=10, n_fluc1_epsrel=1e-3,
                       fluc1_BCS=True)
    # plot_Tc(aT=[-5, -3, -1], para=paraNSR_BCS, debug=True)
    plot_Tc(aT=[-.5, -.1], para=paraNSR_BCS, debug=True)
    # plot_Tc(aT=[-5], para=paraNSR_BCS, debug=True)

    plot_paper()
    plt.xlabel(r'$1/(k_F a_s)$')
    plt.ylabel(r'$T_C / \epsilon_F$')
    plt.legend()
    plt.show()


runscp()

Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 1.5  START!

/var/folders/51/4rnfl9_93gv1fhpymn1lsz_r0000gn/T/ipykernel_37194/4289401143.py:419: DeprecationWarning: scipy.misc.derivative is deprecated in SciPy v1.10.0; and will be completely removed in SciPy v1.12.0. You may consider using findiff: https://github.com/maroba/findiff or numdifftools: https://github.com/pbrod/numdifftools
  diff = derivative(omega_q, self.mu, dx=.1)

Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 1.5  FINISH!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 2  START!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 2  FINISH!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 3  START!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 3  FINISH!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 4  START!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 4  FINISH!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 0.1  START!

/var/folders/51/4rnfl9_93gv1fhpymn1lsz_r0000gn/T/ipykernel_37194/4289401143.py:377: DeprecationWarning: scipy.misc.derivative is deprecated in SciPy v1.10.0; and will be completely removed in SciPy v1.12.0. You may consider using findiff: https://github.com/maroba/findiff or numdifftools: https://github.com/pbrod/numdifftools
diff_re = derivative((lambda mu: Gamma_0_re(q=qT, omega=omegaT, mu=mu,
/var/folders/51/4rnfl9_93gv1fhpymn1lsz_r0000gn/T/ipykernel_37194/4289401143.py:404: IntegrationWarning: The integral is probably divergent, or slowly convergent.
int3 = integrate.quad(lambda omega: self._fluc1_dense(qT=qT,
/var/folders/51/4rnfl9_93gv1fhpymn1lsz_r0000gn/T/ipykernel_37194/4289401143.py:404: IntegrationWarning: The maximum number of subdivisions (40) has been achieved.
If increasing the limit yields no improvement it is advised to analyze
the integrand in order to determine the difficulties. If the position of a
local difficulty can be determined (singularity, discontinuity) one will
probably gain from splitting up the interval and calling the integrator
on the subranges. Perhaps a special-purpose integrator should be used.
int3 = integrate.quad(lambda omega: self._fluc1_dense(qT=qT,
/var/folders/51/4rnfl9_93gv1fhpymn1lsz_r0000gn/T/ipykernel_37194/4289401143.py:480: IntegrationWarning: The maximum number of subdivisions (5) has been achieved.
If increasing the limit yields no improvement it is advised to analyze
the integrand in order to determine the difficulties. If the position of a
local difficulty can be determined (singularity, discontinuity) one will
probably gain from splitting up the interval and calling the integrator
on the subranges. Perhaps a special-purpose integrator should be used.
n_fluc1 = integrate.quad((lambda qT:

Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 0.1  FINISH!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 0.3  START!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= 0.3  FINISH!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= -0.5  START!

/var/folders/51/4rnfl9_93gv1fhpymn1lsz_r0000gn/T/ipykernel_37194/4289401143.py:480: IntegrationWarning: The maximum number of subdivisions (10) has been achieved.
  If increasing the limit yields no improvement it is advised to analyze 
  the integrand in order to determine the difficulties.  If the position of a 
  local difficulty can be determined (singularity, discontinuity) one will 
  probably gain from splitting up the interval and calling the integrator 
  on the subranges.  Perhaps a special-purpose integrator should be used.
  n_fluc1 = integrate.quad((lambda qT:

Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= -0.5  FINISH!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= -0.1  START!
Calculating the results for point a_s*sqrt(T)= -0.1  FINISH!

<Figure size 640x480 with 1 Axes>

Symmetry and Degeneration

2024-11-08T00:00:00+08:00

群的不可约表示，哈密顿量，态矢

系统(哈密顿量)的对称性

哈密顿量 $\hat{H}$ 的所有对称性构成群 $G$. $H$ 在 $G$ 中的任意一个群元 $g$ 的变换下保持不变. 群 $G$ 中的任意群元 $g$ 都满足 $$ g \hat{H} g^{-1} = \hat{H}, \quad\mathrm{or}\quad g \hat{H} = \hat{H} g $$ 也就是说 $g$ 和 ${H}$ 对易.

哈密顿量 $\hat{H}$ 也可以看成是一个变化操作, 它和群 $G$ 作用在相同的空间, 但它不在群 $G$ 中. 它的物理意义是系统的时间演化算符的生成元, 即薛定谔方程, $$ \mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle $$

群的表示与基底

有限群有幺正表示(finite groups have unitary representations (Zee, 2016, p. 96)). 下面考虑的都群的幺正表示.

选取 $\hat{H}$ 的本征态作为一组基底,哈密顿量在这组基底下的表示矩阵 $H$ ($H$ 是矩阵, $\hat{H}$ 是算符) 是对角的. 同时这组基底也负载了群的表示, 群元 $g$ 的表示矩阵 $D(g)$.

一维表示

一维的希尔伯特空间, 基底只有一个, 记为 $|1 \rangle$ , 这个希尔伯特空间中所有的都是这个态处在不同的相位上,标记一个态只需要用相位 $\theta$ 这一个参数 $$ |\theta\rangle = e^{\mathrm{i}\theta}|1\rangle $$ 对于一维的希尔伯特空间, 哈密顿量只能是一个常数. 此时系统具有 $U(1)$ 对称性. $U(1)$ 是一个阿贝尔的群, 只有一维表示. 基底 ${|1 \rangle}$ 负载这个以为表示, 群元 $g(\theta)$ 在这个基底下的表示为 $$ D[g(\theta)] = e^{\mathrm{i}\theta} $$ 对于给定群元 $g(\theta)$, 它是一个数.

二维表示

基底有两个, 记为 ${|\uparrow \rangle, |\downarrow\rangle}$.

Reference

Zee, A. Group Theory in a Nutshell for Physicists. (Princeton University Press, Princeton, 2016).

相干态总结

2024-11-07T00:00:00+08:00

Displacement operator

$$ D(\alpha) = e^{\alpha a^{\dagger} - \alpha^* a} $$

$$ \alpha a^{\dagger} - \alpha^* a = \mathrm{i} (\mathrm{Im}[\alpha] x - \mathrm{Re}[\alpha]p) $$

$$ e^{\mathrm{i} a p } \sim 1 - \mathrm{i} a p = 1 - a \frac{\partial}{\partial x} $$

$$ e^{\mathrm{i} a p } f(x)\sim f(x) - a \frac{\partial}{\partial x} f(x) = f(x - a) $$

Reference

非马尔可夫方程的的数值方法

2024-11-02T00:00:00+08:00

Reference

https://math.stackexchange.com/questions/4840754/how-to-numerically-solve-a-non-markovian-integral-equation

Question

In the book Breuer, Heinz-Peter, and Francesco Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems. Oxford: Clarendon Press, 2009., there is equation(10.17)

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}c_1(t) = - \int_0^t \mathrm{d}t_1 f(t-t_1) c_1(t_1) $$ where $$ f(t) = \frac{1}{2} \gamma_0\lambda e^{-\lambda |t|} $$ $\gamma_0$ and $\lambda$ are parameters, for example, we can set $\gamma_0=1, \lambda=10$. For this $f(t)$, we can solve it analytically, the solution is $$ c_1(t) = c_1(0) e^{-\lambda t/2} \left[\cosh\left(\frac{dt}{2}\right) + \frac{\lambda}{d} \sinh\left(\frac{dt}{2}\right) \right] $$ where $d = \sqrt{\lambda^2 - 2\gamma_0\lambda}$.

My question is, how to numerically solve (for example, using python function scipy.integrate.solve_ivp, which is a function solving OEDs by Runge-Kutta method or other methods) this equation?

I want to numerically solve it, because

In [1]

import numpy as np
from scipy.integrate import quad, solve_ivp
import qutip as qutip
import matplotlib.pyplot as plt

In [2]

def ft(t, g0=1, lam=10):
    """Breuer Eq.(10.44)"""
    return 1/2 * g0 * lam * np.exp(-lam*np.abs(t))


def dc_dt(t, c0=1, lam=10, g0=1):
    """Right hand side of Breuer Eq.(10.17),
    chose f(t-t1) as  Breuer Eq.(10.44)"""
    res = quad(lambda t1: ft(t-t1)*ct(t1), 0, t)[0]
    return -res


def ct(t, c0=1, lam=10, g0=1):
    """Breuer Eq.(10.45)"""
    d = np.emath.sqrt(lam**2 - 2*g0*lam)
    ct = c0 * np.exp(-lam*t/2)
    ct *= np.cosh(d*t/2) + lam/d*np.sinh(d*t/2)
    return ct


def ct0(t, c0=1, g0=1):
    """Markovian limit solution"""
    return c0*np.exp(-g0*t/2)

In [3]

t = np.linspace(0, 10, 1000)
plt.plot(t, [np.abs(ct(ti, lam=1)) for ti in t], 'y')
plt.plot(t, np.abs(ct(t, lam=2.1)), 'r')
plt.plot(t, np.abs(ct(t, lam=10)), 'g')
plt.plot(t, np.abs(ct(t, lam=100)), 'b')
plt.plot(t[::10], ct0(t)[::10], 'kx', label='Markov')
plt.xlabel(r'$t$')
plt.legend()

<Figure size 640x480 with 1 Axes>

In [4]

# check Breuer Eq.(10.45)
dt = 1e-2
t = np.arange(0, 4, dt)


def ft(t, g0=1, lam=10):
    """Breuer Eq.(10.44)"""
    return 1/2 * g0 * lam * np.exp(-lam*np.abs(t))


def dc_dt(t, c0=1, lam=10, g0=1):
    """Right hand side of Breuer Eq.(10.17),
    chose f(t-t1) as  Breuer Eq.(10.44)"""
    res = quad(lambda t1: ft(t-t1)*ct(t1), 0, t)[0]
    return -res

cts = ct(t)
plt.plot(t[1:], np.diff(cts)/dt)

plt.plot(t, np.array([dc_dt(ti) for ti in t]), 'x')

<Figure size 640x480 with 1 Axes>

In [5]

dt = 1e-2
ts = np.arange(0, 5, dt)
dcdt = [dc_dt(ti) for ti in ts]
plt.plot(ts, dcdt, 'r--')
plt.plot(ts[1:], np.diff(dcdt)/dt, 'g')
def myd(t):
    return - ft(0)*ct(t) + ft(t)*ct(0)
plt.plot(ts, myd(ts), 'k')

<Figure size 640x480 with 1 Axes>

In [2]

print('hello')

hello

利用虚时传播子求解定态散射问题

2024-04-24T00:00:00+08:00

利用虚时传播子求解定态散射问题

本文考虑一维问题

传播子(propagator)

如果 $\hat{H}$ 不含时，虚时传播子为 $$ \begin{align} K(x, \tau; x', 0) = \langle x | e^{-\hat{H}\tau} | x'\rangle = \sum_n e^{-E_n\tau}\langle x| n\rangle \langle n| x'\rangle \end{align} $$ 其中 $|n\rangle$ 是 $\hat{H}$ 的本征态 $$ \begin{align} \hat H | n\rangle = E_n | n\rangle \end{align} $$

散射问题

$$ \begin{align} (\hat{H} + \hat{V} )|\phi\rangle = E|\phi\rangle \end{align} $$

移项并投影到 $\hat{H}$ 的本征态 $|n\rangle$ 上 $$ \begin{align} \langle n|(\hat{H} - E )|\phi\rangle = -\langle n|\hat{V}|\phi\rangle \end{align} $$ $$ \begin{align} \langle n|\phi\rangle =& -\frac{1}{E_n - E }\langle n|\hat{V}|\phi\rangle \\ =& -\frac{1}{E_n - E }\langle n|\hat{V}|\phi\rangle \\ =&-\int_0^{\infty} \mathrm{d}\tau \, e^{-(E_n - E)\tau}\langle n|V|\phi\rangle \\ =&-\int_0^{\infty} \mathrm{d}\tau \, e^{E\tau}\cdot e^{-E_n \tau}\langle n|V|\phi\rangle \end{align} $$ 最后一步 Schwinger parametrization 需要散射能量 E 小于 $E_n$.

散射波函数可以写成 $$ \begin{align} \phi(x) = \langle x|\phi\rangle = \sum_n \langle x | n \rangle \langle n|\phi\rangle \end{align} $$ 代入我们之前算得的 $\langle n |\phi\rangle$ $$ \begin{align} \phi(x) =& -\int_0^{\infty} \mathrm{d}\tau \, e^{E\tau}\cdot \sum_n e^{-E_n \tau} \langle x | n \rangle \langle n|V|\phi\rangle \\ =& -\int_0^{\infty} \mathrm{d}\tau \, e^{E\tau}\cdot \int \mathrm{d} x'\, \sum_n e^{-E_n \tau} \langle x | n \rangle \langle n|x'\rangle\langle x'|V|\phi\rangle \end{align} $$ 会发现其中出现了传播子.就得到 $$ \begin{align} \phi(x) =& -\int_0^{\infty} \mathrm{d}\tau \, e^{E\tau}\cdot \sum_n e^{-E_n \tau} \langle x | n \rangle \langle n|V|\phi\rangle \\ =& -\int_0^{\infty} \mathrm{d}\tau \, e^{E\tau}\cdot \int \mathrm{d} x'\, \langle x'|V|\phi\rangle K(x, \tau; x', 0) \end{align} $$

例: 一维简谐势中接触吸引的两粒子

通过质心相对坐标分离后，相对运动部分的哈密顿量为 $$ \begin{align} \hat{H} +\hat{V} = \frac{\hat{p}^2}{2\mu} + \frac{\mu}{2}\omega^2 \hat{x}^2 + \hat{V} \end{align} $$ 其中 $\hat{V}$ 是接触相吸引互作用， $$ \begin{align} \hat{V} |x\rangle = -g\delta(x) |x\rangle \end{align} $$ 那么散射波函数为 $$ \begin{align} \phi(x) =& -\int_0^{\infty} \mathrm{d}\tau \, e^{E\tau}\cdot \int \mathrm{d} x'\, \langle x'|V|\phi\rangle K(x, \tau; x', 0) \\ =& g \phi(0)\int_0^{\infty} \mathrm{d}\tau \, e^{E\tau}\cdot K(x, \tau; x', 0) \end{align} $$ 其中的传播子即为一维谐振子的传播子: Mehler kernel。

数值验证传播子

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.integrate as integrate
from scipy.special import hermite
import math


# x = np.linspace(-3, 3)
# check hermite polynomials
# plt.plot(x, hermite(3)(x))
# plt.plot(x, 8*x**3 - 12*x, 'x')


def ho_eig(x, n, m=1, o=1):
    """harmonic oscillator eigenfunctions and eigenvalues"""
    psi = 1 / np.sqrt(2**n * math.factorial(n))
    psi *= (m*o / np.pi)**(1/4)
    psi *= np.exp(-m*o * x**2 / 2)
    psi *= hermite(n)(np.sqrt(m*o) * x)
    energy = (n + 1/2) * o
    return energy, psi


# check ho_eig
# x = np.linspace(-10, 10, 1000)
# plt.plot(x, ho_eig(x, 3)[1])
# integrate.quad(lambda x:(ho_eig(x, 3)[1])**2,-10, 10)


def Mehler_kernel(x, tau, x0=0, m=1, o=1):
    """propagator of 1D harmonic oscillator, also known as Mehler kernel"""
    K = np.sqrt(m*o/2/np.pi/np.sinh(o*tau))
    K *= np.exp(-(m*o*(x**2 + x0**2)*np.cosh(o*tau) - 2*x*x0)/2/np.sinh(o*tau))
    return K


# check Mehler_kernel
# x = np.linspace(-10, 10, 1000)
# for ti in [0.1, 1, 2]:
#     plt.plot(x, Mehler_kernel(x, tau=ti))
#     print(integrate.quad(lambda x:Mehler_kernel(x, tau=0.1), -5, 5))


def HO_propagator(x, tau, x0=0, m=1, o=1, cut=15):
    """1D harmonic oscillator propagator, by eigenfunction expansion"""
    p = 0
    for n in range(cut):
        energy, psi = ho_eig(x, n)
        _, psi0 = ho_eig(x0, n)
        p += np.exp(-energy*tau) * psi * psi0
    return p


# compare the results of 1D harmonic oscillator propagator given by two methods
x = np.linspace(-5, 5, 1000)
for ti in [0.1, 1, 3]:
    p = plt.plot(x, Mehler_kernel(x, tau=ti), lw=2,
                 label=rf'$\tau\omega={ti}$')
    plt.plot(x[::10], HO_propagator(x, tau=ti)[::10], lw=0,
             marker='o', mec=p[0].get_color(), ms=5, mfc='none')
    print(integrate.quad(lambda x:Mehler_kernel(x, tau=0.1), -5, 5))
plt.title(r'$K(x, \tau; 0, 0)$')
plt.xlabel(r'$x/\sqrt{\hbar/(m\omega)}$')
plt.legend()
plt.savefig('HO_propagator.svg', transparent=True)

Reference

原子自发辐射与主方程

2023-12-31T00:00:00+08:00

原子自发辐射与主方程
Reference

原子自发辐射与主方程

模型

$$ H = H_A + H_R + V $$

$H_A$ : 要研究的系统 A 的哈密顿量，比如原子 (Atom)。
$H_R$ : 系统所处的热库 (Reservoir) R 的哈密顿量，比如真空电磁场 (Radiation)
$V = -AR$ : 系统与热库的耦合。A 系统子空间的算符。R 热库子空间的算符。

对于二能级原子与真空电磁场的耦合： $$ \begin{align} H_A = \frac{\hbar}{2}\left(\omega_{ba}|b\rangle\langle b| - \omega_{ba}|a\rangle\langle a|\right) \end{align} $$ 真空电磁场： $$ \begin{align} H_R = \sum_i \hbar \omega_i a_i^{\dagger} a_i \end{align} $$ 偶极近似下，算符 A 是原子偶极跃迁的矩阵元，算符 R 是量子化的电场强度。具体来讲: $$ \begin{align} A =& D (|a\rangle\langle b| + |b\rangle\langle a|) \\ R =& \sum_i \epsilon_i (a_i - a_i^\dagger) \end{align} $$ 其中 $D, \epsilon_i$ 都是系数。

粗粒化的时间演化 (coarse-grained rate of variation)

有两个重要的时间尺度。第一个是热库的关联时间 $\tau_c$ 。第二个是系统 A 演化的时间尺度 $T_R$。他们应当满足 $\tau_c\ll T_R$ 主方程的时间尺度 $\Delta t$ 的量级为 $$ \begin{align} \tau_c \ll \Delta t \ll T_R \end{align} $$ 以下考虑相互作用绘景，任意算符 O 在相互作用绘景中记为 $\tilde{O}(t) = e^{-\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}Oe^{\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}$ 。系统加热库的密度矩阵记为 $\rho(t)$ 。在相互作用绘景中 $$ \begin{align} \tilde{\rho}(t) =& e^{-\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}\rho(t)e^{\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}\\ \tilde{V}(t) =& e^{-\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}Ve^{\frac{1}{i\hbar} (H_A + H_R)}\\ \tilde{A}(t) =& e^{-\frac{1}{i\hbar} H_A}Ae^{\frac{1}{i\hbar} H_A}\\ \tilde{R}(t) =& e^{-\frac{1}{i\hbar} H_R}Re^{\frac{1}{i\hbar} (H_R)} \end{align} $$ 根据密度矩阵在相互作用绘景中的演化方程 $i\hbar \dot{\tilde{\rho}(t)} = [\tilde{V(t)}, \tilde{\rho}(t)]$，可知在我们粗粒化的时间 t 到 $t + \Delta t$ 内，密度矩阵的演化为 $$ \begin{align} \tilde{\rho}(t + \Delta t) = \tilde{\rho}(t) + \frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt'\, \left[ \tilde{V}(t'), \tilde{\rho}(t') \right] \end{align} $$ 我们对上式迭代一次，并把环境求偏迹掉，得到环境密度矩阵 $\tilde{\sigma}(t) = \mathrm{Tr}_R [\tilde{\rho}(t)]$ 的演化增量 $$ \begin{align} \Delta\tilde{\sigma}(t) \equiv & \tilde{\sigma}(t + \Delta t) - \tilde{\sigma}(t) \\ =& \frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt'\, \mathrm{Tr}_R\left[ \tilde{V}(t'), \tilde{\rho}(t) \right]\\ & + \left(\frac{1}{i\hbar}\right)^2\int_t^{t+\Delta t} dt'\, \int_t^{t'} dt''\, \mathrm{Tr}_R\left[ \tilde{V}(t'), \left[\tilde{V}(t''), \tilde{\rho}(t'') \right] \right] \end{align} $$ 直到上式，都是严格精确的，没有做任何近似。

对热库的假设

热库很大，处于定态

热库，顾名思义，要比研究的系统 A 大得多。把系统 A 求偏迹掉，热库的密度矩阵记为 $\tilde{\sigma}_R(t) = \mathrm{Tr}_A [\tilde{\rho} (t)]$ 。

由于热库比系统 A 大得多，所以可以认为一直不变 $$ \begin{align} \tilde{\sigma}_R(t) \approx \tilde{\sigma}_R(t) = \sigma_R \end{align} $$ 其次，假设热库一直处在一个定态上，也就是说 $$ \begin{align} [\sigma_R, H_R] = 0 \end{align} $$ 记热库的能量本征态为 $$ \begin{align} H_R |\mu \rangle = E_{\mu} |\mu \rangle \end{align} $$ 那么定态 $\sigma_R$ 可以展开为 $$ \begin{align} \sigma_R = \sum_{\mu} p_{\mu} | \mu \rangle \langle \mu | \end{align} $$ 假设 R 在 $\sigma_R$ 上的均值为 0 $$ \begin{align} \mathrm{Tr}[\sigma_R R] = \mathrm{Tr}[\sigma_R \tilde{R}(t)] \end{align} $$ 因此就有 $$ \begin{align} \mathrm{Tr}_R[\tilde{V}(t')\sigma_R] = 0 \end{align} $$

热库关联时间很短

定义热库中的算符 R 的双时平均 $$ \begin{align} g(\tau) \equiv g(t' - t'') \equiv \mathrm{Tr}\left[\sigma_R \tilde{R}(t') \tilde{R}(t'')\right] = \mathrm{Tr}\left[\sigma_R \tilde{R}(\tau) \tilde{R}(0)\right] \end{align} $$ 我们假设 $g(\tau)$ 只集中在 $\tau<\tau_c$ 的范围内，在 $\tau > \tau_c$ 迅速衰减。这在热库很大是，是自然的。热库很大，能谱倾向于连续，求和在 $\tau$ 很大时，就会干涉相消。

真空电磁场作为热库

真空电磁场的密度矩阵为 $$ \begin{align} \sigma_R = |0\rangle \langle 0| \end{align} $$ 是一个温度为零的玻色场，每一个模式都处于基态，没有任何光子激发。它显然满足 $$ \begin{align} \mathrm{Tr}_R[\tilde{V}(t')\sigma_R] = -\tilde{A}(t') \langle 0 |\tilde{R}(t') | 0\rangle = -\tilde{A}(t') \sum_i \epsilon_i \langle 0 | (a_i - a_i^\dagger) | 0\rangle = 0 \end{align} $$ 真空电磁场的 $g(\tau)$ 为 $$ \begin{align} g(\tau) = \sum_{i} |\epsilon_i|^2 \langle 0 | a_i e^{i \omega_i\tau} a_i^{\dagger} |0\rangle = \sum_i |\epsilon_i|^2 e^{-i\omega_i \tau} \end{align} $$ 这个是可以具体算出的，但是可以看出，当 $\omega_i$ 非常密时，当 $\tau$ 大于某个值时，会由于干涉相消变成 0 。一个用于理解的情况是，$\epsilon_i$ 是一个常数，$\omega_i$ 太密，以至于连续，求和化积分，结果就变成一个 $\delta$ 函数，只在 $\tau=0$ 时非零。

对相互作用的假设

当然是弱耦合。

其次，因为是弱耦合，这也会导致系统 A 和热库的关联 $$ \begin{align} \tilde{\rho}_{\mathrm{correl}}(t) \equiv \tilde{\rho}(t)

\mathrm{Tr}_R [\tilde{\rho}(t)]\otimes \mathrm{Tr}_A [\tilde{\rho}(t)] \end{align} $$ 在粗粒化的时间尺度下($\tau_c \ll \Delta t$)只作为高阶项贡献（详见书），因此可以将总的密度矩阵近似为直积 $$ \begin{align} \tilde{\rho}(t) \approx \mathrm{Tr}_R [\tilde{\rho}(t)]\otimes \mathrm{Tr}_A [\tilde{\rho}(t)] \end{align} $$

近似之后的结果

现在，我们结合对大环境小系统，弱耦合的假设，对之前的严格结果 $$ \begin{align} \Delta\tilde{\sigma}(t) \equiv & \tilde{\sigma}(t + \Delta t) - \tilde{\sigma}(t) \\ =& \frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt'\, \mathrm{Tr}_R\left[ \tilde{V}(t'), \tilde{\rho}(t) \right]\\ & + \left(\frac{1}{i\hbar}\right)^2\int_t^{t+\Delta t} dt'\, \int_t^{t'} dt''\, \mathrm{Tr}_R\left[ \tilde{V}(t'), \left[\tilde{V}(t''), \tilde{\rho}(t'') \right] \right] \end{align} $$ 进行化简。

V 的一阶项为零

$$ \begin{align} \mathrm{Tr}_R\left[ \tilde{V}(t'), \tilde{\rho}(t) \right] = \tilde{A}(t') \tilde{\sigma}(t) \, \mathrm{Tr}\left[ \tilde{R}(t'), \sigma_R \right] = 0 \end{align} $$

因此一阶项消失。

截断 V 的二阶项

也就是把 V 的二阶项中的 $\tilde{\rho}(t'')$ 换成 $\tilde{\rho}(t)$

利用 $\tau >\tau_c$ 时 $g(\tau) \to 0$，把对 $t'$ 和 $t''$ 的积分解耦

$$ \begin{align} \int_t^{t+\Delta t} dt'\, \int_t^{t'} dt''\ = \int_0^{\Delta t} d\tau \, \int_{t+\tau}^{t+\Delta t} dt'\ \approx \int_0^{\infty} d\tau \, \int_{t}^{t+\Delta t} dt'\ \end{align} $$

此时，严格的结果现在变成了 $$ \begin{align} \frac{\Delta \tilde{\sigma}(t)}{\Delta t} =& - \frac{1}{\hbar^2}\int_0^\infty d\tau , \frac{1}{\Delta{t}}\int_t^{t+\Delta t} d t' \ &\left{ g(\tau) \left[\tilde{A}(t')\tilde{A}(t'-\tau) \tilde{\sigma}(t) - \tilde{A}(t'-\tau) \tilde{\sigma} (t) \tilde{A}(t')\right] \right. \ &\left.

g(-\tau)\left[ \tilde{\sigma} (t)\tilde{A}(t'-\tau) \tilde{A}(t')
- \tilde{A}(t') \tilde{\sigma} (t)\tilde{A}(t'-\tau) \right] \right} \end{align} $$

在能量本征态下写出，积掉 $t'$，做久期近似

在能量本征表象下，花括号中的四项中关于 $t'$ 的部分是相同的，因此可以拿出来积掉

$$ \begin{align} \frac{1}{\Delta t} \int_t^{t+\Delta t} dt'\, e^{-i (\omega_{ba} - \omega_{dc})} \end{align} $$

在 $|\omega_{ba} - \omega_{dc}|\Delta t \ll 1$ 时，结果为 1 。在 $|\omega_{ba} - \omega_{dc}|\Delta t \gg 1$ 时，结果为 0 。在 $|\omega_{ba} - \omega_{dc}|\Delta t \sim 1$ 时，为弱耦合，可以忽略。

因此 $$ \begin{align} \frac{\Delta \tilde{\sigma}_{ab}(t)}{\Delta t} = \sum_{c, d}^{\mathrm{sec}} e^{-i(\omega_{ba} - \omega_dc)t} \mathcal{R}_{abcd}\tilde{\sigma}_{cd}(t) \end{align} $$ 其中 $$ \begin{align} \mathcal{R}_{abcd} =& -\frac{1}{\hbar^2} \int_0^{\infty} d\tau\, \\ =& \left\{ g(\tau)\left[ \delta_{bd} \sum_n A_{an}A_{nc} e^{i\omega_{cn}\tau} -A_{ac}A_{db}e^{i\omega_{ca}\tau} \right] \right. \\ &+\left. g(-\tau)\left[ \delta_{ac} \sum_n A_{dn}A_{nb} e^{i\omega_{nd}\tau} -A_{ac}A_{db}e^{i\omega_{bd}\tau} \right] \right\} \\ \end{align} $$

Reference

Cohen-Tannoudji, Claude, Jacques Dupont-Roc, and Gilbert Grynberg. Atom-Photon Interactions: Basic Processes and Applications. New York: Wiley, 1992. Chapter IV.

三种统计分布的相图

2023-11-03T00:00:00+08:00

Bose-Einstein distribution
Fermi-Dirac distribution
Maxwell-Boltzmann distribution
Reference

Bose-Einstein distribution

Free Boson

For free Bosons, the particle density can be written as the sum of the Bose-Einstein distribution for every energy level with momentum $\mathbf{k}$, $$ n(T, \mu) = \frac{1}{V}\sum_{\mathbf{k}} \frac{1}{e^{ \frac{1}{k_B T}\left( \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - \mu\right)} - 1} = \frac{1}{V}\sum_{\mathbf{k}} \frac{1}{z^{-1}e^{ \frac{1}{k_B T} \frac{\hbar^2 k^2}{2m}} - 1} $$ where fugacity $z = e^{\frac{\mu}{k_BT}}$. Using $$ \frac{1}{V} \sum_{\mathbf{k}}\to \frac{1}{(2\pi)^3}\int \mathrm{d}^3k $$ convert a sum over momentum states into an integral, then, $$ \begin{align} n(T, \mu) =& \frac{4\pi}{(2\pi)^3}\int_0^{\infty} \mathrm{d}k \frac{k^2}{z^{-1}e^{ \frac{1}{k_B T} \frac{\hbar^2 k^2}{2m} } - 1}\\ =& \frac{1}{\lambda_{\mathrm{d.B.}}^3} \frac{4}{\sqrt{\pi}} \int_0^{\infty}\mathrm{d}x \frac{x^2}{z^{-1}e^{x^2} - 1}\\ =& \frac{1}{\lambda_{\mathrm{d.B.}}^3} \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{\infty}\mathrm{d}\varepsilon \frac{\sqrt{\varepsilon}}{z^{-1}e^{\varepsilon} - 1} \\ =& \frac{1}{\lambda_{\mathrm{d.B.}}^3} \mathrm{Li}_{3/2}(z) \\ =& \left(\frac{m k_B T}{2 \pi \hbar^2} \right)^{3/2}\mathrm{Li}_{3/2}(z) \end{align} $$ where we have defined the thermal de Broglie wavelength $\lambda_{\mathrm{d.B.}} = \sqrt{\frac{2\pi \hbar^2}{m k_B T}}$ by setting

$$ \frac{\hbar^2}{m}\frac{1}{\lambda_{\mathrm{d.B.}}^2} = \frac{k_B T}{2\pi}. $$

The Polylogarithm is defined as

$$ \begin{align} \mathrm{Li}_s(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{z^k}{k^s} \end{align} $$

free-bose.py

Condensation of free Boson

For free Bosons, when the density fixed, lower the temperature, the chemical potential will approach 0. Therefore the Bosons will condense to the zero momentum states. Therefore, we can find the condensate critical temperature $T_C$ by setting $\mu\to 0$, $$ k_B T_C = \left(\frac{n}{\mathrm{Li}_{3/2}(1)}\right)^{2/3}\frac{1}{\frac{m}{2\pi\hbar^2}} $$ where $\mathrm{Li}_{3/2}(1) = \zeta(3/2)\approx2.612$.

Condensation of Fermi pairs

The two components Fermion system on the strong BEC side, every two Fermions form a bound Boson pairs. Thus we can consider this system as a free Bosons. We label the density of pairs as n, also every component has a density n. Label the mass of a Fermion as m, so the mass of a pair is $M=2m$, and the chemical potential $2\mu$. We define the Fermi momentum as $k_F^3 = 6\pi^2 n$, and Fermi energy as $E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m}$. Then the density of pairs can be written as $$ \begin{align} n(T, 2\mu) = \left(\frac{M k_B T}{2 \pi \hbar^2} \right)^{3/2}\mathrm{Li}_{3/2}(z) \end{align} $$ where $z=e^{\frac{2\mu}{k_B T}}$. We can get the condensate critical temperature of pairs

$$ k_B T_C = \left(\frac{n}{\mathrm{Li}_{3/2}(1)}\right)^{2/3}\frac{1}{\frac{M}{2\pi\hbar^2}} = \frac{2\pi}{\left[6\pi^2\mathrm{Li}_{3/2}(1)\right]^{2/3}} E_F \approx 0.218 E_F $$

More generally dispersion cases

$$ \int_0^{\infty}\mathrm{d}\varepsilon \frac{x^{\nu}}{z^{-1} e^{\varepsilon} - 1} = \Gamma(1+\nu)\mathrm{Li}_{1+\nu}(z) $$

where $\nu = 1/2$ for the 3D free Boson. And the gamma function

$$ \Gamma(z)=\int _0^{\infty}\mathrm{d}t\cdot e^{-t} t^{z-1} $$

which $\Gamma(3/2) = \sqrt{\pi}/2$ for the 3D free Boson.

For Fermion case

$$ \int_0^{\infty}\mathrm{d}\varepsilon \frac{x^{\nu}}{z^{-1} e^{\varepsilon} + 1} = -\Gamma(1+\nu)\mathrm{Li}_{1+\nu}(-z) $$

Fermi-Dirac distribution

For free Bosons, the particle density can be written as the sum of the Bose-Einstein distribution for every energy level with momentum $\mathbf{k}$, $$ n(T, \mu) = \frac{1}{V}\sum_{\mathbf{k}}

\frac{1}{z^{-1}e^{ \frac{1}{k_B T} \frac{\hbar^2 k^2}{2m}} + 1} $$ where fugacity $z = e^{\frac{\mu}{k_BT}}$. Convert a sum over momentum states into an integral, then, $$ \begin{align} n(T, \mu) =& \frac{4\pi}{(2\pi)^3}\int_0^{\infty} \mathrm{d}k \frac{k^2}{z^{-1}e^{ \frac{1}{k_B T} \frac{\hbar^2 k^2}{2m} } + 1}\\ =& \frac{1}{\lambda_{\mathrm{d.B.}}^3} \frac{4}{\sqrt{\pi}} \int_0^{\infty}\mathrm{d}x \frac{x^2}{z^{-1}e^{x^2} + 1}\\ =& \frac{1}{\lambda_{\mathrm{d.B.}}^3} \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{\infty}\mathrm{d}\varepsilon \frac{\sqrt{\varepsilon}}{z^{-1}e^{\varepsilon} + 1} \\ =& \frac{1}{\lambda_{\mathrm{d.B.}}^3} \left[-\mathrm{Li}_{3/2}(-z)\right] \\ =& \left(\frac{m k_B T}{2 \pi \hbar^2} \right)^{3/2}\left[-\mathrm{Li}_{3/2}(-z)\right] \end{align} $$

free-fermi.py

Maxwell-Boltzmann distribution

Reference

Polylogarithm
Gamma function
Pathria, R. K., and Paul D. Beale. Statistical Mechanics. 3rd ed. Amsterdam ; Boston: Elsevier/Academic Press, 2011. Chap.7 and Appendices D, E.
Stoof, Henk T. C., Koos B. Gubbels, and Dennis B. M. Dickerscheid. Ultracold Quantum Fields. Theoretical and Mathematical Physics. Dordrecht ; New York: Springer, 2009. Chap.4.3.

一个 Hadamard finite part

2023-10-23T00:00:00+08:00

$F(\rho, z)$ 是一个光滑，并且在正负无穷快速decay到时0,的函数，比如 $F(\rho, z) = 1/(z^2 + 1)$。我们想要计算 $$ \lim_{\rho\to 0} \frac{\partial}{\partial\rho}\left[\rho \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(\rho, z)}{\rho^2 + z^2}\mathrm{d}z\right] $$

其中的积分 $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(\rho, z)}{\rho^2 + z^2}\mathrm{d}z $$ 可以在 $\rho\to 0$ 处展开 $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(\rho, z)}{\rho^2 + z^2}\mathrm{d}z = \frac{\pi}{\rho}F(0, 0) + C_0 + C_1 \rho + C_2\rho^2 + \cdots $$ 其中第一项 $$ \lim_{\rho\to 0}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(\rho, z)}{\rho^2 + z^2}\mathrm{d}z =\lim_{\rho\to 0}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(\rho, z)}{\rho}\frac{\rho}{\rho^2 + z^2}\mathrm{d}z =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(\rho, z)}{\rho}\pi\delta(z)\mathrm{d}z = \frac{\pi}{\rho}F(0, 0) $$ 代回原式后得 $$ \lim_{\rho\to 0} \frac{\partial}{\partial\rho}\left[\rho \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(\rho, z)}{\rho^2 + z^2}\mathrm{d}z\right] = C_0 $$ 也就是说，我们想要的就是 $C_0$。但这在数值上如何计算呢？我们可以把发散的部分 $$ \lim_{\rho\to 0}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(\rho, z)}{\rho^2 + z^2}\mathrm{d}z

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(0, z)}{ z^2}\mathrm{d}z = \frac{\pi}{\rho}F(0, 0) $$ 减去，就得到 $$ \lim_{\rho\to 0} \frac{\partial}{\partial\rho}\left[\rho \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(\rho, z)}{\rho^2 + z^2}\mathrm{d}z\right]

\int_{-\infty}^{\infty}\left[ \frac{F(0, z)}{z^2} - \frac{F(0, 0)}{z^2}\right]\mathrm{d}z $$ 这样我们就可以做数值计算了。

例

比如$F(\rho, z) = 1/(z^2 + 1)$时， $$ \int_{-\infty}^{\infty}\left[ \frac{1}{z^2}\frac{1}{z^2 + 1} - \frac{1}{z^2}\frac{1}{0^2 + 1}\right]\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-1}{z^2 + 1} \mathrm{d}z = -\pi $$

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.integrate import quad


def quad_recorded(func, *args, **kwargs):
    """
    use scipy.integrate.quad, but return the results with additional
    information "nc" and "vc".

    Returns:
        inte_res: the return of scipy.integrate.quad
              nc: the points calculated
              vc: the calculated functiona values
    """
    def func_recorded(x, node_container, value_container):
        res = func(x)
        node_container.append(x)
        value_container.append(res)
        return res
    nc = []
    vc = []
    inte_res = quad(lambda x: func_recorded(x, node_container=nc,
                                            value_container=vc),
                    *args, **kwargs)
    idx = np.argsort(np.array(nc))
    nc = np.array(nc)[idx].tolist()
    vc = np.array(vc)[idx].tolist()
    return inte_res, nc, vc


def f(r, z):
    return 1/(1 + z**2)

def foo(r, z):
    return f(r, z)/(r**2 + z**2)


# check the first term in expansion
r = 0.01
res, nc, vc = quad_recorded(lambda z: foo(r, z), -2, 2, points=[0])
plt.plot(nc, vc, '*')
print('numeric:', res)
print('analytic:', np.pi/r*f(0, 0))
plt.savefig('first-term.png', transparent=True)
plt.clf()


# calculate the Hadamard finite part
def fini(z):
    return f(0, z)/z**2 - f(0, 0)/z**2

res, nc, vc = quad_recorded(fini, -2000, 2000, points=[0])
plt.plot(nc, vc, '*')
# print('numeric:', res)
# print('analytic:', np.pi/r*f(0, 0))
print(res)
plt.savefig('finite-part.png', transparent=True)

numeric: (310.9760738639882, 9.137428740868536e-07)
analytic: 314.1592653589793
(-3.140592653672964, 4.381553441406457e-11)

Hadamard.py

致谢

F Yang and R Qi

Scattering Summarize

2023-09-15T00:00:00+08:00

挖个坑，之后慢慢填。

一维方势阱

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def S(E, V0, a):
    """0<E<V0
    曾谨言. 量子力学（卷1）, 2007. Eq(3.3.15)
    """
    k = np.sqrt(2*E)
    K = np.sqrt(2*(V0-E))
    S_val = -2j*k/K
    S_val /= (1 - (k/K)**2) * np.sinh(K*a) - 2j*k/K*np.cosh(K*a)
    S_val *= np.exp(-1j*k*a)
    return S_val

def R(E, V0, a):
    """0<E<V0"""
    k = np.sqrt(2*E)
    K = np.sqrt(2*(V0-E))
    R_val = S(E, V0, a) * (1+1j*k/K) * np.exp(1j*k*a - K*a)
    R_val -= 1+1j*k/K
    R_val /= 1-1j*k/K
    return R_val

def f_kk(E, V0, a):
    return (S(E, V0, a)-1)*2*np.pi/1j

def f_mkk(E, V0, a):
    return R(E, V0, a)*2*np.pi*1j

def sigma_total(E, V0, a):
    k = np.sqrt(2*E)
    return (np.abs(f_kk(E, V0, a))**2 + np.abs(f_mkk(E, V0, a))**2)/k

def sigma_total_optical_theorems(E, V0, a):
    k = np.sqrt(2*E)
    return 4*np.pi*f_kk(E, V0, a).imag/k

a = 0.2
V0 = 5
Es = np.linspace(1e-2, V0, 100, endpoint=False)
Ss = []
Rs = []
sigma_total_s = []
optical_theorem_s = []
sigma_kk_s = []
sigma_mkk_s = []
f_kk_s = []
f_mkk_s = []
for ei in Es:
    Ss.append(S(ei, V0, a))
    Rs.append(R(ei, V0, a))
    sigma_total_s.append(sigma_total(ei, V0, a))
    optical_theorem_s.append(sigma_total_optical_theorems(ei, V0, a))
    sigma_kk_s.append(np.abs(f_kk(ei, V0, a))**2/np.sqrt(2*ei))
    sigma_mkk_s.append(np.abs(f_mkk(ei, V0, a))**2/np.sqrt(2*ei))
    f_kk_s.append(f_kk(ei, V0, a))
    f_mkk_s.append(f_mkk(ei, V0, a))

plt.plot(Es, np.abs(Ss)**2, label=r'$|S|^2$')
plt.plot(Es, np.abs(Rs)**2, label=r'$|R|^2$')
plt.plot(Es, ((np.array(Rs).conjugate())*np.array(Ss) - np.array(Rs)*(np.array(Ss).conjugate())).real, 'x')
plt.xlabel('in coming energy E')
plt.legend()
plt.savefig('fig.png', transparent=True)

参考资料

曾谨言. 量子力学（卷1）, 2007.

Classical Forced Oscillator 经典受迫振动

2023-05-05T00:00:00+08:00

model

$$\begin{align} \ddot{x} = - \omega^2 x + F(t) \end{align}$$

In Landau's book, the solution(non-resoance) is

$$\begin{align} \xi(t) = e^{\mathrm{i}\omega t} \int_0^t \mathrm{d}t' \cdot F(t') e^{-\mathrm{i}\omega t'} \end{align}$$ $$\begin{align} x(t) = A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t) + \frac{\mathrm{Im}[\xi(t)]}{\omega} \end{align}$$

where

$$\begin{align} B =& x(t) \\ A =& \frac{1}{\omega} \left( \dot{x}(0) - \frac{\dot{\xi}(0)}{\omega} \right) \end{align}$$

solve by Fourier transform

For

$$\begin{align} F(t) = f_{\gamma} \cos(\gamma t) \end{align}$$

it is easy get

$$\begin{align} x_{\gamma}(t) = A \cos(\omega t + \phi) + \frac{f_{\gamma}}{\omega^2 - \gamma^2} \cos(\gamma t) \end{align}$$

Similar for

$$\begin{align} F(t) = f_{\gamma} \sin(\gamma t) \end{align}$$

For non-resonance case, it is easy get

$$\begin{align} x_{\gamma}(t) = A \cos(\omega t + \phi) + \frac{f_{\gamma}}{\omega^2 - \gamma^2} \sin(\gamma t) \end{align}$$

So, for

$$\begin{align} F(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{F}(\gamma) e^{\mathrm{i}\gamma t} \mathrm{d}\gamma \end{align}$$

where

$$\begin{align} \tilde{F}(\gamma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(t) e^{-\mathrm{i}(\gamma + \mathrm{i} 0^+) t} \mathrm{d}t \end{align}$$

(where $\mathrm{i}0^{ + }$ is for the Fourier transforms such as sine function) we have

$$\begin{align} x(t) = A \cos(\omega t + \phi) + x_1(t) \end{align}$$

where

$$\begin{align} x_1(t) = \mathcal{P}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\gamma\cdot \frac{\tilde{F}(\gamma)}{\omega^2 - \gamma} e^{ \mathrm{i}\gamma t} \end{align}$$

becasue we only consider the non-resoance case, the principal value $\mathcal{P}$ is added. We can use the identity(Sokhotski–Plemelj theorem)

$$\begin{align} \int_0^{\infty} \mathrm{d} s\cdot e^{- \mathrm{i}(\omega + \mathrm{i}0^+) s} = \frac{1}{\mathrm{i}(\omega + \mathrm{i}0^+)} = \pi\delta(\omega) - \mathrm{i}\mathcal{P} \frac{1}{\omega} \end{align}$$

get a more physical form

$$\begin{align} x_1(t) =& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\gamma\cdot \frac{1}{2\omega}\left[ \frac{1}{\omega - \gamma} + \frac{1}{\omega + \gamma} \right] \tilde{F}(\gamma) e^{ \mathrm{i}\gamma t} \\ =& \frac{1}{2\omega} (-1) \mathrm{Im} \left\{ \int_0^{\infty} \mathrm{d}s \cdot e^{- \mathrm{i}(\omega + \mathrm{i}0^+) s} \left[ F(t + s) + F(t - s) \right] \right\} \end{align}$$

We also add $\mathrm{i}0^+$ here for a possible $\lim_{t\to\infty}F(t)\neq 0$, such as $F(t) = \sin(t)$ . We can also substract a homogeous solution from it to get the solution in Landau's book

$$\begin{align} x_1(t) + \frac{1}{2\omega} \mathrm{Im} \left\{ e^{\mathrm{i}\omega t} \left[ \int_0^{\infty} e^{- \mathrm{i}(\omega + \mathrm{i} 0^+) s} F(s)\mathrm{d}s - \int_{-\infty}^0 e^{- \mathrm{i}(\omega + \mathrm{i} 0^+) s} F(s)\mathrm{d}s \right] \right\} = \frac{\mathrm{Im}[\xi(t)]}{\omega} \end{align}$$

All these are check by the following numerical code

code

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
from scipy.integrate import quad


def quad_c(func, *args, **kwargs):
    re = quad(lambda x: func(x).real, *args, **kwargs)
    im = quad(lambda x: func(x).imag, *args, **kwargs)
    return re[0]+1j*im[0], re[1]+1j*im[1]


def ftrans(func, x):
    res = quad_c(func, 0, np.inf, weight='cos', wvar=x)[0]
    res += 1j*quad(func, 0, np.inf, weight='sin', wvar=x)[0]
    res += quad(func, -np.inf, 0, weight='cos', wvar=x)[0]
    res += 1j*quad(func, -np.inf, 0, weight='sin', wvar=x)[0]
    return res/np.sqrt(2*np.pi)


class Oscillator:
    def __init__(self, w, Ft, x0, v0):
        """
        dx^2/dt^2 + w^2 = Ft
        w: oemga
        Ft: function of t
        x0: intial position
        v0: intial dx/dt, volecity
        """
        self.w = w
        self.Ft = Ft
        self.x0 = x0
        self.v0 = v0

    def dX_dt(self, X, t):
        return [X[1], -self.w**2*X[0] + self.Ft(t)]

    def xi_im_landau(self, t):
        """
        Imaginary part of Landau (22.10) with out xi_0
        """
        xil = - quad(self.Ft, 0, t,
                     weight='sin', wvar=self.w)[0] * np.cos(self.w*t)
        xil += quad(self.Ft, 0, t,
                    weight='cos', wvar=self.w)[0] * np.sin(self.w*t)
        return xil

    def X_t_ana(self, t, ts):
        xt = self.xi_im_landau(t) / self.w

        xt += np.cos(self.w*t) * self.x0

        dxi_dt0 = self.xi_im_landau(ts[1]) - self.xi_im_landau(ts[0])
        dxi_dt0 /= ts[1] - ts[0]

        xt += np.sin(self.w*t) * (self.v0 - dxi_dt0/self.w) / self.w
        return xt

    def X_t_ana_FT(self, t):
        xt = quad(lambda s: (self.Ft(t+s) + self.Ft(t-s)), 0, np.inf,
                  weight='sin', wvar=self.w)[0]
        xt /= (2*self.w)

        cor = np.sin(self.w*t) * quad(self.Ft, 0, np.inf,
                                      weight='cos', wvar=self.w)[0]
        cor -= np.cos(self.w*t) * quad(self.Ft, 0, np.inf,
                                       weight='sin', wvar=self.w)[0]
        cor -= np.sin(self.w*t) * quad(self.Ft, -np.inf, 0,
                                       weight='cos', wvar=self.w)[0]
        cor += np.cos(self.w*t) * quad(self.Ft, -np.inf, 0, weight='sin',
                                       wvar=self.w)[0]

        xt += cor/(2*self.w)
        xt += np.cos(self.w*t) * self.x0

        dxi_dt0 = self.xi_im_landau(ts[1]) - self.xi_im_landau(ts[0])
        dxi_dt0 /= ts[1] - ts[0]

        xt += np.sin(self.w*t) * (self.v0 - dxi_dt0/self.w) / self.w
        return xt

    def Xt_ode(self, ts):
        Xs = odeint(self.dX_dt, [self.x0, self.v0], ts)
        return Xs


osc = Oscillator(w=.5, Ft=lambda t: 5*np.exp(-(t-10)**2), x0=.7, v0=.5)
ts = np.linspace(0, 30, 300)
plt.plot(ts, [osc.X_t_ana_FT(ti) for ti in ts], 'ro', mfc='None', ms=10,
         label='Fourier')
plt.plot(ts, osc.Xt_ode(ts)[:, 0], 'bx', label="Numerically solve ODE")
plt.plot(ts, [osc.X_t_ana(ti, ts) for ti in ts], 'g', label='Analytic', lw=2)
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.savefig('osc.png', transparent=True)
plt.show()

osc.py

Caution

scipy.integrate.quad method gives a wrong result when use weight and infinity integral range. The following integral are not converge, but the code give a result without waring or error. Why? if I have time, ...

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad


def quad_recorded(func, *args, **kwargs):
    """
    use scipy.integrate.quad, but return the results with additional
    information "nc" and "vc"
    Returns:
        inte_res: the return of scipy.integrate.quad
              nc: the points calculated
              vc: the calculated functiona values
    """
    def func_recorded(x, node_container, value_container):
        res = func(x)
        node_container.append(x)
        value_container.append(res)
        return res
    nc = []
    vc = []
    inte_res = quad(lambda x: func_recorded(x, node_container=nc,
                                            value_container=vc),
                    *args, **kwargs)
    idx = np.argsort(np.array(nc))
    nc = np.array(nc)[idx].tolist()
    vc = np.array(vc)[idx].tolist()
    return inte_res, nc, vc


r, nc, vc = quad_recorded(np.sin, 0, np.inf, weight='sin', wvar=0.2)
plt.plot(nc, vc, '-x')
plt.savefig('caution.png', transparent=True)
print(r)

  >>> (2.4313884239290928e-14, 2.0748702051907655e-10)

caution.py

Reference

Mechanics, Third Edition: Volume 1 (Course of Theoretical Physics)
Wikipedia: Sokhotski–Plemelj theorem

开放系统读书会：非选择测量，连续测量，量子芝诺效应

2023-03-28T00:00:00+08:00

直接连续测量的量子芝诺效应（The Quantum Zeno Effect）

量子芝诺效应的名字起源于经典的芝诺悖论。芝诺悖论提出：一个飞行中的箭矢在任意一个时刻都是静止在空中的，所以它不可能处于运动状态。 (see Wikipedia: 量子芝诺效应)

考虑分立的非简并的测量

$$\begin{align} A = \sum_n a_n |\psi_n\rangle \langle \psi_n| \end{align}$$

我们每间隔时间 $\theta$ 就测一下。在两次测量之间，系统由薛定谔方程演化

$$\begin{align} \mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = H |\psi(t)\rangle \end{align}$$

在 $\theta\to 0$ 的极限下，就叫做可观测量 $A$ 的连续测量。现在假设系统的初态是 $A$ 的一个本征态

$$\begin{align} |\psi(0)\rangle = |\psi_n\rangle \end{align}$$

经过很短的时间 $\theta$ 后，测量一下

$$\begin{align} \langle\psi(\theta)|A|\psi(\theta)\rangle = \sum_m a_m |\langle\psi(\theta)|\psi_m\rangle|^2 \equiv \sum_n a_m \omega_{mn}(\theta) \end{align}$$

也就是说，测量结果是 $a_m$ 的概率为 $\omega_{mn}$ 。那么测量结果是 $a_n$ ，也就是系统仍处于与初态相同的本征态上的概率为 $\omega_{nn}$ 。系统的在很短时间内的演化可以将演化算符级数展开，只考虑前几阶

$$\begin{align} |\psi(t)\rangle = \left[ I - \mathrm{i} H t - \frac{1}{2}H^2 t^2 + \cdots \right] |\psi_n\rangle \end{align}$$

由此可以得到 $\omega_{nn}$ 短时极限下的行为

$$\begin{align} \omega_{nn} = 1 - (\Delta E)_n^2\theta^2 + \cdots \end{align}$$

$(\Delta E)_n^2$ 为能量的方差，也就是能量的不确定度

$$\begin{align} (\Delta E)_n^2 = \langle\psi_n| H^2 | \psi_n\rangle - \langle\psi_n| H | \psi_n\rangle^2 \end{align}$$

在经过一段时间 $\tau = k\theta$ 后，我们经过了 $k$ 次测量，那么，系统仍处于与初态相同的本征态上的概率为（在连续测量，即 $\theta = \tau/k \to 0$ ，的极限下）

$$\begin{align} \omega_{nn}(\tau) \approx \left[ 1 - (\Delta E)_n^2 \frac{\tau \theta}{k} \right]^k \approx e^{- (\Delta E)_n^2 \tau \theta} \to 1 \end{align}$$

也就是说，如果系统处于测量的一个本征态上，在连续测量极限下，系统会一直处在这个本征态上。此即量子芝诺效应。形式上的原因是：离开初态本征态的概率 $1-\omega_{nn}(\theta)\propto \theta^2$ ，而测量次数的增加正比与 $\theta^{-1}$ 。

间接连续测量的有效主方程

间接测量是使一个探测粒子（probe particle）与被测粒子（object）耦合，

$$\begin{align} H_I (t) = g(t) AQ \end{align}$$

$Q$ 是 probe particle 的物理量，$A$ 是我们想要测量的 object 的可观测量。我们实际测量的是 probe particle 的与 $Q$ 共轭的物理量 $P$ 。换句话将，我们通过实际测量 probe particle 的 $P$ ，来间接的测量 object 的 $A$ 。 $g(t)$ 是耦合强度。

假设我们的 probe particle 处于与 object 初态相同的态（ $t$ 时刻） $|\phi_{\theta}\rangle$ 上，即 $\rho_P(t) = |\phi_{\theta}\rangle\langle\phi_{\theta}|$ 。并且，在短时间内，probe particle 主要由 $H_I(t)$ 来演化，那么我们对 probe particle 测量 $P$

$$\begin{align} \langle p| e^{-\mathrm{i}\int \mathrm{d}t \cdot H_I(t)}|\phi_{\theta}\rangle \equiv \langle p| e^{-\mathrm{i}GAQ}|\phi_{\theta}\rangle \end{align}$$

$|p\rangle$ 是 $P$ 的本征态。还定义了演化的时常 $G=\int \mathrm{d}t g(t) = \theta$ 。 object 在 $t+\theta$ 时刻的密度矩阵为

$$\begin{align} \rho(t + \theta) =& \mathrm{Tr}_P \left[ U \cdot\rho_O(t) \otimes \rho_P(t) \cdot U^{\dagger} \right]\\ =& \mathrm{Tr}_P \left[ \int \mathrm{d}p\cdot |p\rangle\langle p| \cdot U \cdot\rho_O(t) \otimes \cdot |\phi_{\theta}\rangle\langle\phi_{\theta}| U^{\dagger} \right] \\ =&\int \mathrm{d}p\cdot \mathrm{Tr}_P \left[ |p\rangle\langle p| \cdot U \cdot\rho_O(t) \otimes \cdot |\phi_{\theta}\rangle\langle\phi_{\theta}| U^{\dagger} \right] \\ =&\int \mathrm{d}p\cdot \langle p| U |\phi_{\theta}\rangle\cdot\rho_O(t) \otimes \cdot \langle\phi_{\theta}| U^{\dagger}|p\rangle \\ =&\int \mathrm{d}p\cdot \Omega_p \rho_O(t) \otimes \Omega_p^{\dagger} \end{align}$$

其中 $\mathrm{Tr}_P$ 是对 probe particle 求偏迹，把 probe particle 求迹掉。

$$\begin{align} \Omega_p\equiv \langle p| U |\phi_{\theta}\rangle = e^{-\mathrm{i} H\theta}\langle p| e^{-\mathrm{i}AQ\theta}|\phi_{\theta}\rangle \end{align}$$

对 $\theta$ 做展开，保留到相干部分的一阶项，非相干部分的二阶项

$$\begin{align} \rho(t + \theta) = \rho(t) - \mathrm{i}[H, \rho(t)]\theta - i[A, \rho(t)]\langle Q\rangle_{\theta}\theta + \left[ A \rho(t) A - \frac{1}{2} A^2 \rho(t) - \frac{1}{2} \rho(t) A^2 \right] \langle Q^2\rangle_{\theta} \theta^2 \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \langle Q\rangle_{\theta} = \langle\phi_{\theta} | Q |\phi_{\theta}\rangle, \quad \langle Q^2\rangle_{\theta} = \langle\phi_{\theta} | Q^2 |\phi_{\theta}\rangle \end{align}$$

假设 $\langle Q\rangle_{\theta} = 0$ ，且下列极限存在

$$\begin{align} \sigma^2_Q \equiv \lim_{\theta\to 0} \theta\langle Q^2\rangle_{\theta} \end{align}$$

所以在连续测量极限下，我们得到量量间接测量对 object 的影响，object 的演化是标准主方程的形式

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\rho(t) = -\mathrm{i}[H, \rho(t)] + \sigma_Q^2 A \rho(t) A - \frac{1}{2}\sigma_Q^2\{ A^2, \rho(t) \}] \end{align}$$

间接连续测量的量子芝诺效应

如果我们定义

$$\begin{align} \sigma_A^2 = \lim_{\theta\to 0} \frac{\langle P^2\rangle_{\theta}}{\theta} \end{align}$$

那么有不确定度关系（ $P, Q$ 是共轭的量）

$$\begin{align} \sigma_A^2 \cdot \sigma_Q^2 = \langle P^2\rangle_{\theta} \langle Q^2\rangle_{\theta} \ge \frac{1}{4} \end{align}$$

$\sigma_A^2$ 可以作为测量 $A$ 的不确定度。可以发现，想要 $A$ 测得越准确，那么 $\sigma_Q^2$ 就要更大，也就是测量对 object 带来的反作用就更大。我们定义芝诺时间 $\tau_0$

$$\begin{align} \tau_0 \equiv [\sigma^2_Q]^{-1} \end{align}$$

$\tau_0$ 越小，$\sigma_A^2$ 就越小，测量就越精确，同时，测量对 object 的反作用就越大。当 $\tau\to 0$ 时，就会产生量子芝诺效应，即，object 会一直处于初态上。从主方程看， $\tau\to 0$ 时， $\sigma_Q^2$ 很大，么正演化可以忽略，而增大 $\sigma_Q^2$ 等效于把时间拉长（主方程两边同时除以 $\sigma_Q^2$ ），也就是粒子会处于初态上迟迟不肯离开。

例子演示：二能级系统

考虑二能级系统拉比振荡，测量量选为Pauli 矩阵第三个，即 $A= \sigma_{3}$ (也就是 $\sigma_z$)。那么等效的主方程为

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \rho(t) = -\mathrm{i} [-\frac{\Omega}{2}\sigma_1, \rho(t)] - \frac{1}{2\tau_0}[\sigma_3, [\sigma_3, \rho(t)]] \end{align}$$

下面给出数值解和解析解的结果（初态选为激发态）。

quantum_Zeno.py

import qutip as qtp
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def num_pe(tlist, tau, rho0=qtp.fock_dm(2, 0)):
    res = qtp.mesolve(H=-1/2*qtp.sigmax(), rho0=rho0, tlist=tlist,
                      c_ops=1/np.sqrt(tau)*qtp.sigmaz(),
                      e_ops=qtp.fock_dm(2, 0))
    return res.expect[0]


def ana_pe(t, tau):
    if tau > 1:
        nu = np.sqrt(1 - 1/tau**2)
        s3 = (np.cos(nu*t) + np.sin(nu*t)/(nu*tau)) * np.exp(-t/tau)
    else:
        mu1 = 1/tau + np.sqrt(1/tau**2 - 1)
        mu2 = 1/tau - np.sqrt(1/tau**2 - 1)
        s3 = (mu2*np.exp(-mu1*t) - mu1*np.exp(-mu2*t)) / (mu2-mu1)
    return (1+s3) / 2


tau = .1
tlist = np.linspace(0, 20, 5000)
plt.plot(tlist, ana_pe(tlist, tau=.5), label=r'Analysis: $\Omega\tau=0.5$',
         ls='-', color='red')
plt.plot(tlist, num_pe(tlist, tau=.5), label=r'Numerical: $\Omega\tau=0.5$',
         ls='-.', lw=3, color='red')
plt.plot(tlist, ana_pe(tlist, tau=10), label=r'Analysis: $\Omega\tau=10$',
         ls='-', color='green')
plt.plot(tlist, num_pe(tlist, tau=10), label=r'Numerical: $\Omega\tau=10$',
         ls='-.', lw=3, color='green')
plt.plot(tlist, ana_pe(tlist, tau=.01), label=r'Analysis: $\Omega\tau=0.01$',
         ls='-', color='blue')
plt.plot(tlist, num_pe(tlist, tau=.01), label=r'Numerical: $\Omega\tau=0.01$',
         ls='-.', lw=3, color='blue')
plt.xlabel(r'$\Omega t$')
plt.ylabel(r'$p_e$')
plt.legend()
plt.savefig('quantum_Zeno.png', transparent=True)

在 $\Omega \tau_0 > 1$ 时，是振荡衰减的。在 $\Omega \tau_0 < 1$ 时没有振荡，只有衰减。在 $\Omega \tau_0 \to 0$ 时，一直处于初态，即量子芝诺效应。

Reference

QuTiP Documents
Breuer, H.-P. & Petruccione, F. The theory of open quantum systems. (Clarendon Press, 2009). Chap 3.5
Wikipedia: 量子芝诺效应
Wikipedia: Quantum Zeno effect

开放系统读书会：Lindblad 主方程的微观推导

2023-02-27T00:00:00+08:00

Model

$$\begin{align} H = H_S + H_B + H_I \end{align}$$

von Neumann equation in the INTERACTION PICTURE

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho(t) = - \mathrm{i} [H_I(t), \rho(t)] \end{align}$$

A formal solution

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho(t) = - \mathrm{i} [H_I(t), \rho(0)] -\int_0^t \mathrm{d} s[H_I(t), [H_I(s), \rho(s)]] \end{align}$$

Four Approximation

1. Separability

At $t=0$ , there are no correlations between the system

$$\begin{align} \rho(0) \approx \rho_S(0) \otimes \rho_B(0) \end{align}$$

2. Born approximation

Large environment means:

that the state of the environment does not significantly change as a result of the interaction with the system, $\rho(t) \approx \rho_S(t) \otimes \rho_B(t)$

Weak coupling means:

the system and the environment are noncorrelated during all the time evolution, $\rho_B(t) = \rho_B(0) \equiv \rho_B$

In summary

$$\begin{align} \rho(t) \approx \rho_S(t) \otimes \rho_B \end{align}$$

3. Markov approximation

Short-memory environment

The reservior correlation functions decay faster compared to the system.

4. Secular approximation(Not necessary for all systems)

Only consider the resonance transition.

Not necessary for all master equation.

Derivations

In SCHRODINGER PICTURE

$$\begin{align} H_I^{SP} = \sum_{\alpha} A_{\alpha} \otimes B_{\alpha} = \sum_{\alpha, \omega}A_{\alpha}(\omega) \otimes B_{\alpha} \end{align}$$

where

$$\begin{align} A_{\alpha}(\omega) = \sum_{\varepsilon } |\varepsilon\rangle\langle\varepsilon| A_{\alpha} |\varepsilon + \omega \rangle\langle\varepsilon + \omega| \end{align}$$

So, in the interaction picture

$$\begin{align} H_I(t) = \sum_{\alpha,\omega} e^{- \mathrm{i}\omega t}A_{\alpha}(\omega)\otimes B_{\alpha}(t) = \sum_{\alpha,\omega} e^{ \mathrm{i}\omega t}A^{\dagger}_{\alpha}(\omega)\otimes B^{\dagger}_{\alpha}(t) \end{align}$$

use SEPARABILITY, we get

$$\begin{align} [H_I(t), \rho(0)] =& \sum_{\alpha,\omega}e^{\mathrm{i}\omega t}[A^{\dagger}_{\alpha}(\omega)\otimes B^{\dagger}_{\alpha}(t), \rho_S(0)\otimes \rho_B(0)] \\ =& \sum_{\alpha,\omega}e^{\mathrm{i}\omega t} [A^{\dagger}_{\alpha}(\omega) \rho_S(0) \otimes B^{\dagger}_{\alpha}(t) \rho_B(0) - \rho_S(0) A^{\dagger}_{\alpha}(\omega) \otimes\rho_B(0) B^{\dagger}_{\alpha}(t) ] \\ =& \sum_{\alpha,\omega}e^{\mathrm{i}\omega t} [A^{\dagger}_{\alpha}(\omega), \rho_S(0)] \langle B_\alpha(t) \rangle \\ \end{align}$$

where

$$\begin{align} \langle B_\alpha(t) \rangle \equiv \mathrm{Tr}_B[B^{\dagger}_{\alpha}(t) \rho_B] = 0 \end{align}$$

use $[H_I(t), \rho(0)] = 0$ and BORN APPROXIMATION, we get

$$\begin{align} \mathrm{Tr}_B \left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho(t) \right] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho_S(t) = -\int_0^t \mathrm{d} s \cdot \mathrm{Tr}_B[H_I(t), [H_I(s), \rho_S(s)\otimes \rho_B]] \end{align}$$

According MARKOV APPROXIMATION, we can approximate $\rho_S(s) \approx \rho_S(t)$ , and extend $t$ to $\infty$ . Substitute $s \to t - s$ ,

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho_S(t)= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho_S(t) = -\int_0^{\infty} \mathrm{d} s \cdot \mathrm{Tr}_B[H_I(t), [H_I(t - s), \rho_S(t)\otimes \rho_B]] \end{align}$$

decompose $H_{I}(t)$ , we get (convolution theorem)

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho_S(t) = \sum_{\omega, \omega'} \sum_{\alpha, \beta} e^{\mathrm{i}(\omega' - \omega)t} \Gamma_{\alpha\beta}(\omega)\left[A_{\beta}(\omega)\rho_S(t)A^{\dagger}_{\alpha}(\omega') - A_{\alpha}^{\dagger}(\omega') A_{\beta}(\omega)\rho_s(t)\right] + \mathrm{h.c.} \end{align}$$

where

$$\begin{align} \Gamma_{\alpha\beta}(\omega) = \int_0^{\infty} \mathrm{d}s\cdot e^{\mathrm{i}\omega s} \langle B_{\alpha}^{\dagger}(t) B_{\beta}(t - s)\rangle \end{align}$$

Then SECULAR APPROXIMATION, only keep the resonance term, that is $\omega' = \omega$

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho_S(t) = \sum_{\omega} \sum_{\alpha, \beta} \Gamma_{\alpha\beta}(\omega)\left[A_{\beta}(\omega)\rho_S(t)A^{\dagger}_{\alpha}(\omega) - A_{\alpha}^{\dagger}(\omega) A_{\beta}(\omega)\rho_s(t)\right] + \mathrm{h.c.} \end{align}$$

if we define

$$\begin{align} \left\{ \begin{matrix} S_{\alpha\beta}(\omega) \equiv& \frac{1}{2\mathrm{i}} \left[ \Gamma_{\alpha\beta}(\omega) - \Gamma_{\beta\alpha}^{ * }(\omega) \right]& \\ \gamma_{\alpha\beta}(\omega) \equiv& \Gamma_{\alpha\beta}(\omega) - \Gamma_{\beta\alpha}^{ * }(\omega) =& \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}s e^{\mathrm{i}\omega s} \langle B^{\dagger}_{\alpha}(s) B_{\beta}(0)\rangle\\ \Gamma_{\alpha\beta}(\omega) =& \frac{1}{2}\gamma_{\alpha\beta}(\omega) + \mathrm{i}S_{\alpha\beta}(\omega)& \end{matrix} \right. \end{align}$$

and (Lamb shift Hamiltonian. It seems like the interaction between vacuum energy fluctuations and the hydrogen electron in different orbitals, ref Atomic and Optical Physics I, 07 Atoms III: Fine Structure)

$$\begin{align} H_{LS} = \sum_{\omega} \sum_{\alpha,\beta} S_{\alpha,\beta}(\omega)A_{\alpha}^{\dagger}(\omega) A_{\beta}(\omega) \end{align}$$

then we get our master equation in the interaction picture

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho_{S}(t) = -\mathrm{i}[H_{LS}, \rho_S(t)] + \mathcal{D}[\rho_S(t)] \end{align}$$

where

$$\begin{align} D(\rho_S) = \sum_{\omega}\sum_{\alpha,\beta} \gamma_{\alpha\beta}(\omega) \left[ A_{\beta}(\omega) \rho_SA_{\alpha}^{\dagger}(\omega) - \frac{1}{2}{A^{\dagger}_{\alpha}(\omega)A_{\beta}(\omega), \rho_S} \right] \end{align}$$

For Schrodinger picture, just shift $H_{LS}\to H_{LS} + H_S$ .

Reference

QuTiP Documents
Breuer, H.-P. & Petruccione, F. The theory of open quantum systems. (Clarendon Press, 2009). Chap 3.3
AIP Advances 10, 025106 (2020) https://doi.org/10.1063/1.5115323

幂函数的割线选取 Branch cut of exponentiation

2023-01-07T00:00:00+08:00

问题

一个简单的计算

$$\begin{align} \mathrm{i}\sqrt{-1} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1 \end{align}$$

但在 Mathematica 中

In[1]:= I*Sqrt[-1]
Out[1]= -1

结果差了一个负号。

或者另一种计算方法

$$\begin{align} \mathrm{i}\sqrt{-1} = \mathrm{i}\cdot \mathrm{i} = \mathrm{i}^2 = -1 \end{align}$$

就会给出与 Mathematica 相同的结果。

原因

$$\begin{align} \sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w} \end{align}$$

并不总是成立。在我们的例子里

$$\begin{align} \sqrt{-1}\sqrt{-1}\neq \sqrt{(-1)^2} \end{align}$$

一般来讲，也是 Mathematica 的约定，将根号函数的割线取为实轴负半轴根号函数的割线取为实轴负半轴，将辐角 $\theta\in (-\pi, \pi]$ 选为第一黎曼面，也就是主值所在的黎曼面。所以平时做复数运算时要小心。

Reference

Wolfram Language and System:Mathematical Functions
Wikipedia: Square root
Wikipedia: Exponentiation Failure of power and logarithm identities 部分

Atomic and Optical Physics I, 13 Atom-light Interaction II， Wigner–Eckart theorem

2022-12-21T00:00:00+08:00

Information

Wigner–Eckart theorem

Every operator can be written as the sum of spherical tensors.

Ref Sakurai Eq.(3.11.31)

$$\begin{align} \langle n J M |T_{l, m} | n' J' M'\rangle = \frac{\langle n J || T_l || n' J'\rangle}{\sqrt{2J + 1}} \langle J' l ; M' m |J M\rangle \end{align}$$

where $T_{l, m}$ is spherical tensor of rank $l$ (transforms under rotations like the spherical harmonics $Y_{l, m}$ ). $\langle J' l ; M' m |J M\rangle$ Clebsch–Gordan coefficients . $\langle n J || T_l || n' J'\rangle$ is the reduced matrix element.

$M = M' + m$ and Triangular rule

$$\begin{align} |J' - J| \le l \le |J' + J| \end{align}$$

Example: E1, M1, $\langle a| \vec{r} | b\rangle$ , $\langle a| \vec{L} | b\rangle$ vectors is $Y_{1, m}$ . Dipole section rules \begin{align} |\Delta J| =& 0, 1 \\ \Delta m =& 0, \pm 1 \end{align}

Example: E2(quadrapole), $xz$ , $Y_{2, m}$ , selection rules for quadrapole transition \begin{align} |\Delta J| =& 0, 1, 2 \\ \Delta m =& 0, \pm 1, \pm 2 \end{align}

Example: How (E1) section rules depend on the polarization of light

$$\begin{align} \hat{\epsilon} \langle b | \vec{r} |a\rangle \end{align}$$

For example circular polarization

$$\begin{align} \hat{\epsilon} = \frac{\hat{x} \pm \mathrm{i} \hat{y}}{\sqrt{2}} \end{align}$$

and decompose $\vec{r}$ as

$$\begin{align} \vec{r} =& r \left(\sharp Y_{1, -1} + \sharp Y_{1, 1} + \sharp Y_{1, 0} \right) \\ = & r \left(\sharp \frac{\hat{x} + \mathrm{i} \hat{y}}{\sqrt{2}} + \sharp \frac{\hat{x} - \mathrm{i} \hat{y}}{\sqrt{2}} + \sharp \hat{z} \right) \end{align}$$

so, circular $\hat{\epsilon}$ will project out $T_{1, \pm 1}$ , for example,

$$\begin{align} \frac{(\hat{x} + \mathrm{i}\hat{y})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{(\hat{x} + \mathrm{i}\hat{y})}{\sqrt{2}} =& 0 \\ \frac{(\hat{x} + \mathrm{i}\hat{y})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{(\hat{x} - \mathrm{i}\hat{y})}{\sqrt{2}} =& 1 \\ \frac{(\hat{x} + \mathrm{i}\hat{y})}{\sqrt{2}} \cdot \hat{z} =& 0 , \end{align}$$

that is $\Delta m = \pm 1$ . Linear polarization can be decomposed as the linear superposition of $\sigma_+$ , $\sigma_-$ .

$\sigma$ light and $\pi$ light

Atom-light Interaction

Two important cases when an atom interacts with monochromatic wave, or when it interacts with a broad spectrum.

An atom in a low temperature ( $k_BT \ll \hbar\omega_{eg}$ , $2 \mathrm{eV}\sim 20, 000 \mathrm{K}$ , $k_B T_{\mathrm{room\, temperature}} \sim 25 \mathrm{meV}$ ) vacuum, means that the atom will irreversibly decay to the ground state with a life time $\tau$ . That means in some picture, the excited state is broadening by nature lifetime

$$\begin{align} \Gamma = \frac{1}{\tau} \end{align}$$

Now: add light with a bandwidth $\Delta \omega$

$\Delta \omega \ll \Gamma$ , narrow band excitation, $\Delta \omega \to 0$
$\Delta \omega \gg \Gamma$ , broad band radiation

Broadband

Spectral density

$$\begin{align} S(\omega) = \frac{[\mathrm{energy}]} {[\mathrm{volumn}][\mathrm{frequency}\, \mathrm{intervel}]} \end{align}$$

or intensity per unit frequency intervel

$$\begin{align} I(\omega) = \underbrace{c}_{\mathrm{speed\,of\,light}} S(\omega) = \frac{[\mathrm{energy}]}{[\mathrm{aera}][\mathrm{time}] [\mathrm{frequency}\, \mathrm{intervel}]} \end{align}$$

Monochromatic radiation

$\omega$ , $\mathcal{E}$ (electric field amplitude) or intensity $I$ .

Look at $t\ll \Gamma^{-1}$

A two level system, driven by a laser system, will behave identically to a spin driven by a magnetic field.

Strong driving field, Rabi flopping

Rabi oscillations between two electronic states covered by a laser beam.

We have only limited time window before spontaneous emission. We have to disscuss the physics in this short time window. And if we want to excite an atom and see Rabi oscillation in a short time, you better have a strong laser beam.

$|g\rangle, |e\rangle, V_{eg} e^{-\mathrm{i}\omega t}$ , perturbation:

$$\begin{align} a_e(t) =& \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \int_0^t V_{eg} e^{-\mathrm{i}(\omega - \omega_{eg})t'} \mathrm{d} t' \\ =& \frac{V_{eg}}{\hbar} \left[ \frac{e^{-\mathrm{i}(\omega - \omega_{eg})t} - 1}{\omega - \omega_{eg}}, \right] \end{align}$$ $$\begin{align} P_e = |a_e|^2 = \frac{|V_{eg}|^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2 \left( \frac{\omega - \omega_{eg}}{2}t \right)}{[(\omega - \omega_{eg})/2]^2}. \end{align}$$

For short times:

$$\begin{align} \label{eq:15} P_e = \frac{|V_{eg}|^2}{\hbar^2}t^2 \propto t^2 , \end{align}$$

the proportionality to $t^2$ means it's a fully coherent process.

For longer times:

Rabi oscillations, have deriving perturbatively (i.e. $|a_e|^2 \ll 1$ , off resoance case).

Let's do it now exactly

$$\begin{align} H_{eg} = \langle e | H | g\rangle = \underbrace{-\vec{d} \cdot \vec{E}_0}_{\hbar \omega_R} \cos(\omega t) \end{align}$$

to compare with spin 1/2, shift the ground state to $-\frac{1}{2}\hbar \omega_{eg}$

$$\begin{align} H =& \frac{1}{2}\hbar \omega_{eg} \left(\underbrace{|e\rangle\langle e| - |g\rangle\langle g|}_{\sigma_z} \right) + \hbar\omega_R \left(\underbrace{|g\rangle\langle e| + |e\rangle\langle g|}_{\sigma_x} \right)\cos (\omega t) \\ =& \frac{1}{2}\hbar \omega_{eg} \sigma_z + \hbar \omega_R \cos (\omega t) \sigma_x \end{align}$$

$H$ corresponds to spin 1/2 in a static $z$ -field and linearly polarization oscillating field along $x$ .

Rotating magnetic field

$$\begin{align} H = \frac{1}{2}\hbar\omega_{eg} \sigma_z +& \underbrace{\frac{1}{2}\hbar\omega_R [\sigma_x \cos(\omega t) + \sigma_y \sin(\omega t)]} _{\mathrm{co-rotating}} \\ +&\underbrace{\frac{1}{2}\hbar\omega_R [(\sigma_x \cos(\omega t) - \sigma_y \sin(\omega t)]} _{\mathrm{counter-rotating}} \end{align}$$

We solve the problem exactly by going into a frame which rotated at the Larmor frequency, $\omega_{eg}$ . The co-rotating term became stationary on resoance in this rotating frame, whereas the counter-rotating term rotates at a very high frequency in this frame at $\omega_{eg} + \omega$ in the Larmor frequency. So, if this frequency $|\omega - \omega_{eg}| \ll \omega_{eg}$ and $\omega_R \ll \omega_{eg}$ , we can neglect the last term, RWA.

Our results for spin 1/2, if $P_e(t = 0) = 0$ ,

$$\begin{align} P(t) = \frac{\omega_R^2}{\Omega^2} \sin^2 \left( \frac{1}{2}\Omega_{R} t \right) \end{align}$$

where generalized Rabi frequency $\Omega_R = \sqrt{\omega_R^2 + \Delta^2}$ , detuning $\Delta = \omega - \omega_{eg}$ .

Broadband excitation

Perturbative result,

$$\begin{align} |a_e(t)|^2 = \left( \frac{\omega_R}{2} \right)^2 \frac{\sin^2(\frac{\Delta}{2}t)}{(\Delta/2)^2}, \end{align}$$

and now we want to integrate over that because we have a broadband distribution of light. Energy density $W(\omega)$ ,

$$\begin{align} \frac{1}{2}\epsilon_0 E_0^2 = \int \mathrm{d}\omega \cdot W(\omega) \end{align}$$

linearly polarized light in the x direction

$$\begin{align} \omega_R^2 = \frac{1}{\hbar^2}(d_x E_0)^2 \end{align}$$ $$\begin{align} P_e(t) = \frac{d_x^2 E_0^2}{4 \hbar^2} \frac{\sin^2(\frac{\Delta}{2}t)}{(\Delta/2)^2} = \frac{d_x^2}{2\epsilon_0\hbar^2}\int \mathrm{d}\Delta \cdot W(\omega + \Delta) \frac{\sin^2(\frac{\Delta}{2}t)}{(\Delta/2)^2} \end{align}$$

Reference

Wikipedia: Wigner–Eckart theorem
Jun John Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics. (Cambridge University Press, 2017)
Wikipedia: Clebsch–Gordan coefficients
Wikipedia: Spherical harmonics
Wikipedia: Table of spherical harmonics
https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node422.html
Physics StackExchange: $\pi$ , $\sigma$ - atomic transitions with respect to the magnetic field axis
Wikipedia: Polarization (waves) (defination of $\pi$ , $\sigma$ light)

Atomic and Optical Physics I, 12 Atoms in External Filds IV and Atom-light Interaction I

2022-12-20T00:00:00+08:00

Information

Atoms light interaction outline

coupling matrix element (TODAY)
narrow band and broad band
quantized EM filed

Results of Classical EM and Lagrangian Formalism

Ref Goldstein Eq.(1.63) and Eq.(8.35).

$$\begin{align} \vec{p}_{\mathrm{canonical}} = \vec{p}_{\mathrm{kinetic}} + \frac{q}{c}\vec{A} \end{align}$$

for electron, charge $q = -e$

$$\begin{align} H = \underbrace{\frac{1}{2m} \left( \vec{p}_{\mathrm{canonical}} + \frac{e}{c}\vec{A} \right)^2}_{E_{\mathrm{kinetic}}} + V(r) \end{align}$$

where the first term is kinetic energy. Chose Coulomb gauge $\nabla\cdot \vec{A} = 0$ , so $[\vec{A}, \vec{p}] = 0$ , then

$$\begin{align} H = \underbrace{\frac{p^2}{2m} + V(r)}_{H_0} + \underbrace{\frac{e}{mc}\vec{p}\cdot \vec{A}}_{H_{\mathrm{int}}} + \underbrace{\frac{e^2}{2 mc^2}\vec{A}^2}_{H^{(2)}} \end{align}$$

Consider a plane wave

$$\begin{align} H_{\mathrm{int}} = \frac{e}{m c} \vec{p} \cdot\hat{e} A_0 e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{r} - \mathrm{i}\omega t} \end{align}$$

then matrix element

$$\begin{align} \langle b |H_{\mathrm{int}} | a\rangle = H_{ba} e^{-\mathrm{i}\omega t} \end{align}$$

where

$$\begin{align} H_{ba} = \frac{eA_0}{mc} \hat{e}\cdot \langle b | \vec{p} e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{r}} | a\rangle \end{align}$$

for long wave length approximation, $k r \ll 1$ , expand the exponential

$$\begin{align} e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{r}} = 1 + \mathrm{i} \vec{k}\cdot \vec{r} - \frac{1}{2} (\vec{k}\cdot \vec{r})^2 + \cdots \end{align}$$

Diople term

take the first term

$$\begin{align} H_{ba} = - \frac{\mathrm{i} e E_0}{m\omega} \hat{e} \langle b| \vec{p} | a\rangle \end{align}$$

where we have used (radiation field)

$$\begin{align} \vec{E} = - \frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} = \frac{\mathrm{i}\omega}{c}A_0 \hat{e} \equiv E_0 \hat{e}. \end{align}$$

Then use

$$\begin{align} \vec{p} = \frac{m}{i\hbar} [\vec{r}, H_0] \end{align}$$

we get

$$\begin{align} H_{ba} = e E_0 \hat{e} \langle b| \vec{r} | a\rangle \frac{\omega_{ba}}{\omega} = \vec{E}\cdot \langle \vec{D}\rangle \frac{\omega_{ba}}{\omega} \end{align}$$

where $D$ is the dipole operator.

Higher-order radiation processes

assume the polarization is along the $z$ direction, and propagate along $x$ direction

$$\begin{align} A(\vec{r}) = A\hat{z} e^{\mathrm{i} kx} \end{align}$$ $$\begin{align} k r = \frac{\hbar \omega}{\hbar c} a_0 = \frac{e^2}{a_0} \frac{1}{\hbar c} a_0 = \frac{e^2}{\hbar c} = \alpha. \end{align}$$

The expansion

$$\begin{align} H_b = \frac{e A}{mc}\langle b| p_z \left[ 1 + \mathrm{i} kx -\frac{1}{2}(kx)^2 \right]| a\rangle, \end{align}$$

the 2nd term

$$\begin{align} p_z x = \underbrace{\frac{1}{2}(p_z x - z p_x)}_{- \frac{1}{2}\hbar L_y} + \frac{1}{2}(p_zx + z p_x) \end{align}$$

then

$$\begin{align} \mathrm{i} k \frac{e A}{mc}\langle b| \frac{1}{2}(p_z x - zp_x)| a\rangle = \underbrace{- \mathrm{i}A k}_{B_y} \underbrace{\frac{e\hbar}{2 mc}}_{\mu_B} \langle b| L_y |a\rangle = \vec{B}\mu_B \langle b| \underbrace{\vec{L}}_{-\vec{\mu}} | a\rangle \end{align}$$

where we have used $\vec{B} = \nabla\times \vec{A} = - \mathrm{i}k A \hat{y}$ .

the other term

$$\begin{align} \frac{1}{2}(p_zx + z p_x) = \frac{m}{2\mathrm{i}\hbar} \left( [z, H_0] x + z[x, H_0] \right) = \frac{m}{2\mathrm{i}\hbar} \left( -H_0 zx + zx H_0 \right) \end{align}$$

then (use $\vec{E} = - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}, E = \mathrm{i}kA$)

$$\begin{align} \mathrm{i} k \frac{e A}{mc}\langle b| \frac{1}{2}(p_z x + zp_x)| a\rangle = -\frac{e A k}{2 c} \omega_{ba} \langle b|z x |a\rangle = \frac{\mathrm{i} e E \omega_{ba}}{2 c} \langle b|z x |a\rangle \end{align}$$

this is electric quadropole.

So,

$$\begin{align} H_{\mathrm{int}}^{(2)} = \underbrace{H_{\mathrm{int}}(M1)}_{\mathrm{real}} + \underbrace{H_{\mathrm{int}}(E2)}_{\mathrm{imaginary}} \end{align}$$

there are no interference, that is to say

$$\begin{align} |H_{\mathrm{int}}^{(2)}|^2 = |H_{\mathrm{int}}(M1)|^2 + |H_{\mathrm{int}}(E2)|^2 \end{align}$$

Summary

	Operator	Parity
Electric dipole E1	$-e\vec{r}$	-
Magnetic dipole M1	$-\mu_B (\vec{L} + g_s \vec{S})$	+
Electric dipole E2	Tensor $-e \vec{r}:\vec{r}$	+

M1, E2 are "Forbidden" transitions, $\alpha^2 \approx 5\times 10^{-5}$ weaker than an allowed E1 transition.

Reference

Goldstein, H., Poole, C. P. & Safko, J. Classical Mechanics. 665 (2011).

Atomic and Optical Physics I, 11 Atoms in External Filds III, Field Ionization and AC Stark effect

2022-12-09T00:00:00+08:00

Information

Beyond the Quadratic Stark Effect (Perturbation Theory)

We next consider the stability of atoms in strong electric field and field ionization.

Mixture of the states in to the ground state

$$\begin{align} \sum_m |m^{(0)} \rangle \frac{\langle m^{(0)}|H'|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \end{align}$$

For perturbation theory, mixture coefficient is small, that is

$$\begin{align} \left| \frac{\langle m^{(0)}|H'|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \right|\ll 1 \end{align}$$

in our case

$$\begin{align} \left| \frac{\langle i |e r \mathcal{E}| g \rangle}{E_i - E_g} \right|\ll 1 \\ \Rightarrow\mathcal{E} \ll \left| \frac{E_i - E_g}{e\langle i | r | g \rangle} \right| \end{align}$$

where $|i\rangle$ is the nearest state of oppsite parity to $|g\rangle$ . $\langle i | r | g \rangle$ is on the order Bohr radius $a_0$ because there are no other length scales in this problem. For hydrogen, $E_n = -\frac{1}{2}\frac{e^2}{a_0}\frac{1}{n^2}$ , so $E_i - E_g \sim e^2/ a_0$ . Then we gte an order of critical electric field beyond which the perturbation will be invalid

$$\begin{align} \mathcal{E}_{\mathrm{crit}} \sim \frac{e}{a_0^2} \approx 5\times 10^9 \mathrm{V/cm}? \\ (\frac{1.602\times 10^{-19} \times 2.998\times 10^9 \mathrm{Fr}} { \left(5.292\times 10^{-11} \times 10^2 \mathrm{cm}\right)^2} \approx 1.7\times 10^7 \mathrm{V/cm}?) \end{align}$$

is $1,000$ times larger than laboratory electric fields.

For other atoms(not hydrogen)

$$\begin{align} \langle n, l + 1 | \vec{r} | n, l\rangle \sim n^2 a_{0} \\ \Delta E = E_{n, l + 1} - E_{n, l} = \frac{ - R_H}{(n - \delta_{l + 1})^2} - \frac{ - R_H}{(n - \delta_{l})^2} \\ (n\to\infty \mathrm{expand})\approx 2 R_H (\delta_{l + 1} - \delta_l) /n^3 \end{align}$$

(a minus sign?) where $\delta_l$ is the quantum defect. So $R_H = \frac{e^2}{a_0}$

$$\begin{align} \mathcal{E}_{\mathrm{crit}} \sim \frac{\Delta E}{e \langle \mathrm{r}\rangle} = \frac{e^2}{a_0} \frac{1}{e a_0} \frac{\delta_{l + 1} - \delta_l}{n^5} \end{align}$$

$\delta_l < 10^{-5}$ for $l > l_{\mathrm{core}} + 2 , n>7$ , $\mathcal{E}_{\mathrm{crit}} < 1 \mathrm{V/cm}$ . Where $l_{\mathrm{core}}$ is angular momentum of the core. $n^{5}$ , so, for large $n$ , $\mathcal{E}_{\mathrm{crit}}$ can be reached! An example, Rydberg atom. Highly excited states of atoms behave very differently from ground state atoms. Ref Phys. Rev. Lett 41, 103-107 (1978)

Field ionization

$$\begin{align} U_{\mathrm{total}} =& - \frac{e^2}{|z|} + e\mathrm{E} z \\ z_{\mathrm{max}} =& - \left| \frac{e}{\mathcal{E}} \right|^{1/2} \\ U_{\mathrm{max}} =& -2 e^{3/2} \mathcal{E}^{1/2} \end{align}$$

if we assume $U_{\mathrm{max}} = -E_{\mathrm{Binding}} = - \mathrm{Ryd}/n^2$ , then (in atom units $e/a_0$)

$$\begin{align} \mathcal{E}_{\mathrm{ION}} = \frac{1}{16 n^4} \end{align}$$

Application: $100%$ detection efficiency for atoms, Phys. Rev. Lett. 76, 1800 (1996)

Atoms in oscillating electric fields (AC stack effect)

Use time dependent perturbation theory. An oscillating electric field

$$\begin{align} \vec{\mathcal{E}}(t) =& \mathcal{E} \hat{e} \cos(\omega t) \\ H' =& - \vec{D} \cdot \vec{\mathcal{E}}(t) = - \frac{1}{2} \left( e^{\mathrm{i}\omega t} + e^{- \mathrm{i}\omega t} \right) \mathcal{E} \hat{e} \cdot \vec{D} \end{align}$$

the we use time dependent perturbation theory (Sakurai (5.7.17))

$$\begin{align} |\psi(t) \rangle = \sum_k a_k(t) e^{- \mathrm{i} \omega_k t} |k\rangle \end{align}$$ $$\begin{align} a_k^{(1)} = \frac{\mathcal{E}}{2 \hbar} \langle k | \hat{e}\cdot \vec{D} | g\rangle \left[\frac{e^{\mathrm{i} (\omega_{kg} +\omega) t} - 1}{\omega_{kg} + \omega} + (\omega \leftrightarrow -\omega) \right] \end{align}$$

the transmit contribution $1$ , due to the sudden switch on, will damps out.

We set $\hat{e} = \hat{z}$ , $\vec{D} = - e z \hat{z}$ . Consider the ground state $|g\rangle$ , then

$$\begin{align} |g^(0) \rangle = \sum_k \delta_{kg} e^{- \mathrm{i} \omega_k t}| k\rangle = e^{- \mathrm{i}\omega_g t} | g\rangle \end{align}$$

the indeuced dipole(drop the sudden switch on term)

$$\begin{align} &\left( \langle g^{(0)}| + \langle g^{(1)}| \right) D \left( |g^{(0)}\rangle + | g^{(1)}\rangle \right) \\ =& 2 \mathrm{Re} \langle g^{(0)} | D | g^{(1)} \rangle \\ =& 2 \mathrm{Re} \sum_k \langle g | D | k \rangle a_k^{(1)}(t) e^{-\mathrm{i}\omega_kt} e^{\mathrm{i}\omega_gt}\\ =& \frac{e^2}{\hbar} \mathrm{Re}\sum_k |\langle k | z| g\rangle|^2 \left[ \frac{e^{\mathrm{i} \omega t} }{\omega_{kg} + \omega} + (\omega \leftrightarrow -\omega) \right] \mathcal{E} \\ =& \frac{e^2}{\hbar} \mathrm{Re}\sum_k |\langle k | z| g\rangle|^2 \cdot 2 \frac{\omega_{kg}}{\omega_{kg}^2 - \omega^2} \cdot \cos (\omega t) \mathcal{E} \\ =& \alpha(\omega) \cdot \cos (\omega t) \mathcal{E} \end{align}$$

where

$$\begin{align} \alpha (\omega) \equiv \frac{e^2}{\hbar} \mathrm{Re}\sum_k |\langle k | z| g\rangle|^2 \cdot 2 \frac{\omega_{kg}}{\omega_{kg}^2 - \omega^2} \end{align}$$

it is easy to show that $\alpha (0)$ is the DC result.

About AC Stark shift, we have 3 poinst to discuss:

relation to dressed atom
oscillator strength
index of refraction

Relation to dressed atom

the energy shift of DC Stark effect is

$$\begin{align} \Delta E = - \frac{1}{2} \alpha(\omega) \bar{\mathcal{E}^2(t)} \end{align}$$

where $\bar{\mathcal{E}^2(t)}$ means time average, then contribute a factor 2

$$\begin{align} \Delta E =& - \frac{1}{4} \alpha(\omega) \mathcal{E}^2 \\ =& - \frac{1}{4} \frac{2e^2}{\hbar} |\langle 1 | z| 2\rangle|^2 \frac{\omega_{12}}{\omega_{12}^2 - \omega^2} \mathcal{E}^2 \\ =& - \frac{\hbar}{4} \omega_R^2 \left[ \frac{1}{\delta} + \frac{1}{2\omega - \delta} \right] \end{align}$$

where Rabi frequency $\hbar^2 \omega_R^2 = e^2|\langle 1 | z| 2\rangle|^2 \mathcal{E}^2$ , detuning $\delta = \omega_{12} - \omega$ . The second term is called Bloch–Siegert shift . This looks very similar to time-independent perturbation theory, those are two term with detuning $\delta, -(2\omega -\delta)$ absorb a photon and emit a photon correspondingly. This can be derived using the quantized EM field (photons) picture.

photon number states $\rightarrow$ time independent perturbation theory
coherent state $\mathcal{E} \cos(\omega t)$ $\rightarrow$ time dependent perturbation theory

Oscillator strength

Compare our result (AC polarizability of atom) to a classical HO(harmonic oscillator), with charge $q_k$ , mass $m_k$ , frequency $\omega_k$ .

Drivien by electric field $\mathcal{E} \cos(\omega t)$ :

For a classical HO:

\begin{align} D_z(\omega, t) = \mathcal{E} q_k z_q \end{align} where $z_{q}$ can be solved by classical mechanics of a driven oscillator, so \begin{align} D_z(\omega, t) = \mathcal{E} \frac{q_k^2}{m(\omega_k^2 - \omega^2)} \cos (\omega t) \end{align}

For a atom

\begin{align} D_z(\omega, t) = \sum_k f_{kg} \frac{e^2}{m(\omega_k^2 - \omega^2)} \mathcal{E}\cos(\omega t) \end{align} where oscillation strength defined as \begin{align} f_{kg} \equiv \frac{2m}{\hbar} \omega_{kg} |\langle k| z | j\rangle|^2 \end{align}

Atom response as a set of classical oscillators with an effective chrege

$$\begin{align} q_k^2 = f_{kg} e^2 \end{align}$$

For oscillation strength

classical correspondance
Thomas–Reiche–Kuhn sum rule: $\sum_k f_{kg} = 1$
it's a dimensionless parameter

For hydrogen, $1s \to 2p$ , $f = 0.4126$

We can also write the matrix element in terms of oscillation strength

$$\begin{align} |\langle k| z | j\rangle|^2 = f_{kg} \frac{1}{2} \cdot\frac{\hbar}{2m}\cdot \frac{1}{\omega_{kg}} \end{align}$$

where $\frac{\hbar}{2m}$ is the compton wave length of electron, $\frac{1}{\omega_{kg}}$ is the photon wave length.

Index of refraction

...

ref Jackson (10.146)

Reference

Field-Ionization Processes in Excited Atoms Michael G. Littman, Michael M. Kash, and Daniel Kleppner, Phys. Rev. Lett. 41, 103 – Published 10 July 1978
Quantum Rabi Oscillation: A Direct Test of Field Quantization in a Cavity M. Brune, F. Schmidt-Kaler, A. Maali, J. Dreyer, E. Hagley, J. M. Raimond, and S. Haroche, Phys. Rev. Lett. 76, 1800 – Published 11 March 1996 (S. Haroche 2012 Nobel physics prize)
Jackson, J. D. Classical electrodynamics. (Wiley, 1999)
Jun John Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics. (Cambridge University Press, 2017)
Wikipedia: Rabi frequency
Wikipedia: Bloch–Siegert shift
Wikipedia: Oscillator strength

Atomic and Optical Physics I, 10 Atoms in External Filds II, Quadratic DC Stark effect

2022-12-04T00:00:00+08:00

Information

Summary HFS

$$\begin{align} H = a h \vec{I}\cdot \vec{J} + (g_J \mu_B m_J - g_I \mu_N m_I) B_0 \end{align}$$

weak field: HFS + $\mu_B g_F B_0 m_F$

$$\begin{align} \frac{a h}{2} [(F(F + 1) - J(J + 1) - I(I + 1) ] \end{align}$$

strong field

$$\begin{align} ah m_I m_J + (g_J \mu_B m_J - g_I \mu_N m_I) B_0 \end{align}$$

even stronger field

$$\begin{align} A_{FS} m_l m_s + a_S m_I m_S + a_l m_I m_l + g_S \mu_B m_S + g_l \mu_B m_l - g_I \mu_N m_I \end{align}$$

Nice example for Hamiltonian with different scaler products: $\vec{B}\cdot \vec{S} , \quad \vec{B}\cdot \vec{L} \quad \vec{S}\cdot \vec{L} \quad \vec{I} \cdot \vec{J}$
vector model (rapid procession of projection) (calculation without explicit use of CG coefficents)

Atom in external electric fields: standard theory of the DC Stark effect of the atom polarizbility

Uniform electric field $\mathcal{E} \hat{z}$ . ref Jackson Chap 4.6, Eq(4.24)

$$\begin{align} U(\vec{r}) = q \phi(\vec{r}) - \vec{d}\cdot \hat{z} \mathcal{E} - \alpha \mathcal{E}^2 \end{align}$$

this three terms corresponds monopole, permanent dipole moment, polarizbility $\alpha$ induced dipole momentum $d_{IND} = \alpha \mathcal{E}$ .

Use perturbation operator $H' = - \vec{d} \hat{z} \mathcal{E} = e z \mathcal{E}$ ($\vec{d} = -e \vec{r}, d = -ez$) . $H'$ is odd parity, we have no permanent dipole until we have degenerate energy levels.

1st order perturbation energy (no degeneration)

$E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | H' | n^{(0)}\rangle = 0$ .

2nd order perturbation energy

$$\begin{align} E_n^{(2)} = \sum_m ^{'} \frac{\langle n^{(0)} | ez\mathcal{E}| m^{(0)}\rangle \langle m^{(0)} | ez\mathcal{E} | n^{(0)}\rangle} {E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} = e^2 \mathcal{E}^2 \sum_m^{'} \frac{|\langle n^{(0)} | z| m^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \end{align}$$

where $\sum_m^{'}$ means sum over all $m\neq n$ .

dipole in the 1st order perturbed state

$$\begin{align} \langle \vec{d} \rangle =& (\langle n^{(0)}| + \langle n^{(1)}|) \vec{d} (| n^{(0)}\rangle + | n^{(1)}\rangle) \\ = & \langle n^{(1)} | \vec{d} | n^{(0)} \rangle + \langle n^{(0)} | \vec{d} | n^{(1)} \rangle \\ = & 2 \mathrm{Re} \left[\langle n^{(1)} | \vec{d} | n^{(0)} \rangle \right] \\ = & 2 \mathrm{Re} \left( \sum_m^{'} \frac{\langle n^{(0)} | \vec{d} | m^{(0)} \rangle \langle m^{(0)} | ez\mathcal{E} | n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \right) \\ = & - 2 \hat{z} e^2 \mathcal{E} \sum_m^{'} \frac{|\langle n^{(0)} |z| m^{(0)}\rangle |^{2}}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \\ =& \alpha \vec{\mathcal{E}} \end{align}$$

where the second equality use the parity of $\vec{d}$ . The polarizbility

$$\begin{align} \alpha \equiv \frac{d}{\mathcal{E}} = - 2 e^2 \sum_m^{'} \frac{|\langle n^{(0)} |z| m^{(0)}\rangle |^{2}}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \end{align}$$

so, we can rewrite the 2nd order perturbed energy as

$$\begin{align} E_n^{(2)} = - \frac{1}{2}\alpha \mathcal{E}^2 = - \frac{1}{2}\langle \vec{d} \rangle \cdot \mathcal{E} \end{align}$$

Another veiw, 2nd perturbed total energy is (there is a problem about the nomalization of perturbed wave function, a little funny)

$$\begin{align} E_n^{(0)} + \Delta E =& E_n^{(0)} + E_n^{(1)} + E_n^{(2)} = \left( \langle n^{(0)} | + \langle n^{(1) |} \right) \left( H_0 + H' \right) \left( | n^{(0)} \rangle + |n^{(1)} \rangle \right) \\ =& \langle n^{(0)} | H_0 | n^{(0)}\rangle + \langle n^{(1)} | H_0 | n^{(1)}\rangle + 2 \mathrm{Re} \left[ \langle n^{(0)} | H' | n^{(1)}\rangle \right] \end{align}$$

the second term

$$\begin{align} \langle n^{(1)} | H_0 | n^{(1)}\rangle =& \sum_{lm}^{'} \left( \frac{\langle n^{(0)} | H' | l^{(0)} \rangle\langle l^{(0)} | } {E_n^{(0)} - E_l^{(0)}} \right) \left( H_0 \right) \left( \frac{| m^{(0)} \rangle\langle m^{(0)} | H' | n^{(0)} \rangle } {E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \right) \\ =& \sum_m^{'} \frac{|\langle n^{(0)} | H' | m^{(0)} \rangle|^2}{(E_n^{(0)} - E_m^{(0)})^2} E_m^{(0)} \end{align}$$

if we set $E_n^{(0)} = 0$ , then

$$\begin{align} \langle n^{(1)} | H_0 | n^{(1)}\rangle = \frac{1}{2}\alpha \mathcal{E}^2 \end{align}$$

then

$$\begin{align} E_n^{(0)} + \Delta E = E_n^{(0)} \langle n^{(0)} | n^{(0)} \rangle + \frac{1}{2}\alpha \mathcal{E} - \alpha \mathcal{E}^2 \end{align}$$

and $\Delta E = - \frac{1}{2}\alpha \mathcal{E}$ , the same as before.

Unit of $\alpha$

dimension of $[\alpha] = [\frac{q^2l^2}{E}] = [\frac{q^2}{l} \frac{1}{E}l^3] = L^3$ , is volum.

For hydrogen, only consider the matrix element between 1s and 2p, then we get

$$\begin{align} \alpha \approx 2.96 a_0^3 \end{align}$$

where $\alpha = 4.5 a_0^3$ if we use all matrix elements (include the positive energy continuum states of hydrogen).

Unsold's approximation

something like Sakurai page 315.

Compare with classical EM for conducting sphere

dipole moment of a conducting sphere in a uniform electric filed is (Jackson 4.56) $\mathcal{E} R^3$

$$\begin{align} \tag{Jackson (4.56)} p =& 4\pi \epsilon_0 \left( \frac{\epsilon/\epsilon_0 - 1}{\epsilon / \epsilon_0 + 2} \right)R^3\mathcal{E} \\ p_{\mathrm{conducting sphere}} =& \lim_{\epsilon\to \infty} p = 4\pi \epsilon_0 R^3 E_0 \quad(\mathrm{SI}) \\ p_{\mathrm{conducting sphere}} \sqrt{4\pi\epsilon_0} =&4\pi \epsilon_0 R^3 E_0 \frac{1}{\sqrt{4\pi\epsilon_0}} \quad(\mathrm{Gauss}) \\ p_{\mathrm{conducting sphere}} =& R^3 E_0 \quad(\mathrm{Gauss}) \end{align}$$

so, atoms $\Leftrightarrow$ conducting sphere.

When it comes to dipole moments and to polarizbility, atoms pretty much behave like metallic conducting sphere of the same volum.

Reference

Jackson, J. D. Classical electrodynamics. (Wiley, 1999)
Jun John Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics. (Cambridge University Press, 2017)

Atomic and Optical Physics I, 09 Atoms V and Atoms in External Filds I

2022-11-22T00:00:00+08:00

Information

Atoms V

Summary of spectroscipy of hydrogen over 80 years from precursors to the Lamb shift, to the proton radius puzzle .

Atoms in external magnetic fields

Fine structure and Landé g-factor

"game of $\vec{L}, \vec{S}, \vec{B}$ "

Add the Zeeman term

$$\begin{align} H_Z = - \vec{\mu} \cdot \vec{B} \end{align}$$

to the SOC Hamiltonian

$$\begin{align} H = H_0 + H_{FS} + H_Z = H_0 + A_{FS} \vec{L}\cdot \vec{S} -\frac{\mu_B}{\hbar} (g_s \vec{S} + g_l \vec{L})\cdot \vec{B} \end{align}$$

where $|g_s| = 2(1 + \frac{\alpha}{2\pi} + \cdots )$ for electron spin, and $|g_l| = 1$ electon orbital angular momentum. FS term: an internal magnetic field $\sim 1$ Tesla.

direct derivation by using

$$\begin{align} \langle S, L, J, m_J | H_Z | S', L', J', m_J' \rangle \end{align}$$

weak field limit $H_{FS} \gg H_{Z}$

vector model: $\vec{L}, \vec{S}$ rapidly process aroud total angular momentum $\vec{J}$ , only projection on $\vec{J}$ .

use $\vec{L}^2 = (\vec{J} - \vec{S})^2 \Rightarrow 2\vec{J}\cdot \vec{S} = \vec{J}^2 + \vec{S }^2 - \vec{L}^2$ and let $g_s \to -2, g_l \to -1$

$$\begin{align} H_Z =& - \left(\vec{\mu}\cdot \frac{ \vec{J}}{|\vec{J}|} \right) \left( \vec{B}\cdot \frac{\vec{J}}{|\vec{J}|} \right) \\ =& \frac{\mu_B}{\hbar} \frac{(\vec{L}+ 2\vec{S})\cdot \vec{J}}{|\vec{J}|^2} B J_Z \\ =& \frac{\mu_B B}{\hbar}J_z \cdot \frac{\vec{J}^2 + \frac{1}{2}(\vec{J}^2 + \vec{S}^{2} - \vec{L}^2)}{\vec{J}^2}\\ =& \mu_B B m_J \left(1 + \frac{J(J + 1) + S(S + 1) - L(L + 1)}{2 J(J + 1)} \right)\\ \equiv & \mu_B B m_J g_J \end{align}$$

where $g_J$ is Landé g-factor

limiting case

$S = 0 \Rightarrow g_J = 1$
$L = 0 \Rightarrow g_J = 2$

HFS in an Applied Field

Now add nucleus spin $\vec{I}$ :

$$\begin{align} \vec{L} , \vec{S}, \vec{I}, \vec{B} , \quad \vec{I} + \vec{J} = \vec{F} \end{align}$$

(No fine structure Hamiltonian?)

$$\begin{align} H = H_0 + a h \vec{I}\cdot \vec{J} - \vec{\mu}_J \cdot B_0 - \vec{\mu}_I \cdot \vec{B}_0 \end{align}$$

LOW FIELD $\vec{\mu}_J\cdot \vec{B}_0 \ll a h \vec{I}\cdot \vec{J}$

$$\begin{align} H_Z = -(\vec{\mu}_J + \vec{\mu}_{I})\cdot \vec{B}_0 \end{align}$$

treated in a perturbation theory, similar to landé g factor

$$\begin{align} H_Z = -\mu_B ( -|g_J| \vec{J}\cdot \vec{F} + g_I \frac{\mu_N}{\mu_B}\vec{I}\cdot \vec{F}) \frac{\vec{F} \cdot \vec{B}_0}{|\vec{F}|^{2}} \end{align}$$

where $\mu_N = \frac{e\hbar}{2m_p}$ (Wikipedia: Nucleon magnetic moment) , and because $m_p \gg m_3$ , so $\mu_N\ll \mu_B$ , we neglect the second term, we define

$$\begin{align} g_F \equiv \frac{\vec{J}\cdot \vec{F}}{|\vec{F}|^2}g_J \end{align}$$

thus

$$\begin{align} H_Z = \mu_B g_F B_0 m_F \end{align}$$

HIGH FIELD $\vec{\mu}_J\cdot \vec{B} \gg a h \vec{I}\cdot \vec{J}$

Zeeman energy fist comes, $\vec{B}_0$ quantize $\vec{J}$ and $\vec{I}$ along $B_0$

$$\begin{align} H_Z = |g_J| \mu_B m_J B_0 - g_I \mu_N m_I B_0 + a h m_I m_J \end{align}$$

GENERAL SOLUTION: EXACT DIAGNOLIZATION

$$\begin{align} H = a h \vec{I}\cdot \vec{J} + (g_J\mu_B m_J - g_I \mu_N m_I) B_0 \end{align}$$ $$\begin{align} m_F = m_I + m_J = m_{\mathrm{TOTAL}} \end{align}$$

structure: repulsive and anti-crossings of state with the same $m_F$ , for example: Na $^{87}\mathrm{Rb}$ . $^2S_{1/2}$ ground state $I = \frac{3}{2}$ .

Reference

Lindblad Master Equation and FFT

2022-10-03T00:00:00+08:00

Lindblad Master Equation

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho = -\mathrm{i} [H, \rho] + \sum_n \left(L_n \rho L_n^{\dagger} - \frac{1}{2}\{L_n^{\dagger}L_n, \rho\}\right) \end{align}$$

小括号中的求和对应耗散过程. 求和中第一项是跃迁算符 $L_n$ 导致的 $L_n$ 的末态的增加, 求和中第二项是初态的减少, 或者 coherence 的减少.

Example: Tight binding

解析分析

如 Phys. Rev. Lett. 127, 070402 (2022) 中的例子:

$$\begin{align} H =& 0 \\ L_{R, l} =& \sqrt{\gamma_R} |l + 1\rangle\langle l| \\ L_{L, l} =& \sqrt{\gamma_L} | l - 1 \rangle\langle l| \end{align}$$

这是一个一维链, 格点之间没有相互作用, 但相邻格点之间有类似自发辐射的非相干的跃迁过程.

这此模型中, 主方程只有耗散项. 第一项对应

$$\begin{align} L_{R,l} \rho L_{R, l}^{\dagger} = \gamma_R \rho_{ll} |l + 1\rangle\langle l + 1| \end{align}$$

$L_{L, l}$ 是类似的. 可以看出, 这一项的作用是使跃迁的末态 $|l + 1\rangle$ 的 population 增加, 且增加的多少与初态 $|l\rangle$ 的 population 成正比. 这很物理.

再看另外一项:

$$\begin{align} &- \frac{1}{2} \sum_l\{L_{R, l}^{\dagger}L_{R, l}, \rho\} = - \frac{1}{2}\gamma_R\sum_{l, m, n} \{|l\rangle\langle l|, \rho_{mn}|m\rangle\langle n|\}\\ =& - \frac{1}{2}\gamma_R \sum_{l,n}(|l\rangle\langle n| \rho_{l,n} + |n\rangle\langle l|, \rho_{n,l}) \\ =& - \gamma_R \sum_l \rho_{ll} |l\rangle\langle l| -\frac{1}{2}\gamma_R \sum_{l, n\neq l}\left(\rho_{l, n}|l\rangle\langle n| + \rho_{n, l}|n\rangle\langle l| \right) \end{align}$$

第一项是对角项 population 的减小对角项越大, 减小越多. 第二项是非对角项 coherence 的减小, 它本来越大, 减小就越多.

这个例子的特点是, 它是描述的是一维格点中的单体运动, 这就导致每个 $L_n$ 只包含一个矩阵元, 这就导致主方程是分块对角的. 因为我们分析过了, $L_n$ 的作用有三点

使得对角项 population 有一部分与其相邻的 population 成正比的增加, 这描述的是作为跃迁的终态, population 的增加. 它在主方程中是正号的那个耗散项.
使得对角项 population 有一部分与自身成正比的减小, 描述的是作为跃迁的初态, 粒子跳向别的态, population 减小. 它在主方程中是负号的那个耗散项.
使得所有的 coherence 都减小, 自身越大, 减小越快. 因此耗散项使得系统的相干性不断降低.

这三点没有 population 与 coherence 之间的 couple. 这使得问题大大简化, 立即可以得到解析解. 所有的 coherence 都是 exponential decay. population 可以用一个 no-Hermition 的有有效 Hamiltonian 来描述

$$\begin{align} H_{\mathrm{eff}} = \sum_{l} (\gamma_R |l + 1\rangle\langle l| + \gamma_L |l\rangle\langle l + 1|) \end{align}$$

我们忽略了一个常数算符. 它描述了 population 之间的相互跃迁. 这就是一个 tight binding 的模型. 在周期性边界条件下, 由于平移对称性, 它可以严格解, 具体结果可以参考 Phys. Rev. Lett. 127, 070402 (2021).

数值分析

这个 model 是快速傅里叶变换 (FFT) 的极佳的例子.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def hamiltonian(N, gamma_l, gamma_r):
    a = np.eye(N-1)
    right = np.vstack((np.zeros(N-1), a))
    right = np.hstack((right, np.zeros([N, 1])))
    left = np.hstack((np.zeros([N-1, 1]), a))
    left = np.vstack((left, np.zeros(N)))
    pbc = np.zeros([N, N])
    pbc[0, -1] = gamma_l        # peridical boundary condition
    pbc[-1, 0] = gamma_r
    h = left*gamma_l + right*gamma_r + pbc
    return h


N = 10
h = hamiltonian(N, 1, 2)
plt.imshow(h)
plt.colorbar()
plt.savefig('hamiltonian.png', transparent=True)

P = np.array([[np.exp(-1j*2*np.pi/N * a*b) for a in range(N)]
              for b in range(N)])
D = P.conjugate()@h@P
plt.clf()
plt.imshow(np.abs(D))
plt.colorbar()
plt.savefig('population.png', transparent=True)

eigenvalues = np.array([D[i, i] for i in range(N)])
plt.clf()
for i in eigenvalues:
    plt.plot(i.real, i.imag, 'bo')
plt.xlabel('Re')
plt.ylabel('Im')
plt.savefig('eigenvalues.png', transparent=True)

code.py

周期边界条件下的 Hamiltonian:

对坐标基底做 FFT , 换到动量基底下, Hamiltonian 就对角化了:

本征值就是一组平面波:

Reference

Phys. Rev. Lett. 127, 070402 (2021) Liouvillian Skin Effect: Slowing Down of Relaxation Processes without Gap Closing

Wigner D-matrix

2022-06-07T00:00:00+08:00

Wigner D-matrix

$$\begin{align} R(\alpha, \beta, \gamma) = e^{-\mathrm{i}\alpha J_{z}} e^{-\mathrm{i}\beta J_{y}} e^{-\mathrm{i}g J_{z}} \end{align}$$ $$\begin{align} D^l_{m' m} (\alpha, \beta, \gamma) \langle l, m'| R(\alpha, \beta, \gamma) |l, m\rangle \end{align}$$

$D^l_{m' m}(R)$ 是旋转操作 $R$ 在一组基底 $|l, m\rangle$ 下的表示的矩阵元( $l$ 是固定的, 也就是说 $1=\sum_m |l, m\rangle\langle l, m|$ ).

$D^l(R)$ 是 $SO(3)$ 群元 $R$ 在不可约表示 $l$ 中的表示矩阵.

Relation to spherical harmonics

$$\begin{align} Y_{l, m}^{*} (\theta, \phi) = \langle l, m | \theta, \phi \rangle =& \langle l, m | R(\phi, \theta, \gamma) | \theta = 0, \phi = 0 \rangle \\ =&\sum_{m'} \langle l, m | R(\phi, \theta, \gamma) |l, m'\rangle\langle l, m' | \theta = 0, \phi = 0 \rangle \\ =&\sum_{m'} \langle l, m | R(\phi, \theta, \gamma) |l, m'\rangle \delta_{m', 0}\sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}} \\ =&\langle l, m | R(\phi, \theta, \gamma) |l, 0\rangle \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}} \\ =& D^l_{m, 0}(\phi, \theta, \gamma) \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}} \end{align}$$

Reference

magnetic dipole

2022-05-20T00:00:00+08:00

$$\begin{align} \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ 3\hat{r}(\vec{m}\cdot \hat{r}) -\vec{m}\right] \frac{1}{r^3} \end{align}$$

Demo

code

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


n = 30
x = np.linspace(-30, 30.1, n)
y = np.linspace(-30, 30.1, n)
bx = np.zeros([n, n])
by = np.zeros([n, n])

mu = [0, 1]


def field(x, y):
    r = np.sqrt(x**2 + y**2)
    vx = (3*(mu[0]*x+mu[1]*y) * x/(r**2) - mu[0]) / r**3
    vy = (3*(mu[0]*x+mu[1]*y) * y/(r**2) - mu[1]) / r**3
    return vx, vy


X, Y = np.meshgrid(x, y)
vx, vy = field(X, Y)


plt.streamplot(x, y, vx, vy)
plt.savefig('magnetic-dipole.png')

Reference

wikipedia: Magnetic diopole

SO(3) generators in 3 dimentiona representation in cartesian and spherical basis

2022-05-17T00:00:00+08:00

Demo

code

from sympy import pprint
from sympy import Matrix
from sympy import I
from sympy import sqrt

jx_cartesian = Matrix([[0, 0, 0],
                       [0, 0, I],
                       [0, -I, 0]])
jy_cartesian = Matrix([[0, 0, I],
                       [0, 0, 0],
                       [-I, 0, 0]])
jz_cartesian = Matrix([[0, I, 0],
                       [-I, 0, 0],
                       [0, 0, 0]])

print('==== SO(3) generators in cartesian representation is ===')
print('jx_cartesian:')
pprint(jx_cartesian)
print('jy_cartesian:')
pprint(jy_cartesian)
print('jz_cartesian:')
pprint(jz_cartesian)
print('========================================================')
print('we want to change bisis to a representation which jz are diagonalized.')
print('the eigenvaluses and eigenvectors of jz are:')
pprint(jz_cartesian.eigenvects())
print(('note: we need to choose proper coefficients and order of eigenvectors'
       + ' to ensure the results is the right form which we are familiar'
       + ' with in quantum mechanics.'))

u = Matrix([[-1/sqrt(2), 0, 1/sqrt(2)],
            [I/sqrt(2), 0, I/sqrt(2)],
            [0, 1, 0]])

print('so use transorm u**(-1) j u go to spherical representation:')
pprint(u)
print('the results are:')
pprint('jx_spherical:')
pprint(u**(-1) * jx_cartesian * u)
pprint('jy_spherical:')
pprint(u**(-1) * jy_cartesian * u)
pprint('jz_spherical:')
pprint(u**(-1) * jz_cartesian * u)
print('========================================================')

# p, d = jz_cartesian.diagonalize()

==== SO(3) generators in cartesian representation is ===
jx_cartesian:
⎡0  0   0⎤
⎢        ⎥
⎢0  0   ⅈ⎥
⎢        ⎥
⎣0  -ⅈ  0⎦
jy_cartesian:
⎡0   0  ⅈ⎤
⎢        ⎥
⎢0   0  0⎥
⎢        ⎥
⎣-ⅈ  0  0⎦
jz_cartesian:
⎡0   ⅈ  0⎤
⎢        ⎥
⎢-ⅈ  0  0⎥
⎢        ⎥
⎣0   0  0⎦
========================================================
we want to change bisis to a representation which jz are diagonalized.
the eigenvaluses and eigenvectors of jz are:
⎡⎛       ⎡⎡-ⅈ⎤⎤⎞  ⎛      ⎡⎡0⎤⎤⎞  ⎛      ⎡⎡ⅈ⎤⎤⎞⎤
⎢⎜       ⎢⎢  ⎥⎥⎟  ⎜      ⎢⎢ ⎥⎥⎟  ⎜      ⎢⎢ ⎥⎥⎟⎥
⎢⎜-1, 1, ⎢⎢1 ⎥⎥⎟, ⎜0, 1, ⎢⎢0⎥⎥⎟, ⎜1, 1, ⎢⎢1⎥⎥⎟⎥
⎢⎜       ⎢⎢  ⎥⎥⎟  ⎜      ⎢⎢ ⎥⎥⎟  ⎜      ⎢⎢ ⎥⎥⎟⎥
⎣⎝       ⎣⎣0 ⎦⎦⎠  ⎝      ⎣⎣1⎦⎦⎠  ⎝      ⎣⎣0⎦⎦⎠⎦
note: we need to choose proper coefficients and order of eigenvectors to ensure the results is the right form which we are familiar with in quantum mechanics.
so use transorm u**(-1) j u go to spherical representation:
⎡-√2       √2 ⎤
⎢────  0   ── ⎥
⎢ 2        2  ⎥
⎢             ⎥
⎢√2⋅ⅈ     √2⋅ⅈ⎥
⎢────  0  ────⎥
⎢ 2        2  ⎥
⎢             ⎥
⎣ 0    1   0  ⎦
the results are:
jx_spherical:
⎡    √2    ⎤
⎢0   ──  0 ⎥
⎢    2     ⎥
⎢          ⎥
⎢√2      √2⎥
⎢──  0   ──⎥
⎢2       2 ⎥
⎢          ⎥
⎢    √2    ⎥
⎢0   ──  0 ⎥
⎣    2     ⎦
jy_spherical:
⎡      -√2⋅ⅈ         ⎤
⎢ 0    ──────    0   ⎥
⎢        2           ⎥
⎢                    ⎥
⎢√2⋅ⅈ          -√2⋅ⅈ ⎥
⎢────    0     ──────⎥
⎢ 2              2   ⎥
⎢                    ⎥
⎢       √2⋅ⅈ         ⎥
⎢ 0     ────     0   ⎥
⎣        2           ⎦
jz_spherical:
⎡1  0  0 ⎤
⎢        ⎥
⎢0  0  0 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  0  -1⎦
========================================================
>>>

Reference

https://www.physicsforums.com/threads/representation-of-angular-momentum-matrix-in-cartesian-and-spherical-basis.418710/

Atomic and Optical Physics I, 08 Atoms IV: Hyperfine Structure (updage 17/Nov/2022)

2022-02-23T00:00:00+08:00

Information

官方介绍: https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-421-atomic-and-optical-physics-i-spring-2014/
视频列表地址: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUl4u3cNGP62FPGcyFJkzhqq9c5cHCK32

Lamb Shift

Two contribution:

Coulomb potential is "smeared out", so a weaker binding energy.
Futher contribution to the Lamb shift. 27 MHz, 3% : vaccum polarization. We observe the shielded charge. $\Rightarrow$ s(l = 0) electron sees a higher charge(s 电子穿透到里面) $\Rightarrow$ down shift for $2S_{1/2}$ 27MHz.

Introduction: Effect of Nucleus (Hyperfine Structure)

So far: point charge

Now: nucleus has structure

mangnetic moment: dipole or quadrapole $\Rightarrow$ HFS.

mass and volume $\Rightarrow$ Isotope shifts

Relevance of hpyerfine structure:

several ground states (optical pumping, manuplation of atoms)
astronomical observation 21cm line
determination of nuclear properties(even of unstable nuclei)

HFS

the most important effect due to the hyperfine structure: the nucleolus has a magnetic moment, and this magnetic moment couples to the magnetic field, even if you don't apply an external magnetic field.

$$\begin{align} H_{\mathrm{HF}} = - \vec{B}_J(0)\cdot \vec{\mu}_{I} \end{align}$$

this is the Zeeman Hamiltonian of the nucleus in the magnetic field created by the electron.

Alternatively: $e^-$ moves in the potential of the nucleus \begin{align} V = - \frac{e^2}{r} , \vec{A} = \frac{\vec{\mu}_I\times \mathrm{r}}{r^3} \quad \mathrm{Jackson(5.55)} \end{align} then solve the Schrodinger Eq.

Semi classical derivation of $\vec{B}_{J}$

orbital and spin part:

$$\begin{align} \vec{B}_J = \vec{B}_L + \vec{B}_S \end{align}$$

Jackson (5.64):

$$\begin{align} \vec{B}_S = \frac{1}{r^3}[-\vec{\mu} + 3(\vec{\mu}\cdot \hat{r})\hat{r}] + \frac{8\pi}{3}\delta(\vec{r}) \vec{\mu} \end{align}$$

where $\vec{\mu} = g\mu_B\vec{S}$. Biot and Savart:

$$\begin{align} \vec{B}_L(0) = \frac{1}{c}\int \vec{I} \frac{\mathrm{d}\vec{r}\times \vec{r}}{r^3} \rightarrow \frac{e}{c} \int \rho (\vec{r}) \frac{\vec{v}\times \vec{r}}{r^3} = - \frac{e}{mc}\vec{L} \langle \frac{1}{r^3} \rangle = - 2\mu_B \vec{L} \langle \frac{1}{r^3} \rangle \end{align}$$

total $\vec{B}$ field (using $g= -2$ for electron spin)

$$\begin{align} \vec{B}_J = -2\mu_B \left( \frac{\vec{L}}{r^3} - \frac{\vec{S}}{r^3} + \frac{3(\vec{S}\cdot \hat{r})\hat{r}}{r^{3}} + \frac{8}{3}\pi \delta(\vec{r})\vec{S} \right) \end{align}$$

the first three terms is $0$ for $L = 0$ because of spherical average, the last term is $0$ for $L\neq 0$ .

$$\begin{align} H_{HF} = - \vec{B}_J \vec{\mu}_I = a h \vec{I} \cdot \vec{J} \end{align}$$

For $L = 0$ , $\langle \vec{J} \cdot \vec{B}_J = - 4\pi \mu_B |\psi_{s}|^2$

$$\begin{align} a h = \frac{g_I \mu_N \mu_B 4\pi |\psi(0)|^2}{S(S + 1)} , \quad \vec{\mu}_I = g_I \mu_N \vec{I} \end{align}$$

For hydrogen: 1420MHz

$$\begin{align} H = a h \vec{I}\cdot\vec{J} = \frac{a h}{2} (F(F + 1) - I(I + 1) - J(J + 1)) \end{align}$$

$I = J = S = 1/2$, $F = 1, 0$

center of mass of HF states is not change.

Quadrapole moments

What further (electric or magnetic) moments can a nucleus have?

parity of electric multiple: $( - 1)^l$ parity parity of magnetic multiple: $( - 1)^{ l + 1}$ parity

Minimum I for magnetic dipole and electric quadrapole

for magnetic dipole is $I\ge 1/2$ ：分清两个方向, 只需要翻个个就行

for electric quadrapole is $I \ge 1$ ：分清一个椭球还是一个球, 需要有一个反转 90 度的操作

Formal

Isotopic effects

Mass

$$\begin{align} E_n = E_n^{\infty} (\frac{M}{M + m}) \end{align}$$

$M$ : nucleus mass. $m$ : electron mass

Volumn

Coulomb level shits. only $s$ electron

weakens the binding energies

Volum effect: Largest for heavy nuclei

Mass effect: Largest for hightest nuclei

Reference

wikipedia: Lamb shift
wikipedia: Fine structure
Jackson, J. D. Classical electrodynamics. (Wiley, 1999)

波数, 电子伏, 赫兹单位换算

2022-02-20T00:00:00+08:00

Wavenumber

原子物理中一般指 used in spectroscopy 的 wavenumber, 即

$$\begin{align} \tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} \end{align}$$

波长的倒数, 没有 $2\pi$ 因子. 常用的单位是 $\mathrm{cm}^{-1}$

频率

也是没有 $2\pi$ 因子的频率, 对于真空中的光, 即

$$\begin{align} c = \nu \lambda \end{align}$$

它与 wavenumber 的关系即为

$$\begin{align} \nu = c \tilde{\nu} \end{align}$$

差一光速.

eV

eV 是能量单位, 即 $1 \mathrm{eV} = 1.602176634 \times 10^{-19} J$ ( $e = 1.602176634\times 10^{-19} C$ ) 它与 wavenumber 的关系

$$\begin{align} E = h \nu = h c \tilde{\nu} \end{align}$$

对于波数为 $1 \mathrm{cm}^{-1}$ 的光子, 其能量为

$$\begin{align} E = h c \cdot 1 \mathrm{cm}^{-1} =& 6.62607015×10^{−34} \mathrm{J}\cdot \mathrm{Hz}^{−1} \times 299792458 \mathrm{m/s} \times 1 \mathrm{cm}^{-1} \\ =& 6.62607015×10^{−34} \times 299792458 \times 10^{2} \mathrm{J} \\ = &\frac{6.62607015×10^{−34} \times 299792458 \times 10^{2}}{1.602176634 \times 10^{-19}} \mathrm{eV} \end{align}$$

即

$$\begin{align} 1 \mathrm{eV} = h c \cdot 1 \mathrm{cm}^{-1} \times \frac{1.602176634 \times 10^{-19}}{6.62607015×10^{−34} \times 299792458 \times 10^{2}} = 8065.54 \times h c \cdot 1 \mathrm{cm}^{-1} \end{align}$$

8065.54 为 $\frac{e}{100hc}$ 的数值值( $e, h, c$ 取国际单位制 ).

频率与 eV 的关系是类似的, 即

$$\begin{align} E =& h \nu = h \cdot 1 \mathrm{Hz} = 6.62607015×10^{−34} \mathrm{J} \\ =& \frac{6.62607015×10^{−34}}{1.602176634 \times 10^{-19}} \mathrm{eV} \end{align}$$ $$\begin{align} 1 \mathrm{eV} = \frac{1.602176634 \times 10^{-19}}{6.62607015×10^{−34}} \times h \cdot 1 \mathrm{Hz} = 2.41799\times 10^{14} \times h \cdot 1 \mathrm{Hz} \end{align}$$

$2.41799\times 10^{14}$ 为 $\frac{e}{h}$ 的数值值( $e, h$ 取国际单位制 ).

Example1: 原子发出可见光的跃是 eV 量级相互作用能级的跃迁, 对应于可见光的频率 $10^{14} \mathrm{Hz}$ .

Example2: 氢原子 $2^2S_{1/2}$ 与 $2^2P_{1/2}$ 能级的 Lamb shift 为 $4.4 \times 10^{-6} \mathrm{eV}$ , 对应频率大约为 $10^9 \mathrm{Hz}$ , 即 GHz .

Reference

Atomic and Optical Physics I, 07 Atoms III: Fine Structure

2022-02-19T00:00:00+08:00

Information

官方介绍: https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-421-atomic-and-optical-physics-i-spring-2014/
视频列表地址: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUl4u3cNGP62FPGcyFJkzhqq9c5cHCK32

Helium (last lecture)

$$\begin{align} \vec{S} = \vec{S}(1) + \vec{S}(2) \end{align}$$

All spin operators are symmetric against particle exchange. In other words, if you couple to the spin through a magnetic field, you couple to the two electrons symmetrically. And therefore, you have the selection rule only symmetric and symmetric ( $S \leftrightarrow S$ ) & anti-symmetric and anti-symmetric ( $A \leftrightarrow A$ ) states couple. 也就是说 Hamiltonian 中的自旋算符不改变自旋的组态.

Spatial and spin symmetry (S. A) are both good quantum numbers. Formally, all observables $\hat{O}$ commute with particle exchange operator (自旋和空间没有耦合)

$$\begin{align} [P_{ij}, \hat{O}] = 0 \end{align}$$

As long as wavefunctions and operators separate into spin-dependent and space-dependent parts

$$\begin{align} P_{12} = P_{12}^{\mathrm{space}} P_{12}^{\mathrm{spin}} \end{align}$$

and both $P_{12}$ 's are conserved.

Singlets $\leftrightarrow$ Triplets transition requires violation of above assumption.

Mixing of spin and spatial WF by spin orbit coupling. Spin-orbital coupling $\propto Z^4$ . Weak for Helium, $2^{3}s$ is VERY long lived 8000s (It's one of the most longest-lived metastable states you can imagine and which you find in atomic physics) Ne, Ar, Kr, Xe 40s.(longer, because of stronger nuclear charge) Mg, Ca, Sr have inter-combination lines, are candidate for atomic clocks (kHz line width). If the line width is kilohertz, the lifetime is millisecond ...

Decay path: 1 photon M1(we discuss it later in the course), and not 2-photons as believed earlier). The decay path requires higher order terms using the Dirac equation with coupling to the electromagnetic field.

Fine Structure

	Electronic energy	Ryd, $\alpha^2 mc^2$
	Fine structure	$\alpha^4 mc^2$ , $\alpha^2$ Ryd
	Lamb shifts	$\alpha^5 mc^2$ , GHz

Fine structure: $\alpha^4 mc^2$ . Exact picture: Dirac equation. The solution of the Dirac equation for the hydrogen atom gives us the electronic structure, the same as comes out of the Bohr model, but now including the fine structure.

Fine Structure: 3 contributions

kinetic
spin-orbit
Darwin term

Pauli approximation to the Dirac equation (expand Dirac equation in power of $v/c$ , lowest order):

$$\begin{align} H =& mc^{2} + \frac{p^2}{2m} - \frac{e^2}{r} \\ & - \frac{p^4}{8m^3c^2}\quad \mathrm{kinetic} \\ & + \frac{\hbar^2e^2}{2m^2 c^2}\frac{1}{r^3} \vec{L}\cdot \vec{S} \quad \mathrm{spin-orbit}\\ & - \frac{\hbar^2}{8 m^2c^2}\nabla^2 \frac{e^2}{r} \quad \mathrm{Darwin} \end{align}$$

Kinetic energy

$$\begin{align} E = \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2} \end{align}$$ $$\begin{align} T = E - mc^2 \approx \frac{p^2}{2m} - \frac{1}{8}\frac{p^4}{m^3c^2} \end{align}$$

Spin-orbit interaction

insightful: what do we have to add to the Schrodinger equation to get it? Spin!

$e^-$

intrinsic angular moment $\hbar \vec{S}$
magnetic moment $\mu = g\mu_0 \vec{S}$ ( $g = 2$ , $\mu_0$ Bohr magneton)

moving electron "sees" motional magnetic field.

$$\begin{align} B_{\mathrm{mot}} = - \frac{\vec{v}}{c}\times \vec{E} = - \frac{\vec{v}}{c}\times \frac{e}{r^3}\vec{r} = \frac{e\hbar}{mc} \frac{1}{r^3}\vec{L} \end{align}$$ $$\begin{align} H_{\mathrm{S.O.}} = - \vec{\mu}\cdot \vec{B} = \frac{e^2 \hbar^2}{m^2 c^2}\frac{1}{r^3}\vec{S}\cdot \vec{L} \end{align}$$

relativistic transformations \begin{align} \vec{\Omega}_{\mathrm{T}} = \frac{1}{2}\frac{\vec{a}\times \vec{v}}{c^2} \quad \begin{pmatrix} = 0, \quad \vec{a} // \vec{v} \\ \mathrm{Thomas}\, \mathrm{procession} \end{pmatrix} \end{align} according to Lecture 2 \begin{align} \vec{B}_{\mathrm{T}} = \frac{1}{\gamma_e}\vec{\Omega}_{\mathrm{T}}, \gamma_e = \frac{e}{mc}, \vec{a} = \frac{e^2}{mr^3}\vec{r} \end{align} \begin{align} \Rightarrow B_{\mathrm{T}} = \frac{1}{2}B_{\mathrm{mot}} \end{align} 杨福家碱金属双线一节, 及 Griffiths QM 6.3 节有关于坐标系变换的讨论.

Darwin term

electron is "smeared(not localized) out" over Compton wavelength $\frac{\hbar}{mc}$

German word: Zitterbewegung (trembling motion)

fells averaged Coulomb potential $\bar{V(r)}$

small displacement $\vec{s}$

$$\begin{align} V(\vec{r} + \vec{s}) = v(\vec{r}) + \vec{\nabla} V\cdot \vec{s} + \frac{1}{2} \sum_{ij} s_{xi}s_{xj} \frac{\partial^2 V}{\partial x_i \partial x_j} \end{align}$$

the correction:

$$\begin{align} \Delta V = \frac{1}{2}\frac{1}{3}\left(\frac{\hbar}{mc}\right)^2 \nabla^2V = - \frac{1}{6} \frac{e^2\hbar^2}{m^2c^2}\nabla^2 \frac{1}{r} \end{align}$$

$\nabla^2\frac{1}{r} \Rightarrow$ only s electrons which have a non-vanishing probability to feel the origin of the Coulomb potential. Exact coefficition is $\frac{1}{8}$ .

summary

	s electrons	$l\neq 0$	sign
rel KE	Yes	Yes	$-$
$\vec{L}\cdot \vec{S}$	No	Yes	$+/-$
Darwin	Yes	No	$+$

the Darwin term reduces the binding energy, because it sort of takes a cusp (a point of transition between two different states) away from the Coulomb interaction.

Spin-orbit is not diagonal in $\vec{L}, \vec{S}$ . So what we have to do is we have to introduce now:

$$\begin{align} (\vec{L} + \vec{S})^2 = \vec{J}^{2} \end{align}$$ $$\begin{align} \vec{L}\cdot \vec{S} = \frac{1}{2}(\vec{J}^2 - \vec{L}^2 - \vec{S}^2) \end{align}$$

So, therefore, the LS interaction is diagonal in the J basis.

加上 Kinetic 和 Darwin 项之后, $^2S_{1/2}, ^2P_{1/2}$ 又重新简并. If we would use a non-relativistic approach, and derive the Darwin term, the spin orbit term, and the relativistic correction separately, there would be no reason. It would just look like a freak(a thing, person, animal, or event that is extremely unusual or unlikely, and not like any other…) accident in nature that those two levels come out equal. However, it's not a freak accident. *It's a symmetry of the Dirac equation.* So all those corrections have a deep connection in relativistic physics. And relativistic physics preserves the degeneracy in $J$ .

Fine structure does not lift the degeneracy between $^2S_{1/2}$ and $^2P_{1/2}$ . When we use the Dirac equation, we can get an exact expression for the fine structure:

$$\begin{align} E_{\mathrm{F.S.}} = \alpha^2 mc^2 \left(-\frac{\alpha^2}{2n^4}\right) \left(\frac{n}{j+\frac{1}{2}} - \frac{3}{4} \right) \end{align}$$

and then the fine structure only depends on $J$ , and not on $L, S$ separately . So that tells us that eventually the spin of the electron and the fine structure really have deep origins in the relativistic nature of the underlying physics.

但这个简并只对单电子的系统有效. 见 Demtröder, W. Atoms, Molecules and Photons: An Introduction to Atomic-, Molecular- and Quantum Physics. (Springer Berlin Heidelberg, 2018) 第 167, 168 页 5.5.4 Spin-Orbit Coupling and Fine Structure.

So that means at the level of $10^{-4}$ eV, we understand atomic structure. But we want to go further. And the next thing we want to discuss is that --- what is the exact degeneracy between $^2S_{1/2}$ and $^2P_{1/2}$ which is actually lifted when we introduce photons when we allow the electrons to couple to the electromagnetic field, that's QED. And that introduces the Lamb shift (the nucleus is a point charge, has no structure).

When we bring in the proton. So far we have said there is a point charge, but the proton is a particle which has finite size. But also, it has finite angular momentum. And then we have HFS.

Lamb Shift (QED)

The discovery of this lifting of the degeneracy actually opened up the field for the development of quantum electrodynamics.

If you fully quantize the electromagnetic field, you have a vector potential which describes the vacuum mode. And you have a vector potential, which is the operator of the fully-quantized field. And if you now carry out second-order perturbation theory in this operator $A$ of the quantized electromagnetic field. In other words, you allow the atom or the electron in the atom to couple to all the empty modes of the vacuum. Then you obtain the Lamb shift in its full beauty.

The nature of the Lamb shift is the coupling to the vacuum modes. But I want to capture that now in a semi-classical picture.

Simple picture due to Welton & Weisskopf

the vacuum is filled with a zero point energy of the electromagnetic field.

EM modes have zero point energy $\frac{1}{2}\hbar\omega$ density of modes (per volume and frequency interval)

Now in addition to its own trembling motion, the electron is now shaken by the electric field of vacuum. And this leads to an additional smear out. This is the Lamb shift.

$$\begin{align} \rho(\nu) \mathrm{d}\nu = 8\pi \frac{\nu^2}{c^3}\mathrm{d}\nu \end{align}$$

zero point density

$$\begin{align} W_0 = \frac{1}{2}h\nu \rho(\nu) = 4\pi\frac{h\nu^3}{c^3} = \frac{1}{8\pi} E_{\nu^2} \end{align}$$

So therefore, what we derive from this picture, that the vacuum is filled with an oscillating electric field. And this oscillating electric field is characterized by a value, by a spectral density

$$\begin{align} E_{\nu}^2 = \frac{32\pi^2 h\nu^3}{c^3} \end{align}$$

What is the effect of such a field on a free electron? And we will later discuss that for very high-frequencies, an electron can be regarded as free.

$$\begin{align} m \ddot{s_{\nu}} =& e E_{\nu} \cos (2\pi\nu t) \\ \Rightarrow s_{\nu} =& \frac{e E_{\nu}}{2\pi \nu^2 m}(- \cos(2\pi\nu t)) \end{align}$$

where $s$ is coordinate of electron.

Of course, the phase is random, so we're not interested in the amplitude . We are interested in sort of an average amplitude square or an RMS amplitude.

$$\begin{align} \bar{S_{\nu}^2} = \frac{e^2}{32\pi^4m^2\nu^4}E_{\nu}^2 = \frac{c^2h}{\pi^2 m^2 e^3}\frac{1}{\nu} \end{align}$$

like Darwin term

$$\begin{align} \Delta V = \frac{s_{\nu}^2}{6} \nabla^2 V(r) = \frac{s_{\nu}^2}{6} \cdot 4\pi z\delta(r) \end{align}$$

These smear out ( $s_{\nu}^2$ ) of the electron leads to a change of the average Coulomb potential. And that means now that we get a change of the binding energy of the electron, which is nothing else in perturbation theory than the matrix element of the perturbation operator

$$\begin{align} \delta W_{\nu} = \frac{2\pi}{3} e^2 s_{\nu}^2 \langle \psi | \delta(r) | \psi\rangle \end{align}$$

$\langle \psi | \delta(r) | \psi\rangle$ only affects s electron $\frac{Z^3}{\pi n^3a_0^3}$

integrate over $\nu$

$$\begin{align} \delta W = \frac{4}{3\pi}\alpha^3 \frac{Z^4}{n^e} \mathrm{ln} \left[ \frac{\nu_{\mathrm{max}}}{\nu_{\mathrm{min}}} \right] \end{align}$$

we have divergences at both ends. So we need a cutoff at a minimum and at a maximum frequency. $\nu_{\mathrm{max}} \approx mc^2$ , $\nu_{\mathrm{min}} =$ frequency of the orbital electron

$$\begin{align} \frac{Z^2}{n^3} 2 \mathrm{Ryd.} \end{align}$$

$$\begin{align} \frac{\nu_{\mathrm{max}}}{\nu_{\mathrm{min}}} \approx \frac{n^3}{Z^2\alpha^{2}} \end{align}$$

if we apply it to 2s state which is most important because there is the degeneracy between $^2S_{1/2}$ and $^2P_{1/2}$ to be lifted, we get a result that the energy splitting is now

$$\begin{align} \delta W = \frac{1}{6\pi}\alpha^3 \mathrm{ln}\frac{8}{\alpha^2}\approx 1600 \mathrm{MHz} \end{align}$$

exact value is 1058 MHz.

Reference

S. S. Hodgman, R. G. Dall, L. J. Byron, K. G. H. Baldwin, S. J. Buckman, and A. G. Truscott Phys. Rev. Lett. 103, 053002 – Published 30 July 2009
Phys. Rev. Lett. 100, 023001 – Published 15 January 2008, Experimental Determination of the Helium $2^3P_1–1^1S_0$ Transition Rate
Wikipedia: Zitterbewegung
Wikipedia: Welton
Wikipedia: Weisskopf
Demtröder, W. Atoms, Molecules and Photons: An Introduction to Atomic-, Molecular- and Quantum Physics. (Springer Berlin Heidelberg, 2018)
wikipedia: Fine structure

多体系统的密度算符, 密度矩阵, 多体系统的单体密度算符, 密度矩阵小结

2022-01-01T00:00:00+08:00

新年快乐!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Signle particle

单粒子的情况, 参考 Sakurai & Napolitano 中的讨论, 以及 Wolfgang Ketterle 的 AMO 公开课第五讲.

Many body system Density operator $\hat{\rho}_N$, Density matrix $\rho_N$

对于一个 $N$ 粒子的多体纯态 $|\Psi_{\mathrm{N-particles}}\rangle$ , 其 density operator 定义为

$$\begin{align} \hat{\rho}_N \equiv |\Psi_{\mathrm{N-particles}}\rangle\langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}| \end{align}$$

选取一组基底, 写出 density opertor 在此基底下的表示矩阵, 即为 density operator. 例如有一组正交归一的单粒子本征态 $\{| \alpha\rangle\}$ , 系统的基底选取为 $N$ 个单粒子态的直积 (Negele & Orland Eq.(1.27))

$$\begin{align} |\alpha_1 , \alpha_2, \cdots, \alpha_N) \equiv |\alpha_1\rangle \otimes |\alpha_2\rangle \otimes \cdots\otimes |\alpha_N\rangle \end{align}$$

需要注意:

1. 这里等式左边不是 $|\rangle$ , 而是 $|)$ . 区别在于后者没有对费米子或是玻色子做反对
2. $N$ 是多体系统总的粒子数, 而不是单粒子本征态 $\{| \alpha\rangle\}$ 的个数. 称或者是对称化处理. 它的完备性可以写为

$$\begin{align} \sum_{\alpha_1, \cdots,\alpha_N}|\alpha_1 , \alpha_2, \cdots, \alpha_N) (\alpha_1 , \alpha_2, \cdots, \alpha_N| = 1 \end{align}$$

因此在这样一组基底下, density opertor 的矩阵表示, 也就是 density matrix 可以写为

$$\begin{align} &\rho_N(\alpha_1 , \alpha_2, \cdots, \alpha_N ;\alpha_1' , \alpha_2', \cdots, \alpha_N')\\ =& (\alpha_1 , \alpha_2, \cdots, \alpha_N| \hat{\rho}_N |\alpha_1' , \alpha_2', \cdots, \alpha_N') \\ =& (\alpha_1 , \alpha_2, \cdots, \alpha_N| \Psi_{\mathrm{N-particles}}\rangle\langle\Psi_{\mathrm{N-particles}} |\alpha_1' , \alpha_2', \cdots, \alpha_N') \end{align}$$

一种特殊的情况是将基底选为空间坐标, 就可以写成多体波函数的形式

$$\begin{align} \rho_N(r_1 , r_2, \cdots, r_N ;r_1' , r_2', \cdots, r_N') = \Psi_{\mathrm{N-particles}}(r_1 , r_2, \cdots, r_N) \Psi^{*}_{\mathrm{N-particles}}(r_1' , r_2', \cdots, r_N') \end{align}$$

其中波函数为 (Negele & Orland Eq.(1.49))

$$\begin{align} \Psi_{\mathrm{N-particles}}(r_1 , r_2, \cdots, r_N) = (r_1 , r_2, \cdots, r_N| \Psi_{\mathrm{N-particles}}\rangle \end{align}$$

如果我们对 $\rho_N$ 求 trace, 也就是对取 $r_1' = r_1, r_2' = r_2, \cdots, r_N' = r_N$ , 再对所有这些指标求和, 会发现结果是 $1$ , 从多体波函数 $\Psi_{\mathrm{N-particles}}(r_1 , r_2, \cdots, r_N)$ 的归一化也可以看出这一点.

Example: 2 Fermions $2$ spin $1/2$ Fermions, 一个在 spin up, 一个在 spin down, 并且空间波函数是交换对称的. 考虑其自旋部分的 density opertor. 因为 Fermion 总的波函数是交换反对称的, 而这里已经假设空间波函数是交换对称的, 所以自旋部分只能是交换反对称的. 反对称化(只有单个粒子处于的态正交时才能够这样反对称化, 详见 Negele, J. W. & Orland)后的 $2$ 粒子态的自旋部分为(也就是自旋单态) \begin{align} |\Psi_{\mathrm{2-particles}} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle - |\downarrow\rangle\otimes|\uparrow\rangle) \end{align} 选取单粒子态基底为 $\{|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle\}$ . 在此基底下, spin up 和 spin down 表示为 \begin{align} |\uparrow\rangle \sim& \begin{pmatrix} \langle\uparrow|\uparrow\rangle \\\langle\downarrow|\uparrow\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \\ |\downarrow\rangle \sim& \begin{pmatrix} \langle\downarrow|\uparrow\rangle \\\langle\downarrow|\uparrow\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \end{align} 其中 $\sim$ 表示 'represented by' (参见 Sakurai & Napolitano). 直积 \begin{align} |\uparrow \downarrow ) = |\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle &\sim \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times 0 \\1\times 1\\ 0\times 0\\0\times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix} \\ |\downarrow \uparrow) = |\downarrow\rangle\otimes|\uparrow\rangle& \sim\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix} \end{align} 也就是说 \begin{align} |\Psi_{\mathrm{2-particles}} \rangle \sim\begin{pmatrix} (\uparrow \uparrow |\Psi_{\mathrm{2-particles}} \rangle\\ (\uparrow \downarrow |\Psi_{\mathrm{2-particles}} \rangle\\ (\downarrow \uparrow |\Psi_{\mathrm{2-particles}} \rangle\\ (\downarrow \downarrow |\Psi_{\mathrm{2-particles}} \rangle \end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\0 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1\\0 \end{pmatrix} \end{align} 也可以这样算, 比如 \begin{align} (\uparrow \uparrow |\Psi_{\mathrm{2-particles}} \rangle = \langle \uparrow |\otimes \langle\uparrow|\Psi_{\mathrm{2-particles}} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (\langle \uparrow |\otimes \langle\uparrow|)\cdot(|\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle - |\downarrow\rangle\otimes|\uparrow\rangle) \end{align} 其中 \begin{align} \langle \uparrow |\otimes \langle\uparrow|\cdot|\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle = \langle\uparrow|\uparrow \rangle\langle\uparrow|\downarrow\rangle = 0 \end{align} 如此这般, 所有的项都可以算出来. Density operator and density matrix \begin{align} \hat{\rho}_N =& |\Psi_{\mathrm{2-particles}} \rangle\langle\Psi_{\mathrm{2-particles}} |\sim \rho \\ =& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 &1 & -1 &0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & -1 & 0\\ 0& -1 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align} 很明显, 它的迹是 $1$ .

Reduced density matrix

按照 C. N. Yang 1962 中单体密度算符的定义

$$\begin{align} \langle j | \rho_1 | i\rangle \equiv \mathrm{Sp} \, a_j \rho a_i^{\dagger} \end{align}$$

其中 $i, j$ 表示单粒子态.

用这篇博客里的符号来表达就是

$$\begin{align} \rho_1(\alpha; \alpha') \equiv \sum_{\alpha_2, \alpha_3,\cdots \alpha_N} (\alpha_2, \alpha_3, \cdots \alpha_N |\hat{a}_{\alpha} \hat{\rho}_N \hat{a}_{\alpha'}^{\dagger}| \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N) \end{align}$$

也就是

$$\begin{align} \rho_1(\alpha, \alpha')=& \sum_{\alpha_2, \alpha_3,\cdots \alpha_N} (\alpha_2, \alpha_3, \cdots \alpha_N |\hat{a}_{\alpha} |\Psi_{\mathrm{N-particles}}\rangle \langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\hat{a}_{\alpha'}^{\dagger}| \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N) \\ =& \langle \Psi_{\mathrm{N-particles}} |\hat{a}_{\alpha'}^{\dagger} \hat{a}_{\alpha} | \Psi_{\mathrm{N-particles}}\rangle \end{align}$$

现在, 有一个问题, 我们想知道 $\rho_1(\alpha; \alpha')$ 与 $\rho_N(\alpha_1, \alpha_2,\cdots, \alpha_N; \alpha_1', \alpha_{2}',\cdots \alpha_N')$ 的关系. 注意

$$\begin{align} \langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\hat{a}_{\alpha'}^{\dagger}| \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N) \neq \langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\sqrt{n_{\alpha'} +1}| \alpha', \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N) \end{align}$$

其中 $n_{\alpha'}$ 表示 $\alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N$ 中有多少个与 $\alpha'$ 相同的态. 产生算符应该作用在对称化过的态上, 即

$$\begin{align} \hat{a}_{\alpha'}^{\dagger}| \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N\rangle = \sqrt{n_{\alpha'} +1}| \alpha', \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N\rangle \end{align}$$

二者之间的关系为 (Negele & Orland Eq.(1.46))

$$\begin{align} |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{N! \prod_\alpha n_{\alpha}!}} \sum_P\zeta^P |\alpha_{P1} , \alpha_{P2}, \alpha_{P3}, \cdots , \alpha_{PN} ) \end{align}$$

其中 $P$ 表示置换, $\zeta = \pm 1$ (Boson $+1$ , Fermion $-1$ ) . 因此有

$$\begin{align} &\langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}| \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N\rangle \\ =& \frac{1}{\sqrt{N! \prod_\alpha n_{\alpha}!}} \sum_P\zeta^P\langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\alpha_{P1} , \alpha_{P2}, \alpha_{P3}, \cdots , \alpha_{PN}) \\ =& \frac{1}{\sqrt{N! \prod_\alpha n_{\alpha}!}} \sum_P\zeta^P\cdot \zeta^P\langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\alpha_{1} , \alpha_{2}, \alpha_{3}, \cdots , \alpha_{N}) \\ =& \frac{1}{\sqrt{N! \prod_\alpha n_{\alpha}!}} N! \langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\alpha_{1} , \alpha_{2}, \alpha_{3}, \cdots , \alpha_{N}) \\ =& \sqrt{\frac{N!}{ \prod_\alpha n_{\alpha}!}} \langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\alpha_{1} , \alpha_{2}, \alpha_{3}, \cdots , \alpha_{N}) \end{align}$$

同理

$$\begin{align} &\langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}| \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N\rangle \\ =&\langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\frac{1}{\sqrt{n_{\alpha_1}}}\hat{a}^{\dagger}_{\alpha_1} |\alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N\rangle \\ =& \frac{1}{\sqrt{n_{\alpha_1}}}\sqrt{\frac{(N - 1)!}{\frac{1}{n_{\alpha_1}} \prod_\alpha n_{\alpha}!}} \langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\hat{a}^{\dagger}_{\alpha_1}|\alpha_{2}, \alpha_{3}, \cdots , \alpha_{N}) \\ =& \sqrt{\frac{(N - 1)!}{ \prod_\alpha n_{\alpha}!}} \langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\hat{a}^{\dagger}_{\alpha_1}|\alpha_{2}, \alpha_{3}, \cdots , \alpha_{N}) \end{align}$$

这样就得到

$$\begin{align} \sqrt{N}\langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\alpha_{1} , \alpha_{2}, \alpha_{3}, \cdots , \alpha_{N}) = \langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\hat{a}^{\dagger}_{\alpha_1}|\alpha_{2}, \alpha_{3}, \cdots , \alpha_{N}) \end{align}$$

因此我们就知道了 $\rho_1(\alpha, \alpha')$ 与 $\rho_N(\alpha_1, \alpha_2,\cdots, \alpha_N; \alpha_1', \alpha_{2}',\cdots \alpha_N')$ 的关系, 即

$$\begin{align} \rho_1(\alpha; \alpha') =& \sum_{\alpha_2, \alpha_3,\cdots \alpha_N} (\alpha_2, \alpha_3, \cdots \alpha_N |\hat{a}_{\alpha} |\Psi_{\mathrm{N-particles}}\rangle \langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\hat{a}_{\alpha'}^{\dagger}| \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N) \\ = & N \sum_{\alpha_2, \alpha_3,\cdots \alpha_N} (\alpha, \alpha_2, \alpha_3, \cdots \alpha_N |\Psi_{\mathrm{N-particles}}\rangle \langle\Psi_{\mathrm{N-particles}}|\alpha', \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_N) \\ = & N \sum_{\alpha_2, \alpha_3,\cdots \alpha_N} \rho_N(\alpha, \alpha_2,\cdots, \alpha_N; \alpha', \alpha_{2},\cdots \alpha_N) \end{align}$$

也就是说, 多体系统的单体密度矩, 就是将多体系统的密度矩阵求偏迹 (Partial trace), 只留下一对指标. 如果我们对 $\rho_1(\alpha, \alpha')$ 求 trace, 会发现

$$\begin{align} \sum_{\alpha} \rho_1(\alpha; \alpha) = N \end{align}$$

此即 C. N. Yang 1962 中的 Eq.(4) .

我们可以 inductive 地定义多体系统的两体算符, 三体算符等等.

Example 1: 3 Bosons $2$ 个本征态, $\{|\alpha\rangle , |\beta\rangle\}$ , 3 个 Boson, 全都处于 $|\alpha\rangle$ 态. 在 $\{|\alpha\rangle , |\beta\rangle\}$ 基底下 \begin{align} |\Psi_{\mathrm{3-particles}} \rangle &= \frac{1}{\sqrt{3! 3!}} \cdot 3! |\alpha, \alpha, \alpha) \\ &\sim (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)^T \end{align} density opertor and density matrix \begin{align} \hat{\rho}_3 \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align} \begin{align} \hat{\rho}_1 \sim 3 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} \end{align} 可以发现 $\rho_1$ 的对角元表示每个本征态上的粒子数

Example 2: 3 Bosons $2$ 个本征态, $\{|\alpha\rangle , |\beta\rangle\}$ , 3 个 Boson (记为 $A, B, C$ ), 两个处于 $|\alpha\rangle$ 态, 一个处于 $|\beta\rangle$ 在 $\{|\alpha\rangle , |\beta\rangle\}$ 基底下(如果我没算错的话) \begin{align} \hat{\rho}_3 \sim\rho_3= \frac{2!}{3!}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align} 两体密度矩阵 \begin{align} \hat{\rho}_2 \sim\rho_2 = 3(3-1)\mathrm{Tr}_C\rho_{3} = 3(3-1)\frac{2!}{3!}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align} 单体密度矩阵 \begin{align} \hat{\rho}_1 \sim\rho_1 = 3\mathrm{Tr}_{BC}\rho_{3} = 3\frac{2!}{3!}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align}

再次验证了 $\rho_1$ 的对角元表示每个本征态上的粒子数. 此即 Hui Zhai 书上的 Eq.(3.7)

$$\begin{align} \rho(\vec{r}, \vec{r}') = \sum_i N_i \psi_i^{*} (\vec{r}) \psi_i(\vec{r}') \end{align}$$

Mixed state

上述内容均在纯态中讨论, 可以容易地推广到混合态.

Reference

J. J. Sakurai & Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics, second edition. Chap 3.4, dneisyt operators and pure versus mixed ensembles
MIT Open Courses: Atomic and Optical Physics I
Negele, J. W. & Orland, H. Quantum many-particle systems. (Perseus Books, 1998). Chapter 1
$|\rangle\langle|$ 对应 [[eww:https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product][Outer product]] , $\otimes$ 对应 Tensor product of linear maps
Yang, C. N. Concept of Off-Diagonal Long-Range Order and the Quantum Phases of Liquid He and of Superconductors. Rev. Mod. Phys. 34, 694–704 (1962). 文章中 $\mathrm{Sp}$ 即为迹 $\mathrm{Tr}$ , 参见 Spur .
Partial trace
Zhai, H. Ultracold atomic physics. (Cambridge University Press, 2020).

Atomic and Optical Physics I, 06 Atoms II: Hydrogen

2021-12-14T00:00:00+08:00

Information

官方介绍: https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-421-atomic-and-optical-physics-i-spring-2014/
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Atomic units

Natural units, atomic units.

In atomic units, no speed of light $c$ , because there is no speed of light in Schrodinger Equation. So, atomic units

- charge of electron: $e$ - mass of electron: $m$ - $h$

Length (Bohr radius): $a_0 = \frac{\hbar^2}{m e^2}$

Energy (One Hartree 27.2 eV): $\frac{e^4m}{\hbar^2} = \left( \frac{e^2}{\hbar c} \right)^2m^2c^2 = \alpha^2m c^2$ , where $\alpha = 1/137$ .

Velocity: $mv^2 = \frac{e^4m}{\hbar^2}$ , $v = \frac{e^2}{\hbar} = \alpha c$

Electric field: $\frac{e}{a_0^2} = 5.1\times 10^9 \mathrm{V/cm}$

Fine-structure constant: $\alpha$

The fundamental constant which should ultimately be predicted by a complete theory.

$\alpha \ll 1$ means: electromagnetic interactions are weak.

If energy uncertainties become $\Delta E = mc^2$ , then the concept of single particles breaks down. $\Delta E = mc^2 \Rightarrow \Delta p \sim m c, \Delta x \sim \frac{\hbar}{mc} = \lambda_{\mathrm{Compton}}$ .

Coulomb interaction at $\lambda_{\mathrm{Compton}}$ : $E_{\mathrm{Compton}} = \frac{e^2}{\lambda_{\mathrm{Compton}}} = \frac{e^2mc}{\hbar}$

So, "strongest" Coulomb interaction

$$\begin{align} \frac{E_{\mathrm{Compton}}}{mc^2} = \frac{\frac{e^2mc}{\hbar}}{mc^2} = \frac{e^2}{\hbar c} = \alpha \end{align}$$

One electron atoms with cores

$$\begin{align} E_n \sim \frac{R}{n^2} \end{align}$$

What is the leading correction to the properties of this atom due to the fact that we have an ionic core instead of a proton?

receives correction

- A. $\frac{R}{n^2} + \delta$ - B. $\frac{R}{n^2} + \frac{\delta}{n^2}$ - C. $\frac{R}{n^2} + \frac{\delta}{n^3}$ - D. $\frac{R}{(n - \delta)^2}$

C, D are both right.

Derivation:

Perturbation theory

$$\begin{align} \psi_{nl}(r) \overset{r \to 0}{\rightarrow} r^l \frac{1}{n^{3/2}} \end{align}$$ $$\begin{align} H = H_0 + H' \end{align}$$

$H'$ is localizes around origin, so

$$\begin{align} \Delta E_n = \langle \psi_{nl} | H' | \psi_{nl} \rangle\propto \frac{1}{n^3} \end{align}$$

exact $\frac{\delta_l2R}{n^3}$ . this means

$$\begin{align} - E_n = \frac{R}{n^2} + \frac{2 R\delta_l}{n^3} = \frac{R}{(n - \delta_l)^2} \end{align}$$

$\delta_l$ : quantum defect.

Other derivations: JWKB , model $H' \propto \frac{1}{r^2}$ .

Spectroscopic notation

Isolated atom. We have (good) quantum number $J, M_{J}$ , we call

one level has $2J + 1$ sublevels(or states)

$\vec{J}$ can have contributions from several $e^-$ , from spin $\vec{S}$ and orbital angular momentum $\vec{L}$

Often(light atoms), the different electrons umndergo LS coupling.

$$\begin{align} \vec{L} = \sum \vec{l}_i , \quad \vec{S} = \sum \vec{s}_i \end{align}$$

So let's assume we have an atom which has total angular momentum $J$ , which is the sum of orbital angular momentum and spin

$$\begin{align} \vec{J} = \vec{L} + \vec{S} \end{align}$$

in this case a level is designated by

$$\begin{align} ^{2S + 1}L_{J}, \quad L = S, P, D, \cdots \end{align}$$

Hydrogenic atom: preceed term by the principal quantum number n.

Example: Na( $n = 3$ ) \begin{align} 3^2S_{1/2} \end{align} first excited states \begin{align} 3^2P_{1/2, 3/2} \end{align}

sometimes one specifies the configuration

$$\begin{align} 1s^2, 2s^2, 2p\cdots \end{align}$$

products of symbols $nl^m$ .

Na: $1s^22s^22p^63s$

The helium atom: effects of two electrons

Ref: Sec1 Conhen-Tannoudji QM, Gasiorowicz

Ground states

If we regard it as a hydrogen problem, and we put two electrons into the $1s$ state ( $(1s)^2$ ), we would expect that, based on the hydrogenic model, the binding energy of that is, per electron, $13.6Z^2 = 54.4 \mathrm{eV}$ . So that would mean that the binding energy of the ground states is $-108 \mathrm{eV}$ . However, the experimental result is $- 79 \mathrm{eV}$ . So we find that there is a big discrepancy of $29 \mathrm{eV}$

$$\begin{align} -108 & \mathrm{eV} \\ -79 & \mathrm{eV} \\ ---------&---- \\ 29 & \mathrm{eV} \end{align}$$

We neglected $e^--e^{-}$ interactions! Perturbation operator

$$\begin{align} V' = \frac{e^2}{r_{12}} \end{align}$$ $$\begin{align} \psi_G = \psi_{100}(1)\psi_{100}(2) \end{align}$$ $$\begin{align} \Delta E = \langle \psi_G | V' | \psi_G\rangle = 34 \mathrm{eV} \end{align}$$

removes most of the discrepancy!

Improve by variations wavefunction $Z \to Z^{*}$ .

First excited states

Starting again with the hydrogenic model. In hydrogen, the 2s and 2p state are degenerate, so we have two configurations contributing to the same energy, 1s2s and 1s2p . The binding energy in the hydrogen model is a quarter of a Rydberg $3.4 \mathrm{eV}$ . We have to scale it by $Z^2$ , and we find $13.6 \mathrm{eV}$ .

But now what happens is that we have to introduce the Coulomb energy between the electrons. And if you do that, it shifts up the levels in different ways. So why it is different?

You have two electrons, and you have the helium nucleus. First you put in the 1s electron, and now the second electron, when it is in a 2p state, it's further out. And it pretty much experiences the charge of the helium nucleus shielded by the 1s electron, and therefore, it sees in effect a smaller nuclear charge. Whereas, the 2s electron penetrates deeper, gets closer to the nucleus and will still realize that the nucleus has a charge of 2, and not a shielded charge. So, therefore, you would expect that the shielding effect due to the innermost electron is more important, has a bigger effect for 2p electron than for the 2s electron. And therefore, *the 2p electron has a smaller binding energy* . It's actually comparable to the binding energy of the 2p state in hydrogen (4eV). And this effect is smaller for 2s state.

But now, each level under goes further splitting. We will have two different terms for (1s2s), one is singlet $^1S_0$ , and one is triplet $^3S_1$ . And this splitting is $0.8 \mathrm{eV}$ . The same for 1s2p $^3P_{2, 1, 0}$ , $^1P_1$ . the splitting is also on the order of an eV (0.25 eV).

How can the spin cause a splitting? Because the spin so far has not appeared in our Hamiltonian. We really have a Hamiltonian which has only the Coulomb energy, and the spin is not part of it. We don't have a magnetic field, to which the magnetic momentum of the spin would couple. And also we have not yet introduced spin orbit coupling. But if this is on you mind, take it off you mind. Spin orbit coupling is a much, much smaller effect. Energies on the order of 1 electron volt, you just cannot get from spin orbit coupling. Spin orbit coupling is smaller that electronic energies. It is smaller by the fine structure constant. So the typical scale for spin orbit coupling is much smaller.

So, we are focusing now on the splitting.

Wave function $\psi_{S, A}\times \mathrm{SPIN}$

$$\begin{align} \psi_{S, A} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \psi_{100}(r_1)\psi_{200}(r_2) \pm \psi_{100}(r_2)\psi_{200}(r_1) \right] \end{align}$$

$S$ : symmetry spatial WF, $S = 0$ , $^1S_0$ . $A$ : antisymmetry spatial WF, $S = 1$ , $^3S_1$ .

As long as we have non-interacting electron, the two wave functions are degenerate. But now we want to bring in the Coulomb energy between the two electrons $\frac{e^2}{r_{12}}$

$$\begin{align} \Delta E =& \frac{1}{2}\int \int \frac{e^2}{r_{12}} \left[|\psi_{100}(r_1)|^2|\psi_{200}(r_2)|^2 + (r_1\leftrightarrow r_{2})\right] \pm \frac{1}{2}\int \int \frac{e^2}{r_{12}} \left[\psi_{100}^{*}(r_1)\psi_{200}^{*}(r_2) \psi_{100}(r_2)\psi_{200}(r_1)+ (r_1\leftrightarrow r_{2})\right] \\ =& \Delta E^{\mathrm{Coul}} \pm \Delta E^{\mathrm{exch}} \end{align}$$

$\Delta E^{\mathrm{exch}}$ DEPENDS on spin. Triplet state has lower energy, because antisymetirc spatal WF reduces the $e^--e^-$ repulsive interaction. This can be written as ( $S = 0, 1$ )

$$\begin{align} \Delta E = \alpha + \beta \vec{S}_1\cdot \vec{S}_2 \end{align}$$

use

$$\begin{align} 2\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2 = - \vec{S}_1^{2} - \vec{S}_2^{2} + \vec{S}^2 \end{align}$$

we get

$$\begin{align} \Delta E = (\alpha - \frac{1}{4}\beta) \pm (-\frac{\beta}{2}) \end{align}$$

where $\alpha - \frac{1}{4}\beta = \Delta E^{\mathrm{Coul}}, -\frac{\beta}{2} = \Delta E^{\mathrm{exch}}$ . It looks like a ferromagnetic spin-spin interaction. And well, it looks like it, it is actually an effective ferromagnetic spin-spin interaction. However, the coupling is purely electrostatic, not magnetic.

New feature of two electrons

What about possible transitions between triplet and singlet?

Question: What Fields(couplings) drive singlet-triplet transition?

- A. optical fields (dipole operator) - B. rotating magnetic fields - C. boths - D. none

ANSWER: $\Delta S = 0$ , selection rule. Dipole operator acts only on spatial WF, NOT in spin part. Transverse B fields: $S_x, S_y, S_{x, y} = (S^+ \pm S^-)/\sqrt{2}$ , so $|S| = \mathrm{const}$ .

Reference

Atomic and Optical Physics I, 05 Resonance V and Atoms I

2021-11-24T00:00:00+08:00

Information

官方介绍: https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-421-atomic-and-optical-physics-i-spring-2014/
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Need for Density Operator

Schrodinger Equations deals only with pure states, can not describe loss and coherence.

Exception:

can be still use a Hamiltonian with complex eigenvalues. 因为这种情况下我们只关心 $|e\rangle, |g\rangle$ 两个态, 不关心 decay 到的态

$$\begin{align} E_g \rightarrow E_g + \frac{\mathrm{i}\Gamma_{gl}}{2} \end{align}$$

However, many other proceesses require density matrix, such as spontaneous emission

因为此时我们对两个态都关心.

Density Operator

把态 $|\psi\rangle$ 在基底下展开

$$\begin{align} |\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t) |\psi_n\rangle \end{align}$$

Operator $A$ 的期望为

$$\begin{align} \langle A\rangle_t =& \langle \psi(t) | A | \psi(t)\rangle = \sum_{m, n} c_m(t) c_n^{*}(t)A_{nm} \\ =& \sum_{m, n} \rho_{mn}(t) A_{nm} = \mathrm{Tr}(\rho(t) A) \end{align}$$

where

$$\begin{align} A_{nm} =& \langle \psi_n |A|\psi_m\rangle \\ \rho_{mn} =& c_m(t) c_n^{*}(t) \\ \rho(t) =& |\psi(t)\rangle \langle\psi(t)| \end{align}$$

$\rho_{mn}$ : populations, $\rho_{mm}$ : coherence.

Now, 考虑一个混合态 $\sum_i P_i|\psi_i(t)\rangle = \sum_i\sum_n P_ic_n^i(t)|\psi_n\rangle$ , 相应的

$$\begin{align} \rho(t) = \sum_i P_i |\psi_i(t)\rangle \langle\psi_i(t)| \end{align}$$

此时 $A$ 的期望为还可以写为

$$\begin{align} \langle A\rangle_t = \mathrm{Tr}(\rho(t) A) \end{align}$$

不过此时 $\langle A\rangle$ 有 two averages: quantum average, ensemble average with $P_i$ . The advantage of the density matrix formalism is that two kinds of averages can be done simultaneously in a very compact formalism!

Apply Schrodinger equation to each $\psi_i$ , we get

$$\begin{align} \mathrm{i}\hbar \dot{\rho} = [H, \rho] \end{align}$$

Properties

$$\begin{align} \mathrm{Tr} \rho =& \sum_iP_i = 1 \\ \mathrm{Tr} \rho^2 =& \sum_i P_i^2 \le 1 \\ =& 1 \quad \mathrm{for\,pure\,state} \end{align}$$

So far, I've presented you the density matrix just as an elgent way of integrating the two averages into one formalism. And in essence, this is what it is. But you can now also use the density if the wholes system undergoes a time evolution, which is no longer unitary, no longer described by Hermition operator. Because you're interested in the time evolution or a small system, which is a part of a bigger system. The bigger system is always described by unitary time evolution, but smaller system is usually not described by unitary time evolution. And that's when the density matrix becomes crucial.

Next: use $\rho$ for no-unitary time evolution. Often open systems (small system, but open to a bigger system. Like we are interested to describe an atom, but the atom can spontaneously emit photons into other parts of Hilbert space, and we're not interested in thoses other parts.) Where we limit our description to a small part of larger system. An atom interacting with all the modes of the electromagnetic field, but we are simply want to describe the atom. And then, we cannot use a wave function anymore. We have to use the density matrix.

Density Matrix for Arbitrary Two-level System

General Hamiltonian for two-level System

$$\begin{align} H = \frac{\hbar}{2}\left(\bar{\omega} I + \omega_{1}\sigma_{x} + \omega_2\sigma_y + \omega_3\sigma_z \right) \end{align}$$

By appropriately shifting what is the zero point of energy, we can set $\bar{\omega} = 0$

$$\begin{align} H = \frac{\hbar}{2}\left(\omega_{1}\sigma_{x} + \omega_2\sigma_y + \omega_3\sigma_z \right) = \frac{\hbar}{2} \vec{\omega} \cdot\vec{\sigma} \end{align}$$

General density matrix

$$\begin{align} \rho = \frac{1}{2} \left( r_0 I + r_1\sigma_x + r_2\sigma_y +r_3\sigma_z \right) \end{align}$$

Of course, this time we cannot throw away the unity matrix, because otherwise the density matrix would have no trace. 但是 $\mathrm{Tr}\rho = 1$ , 所以 $r_0 = 1$

$$\begin{align} \rho = \frac{1}{2} \left( I + \vec{r}\cdot\vec{\sigma} \right) \end{align}$$

$\vec{r}$ is called Bloch Vector . Use equation of motion $\mathrm{i}\hbar\dot{\rho} = [H, \rho]$ we get (checked! Exercise)

$$\begin{align} \dot{\vec{r}} = \vec{\omega}\times \vec{r} \end{align}$$

We see, the length of $\vec{r}$ is a constant. It is a precession! We generalizes our previous result $\dot{\vec{S}} = \vec{\omega} \times \vec{S}$ .

Feynman, R. P., Vernon, F. L. & Hellwarth, R. W. Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems. Journal of Applied Physics 28, 49–52 (1957). Theory by Feymman, Vernon and Hellwarth: The time evolution of the density matrix for the most general two-level system is isomorphic to the behavior of classical moment in a suitable time dependent magnetic field.

Note: Pure state will stay pure forever. Because

$$\begin{align} \mathrm{Tr}\rho^2 = \frac{1}{2}(r_0^2 + |\vec{r}|^2) = \mathrm{const.} \end{align}$$

Does not describe loss of coherence.

Bloch Equation (1946), Relaxation

Everything has to come to thermal equilibrium.

The density matrix of thermal equilibrium, which has only diagonal matrix elements, the populations follow the Boltzmann factor

$$\begin{align} \rho^T = \frac{1}{z} e^{-\frac{H}{k_B T}} \end{align}$$

Relaxation will restore $\rho$ to $\rho^T$ .

Phenomenological treatment of damping:

$$\begin{align} \dot{\rho} = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} [H, \rho] - \frac{\rho - \rho^T}{T_e} \end{align}$$

where $T_e$ is equilibrium time. The second term will damp the density matrix to the thermal equilibrium density.

In many cases, there are two relation times

$T_1$ : population different energy decay time, $\dot{r}_z = (\vec{\omega}\times \vec{r})_z - (r_z - r_z^T)/T_1$ .
$T_2$ : coherence, dephasing time, $r_1, r_2$ .

whem quantum system lose its memory of phase, the $r_1, r_2$ components of the Bloch vector goes to $0$ . $r_1, r_2$ only nonzero if you have two states populated with a well-defined relative phase.

Atoms Sayllabus

Kleppner, D. The Yin and Yang of Hydrogen. Physics Today 52, 11–13 (1999).

First: electronic structure:

1 e, H
2 e, He

Then:

Fine structure
Lamb shift
HFS: nucleus
External field, B, E, EM field.

Import physics system

Harmonic oscillator
Two-level system
Hydrogen

Hydrogen atoms

Rydberg formula follows from the simple Bohr model, also from Schrodinger equation

$$\begin{align} E_n = - \left(\frac{1}{2}\frac{me^4}{\hbar^2}\frac{M}{M+m} \right)\frac{1}{n^2} \end{align}$$

where Rydberg constant $R_{\infty} = \frac{1}{2}\frac{me^4}{\hbar^2}$ which describes the spectrum of a hydrogen atom where the nucleus has infinite mass, reduced mass factor $\frac{M}{M + m}$ . Rydberg constant with reduced mass factor call $R_{H}$ , which determines the spectrum of hydrogen.

小结: \begin{align} E_n = - \frac{R}{n^2} \end{align} 其中 $R = \frac{\mu e^4}{2\hbar^2}$ 有时也记作 $R_H = \frac{\mu e^4}{2\hbar^2}$, 其中 $\mu$ 是 reduced mass $\mu = \frac{m M}{m + M}$ . 如果 $M\to \infty$ 那么 $R_{\infty} = \frac{me^4}{2\hbar^2}$

Solution of Schrodinger Equation

$$\begin{align} \psi_{nlm} = R_nl(r)Y_{lm}(\theta, \phi) \end{align}$$

There are a number of noteworthy results.

$$\begin{align} E_n = - \frac{R_H}{n^2} \end{align}$$

Intuition for the size of the hydrogen atom, the size of hydrogen-like atoms. The radius or the expectation value of the position of the electron

$$\begin{align} \langle r_{nl}\rangle = n^2 a_0 \left\{1 + \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{l(l + 1)}{n^{2}} \right] \right\} \end{align}$$

It's important to distinguish between the expectation value for the radius and the inverse radius

$$\begin{align} \langle \frac{1}{r_{nl}} \rangle = \frac{1}{n^2 a_0} \end{align}$$

where $a_0 = \frac{\hbar^2}{\mu e^2}$

Virial Theorem \begin{align} \langle T \rangle = \frac{1}{2} \langle \vec{r} \cdot \nabla V(\vec{r}) \rangle \end{align} for $V = r^n$ , $2\langle T \rangle = n\langle V\rangle$

$\langle \frac{1}{r_{nl}} \rangle$ 的形式这样简单, 可以从 virial theorem 来理解. 总的能量的形式 $E_n\sim \frac{1}{n^2}$ , 库仑势能 $\langle V\rangle \sim \langle \frac{1}{r}\rangle$ , 而根据 virial theorm 有 $\langle T\rangle = -\frac{1}{2}\langle V\rangle$ , 因此 $\langle \frac{1}{r}\rangle \sim \frac{1}{n^2}$ . 精确来讲

$$\begin{align} & -\frac{R_H}{n^2} = E_n = \langle T\rangle + \langle V\rangle = \frac{1}{2}\langle V\rangle = - \frac{1}{2}e^2\langle \frac{1}{r}\rangle \\ \Rightarrow& \langle \frac{1}{r_{nl}} \rangle = \frac{1}{n^2 a_0} \end{align}$$

In CGS units

$$\begin{align} R_H = \frac{1}{2} \frac{e^2}{a_0} \end{align}$$

is one half of the Coulomb energy at the Bohr radius, which is called *one Hartree* $\frac{\mu e^4}{\hbar^2} = \frac{e^2}{a_0}$

The fundamental energy of the hydrogen atom, the fundamental unit of energy is whatever energy you can construct using the electron mass, the electron charge and $\hbar$ , and what you get is $1$ Hartree. If you ever wondered why the Rydberg is $1/2$ Hartree, what happens is in the ground state of hydrogen, you have $1$ Hartree worth of Coulomb energy. But then because of the Virial theorem, you have $-1/2$ of it as kinetic energy, and therefore, the binding energy in the $n=1$ ground state, which is $1$ Rydberg, is $1/2$ Hartree. So this factor of $1/2$ of the Virial theorem is responsible for this factor of $2$ for those two energies.

In SI units: $e^2 \to \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}$

Hydrogen-like atoms

How do things depend on the nuclear charge $Z$ ? Because of the stronger Coulomb attraction, all the length scales are divided by $Z$ . So everything is smaller by factor of $Z$ . So what does that now imply for the energy? Well, you have a Coulomb field which is $Z$ times stronger, but you probe it now at a $Z$ times smaller radius. So therefore, the energies scale with $Z^2$

$$\begin{align} E_n = - \frac{R_H Z^2}{n^2} \end{align}$$

If you have a hydrogen-like atom, and the electron is in a state with principal quantum number, no angular momentum. The probability for the electron to be at the nucleus

$$\begin{align} |\psi_{n00}(0)|^2 \end{align}$$

This will be very important later on, when we discuss hyperfine structure because what is responsible is the fact that the electron can overlap with nucleus. So this factor will appear in our discussion of hyperfine structure, and what I want to ask you is how does this quantity depend on the principal quantum number $n$ and on $Z$ ?

A. $\frac{Z^3}{a_0^3 n^6}$
B. $\frac{Z}{a_0^3 n^2}$
C. $\frac{Z^3}{a_0^3 n^3}$
D. $\frac{Z^2}{a_0 n ^2}$

The exact answer is $|\psi_{n00}(0)|^2 = \frac{Z^3}{\pi a_0^3 n^3}$

Z scaling: $e^2 \to Ze^2$ , $a_0 = \frac{\hbar^2}{m e^2}\to \frac{a_0}{Z}$ . So if all length scales go as $\frac{1}{Z}$ . So the density goes $Z^3$

When we talk about the wave functions with principal quantum number $n$ , there are two length scale. $\langle \frac{1}{r_{nl}}\rangle = \frac{Z}{a_0 n^2}$ scales with $n^2$ BUT, the characteristic length in the exponential decay of wave function is $\frac{n a_0}{Z}$ scales with $n$ .

That is important for quantum defect and hyperfine structure.

For $l\neq 0$ , $\psi\propto r^l$ , $|\psi|\propto r^{2l}$ . For large $n$ , $|\psi|\propto r^{2l}\frac{1}{n^3}$ .

Reference

Feynman, R. P., Vernon, F. L. & Hellwarth, R. W. Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems. Journal of Applied Physics 28, 49–52 (1957).
Kleppner, D. The Yin and Yang of Hydrogen. Physics Today 52, 11–13 (1999).
Friedrich, H. Theoretical Atomic Physics. (Springer International Publishing, 2017). Chap 2.1.1 The Hydrogen Atom
wikipedia: Virial theorem
wikipedia: Hartree

Atomic and Optical Physics I, 04 Resonance IV: Quantum Theory

2021-11-07T00:00:00+08:00

Information

官方介绍: https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-421-atomic-and-optical-physics-i-spring-2014/
视频列表地址: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUl4u3cNGP62FPGcyFJkzhqq9c5cHCK32

Adiabatic condition

下面推导绝热条件 (Rapid adiabatic passage 中的 adiabatic) 的具体表达式.

Larmor frequency $\Omega_L = \gamma B_{\mathrm{eff}} \gg \dot{\theta}$ . $\theta$ 是 $B_{\mathrm{eff}}$ 与 $z$ 轴的夹角.

相同的磁场变化速度, 在 $\theta = 2\pi$ 附近时, $\theta$ 变化最明显. 也就是说磁场匀速变化时, 在 $\theta = \pi/2$ 时, $\dot{\theta}$ 达到最大值, 而 $B_{\mathrm{eff}}$ 达到最小值, 因此只要考虑在 $\theta = \pi/2$ 附近的情况即可.

此时

$$\begin{align} B_{z, \mathrm{eff}} = B_0 - \frac{\omega(t)}{\gamma} \end{align}$$ $$\begin{align} \theta \approx \frac{\pi}{2} - \frac{B_{z, \mathrm{eff}}}{B_1} \end{align}$$ $$\begin{align} \dot{\theta} = \frac{\dot{\omega}}{\gamma B_1} = \frac{\dot{\omega}}{\omega_R} \ll \omega_R \end{align}$$

也就是说, the change $\Delta\omega$ in one Rabi period has to be samaller than Rabi frequency.

$$\begin{align} |\dot{\omega}| \ll \omega_R^2 \end{align}$$

Quantized spin in a magnetic field

Hamiltonia

$$\begin{align} H = - \vec{\mu}\cdot \vec{B}_0 = - \gamma \hat{L}_z B_0 \end{align}$$

由 Heisenberg eq of motion 可得

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec{\hat{\mu}} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \vec{\hat{\mu}}] = \frac{i}{\hbar}\gamma[\hat{H}, \vec{\hat{L}}] = \gamma \vec{\hat{\mu}} \times \vec{\hat{B}} \end{align}$$

这个结果是严格的! 与经典的结果是一致的.

写成期望

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \langle\vec{\hat{\mu}}\rangle = \gamma \langle\vec{\hat{\mu}}\rangle \times \vec{\hat{B}} \end{align}$$

valid for any spin
valid for spin $1/2$ $\Rightarrow$ any two level system
composite angular momentum (比如原子的总角动量) (unless $B$ field is so strong that it breaks up the coupling of the angular momentum)
valid for a system of $N$ two-level systems (e.g. Dicke superradiance).

Two level system spin $1/2$

What is the level structure of the electron in magnetic field?

Spin down is lowest state for the electron!

The magnetic moment has to point in the pulse direction( $\vec{B}$ ), which up, but the electron has negtive charge, the $\gamma$ factor is negtive and that's why for electron, the vector of spin and the vector of the magnetic momentum are oppsite. (差一负号)

$$\begin{align} \langle \mu_z \rangle = \frac{\gamma\hbar}{2}(P_{\downarrow} - P_{\uparrow}) = - \frac{\gamma\hbar}{2}(2P_e - 1) \end{align}$$ $$\begin{align} P_e(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\hbar\gamma} \langle\mu_z\rangle = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left( 1 - 2 \frac{\omega_R^2}{\Omega_R^2}\sin^2 \frac{\Omega_Rt}{2} \right) \end{align}$$

最后一个等号利用了经典图像给出的结果. $P_e$ for $P$ excited.

如果取 $P_g(t = 0) = 1$ , 那么 Rabi transition probability

$$\begin{align} P_e(t) = \frac{\omega_R^2}{\Omega_R^2} \sin^2 \frac{\Omega_Rt}{2} \end{align}$$

Spin $\frac{1}{2}$ Hamiltonian

$$\begin{align} H = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \omega_0 & \omega_Re^{-\mathrm{i}\omega t}\\ \omega_Re^{\mathrm{i}\omega t} & -\omega_0 \end{pmatrix} \end{align}$$

Question: Can be exactly realized in nature? Or it is an approximation?

Can be exactly realized in nature!

$$\begin{align} H_0 =& - \vec{\mu}\cdot \vec{B}_0 = - \gamma \hat{S}_z B_0 \\ =&\frac{\hbar}{2}\omega_0 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z \end{align}$$

$|e\rangle, |g\rangle$ eigenstates with eigenvalues $\pm \frac{\hbar\omega_0}{2}$

Now add rotating fields

$$\begin{align} H_1 =& -\vec{\mu} \cdot\vec{B}_1(t) = -\vec{\mu}\cdot \frac{\omega_R}{\gamma}(-\hat{e}_{x}\cos\omega t - \hat{e}_y\sin\omega t) \\ =& \omega_R (\hat{S}_x\cos\omega t + \hat{S}_y \sin\omega t)\\ =& \frac{\hbar\omega_R}{2}\begin{pmatrix} 0 & e^{-\mathrm{i}\omega t} \\ e^{\mathrm{i}\omega t} & 0 \end{pmatrix} \end{align}$$

So $H = H_0 + H_1$ .

We go complex in our Hamiltonian, not because we have approximated a real field $\cos \omega t$ by $e^{\mathrm{i}\omega t}$ , but because when we have a rotating field and we write down it in Pauli spin matrix, we get imaginary units for the $\sigma_y$ spin matrix.

Famous dressed atom Hamiltonian describes two-level system + one mode of the EM field (with arbitrary amplitudes). (8.422 课程会细讲)

Since dressed atom picture in the standard way assumes that the photon number $N$ is large. There is a correspondance that in the limit of $N$ being large, the Fock state descriptin and the coherent state description fully agree.

Solution of the Hamiltonian

Transform to rotating frame. Unitary transofrmation (Rotation operation around $\hat{e}_z$ )

$$\begin{align} U = \left.e^{\mathrm{i}\frac{S_z}{\hbar}\theta}\right|_{\theta = \omega t} = \begin{pmatrix} e^{\mathrm{i} \omega t/2} & 0\\ 0 & e^{-\mathrm{i}\omega t/2} \end{pmatrix} \end{align}$$

Then

$$\begin{align} H' = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \delta & \omega_R \\ \omega_R & -\delta \end{pmatrix} \end{align}$$

is time independent, where $\delta = \omega - \omega_0$ . Care about $U \mathrm{i}\hbar\partial_t U^{\dagger}$ result a term $\sim \omega \sigma_z$ .

Solve it (homework # 1). A special case amplitudes

$$\begin{align} a_{g} (0) =& 1 \\ |a_e(t)|^2 =& \frac{\omega_R^2}{\Omega_R^2}\sin^2 \frac{\Omega_Rt}{2} \end{align}$$

as derived before.

Rapid adiabatic passage --- Quantum treatment

无旋转的磁场时

$$\begin{align} H_0 = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \delta & 0 \\ 0 & -\delta \end{pmatrix} \end{align}$$

本征能量如图中虚线

当加入旋转的磁场时

$$\begin{align} H_0 = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \delta & \omega_R \\ \omega_R & -\delta \end{pmatrix} \end{align}$$

本征能量为 $\pm\sqrt{\omega_R^2 + \delta^2}$ , 为图中蓝线, avoid the crossing. 所以当我们慢慢扫过 $\delta = 0$ 时, 会保持在蓝线上, spin 被翻转. Landau Zener problem, sweep the system through the avoided crossing.

但在 $\delta = 0$ 时会有一定概率从一条蓝线跃迁到另外一条蓝线, 我们不加证明地给出 probability to jump from one level to the another one

$$\begin{align} P_{\mathrm{na}} = e^{- 2\pi \Gamma} \end{align}$$

where $\mathrm{na}$ means non-adiabatic, $\Gamma$ is landau-Zener parameter given as

$$\begin{align} \Gamma = \left(\frac{\omega_R}{2}\right)^2 \left[ \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} \right]^{-1} = \frac{1}{4}\frac{\omega_R^2}{\dot{\omega}} \end{align}$$

因此在之前的 adiabatic 的条件下 $\omega_{R}^2/\dot{\omega} \gg 1$ , 使得 $P_{\mathrm{na}}$ 很小.

Fast Sweep (没有完全理解)

另一种极限, if you go much faster than the Rabi frequency, the spin has no opportunity to change its orientation.

Let's estimate the result in perturbation. Should we calculate that transition probability by using perturbation theory for an incoherent transition or for coherent transition?

Coherent!

区别在于

Coherent: population $\dot{a}_2 = -\mathrm{i}\frac{H_{12}}{\hbar}$ with $H_{12} = \frac{\hbar}{2}\omega_R$ , 那么短时的演化为 $a_2 = \frac{1}{2}\omega_R t$ , so $P_2\sim |a_2|^2 =\omega_R^2 t_{\mathrm{eff}}^2$ , effective time $t_{\mathrm{eff}}$ (when wave function really changes) of driving the system. Coherent process are always quadratic in time.
Incoherent: Fermi's Golden Rule $P \sim \frac{\omega_R^2 t_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{density\, of\, states}}$

Q: What is $t_{\mathrm{eff}}$ in LZ?

A. $t_{\mathrm{eff}} \sim \frac{\omega_R}{\dot{\omega}}$
B. $t_{\mathrm{eff}} \sim \sqrt{\frac{1}{\dot{\omega}}}$
C. $t_{\mathrm{eff}} \sim \frac{1}{\omega_R}$

the answer is B. $t_{\mathrm{eff}}$ is the "dephasing" time $\Delta t$ , the time during which everything is coherent

$$\begin{align} \Delta\omega \cdot \Delta t = \dot{\omega} \Delta t \cdot\Delta t \sim \pi \Rightarrow \Delta t \sim \sqrt{\frac{1}{\dot{\omega}}} \end{align}$$

Expand $e^{- 2\pi \Gamma}$ (small $\Gamma$ )

$$\begin{align} 1 - P_{\mathrm{na}} = 2\pi\Gamma \propto \frac{\omega_R^2}{\dot{\omega}} \end{align}$$

Reference

Atomic and Optical Physics I, 03 ResonanceIII: Rapid adiabatic passage

2021-11-04T00:00:00+08:00

Information

官方介绍: https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-421-atomic-and-optical-physics-i-spring-2014/
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Atomic clocks

Motion in a rotating magnetic field, Resonance, $\pi$ pulse

考虑 classical 的情况.

假设磁矩 $\vec{\mu}$ 处于磁场中磁场为

$$\begin{align} \vec{B}(t) = B_0 \hat{e}_z + B_1(\hat{e}_x \cos \Omega_Lt - \hat{e}_y \sin\Omega_Lt) \end{align}$$

也就是说在 $z$ 方向有一个 static field, 在 $xoy$ 平面内有一个以 Lamor 频率 $\Omega_L = -\gamma B_0$ 旋转的 rotating field. 在 rotating frame ( $x', y', z$ ) 中, 根据上一节的知识, 等效的磁场为

$$\begin{align} B_{\mathrm{eff}} = (B_0 + \frac{\Omega_L}{\gamma})\hat{e}_z + B_1\hat{e}_x = B_1\hat{e}_{x'} \end{align}$$

也就是说 $z$ 方向的 static field 被抵消, 只剩下 $x'$ 方向的一个 static field. 因此, $\vec{\mu}$ 会绕 $x'$ 轴以 Rabi 频率 $\omega_R = - \gamma B_{1}$ 进动. 因此总的效果是会将 spin flip 一下. 比如

$$\begin{align} t =& 0, \quad\vec{\mu} = \mu \hat{e}_z \\ t =& \frac{\pi}{\omega_R}, \quad\vec{\mu} = \mu \hat{e}_z \end{align}$$

也叫 $\pi$ pulse.

如果磁场不是 rotating 的, 比如是沿某个方向线偏振的, 那么可以分解成两个方向相反的 rotating 的叠加. 在 rotating frame 中, 一个方向的 rotating 会变成 static, 而另一个方向上的 rotating 会变成原来频率的 2 倍 rotating, 这个高频的 rotating 通常不会有物理效果, 所以被忽略, 这就是 rotating wave approximation!

Generalized Rabi Frequency

如果 $B_{1}$ rotating 的 frequency $\omega \neq \Omega_L$ , 那么等效的磁场就不会完全抵消 $B_0$ , 那么

$$\begin{align} \vec{B}_{\mathrm{eff}} = B_1 \hat{e}_{x'} + \left(B_0 - \frac{\omega}{\gamma} \right) \hat{e}_z \end{align}$$

其大小为

$$\begin{align} |B_{\mathrm{eff}}| = \sqrt{B_1^2 + (B_0 - \frac{\omega}{\gamma})^2} \end{align}$$

可以定义 generalized Rabi frequency (之后都取 $\gamma = |\gamma|$ ?)

$$\begin{align} \Omega_{R} = \gamma B_{\mathrm{eff}} = \sqrt{(\omega_L - \omega)^2 + \omega_R^2} = \sqrt{\omega_R^2 + \delta^2} \end{align}$$

其中 detuning $\delta = \omega_L - \omega$

Compare with quantum result

如图, 对两个三角形用余弦定理

$$\begin{align} A^2 =& 2 \mu^2 (1 - \cos\alpha) \\ A^2 =& 2 \mu^{2} \sin^2\theta (1 - \cos\phi) \end{align}$$

并利用

$$\begin{align} \sin \theta =& \frac{B_1}{B_{\mathrm{eff}}} = \frac{\omega_R}{\Omega_R} \\ \phi(t) =& \Omega_R t \end{align}$$

可以严格地求得 $\mu$ 在 $z$ 方向上的投影

$$\begin{align} \mu_z(t) = \mu\sin\cos\alpha = \mu \left[ 1 - 2 \frac{\omega_R^2}{\Omega_{R}^2}\sin^{2} \left( \frac{\Omega_R}{2}t \right) \right] \end{align}$$

如果我们定义

$$\begin{align} P_{\uparrow \to \downarrow} \equiv \frac{\mu_z(0) - \mu_z(t)}{2 \mu_z(0)} \end{align}$$

那么

$$\begin{align} P_{\uparrow \to \downarrow} = \frac{\omega_R^2}{\Omega_{R}^2}\sin^{2} \left( \frac{\Omega_R}{2}t \right) \end{align}$$

这正是量子的结果.

Rapid adiabatic passage (RAP) (classical counterpart of Landau-Zener transition)

现在 change the frequency of the rotating field. Sweeping the frequency *thtrough the resoance*, we can invert the spin, we can tun over the magnetic moment in a very robust way.

slow: compare to the Larmor frequency
rapid: compare to all the things mentioned here(decoherence and relaxition processes).

这里不做严格计算, 只给一个 intuitive picture

$\vec{\mu}$ , static field $\vec{B}_0$ , $\vec{B}_1$ rotating at $\omega$ , $|B_{1}| \ll |B_0|$ , start with $\omega << \gamma B_{0}$

In adiabatic limit, the spin processes tightly ( $\theta$ is small) around $\vec{B}_{\mathrm{eff}}$ , follows the direction of the effective magnetic field.

所以当扫到 detuning $\delta = 0$ 时, $\vec{\mu}$ 转到了 $x'$ 方向, 当继续扫到 $\omega \gg \gamma B_0$ 时, spin 被 flip.

无论是从高频向低频扫, 还是从低频向高频扫, 只要扫过共振频率, the rapid adiabatic passage always swaps the spin state.

这在实验上很有用, 因为像之前那样直接加到共振频率上, 如果频率稍有偏差, spin 就不会完全被 flip. 但是 RAP 的话, 只要扫过共振频率, spin 就会被完美地 flip!

同样的物理机制, 但是操作完全不一样, 就是让 spin 在 quadrapolar fields magnetic trap 中同移动, 磁场也能从一个方向扫到相反的方向. 在中间可能发生 Majorana losses.

Reference

BEC 极限下的 Tc 的估计

2021-10-05T00:00:00+08:00

Theory

取单位 $\hbar = M = 1$ .

在 BEC极限下, 原子两两配对, 形成的 dimmer 的粒子数密度为

$$\begin{align} n_{\mathrm{dimmer}} = \frac{N}{V} \sum_{\vec{k}} n_B(\xi_q + E_b) = \frac{1}{2\pi^2}\int_0^{\infty} \mathrm{d}q \frac{q^2}{e^{\beta(q^2/4 - 2\mu + E_b)} - 1} \end{align}$$

因此, 忽略极少数没有配对的原子, 总的原子的粒子数密度就是

$$\begin{align} n_{\mathrm{total}} = 2n_{\mathrm{dimmer}} \end{align}$$

如果原子是两分量的, 比如 Bose 原子通过 p 波相互作用配对, 或者费米子通过 s 波相互作用配对, 那么能量单位可以取为 $E_{n, p} = \frac{k_{n, p}^2}{2} = \frac{(3 \pi^2 n_{\mathrm{total}})^{2/3}}{2}$

如果原子是单分量的, 比如 Bose 原子通过 d 波相互作用配对, 那么能量单位可以取为 $E_{n, d} = \frac{k_{n, d}^2}{2} = \frac{(6 \pi^2 n_{\mathrm{total}})^{2/3}}{2}$

在 BEC 极限下, 给定密度的情况下, 当 $2\mu$ 刚好能够形成束缚态, 也就是 $2\mu = E_b$ 时, 处于临界状态. 如果 fix 粒子数密度 $n_{\mathrm{total}}$ , 那么可以算出 $n_{\mathrm{total}} /T_{BEC}$ , 也就是取能量单位 $E_n$ 时的临界温度.

两分量费米子 s 波相互作用在 BEC 极限下的 BEC 临界温度为

$$\begin{align} T_{\mathrm{BEC}} \approx 0.218 E_F \end{align}$$

Numerical

import numpy as np
from scipy.integrate import quad


mu = -1
E_b = 2*mu


def density(q):
    volume = q**2 / (np.pi**2)
    a = q**2/4 - 2*mu + E_b
    return volume / (np.exp(a) - 1)


n = quad(density, 0, 100, points=[0])[0]
ef_p = (3*np.pi**2 * n)**(2/3) / 2
ef_d = (6*np.pi**2 * n)**(2/3) / 2
tcef_p = 1 / ef_p
tcef_d = 1 / ef_d

print(n)
print(tcef_p, tcef_d)

code

0.9382979415622876
0.2180329612206701 0.13735215870641743

Reference

Zhai, H. Ultracold atomic physics. (Cambridge University Press, 2020).

多变量数值定积分换元(质心系)

2021-09-17T00:00:00+08:00

`nuqad` 的用法

$$\begin{align} \int_0^1\mathrm{d}y \int_y^1 \mathrm{d}x \cdot(x^2 + y) = \frac{5}{12} \end{align}$$

from scipy.integrate import nquad


def func(x, y):
    return x**2 + y


def range_x(y):
    return [0, y]


# 先积 x (y, 1), 再积 y(0, 1)
res = nquad(func, [range_x, [0, 1]])
print(res)
print(5/12)

(0.41666666666666663, 1.473075555508962e-14)
0.4166666666666667

code

定积分换元到质心系

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi_k \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi_q \cdot f(\phi_k - \phi_q) = \frac{1}{2}\int_{-2\pi}^{2\pi} \mathrm{d}\phi_- \cdot l(\phi_-) f(\phi_-) \end{align}$$

where

$$\begin{align} \phi_+ =& \phi_k + \phi_q \\ \phi_- =& \phi_k - \phi_q \\ l(\phi_-) =& \left\{\matrix{4\pi - 2\phi_-, \quad \phi_->0\\ 4\pi + 2\phi_-, \quad \phi_->0}\right. \end{align}$$

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from scipy.integrate import nquad


def l_bound(phi_minus):
    if phi_minus > 0:
        l_bound = 4*np.pi - 2*phi_minus
    else:
        l_bound = 4*np.pi + 2*phi_minus
    return l_bound


def f(phi_minus):
    res = phi_minus + 2*phi_minus**2 + 3*phi_minus**3 - 3**phi_minus
    return res


center = quad(lambda phi_minus: l_bound(phi_minus)*f(phi_minus)/2, -2*np.pi,
              2*np.pi)


normal = nquad(lambda phi_k, phi_q: f(phi_k-phi_q), [[0, 2*np.pi],
                                                     [0, 2*np.pi]])
print(center)
print(normal)

(-303.255886295168, 2.462030579408747e-11)
(-303.2558862951685, 2.2693158156346615e-11)

code

Reference

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.nquad.html
Stewart, J. Calculus. (Cengage Learning, 2016). Chap 15.9, Change of Variables in Multiple Integrals

Atomic and Optical Physics I, 02 ResonanceII: Larmor Procession Note

2021-09-11T00:00:00+08:00

Information

官方介绍: https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-421-atomic-and-optical-physics-i-spring-2014/
视频列表地址: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUl4u3cNGP62FPGcyFJkzhqq9c5cHCK32

Fourier limit?

Lorentz model for an atom

见另一独立的

Larmor Procession

经典磁矩可以假想电流得到

$$\begin{align} \vec{\mu} = I \vec{S} \end{align}$$

其中 $I$ 为环形电流, $\vec{S}$ 为环形电流围成的面积. 若是带电 $-e$ 电子, 则

$$\begin{align} \mu = \frac{-e}{2\pi r / v} \cdot \pi r^2 = \frac{-e}{2m} \cdot m v r = -\frac{e}{2m} L \end{align}$$

写成矢量形式, 并定义旋磁比 gyromagnetic ratio $\gamma = -\frac{e}{2m}$

$$\begin{align} \vec{\mu} = \gamma \vec{L} \end{align}$$

磁矩在磁场中受到的力矩为

$$\begin{align} \vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B} \end{align}$$

那么角动量的变化就是力矩

$$\begin{align} \dot{\vec{L}} = \vec{\mu}\times \vec{B} = -\gamma \vec{B} \times \vec{L} \end{align}$$

可知, $\vec{L}$ 变化的方向与 $\vec{B}$ 和 $\vec{L}$ 都垂直, 且大小不变, 也就是说在绕 $B$ 进动. 而 $-\gamma \vec{B}$ 是频率的量纲, 是进动的频率, Larmor 频率

$$\begin{align} \Omega_L = \frac{e}{2m}B \end{align}$$

定义 Bohr magneton 为轨道角动量为 $L = - \hbar$ 时对应的磁矩

$$\begin{align} \mu_B = \gamma \cdot (-\hbar) =\frac{e\hbar}{2m_e} \approx 2\pi \times 1.4 \hbar \mathrm{MHz /G} \end{align}$$

但是电子自旋的 gyromagnetic ratio 是经典值的 $g_s = -g_e = 2$ 倍. 即如, 电子的 gyromagnetic ratio is

$$\begin{align} |\gamma_e| \approx 2 \times \frac{e}{2m_e} = 2\pi \times 2.8 \mathrm{MHz /G} \end{align}$$

如果自旋 $z$ 分量的量子数为 $m_s$ , 那么对应的磁矩为

$$\begin{align} \mu_z = g_s\cdot \frac{-e}{2 m_e}\cdot m_s\hbar = - g_s \mu_B m_s \end{align}$$

总的来说, $L = \hbar, S = \frac{1}{2}\hbar$ 的电子, 对应的磁矩都是 $\mu_B$ , 但是磁矩的方向与角动量的方向相反.

The angular precession frequency has an important physical meaning: It is the angular cyclotron frequency, the resonance frequency of an ionized plasma being under the influence of a static finite magnetic field, when we superimpose a high frequency electromagnetic field.

Rotating Coordinate Trans

$$\begin{align} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathrm{rot}} = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathrm{inertial}} - \vec{\Omega}\times \end{align}$$

Exp: \begin{align} \dot{\mathrm{L}}_{\mathrm{rot}} = \dot{\mathrm{L}}_{\mathrm{inertial}} - \Omega\times \vec{L} = \gamma \vec{L} (\vec{B} + \frac{\vec{\Omega}}{\gamma}) \end{align}

If choose rotating frequency

$$\begin{align} \vec{\Omega} = \Omega_L = - \gamma \vec{B} \end{align}$$

then

$$\begin{align} \vec{B}_{\mathrm{rot}} = 0 \end{align}$$

so, you can transform away the effect of a magnetic field by going to rotating fram at the Larmor frequency.

Reference

杨福家, 原子物理学, 第四版
Wikipedia: Gyromagnetic ratio
Spin magnetic moment
G-factor
Foot, C. J. Atomic physics. (Oxford University Press, 2005).

Lorentz Model for an Atom

2021-09-10T00:00:00+08:00

Information

来自 Wolfgang Kettler 的 AMO 课中提到

Model

原子由一个固定不动正电荷, 和一个质量为 $m$ , 带电为 $q$ 的负电荷组成, 二者由一个劲度系数 $C$ 的弹簧连接. 原子处于外加驱动电场 $E(t) = e^{-\mathrm{i}\omega t}$ 中, 运动时受到与速度成正比的阻尼 $m\gamma \dot{x}$, 可列出牛顿第二定律的运动方程

$$\begin{align} qE(t) - Cx(t) - m\gamma \dot{x}(t) = m \ddot{x}(t) \end{align}$$

记

$$\begin{align} \omega_0 = \sqrt{\frac{C}{m}} \end{align}$$

上式解得

$$\begin{align} x(t) = \frac{q E(t)}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\omega\gamma} \end{align}$$

是一个 Lorentz shape 的形式.

Dipole moment

$$\begin{align} p = q x = \frac{q^{2} E(t)}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\omega\gamma} \end{align}$$

Polarization

n is the electrons per volume

$$\begin{align} P = np = \frac{n q^{2} E(t)}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\omega\gamma} \end{align}$$

Susceptibility

$$\begin{align} \chi = \frac{P}{\epsilon_0E} = \frac{n q^{2} E}{\epsilon_0 m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\omega\gamma} \end{align}$$

define plasma frequency

$$\begin{align} \omega_p = \sqrt{\frac{n q^2}{m\epsilon_0}} \end{align}$$

$$\begin{align} \chi = \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\omega\gamma} \end{align}$$

Permittivity

$$\begin{align} \epsilon_r = 1 + \chi = 1 + \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\omega\gamma} \end{align}$$

Reference

https://physics.byu.edu/faculty/colton/docs/phy442-winter20/lecture-11-Lorentz-oscillator-model.pdf

Atomic and Optical Physics I, 01 Resonance Note

2021-09-09T00:00:00+08:00

Information

官方介绍: https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-421-atomic-and-optical-physics-i-spring-2014/
视频列表地址: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUl4u3cNGP62FPGcyFJkzhqq9c5cHCK32

整个课程的介绍

AMO continu redefine itself

Resonance

The phenomenon of resonance is that you have something which can periodically vary, and when you drive it, you see peaked response.

Quality factor

$$\begin{align} Q = \frac{f_0}{\Delta f} \end{align}$$

原子物理中, $Q$ 一般非常大.

High quality Oscillator is the tool for discovery.

Whispering-gallery modes

Lorentzian shape

$$\begin{align} \propto \mathrm{Im} \frac{1}{\omega_0 - \omega - \mathrm{i}\frac{\gamma}{2}} \end{align}$$ $$\begin{align} \gamma = \Delta\omega , \quad Q = \frac{\omega_0}{\gamma} \end{align}$$

Unit

angular frequency $\omega$ units: rad/s or $\mathrm{s}^{-1}$

$$\begin{align} f = \frac{\omega_0}{2\pi} \end{align}$$

Exp: \begin{align} \omega_0 = 2\pi \cdot 1 \mathrm{MHz} = 6.28 \times 10^6 \mathrm{s}^{-1} \end{align}

$\gamma$ units: $\mathrm{s}^{-1}$, $e^{-\mathrm{i}\omega t - \gamma t}$

\begin{align} \gamma = 10^4 \mathrm{s}^{-1} \end{align} not \begin{align} \gamma = 10^4 \mathrm{Hz} \\ \gamma = 2\pi\times 1.66 \mathrm{Hz} \end{align}

Q

Fourier trans of Lorentzian shpe?

Reference

Tan 的 Lambda function 中的积分

2021-09-08T00:00:00+08:00

$$\begin{align} I = \int \mathrm{d}^3k \left[ \frac{1}{(\vec{k} - \vec{k}_0)^{2}} + \frac{1}{(\vec{k} + \vec{k}_0)^{2}} - \frac{2}{k^2} \right] = 0 \end{align}$$

Mahtematica 可以直接得到

Integrate[k^2 (1/(k^2+k0^2- 2 k k0 x)-2/k^2+1/(k^2+k0^2+2 k k0 x)),{x,-1,1},{k,0, \[Infinity]}]

太失败了, 是一开始想复杂, 根本没有奇异性...

Reference

Tan, S. Energetics of a strongly correlated Fermi gas. Annals of Physics 323, 2952–2970 (2008).

Susskind's Particle Pyhsics II: Standard Model Note

2021-09-06T00:00:00+08:00

Information

官方介绍: https://theoreticalminimum.com/courses/particle-physics-2-standard-model/2010/winter
视频列表地址: https://www.youtube.com/playlist?list=PL8BCB4981DD1A0108
把主要内容整理一下.

开学在即, 不务正业, 火箭坐一发!

Lecture 1: Particles, Fields & Forces

Any particle can be exchanged in some context or another. So every kind of particle in one way or another produces a force.

Example: Covalent bounds: sharing an electron Coulomb: exchange photons

Name	Symbol	Type	Charge	B number	Mass
Photon	$\gamma, A$	Boson	$0$	$0$	$0$
Electron	$e^{\pm}, \psi_e$	Fermion	$-1$	$0$	$.51$ MeV
Quark	$q, \psi_q$	F		$\frac{1}{3}$
down			$-\frac{1}{3}$		$10$ MeV
up			$\frac{2}{3}$		$5$ MeV
strange			$-\frac{1}{3}$		$100$ MeV
charm			$\frac{2}{3}$		$1$ GeV
bottom			$-\frac{1}{3}$		$5$ GeV
top			$\frac{2}{3}$		$170$ GeV

Lecture 2: Quantum Chromodynamics

Gluons interact with each other forces between gluons.

Lecture 3: Group Theory - Part 1

Lecture 4: Group Theory - Part 2

Lecture 5: Gauge Fields and Symmetry

Anytime that has conserved quantity analogous to electric charge which functions as the source of photon like field, that called a gague theory. Gauge theories are always based on symmetries.

Lecture 6: The Weak Interaction

Why weak interactions give such slow decay rates?

Lecture 7: Spontaneous Symmetry Breaking & Goldstone Bosons

How a particle like the photon can get a mass from something called spontaneous symmetry breaking?

How if the symmetry group associated with the photon were broken spontaneously how it would give the photon of mass.

How gauge bosons like the photon get a mass when spontaneous symmetry breaking?

what is the symmetry incidentally when I say you associated with photon? There's a conserved quantity which is the charge. Conserved quantities always go with symmetries. What's the symmetry that's connected with the conservation of electric charge? It's thing which multiplies the charged fields by a phase.

Example of the Higgs phenomenon: Superconductor Photon get a mass and the $U(1)$ symmetry is spontaneously broken.

Not the same as photon in prism!

$$\begin{align} E = \hbar \omega \\ p = \hbar k \\ \omega = c k \end{align}$$

if $\omega = 0$ , then $k = 0$ , we call massless.

$E = \sqrt{p^{2} + m^2}$ , if $p = 0$ , the energy is not zero, that's the mass.

Oscillations of a field when it is homogeneous when is has infinite wavelength those are the things we call mass.

The Goldstone boson got eaten by the gauge boson resulting in giving the Higgs boson a mass.

Lecture 8: The Higgs Field

Gauge invariance is a symmetry which prohibits the photon from having a mass.

Lecture 9: The Higgs Field & Fermions

massless photons	Higgs	massive photon
massless Goldstone bosons	$\Longrightarrow$	no Goldstone boson
massive Higgs bosons	phenomenon	massive Higgs bosons

Mass stands for energy at rest, but it also stands for energy associated with uniform homogeneous shifts of fields.

Moving the plus charges relative to the minus charges -> plasma. Plamas have mass, phonons do not.

$\beta$ decay: mirror, discreate, not a symmetry of weak interaction.

Mass term is a thing which turns left handed to right handed.

Mass is always for fermions, it always left hand, trun into the right hand, right hand ...

Lecture 10: Running of Coupling Constant

Condense: which means the field for this field of particle gets shifted.

Self-Examination Questions

How to describe weak interaction? Which particles?
How to describe strong interaction? Which particles?
What is a gague theory?
How strong interaction different from others?
Why weak interactions give such slow decay rates?
How a particle like the photon can get a mass from something called spontaneous symmetry breaking?
How fermions get their mass?
How to understanding the meaning of mass?
What is Majorana fermion?

Reference

一个神奇的积分与一个有意思的积分

2021-05-25T00:00:00+08:00

积分之一: 神奇的积分

$$\begin{align} I_1(a) = \int_0 ^{\infty} \frac{1}{(x - a + \mathrm{i}0^+)^2} \mathrm{d}x, \quad, a > 0 \end{align}$$

看起来一定是发散的, 因为被积函数在 $x\to a$ 时是 $1/x^2$ 发散的( 图见 appendix).

但真正的结果不但不发散, 还是小于零的! 关键就在于分母上的 $\mathrm{i}0^+$ . $\mathrm{i}0^+$ 的存在使得积分路径上没有了奇异性. 如果我们做变量代换 $z = x + \mathrm{i}0^+$ , 并把从 $(-\infty, 0)$ 的积分也加进来, 那么积分就变为

$$\begin{align} I_{1C} = I_1(a) + \int_{-\infty}^0 \frac{1}{(x - a + \mathrm{i}0^+)^2} \mathrm{d}x = \int_{C_{10}} \frac{1}{(z - a)^2} \mathrm{d}z \end{align}$$

其中积分的路径 $C_{10}$ 是沿整个实轴上方无穷小的距离. 图见 appendix.

由于 $I_{1C}$ 的被积函数在无穷远处是 $1/|z|^2\to 0$ 的, 贡献为 $0$ , 所以可以把上半平面无穷远的大圆弧也加到积分路径上去, 此时路径变成 $C_1$ (图见 appendix).

被积函数在整个复平面上的 singularity 只有在 $z = a$ 处有一个二阶 pole, 在闭合的积分路径 $C_{1}$ 内是处处解析的, 所以积分 $I_{1C} = 0$ . 由此就可以求出我们想要的积分 $I_{1}(a)$ 啦!

$$\begin{align} I_1(a) =& I_{1C} - \int_{-\infty}^0 \frac{1}{(x - a + \mathrm{i}0^+)^2} \mathrm{d}x = - \int_{-\infty}^0 \frac{1}{(x - a + \mathrm{i}0^+)^2}\mathrm{d}x \\ =& - \int_{-\infty}^0 \frac{1}{(x - a)^2}\mathrm{d}x = - \left[ \frac{ - 1}{x-a} \right]_{-\infty}^0 = - \frac{1}{a} \end{align}$$

除了像上面这样用留数定理计算外, 还可用一个求导的小 trick 直接利用 Sokhotski–Plemelj 公式计算 (积分与求导的交换, 本着如果交换给出收敛的结果, 那就可以交换的原则 -_-!)

$$\begin{align} I_{1a} =& \frac{\partial}{\partial a} \int_0^{\infty} \frac{1}{x - a + \mathrm{i}0^+} \mathrm{d}x = \frac{\partial}{\partial a} \left[ \mathcal{P}\int_0^{\infty} \frac{1}{x - a} \mathrm{d}x - \mathrm{i}\pi \int_0^{\infty}\delta(x - a)\mathrm{d}x \right] \\ =& \frac{\partial}{\partial a} \left[ \ln \left|x - a \right|_0^{\infty} - \mathrm{i}\pi \right] = \frac{\partial}{\partial a} \left[ \ln \infty - \ln a\right] \\ =& -\frac{1}{a} \end{align}$$

这也是我如何遇到这个积分的. 我遇到的是一个无法解析的积分, 但求导可以计算, 因此我想把求导解析地求掉, 结果未完导发现积分看似发散, 实则并不发散, 但数值上不好处理.

积分之二: 有意思的积分

$$\begin{align} I_2(\mu) = \int_0^{\infty} \frac{k^2}{(k^2 - \mu)^2}\mathrm{d}k, \quad \mu < 0 \end{align}$$

此积分我也想到了两种方法.

法一: 留数定理

被积函数有两个二阶 pole, $k = \pm \sqrt{\mu}$ . 被积函数在无穷远处 $1/|k|^2\to 0$ , 所以无穷远处对积分贡献为零, 可以把无穷远的大圆弧加上, 因此积分路径是 $C_{2}$ (沿上半平面的无穷大半圆逆时针, 图见 appendix)

$$\begin{align} I_2(\mu) =& \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{k^2}{(k^2 - \mu)^2}\mathrm{d}k \\ =& \frac{1}{2}\oint_{C_2} \frac{k^2}{(k^2 - \mu)^2} \mathrm{d}k \\ =& \frac{1}{2}\oint_{C_2} \frac{k^2}{(k - \sqrt{\mu})^2 (k + \sqrt{\mu})^2} \mathrm{d}k \\ \end{align}$$

包含二阶 pole 的积分可用公式(可以叫做高阶 pole 的留数定理?)(此处取 $n=1$ )

$$\begin{align} f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi \mathrm{i}}\oint \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^{n+1}} \mathrm{d}\xi \end{align}$$

所以

$$\begin{align} I_2(\mu) =\frac{1}{2}\times 2\pi \mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k} \left.\left(\frac{k^2}{(k + \sqrt{\mu})^2} \right) \right|_{k=\mathrm{i}\sqrt{|\mu|}} = \frac{\mathrm{i}\pi}{4\sqrt{\mu}} \end{align}$$

法二: 直接算

在实数范围内做不定积分:

$$\begin{align} \int \frac{k^2}{(k^2 - \mu)^2}\mathrm{d}k =& \frac{1}{2}\int\left[ \frac{k^2 + \mu}{(k^2 - \mu)^2} +\frac{k^2 - \mu}{(k^2 - \mu)^2} \right]\mathrm{d}k \\ = & \frac{1}{2}\left[ \int\frac{k^2 + \mu}{(k^2 - \mu)^2} +\int \frac{1}{k^2 - \mu}\mathrm{d}k \right] \\ = & \frac{1}{2}\left[\frac{-k}{k^2 - \mu} - \frac{1}{\sqrt{\mu}} \mathrm{arctanh} \left( \frac{k}{\sqrt{\mu}} \right) \right] + C \\ \end{align}$$

其中 $C$ 是积分常数.

然后代入上限和下限算得定积分

$$\begin{align} I_2(\mu) = \frac{1}{2}\left[ 0 - \frac{1}{\sqrt{\mu}}\left(-\mathrm{i}\frac{\pi}{2} - 0\right) \right] = \frac{ \mathrm{i}\pi}{4\sqrt{\mu}} \end{align}$$

总结

两个积分的共同特点是都有二阶 pole.

Appendix

$I_{1(a)}$ 的被积函数在 $x\to a$ 时看起来是 $1/x^2$ 发散的:

Acknowledge

Fan Yang 的讨论
Mathematica

Reference

Symmetry Factor of φ-4 Scaler Field

2021-04-27T00:00:00+08:00

Intro

Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. (Princeton University Press, 2010). I.7 Feynman Diagrams 书中 23 页 $(23)$ 式中的 symmetry factor $\frac{1}{2}$ , 自己算出的却是 $\frac{3}{2}$ , 引发了 2021.4.9-2021.4.10 一天半的计算. 还联系请教了本科毕业就没再联系的小浪底同学.

期间忙于科研和组会, 直到今日才得空整理!

Symmetry Factor

其实本来是很简单的问题. 但是要确信, 或者说保证计算的 symmetry factor 一定是对的, 那就只有把所有的 $J^4, \lambda^2$ (二阶四点格林函数)阶的所有的图都画出来, 才能保证不重不漏. 因为总的图的个数是确定的, 因为根据 wick 定理, $8$ 个算符 contract, 总共有 $11!!$ 种 contraction, 也就是有 $11!!$ 个图. 把这些图分类, 再计算每一类在 $11!!$ 中占的比重, 就能不重不漏, 准确无误地确定 symmetry factor 了.

下图就是一步一步地连, 每连一步, 都验证图的总个数是 $11!!$ . 最终的结果都归为第二张图中 a-n 中的某一类. 而 a-n 中些类是一样的, 所以最终结果就是第三张图中 a-l 十一类.

手工做好分类, 可以用一个程序来保证复杂数值计算的正确性, 最终 a-n 每一类中图的个数为

('a_', 180)
('b_', 720)
('c_', 1728)
('d_', 1152)
('e_', 216)
('f_', 432)
('g_', 432)
('h_', 864)
('i_', 432)
('j_', 576)
('k_', 288)
('o_', 576)
('p_', 288)
('l_', 576)
('m_', 72)
('n_', 288)

并验证总的个数为 $11!! = 10395$ . 至此分类完成!

file:2021-04-27-physics-Symmetry_Factor_Scaler_Field/note2.jpg

file:2021-04-27-physics-Symmetry_Factor_Scaler_Field/diagrams.png

最终 a-n 归类到 a-l 的结果为(第一列有点乱了,仅参考, 重要的结果是第二, 三列)

a-n	a-l	number
h, j, n	a	1728
2c/3, k, p	b	2304
f, g	c	864
c/3, d	d	1728
i, m	e	1728
12*148, l	f	1152
72, 72	g	144
27	h	27
12*6	i	72
a, 12*3	j	216
	i(编号时把 i 给漏了...)
e, 3*72	l	432
sum		10395

所以 a 图的 symmetry factor 为 $\frac{1728}{2! (4!)^2} = \frac{3}{2}$ . 但应该是 $\frac{1}{2}$ . 这可能是由于需要给固定入射的两个粒子? 或许看到后面会明白吧!

Code

code

import numpy as np

a = 3
b = 4
c = 4
# ---------------------------------------------
aa = 1 * a
ab = 4 * a
ac = 4 * a

ba = 2 * b
bb = 3 * b
bc = 4 * b

ca = 2 * c
cb = 4 * c
cc = 3 * c
# ---------------------------------------------7
ab += ba
ac += ca
bc += cb

aaa = aa * 7 * 5 * 3
order11 = aaa

aba = ab * 3
abb = ab * 4

aca = ac * 4
acb = ac * 3

bba = bb * 7 * 5 * 3
order12 = bba

bca = bc * 1
bcb = bc * 3
bcc = bc * 3

cca = cc * 4
ccb = cc * 1
ccc = cc * 2
# -----------------------------------------------
abb += aca
abb += bca
bcb += cca
acb += ccb

abaa = aba * 1 * 3
a_ = abaa
abab = aba * 4 * 3
b_ = abab

abba = abb * 3 * 3
c_ = abba
abbb = abb * 2 * 3
d_ = abbb

acba = acb * 3
acbb = acb * 2 * 3
g_ = acbb

bcba = bcb * 3
bcbb = bcb * 2

bcca = bcc * 2 * 3
l_ = bcca
bccb = bcc * 3

ccca = ccc * 1 * 3
o_ = ccca
cccb = ccc * 4 * 3
p_ = cccb
# --------------------------------
acbaa = acba * 1
e_ = acbaa
acbab = acba * 2
f_ = acbab

bcbaa = bcba * 2
h_ = bcbaa
bcbab = bcba * 1
i_ = bcbab

bcbba = bcbb * 2
j_ = bcbba
bcbbb = bcbb * 1
k_ = bcbbb

bccba = bccb * 1
m_ = bccba
bccbb = bccb * 2
n_ = bccbb
# --------------------------------

di = np.array(['a_', 'b_', 'c_', 'd_',
               'e_', 'f_', 'g_',
               'h_', 'i_', 'j_', 'k_',
               'o_', 'p_',
               'l_', 'm_', 'n_',
               'order11', 'order12'])
sum_all = np.array([a_, b_, c_, d_,
                    e_, f_, g_,
                    h_, i_, j_, k_,
                    l_, m_, n_,
                    o_, p_,
                    order11, order12])

print(sum_all.sum())
print(11 * 9 * 105)
for i in zip(di, sum_all):
    print(i)
print(h_ + j_ + n_ + 12 * 24)
print(12*(24 + 72 + 9))

Reference

Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. (Princeton University Press, 2010). I.7 Feynman Diagrams
https://physics.stackexchange.com/questions/73382/symmetry-factor-of-a-second-order-four-point-function-term-of-the-phi4-theor

Susskind's Particle Pyhsics I: Basic Concepts Note

2021-03-19T00:00:00+08:00

Information

官方介绍: https://theoreticalminimum.com/courses/particle-physics-1-basic-concepts/2009/fall
视频列表地址: https://www.youtube.com/watch?v2eFvVzNF24g&listPLaTmJYdn8i5zI1To7uSg75eNA_AKXGUl0
把主要内容整理一下.

Lecture 1: Particles and Light

Wave Properties

$$\begin{align} \boxed{\frac{\lambda}{T} = c} \end{align}$$ $$\begin{align} f = \frac{1}{T} \quad \boxed{\lambda f = c} \end{align}$$ $$\begin{align} \omega = 2\pi f = \boxed{2\pi \frac{c}{\lambda} = \omega} \end{align}$$

Photon Properties

$$\begin{align} \boxed{E_{\mathrm{phton}} = \hbar\omega} \end{align}$$ $$\begin{align} E_{\mathrm{ray}} = n \hbar \omega \end{align}$$ $$\begin{align} p = \frac{E}{c} \end{align}$$

Lecture 2: Review of Quantum Mechanics & Harmonic Oscillator

Periodic Boundary Condition

In order to make momentum conseved, we need periodic boundary condition, so

$$\begin{align} \lambda = \frac{L}{N} \end{align}$$

$\lambda$ is discrete.

$$\begin{align} p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{L}N \end{align}$$

Harmonic Oscillator

$$\begin{align} E &= n \hbar\omega\\ a^{+ }|n \rangle &= \sqrt{n + 1} | n+ 1 \rangle \\ a^{- }|n \rangle &= \sqrt{n } | n - 1\rangle \\ a^{+ }a^{- } &\sim n \\ a^{- }a^{+ } &\sim n + 1 \end{align}$$

Lecture 3: Field Operators

Field operator

In periodic boundary conditions, a plane wave

$$\begin{align} e^{\mathrm{i}kL}, \quad, k = n\frac{2\pi}{L} \end{align}$$

One particle with momentum $k_7$

$$\begin{align} |0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, \cdots \rangle \end{align}$$

Classical version of Fourier coefficient of field

$$\begin{align} \psi(x) &= \sum_k \alpha(k) e^{\mathrm{i} kx} \\ \psi^{ * }(x) = \sum_k \alpha^{ * }(k) e^{- \mathrm{i}k x} \end{align}$$

quantum version

$$\begin{align} \psi^{ -}(x) &= \sum_k \alpha^{- }(k) e^{\mathrm{i} kx} \\ \psi^{ + }(x) &= \sum_k \alpha^{ + }(k) e^{- \mathrm{i}k x} \end{align}$$

Let

$$\begin{align} |0\rangle \equiv& |0, 0, 0, 0, 0, 0\cdots \rangle\\ |k_i\rangle \equiv& |0, 0, 0, \cdots , 1, 0, 0\cdots \rangle , \quad\mathrm{one} \quad \mathrm{in}\quad i \mathrm{th} \end{align}$$

Create a particle at position $x$

$$\begin{align} \psi^{+ }(x) |0\rangle = \sum_k e^{-\mathrm{i} k x} a^{+ }(k)| 0 \rangle = \sum_k e^{-\mathrm{i} k x} | k \rangle \end{align}$$

Possible Reaction & Stimulated Emission

A particle comes in, and when it hits the target. The target happens to be localized at position $x$ . That particle disappears. And then two particles emitted from the same spot. How would we describe this reaction?

$$\begin{align} \Psi^{\dagger}(x) \Psi^{\dagger}(x) \Psi(x)|\rangle \end{align}$$

If that a particle with momentum $k_i$ is absorbed at position $x$ . What is the final state? What is the various probabilities for this final state to have this or that momentum?

A photon comes in, hits an atom localized at a point and from that point two photons go off

$$\begin{align} \Psi^{\dagger}(x) \Psi^{\dagger}(x) \Psi(x)|k_{\mathrm{i}}\rangle =& \sum_{l,m} a^{\dagger}(l) e^{-\mathrm{i}lx} a^{\dagger}(m) e^{-\mathrm{i}mx} \sum_k a(k) e^{\mathrm{i}kx} |k_{\mathrm{i}}\rangle \\ =& \sum_{l,m} a^{\dagger}(l) e^{-\mathrm{i}lx} a^{\dagger}(m) e^{-\mathrm{i}mx} e^{\mathrm{i}k_{\mathrm{i}}x} |0\rangle \\ =& \sum_{l,m} e^{\mathrm{i}(k_{\mathrm{i}} - l - m)}|l, m\rangle \end{align}$$

本来想用这个说明 stimulated emission, 因为 $l = m$ 时会有 factor $\sqrt{2}$ , 产生相同动量的两个粒子的概率会增加. 但是翻车了, 因为 $l \neq m$ 时, 同样也会有一个 $2$ , 因为 $l = 1, m = 2$ 和 $l = 2, m = 1$ 都会有贡献.

然后用另一个例子说明 stimulated emission. Supposing we have a particle which can decay and emit a photon.

$$\begin{align} \Psi^{\dagger}(x) |0\rangle = \sum_k e^{-\mathrm{i} kx}|k\rangle \end{align}$$

equal probability for all $k$ .

If there pre-exist a particle

$$\begin{align} \Psi^{\dagger}(x) |l\rangle = \sum_k e^{-\mathrm{i} kx} a^+(k)|l\rangle \end{align}$$

if $k\neq l$

$$\begin{align} \Psi^{\dagger}(x) |l\rangle = \sum_k e^{-\mathrm{i} kx} |k, l\rangle \end{align}$$

equal probability. But if $k = l$

$$\begin{align} e^{-\mathrm{i} kx} \sqrt{2}|k, k\rangle \end{align}$$

There are no photons present then just decays with coefficient $1$ , that's spontaneous emission. The presence of particles of a give type will increase the probability that out decay takes places with the final momentum being the same as the momentum already there. This is stimulated emission. Bosons!

Density of $x$

$$\begin{align} \Psi^{\dagger}(x) \Psi(x) \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{1}{L}\int \Psi^{\dagger}(x) \Psi(x) \cdot\mathrm{d}x = \frac{1}{L} = \mathrm{Number} \quad \mathrm{of} \quad \mathrm{particles} \end{align}$$

Lecture 4: Scattering Process

Simplest Quantum Field

The simplest quantum field, be a function of only one coordinate namely $x$ .

$$\begin{align} \Psi (x, t) =& \sum_k a^-(k) e^{\mathrm{i}kx} e^{\mathrm{i}\omega(k)t} \quad \mathrm{(Definition)} \\ \Psi^{\dagger} (x, t) =& \sum_k a^-(k) e^{-\mathrm{i}kx} e^{\mathrm{i}\omega(k)t} \end{align}$$

Find the wave equation for $\Psi$ .

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t} \Psi &= \mathrm{i} \omega(k) \Psi \\ \frac{\partial}{\partial x} \Psi &= \mathrm{i} k \Psi \\ \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi &= - k^2 \Psi \\ \end{align}$$

$$\begin{align} \mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t} \Psi = \frac{\omega}{k}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi \end{align}$$

if $\omega = \frac{k^2}{2m}$ , a non-relativitic particle

$$\begin{align} \mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t} \Psi = \frac{1}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi \end{align}$$

$\Psi$ is an operator.

A Model: Scattering

A particle absorbed by a fixed target and emitted by the target instantly. This process is energy conserved but momentum not conserved. Averaging or integrating over all possiable time (set $x_0 = 0$)

$$\begin{align} \langle k_f | g \int \mathrm{d}t\cdot \Psi^{\dagger}(0, t) \Psi(0, t) | k_i \rangle = 2 \pi g \delta (\omega_f - \omega_i) \end{align}$$

where $g$ is coupling constant. There is connection between the fact that conservation of eneryg and the fact there's no preference of any specified time.

Lecture 5: Fermion

Phase Velocity & Group Velocity

$$\begin{align} \omega = \sqrt{k^2 + m^2} \end{align}$$

for massless $m = 0$

$$\begin{align} v_{\mathrm{p}} &= \frac{\omega}{k} = 1 \\ v_{\mathrm{g}} &= \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = 1 \end{align}$$

but if $m \neq 0$

$$\begin{align} v_{\mathrm{p}} &= \frac{\omega}{k} = \sqrt{1 + \frac{m^2}{k^2}} > 1\\ v_{\mathrm{g}} &= \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \sqrt{\frac{k^2}{k^2 + m^2}} < 1 \end{align}$$

$1$ is the speed of light. So phase velocity carries nothing.

Fermion

$$\begin{align} c^{+ } |0 \rangle &= |1\rangle\\ c^{+ } |1 \rangle &= 0\\ c^{- } |0 \rangle &= 0\\ c^{0 } |1 \rangle &= |0\rangle\\ \end{align}$$ $$\begin{align} \boxed{c^{+ } c^{ -} |0 \rangle = 0 } \\ \boxed{c^{- } c^{ +} |0 \rangle = |0\rangle } \end{align}$$

Ground state

Boson: Bose condensate.

Fermion: Fermi sphere

Dirac Equation

move speed of light( $\omega = k$ , $c = 1$ ), carry electric charge, only move to one direction filed $\Psi$

$$\begin{align} \Psi = e^{\mathrm{i}(k x - \omega t)} = e^{\mathrm{i} k (x - t)} \end{align}$$

$$\begin{align} \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \frac{\partial \Psi}{\partial x}, \quad (\mathrm{i}\omega = \mathrm{i}k) \end{align}$$

describe both positive and negative energy. Negative is filled.

Lecture 6: Dirac Equation & Higgs Boson

Move right field

$$\begin{align} \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \frac{\partial \Psi}{\partial x} \end{align}$$

Move left field

$$\begin{align} \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{\partial \Psi}{\partial x} ,\quad (\omega = -k) \end{align}$$ $$\begin{align} \dot{\Psi} \equiv \begin{pmatrix} \dot{\Psi}_R \\ \dot{\Psi}_L \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 &0 \\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial \Psi_R}{\partial x} \\\frac{\partial \Psi_L}{\partial x} \end{pmatrix} \equiv - \alpha \frac{\partial}{\partial x} \Psi \end{align}$$ $$\begin{align} \omega = \alpha k \end{align}$$

we want (not massless) $\omega = \sqrt{k^2 + m^2}$ , so let $\omega = \alpha k + \beta m$

$$\begin{align} \omega^2 = k^2 + m^2 = (\alpha k + \beta m)^2 \Rightarrow \alpha^2 = 1, \beta^2 = 1, \alpha\beta + \beta\alpha = 0 \end{align}$$

so $\beta$ can be

$$\begin{align} \beta = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$$

$$\begin{align} \mathrm{i} \begin{pmatrix} \dot{\Psi}_R \\ \dot{\Psi}_L \end{pmatrix} = - \mathrm{i} \alpha \frac{\partial}{\partial x}\Psi + \beta m \Psi \end{align}$$ $$\begin{align} \mathrm{i}\dot{\Psi}_R =& -\mathrm{i}\partial_x \Psi_R + m\Psi_L \\ \mathrm{i}\dot{\Psi}_L =& \mathrm{i}\partial_x \Psi_L + m\Psi_R \end{align}$$

For a particle at rest ( $k = 0$ )

$$\begin{align} \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial t} \Psi \equiv \mathrm{i} \begin{pmatrix} \dot{\Psi}_R \\\dot{\Psi}_L \end{pmatrix}= \beta m \Psi \equiv m \begin{pmatrix} \Psi_L \\ \Psi_R \end{pmatrix} \end{align}$$

$\Psi_L$ and $\Psi_R$ are coupled. We can decouple them by $\Psi_+ = \Psi_L + \Psi_R$ , $\Psi_- = \Psi_L - \Psi_R$

$$\begin{align} \mathrm{i}\dot{\Psi}_+ &= m\Psi_+ \\ \mathrm{i}\dot{\Psi}_- &= -m\Psi_- \end{align}$$

Dirac Equation in 3 Dimensions

Let

$$\begin{align} \omega =& \sqrt{k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + m^2} \\ \omega =& \alpha k + \beta m = \alpha_1 k_1 + \alpha_2k_2 + \alpha_3 k_3 + \beta m \end{align}$$

$$\begin{align} \beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \quad \alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix} \end{align}$$

where $I$ is $2\times 2$ identity matrix, $\sigma_i$ is Pauli matrix.

$$\begin{align} \mathrm{i}\frac{\partial }{\partial t} \Psi_p = - i (\alpha_i)_{pq} \frac{\partial}{\partial x^i}\Psi_q + \beta_q m \Psi_q \end{align}$$

Lecture 7: Angular Momentum

Angular momentum

Orbital
Spin

$$\begin{align} [x_i , x_j] &= 0 \\ [p_i , p_j] &= 0 \\ [x, p_x] &= \mathrm{i}\hbar \\ [x_i, p_j] &= \mathrm{i}\hbar\delta_{ij} \\ [L_x, L_y] &= \mathrm{i}\hbar L_z \end{align}$$ $$\begin{align} L_+ &= L_x + \mathrm{i} L_y \\ L_- &= L_x - \mathrm{i} L_y \\ \end{align}$$ $$\begin{align} [L_{+} , L_z] &= - L_{ +} \\ [L_{- }, L_z] &= + L_- \end{align}$$

Lecture 8: Spin

Review spin.

Lecture 9: Interaction

Diagrams but abstract.

Lecture 10: Path Integral

Abstract.

Reference

Susskind's Classical Field Theory Note

2021-03-04T00:00:00+08:00

Information

视频列表地址: https://www.youtube.com/playlist?list=PL4D780620B14F1568 ( 每一集的标题都是 Special Relativity, 感觉不态恰当, 主要内容还是 Classical Field Theory)
Book: Leonard Susskind Art Friedman, Special Relativity and Classical Field Theory
把主要内容整理一下.

Lecture 1: Special Relativity

Galileo Trans

考虑一维的运动, 选取坐标系 $xOt$ . 另一坐标系 $x'O't'$ 相对 $xOt$ 以 $v$ 向右运动. 如图

在红点处发生某个事件, 在 $xOt$ 坐标系中的坐标是 $x, t$ . 在蓝色线的所有的点的坐标在两个坐标系中分别为 $x = vt$ , $x'=0$ .

所以在 Galileo 变换下, 它的时间是一样的, 所以红点在 $x'O't'$ 系中的坐标是 $x' = x - vt, t' = t$ .

Lorentz Trans

但是 Maxwell 方程给出光束 $c$ 在不同的惯性系中应该是相同的. 那假设在所有惯性系中都取 $c = 1$ . 描述光的运动的方程为, $x = t$ 或者 $x = -t$ 两种可能, 也就是说, $x^2 = t^2$ . 在 $x'O't'$ 系中为 $x' = t'$ 或者 $x' = - t'$ , 也就是 $x^2 = t^2$ . 也就是说

$$\begin{align} x^2 - t^2 = x'^2 - t'^2 \end{align}$$

Hyperbolic

对于普通的二维的旋转, 坐标的变换为

$$\begin{align} x' =& x \cos\theta + y\sin\theta \\ y' =&-x \sin\theta + y\cos\theta \end{align}$$

在这种变换下长度 $s^2= x^2 + y^2$ 是不变的.

受此启发, 希望找一个变换使得 $x^2 - t^2$ 是不变量, 并且在低速下回到 Galileo 变换的形式. 它就是 hyperbolic

$$\begin{align} x' =& x \cosh \omega - t \sinh \omega \\ t' =& -x \sinh \omega + t \cosh \omega \end{align}$$

可以验证 $x^2 - t^2 = x'^2 - t'^2$

这就是 Lorentz 变换. Susskind 还解释了为什么叫 Hyperbolic functions. 因为 $\sin ^2\theta + \cos^2\theta = 1$ , 以 $\sin \theta, \cos \theta$ 为坐标, 那画出来就是个圆. 而 $\cosh ^2\omega - \sinh^2\omega = 1$ , 相应的画出来就是双曲线.

Represent by Velocity

上述的变换是用 $\omega$ 表示的. 那它与速度 $v$ 的关系呢?

还是回到本节最开始那张图. 由定义知道蓝线上的坐标为 $x = vt, x' = 0$ (定义, 两个坐标系以速度 $v$ 相对运动). 而 $x' = x \cosh \omega - t \sinh \omega$ 所以 $v = \frac{\sinh \omega}{\cosh \omega}$ 那么

$$\begin{align} v^2 = \frac{\sinh^2\omega}{\cosh^2\omega} =& \frac{\cosh^2\omega - 1}{\cosh^2\omega} = 1 - \frac{1}{\cosh^2\omega}\\ \Downarrow&\\ \cosh\omega =& \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} \\ \Downarrow&\\ \sinh\omega =& v\cosh \omega = \frac{v}{\sqrt{1 - v^2}} \end{align}$$

光速 $c$ 可以通过量纲分析找回, 就得到了最熟悉的形式.

Proper Time

对于 $xOt$ 坐标系中任意一条曲线, 定义的 proper time

$$\begin{align} \mathrm{d}\tau = \sqrt{\mathrm{d}t^2 - \mathrm{d}x^2} \end{align}$$

它在不同坐标系中是相同的.

Lecture 2: From Particles to Field: a String

Euler-Lagrange Equation

回顾经典力学中的 Euler-Lagrange Equation.

比如许一维多粒子在势 $U(q)$ 中运动, 那么 Lagrangian 为

$$\begin{align} L = T - U = \sum_i \frac{1}{2}m_i\dot{q}_i^2 - U(q) \end{align}$$

index $i$ 表示第 $i$ 个粒子. 它们的运动满足 Euler-Lagrange Equation

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \end{align}$$

A String

考虑由弹簧连接的许多质点. 它们只能垂直于 $x$ 运动. 记它们离 $x$ 轴的距离为 $\phi_i$ .

相邻的点间隔 $\epsilon$ . $\epsilon$ 是与每个点的质量成正比的, 因为总质量一定的前提下, 分得越细, 每个点的质量就越小. 因此动能为如下形式

$$\begin{align} T = \sum_i \frac{1}{2}\epsilon \dot{\phi}_i^2 \end{align}$$

弹簧越短的话, 就越硬, 也就是劲度系数与 $\epsilon$ 成反比. 再加上一个系数 $c^2$ , 它的势能为如下形式

$$\begin{align} U = \frac{c^2}{2\epsilon} \sum_i \left(\phi_{i + 1} - \phi_i \right)^2 \end{align}$$

所以 Lagrangian 为

$$\begin{align} L = \frac{\epsilon}{2}\sum_i \dot{\phi}_i^2 - \frac{c^2}{2\epsilon} \sum_i \left(\phi_{i + 1} - \phi_i \right)^2 \end{align}$$

取无穷多分的话, 做连续近似 $\epsilon\to \mathrm{d}x, \sum_i \to \int$ 就变成了

$$\begin{align} L\left[\phi, \frac{\partial\phi(x, t)}{\partial t}, \frac{\partial \phi(x, t)}{\partial x}\right] = \frac{1}{2}\int \left[\left(\frac{\partial\phi}{\partial t} \right)^2 - c^2 \left(\frac{\partial\phi}{\partial x} \right)^2 \right] \mathrm{d}x \end{align}$$

此时的 $\phi$ 就是场( $\phi$ 是 f, 代表 field). action 就是再对时间积分(给定边界)

$$\begin{align} A = \frac{1}{2}\int \left[\left(\frac{\partial\phi}{\partial t} \right)^2 - c^2 \left(\frac{\partial\phi}{\partial x} \right)^2 \right] \mathrm{d}x \mathrm{d}t \end{align}$$

第一项是 field 在 field space 中的动能. 通过 least action 得到它的 Euler-Lagrange Equation 为

$$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial\phi} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial L}{\partial\frac{\partial\phi}{\partial x}} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial L}{\partial\frac{\partial\phi}{\partial t}} =0 \end{align}$$

将 Lagrangian 代入可得运动方程

$$\begin{align} \frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} = 0 \end{align}$$

这就是一个波传播的方程.

Lecture 3: Four vector & Lorentz invariant

之后不做说明, 一般统一将光束取为 $1$

将时间与空间写在一起, 定义成 four vector, 比如

$$\begin{align} \mathrm{d}x^{\mu} \equiv (\mathrm{d}t, \mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z) \quad \mu = 0, 1, 2, 3 \end{align}$$

four vector 最关键的是它按照 Lorentz 变换进行变换. 如果换成下标, 那就把第 0 个分量加一个负号( 下标是协变, co is low). 如

$$\begin{align} \mathrm{d}x_{\mu} \equiv (-\mathrm{d}t, \mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z) \end{align}$$

用这种记号, 并采取求和约定, 那么 Lorentz 变换下的不变量就可以写成

$$\begin{align} \mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x_{\mu} = - \mathrm{d}t^{2} + \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2 \end{align}$$

内积 $A_\mu B^{\mu}$ 和 $A^{\mu} B_{\mu}$ 是一样的. 就像在三维旋转下, 任意两个矢量的内积(因内积是一个标量)是不变的一样, four vector 的 inner product 是一个 scaler, 它在 Lorentz 变换下是不变的.

因此就有了一种判断 four vertor 的方法

已知 $A^{\mu}$ 是 four vector, 不知道 $B_{\mu}$ 是不是 four vector. 那么计算 $A^{\mu}B_{\mu}$ 在不同坐标系下是否都一样即可.

再做一符号约定

$$\begin{align} \frac{\partial \phi}{\partial x^{\mu}} = ( \frac{\partial\phi}{\partial t}, \frac{\partial\phi}{\partial x}, \frac{\partial\phi}{\partial y}, \frac{\partial\phi}{\partial z}) \equiv \partial_{\mu}\phi \equiv \phi_{\mu}\\ \quad , \mathrm{where} \quad \mu = 0, 1, 2, 3 \quad \mathrm{or} \quad t, x, y, z \end{align}$$

至于为什么是 $\phi_{\mu}$ 而不是 $\phi^{\mu}$ . 是因为

$$\begin{align} \frac{\partial \phi}{\partial x^{\mu}} \mathrm{d}x^{\mu} = \Delta \phi \end{align}$$

$\phi$ 是一个 scaler, 而 scaler 的差 $\Delta\phi$ 一定还是一个 scaler. 所以 $\frac{\partial \phi}{\partial x^{\mu}}$ 一定是 covariant 的.

Lecture 2 中得到的 string 的 action

$$\begin{align} A = \frac{1}{2}\int \left[\left(\frac{\partial\phi}{\partial t} \right)^2 - c^2 \left(\frac{\partial\phi}{\partial x} \right)^2 \right] \mathrm{d}x \mathrm{d}t \end{align}$$

如果 $c=1$ 那么, 它可以写为

$$\begin{align} A = -\frac{1}{2}\int \mathrm{d}x^4 \cdot \partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi \end{align}$$

它是一个 scaler, 也就是说它是 Lorentz invariant 的.

Lecture 4: Symmetry and Conservation Laws

Proof of Euler-Lagrange Equation

从 least action 出发证明 Euler-Lagrange Equation.

$$\begin{align} A = \int L(x, \dot{x}) \mathrm{d}t \end{align}$$

least action 意味着给 $x(t)$ 一个微小的扰动 $x(t) \to x(t) + \delta x(t) = x(t) + \epsilon f(t)$ , $\dot{x}(t) \to \dot{x}(t) + \epsilon \dot{f}(t)$ 有

$$\begin{align} 0 = \epsilon \int \left[ \frac{\partial L}{\partial x}f(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \dot{f}(t)\right] \mathrm{d}t \end{align}$$

integration by parts 得(因为积分是固定边界的, 所以 $f(t)$ 在边界上的结果为 $0$, 所以 no contribution from boundary)

$$\begin{align} 0 = \epsilon \int \left[ \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right]f(t) \mathrm{d}t \end{align}$$

因为上式 for every possible $f(t)$ 都成立, 所以有

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \end{align}$$

Generalize Euler-Lagrange Equation to Field Theory

$$\begin{align} L = \int\mathrm{d}x \mathcal{L}\left[\phi(x), \partial_t\phi, \phi_x, \phi_y, \phi_z\right] \end{align}$$

$\mathcal{L}$ is Lagrangian density, 也通常直接叫做 Lagrangian.

Noether's Theorem

在 ordinary mechanics 中, canonical momentum 的定义为

$$\begin{align} p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \end{align}$$

如果 $L$ 在 $q_i \to q_i + \epsilon f_i(q)$ 下是 invariant 的. 注意 $f_i(q)$ has no dependence on time, $\dot{q}_i$ and depends on all $q_i$, 也就是说给了坐标一个不随时间变化的, 与速度无关的位移. , 那么就对应一个 convervation law

$$\begin{align} 0 =\delta L = \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} f_i(q)\epsilon = \epsilon\sum_if_i(q) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} p_i \end{align}$$

第二个等号利用了 Euler-Lagrange Equation 以及 $p_i$ 的定义. 由上式可知

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[\sum_{i}f_i(q) p_i\right] = 0 \end{align}$$

所以有守恒量

$$\begin{align} \sum_{i}f_i(q) p_i = \mathrm{const.} \end{align}$$

Lecture 5: Conservation Laws & Complex Fields

Three Kinds of Momentum

Mechanical Momentum

$$\begin{align} \vec{p} = m \vec{v} \end{align}$$

Canonical Momentum

$$\begin{align} p_i = \frac{\partial L}{\partial q_i} \end{align}$$

Noether Momentum

Noether momentum is related to symmetries.

$$\begin{align} Q = \sum_i p_i f_i(q) \end{align}$$

if $f$ is trivially just $1$ . 那么

$$\begin{align} Q = \sum_i p_i \end{align}$$

Field Momentum

field momentum

$$\begin{align} \Pi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} \end{align}$$

is not a vector, is a scaler.

if $q_i \to q_i + \epsilon f_i(q), \quad \delta L =0$ 那么

$$\begin{align} \sum_{i} p_i f_i(q) \end{align}$$

is conserved charge. 取连续极限到场( $f = 1$ )

$$\begin{align} \int \mathrm{d}x\cdot\Pi(x) = \mathrm{conserved} \end{align}$$

Complex Fields & Charged particles

$$\begin{align} \phi = \phi_1 + \mathrm{i}\phi_2 \end{align}$$

Lagrangian

$$\begin{align} L =& \int\mathrm{d}x^3 \cdot \left[ \frac{\dot{\phi}_1^2}{2} - \frac{(\partial_x\phi_1)^2}{2} - \frac{\mu}{2}\phi_1^2 \right.\\ & + \left.\frac{\dot{\phi}_2^2}{2} - \frac{(\partial_x\phi_2)^2}{2} - \frac{\mu}{2}\phi_2^2\right] \\ =& \int \mathrm{d}x^3\cdot \left[ \frac{\dot{\phi}^{*} \dot{\phi}}{2} - \frac{\partial_x\phi^{ *} \partial_x\phi}{2} - \frac{\mu}{2} \phi^{* } \phi\right] \end{align}$$

has a new symmetry, $\phi \to \phi e^{\mathrm{i}\epsilon}$ . When $\epsilon$ is small, we have $\delta\phi = \mathrm{i}\epsilon\phi, \delta\phi^{* } = -i\epsilon\phi^{*}$ . So conserved charge is

$$\begin{align} &\int \left[ \Pi_{\phi}f_{\phi} + \Pi_{\phi*} f_{\phi*} \right] \mathrm{d}x \\ =&\mathrm{i}\int \left[ \frac{\dot{\phi}^{* }}{2}\phi - \frac{\dot{\phi}}{2}\phi^{* } \right] \mathrm{d}x \end{align}$$

and charge density (also angular momentum) is

$$\begin{align} \rho = \frac{\dot{\phi}^{* }}{2}\phi - \frac{\dot{\phi}}{2}\phi^{* } \end{align}$$

Charged particles are always described by complex fields.

Lecture 6: Conservation of Charge, Relativity Relation Between $E$ and $\vec{p}$

Continuity Equation

从物理图像上得到 continuity equation

$$\begin{align} \dot{\rho} + \nabla\cdot \vec{j} = 0 \end{align}$$

也可以写为 (define $\rho\equiv j^0$)

$$\begin{align} \partial_{\mu} j^{\mu} = 0 \end{align}$$

Ordinary Relativity Theory of Moumentum and Particles

proper time

$$\begin{align} \mathrm{d}\tau = \sqrt{\mathrm{d}t^2 - \mathrm{d}x^2} = \mathrm{d}t\sqrt{1 - v^2} \end{align}$$

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} \end{align}$$

we get

$$\begin{align} m\frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{d\tau} = (\frac{m}{\sqrt{1 - v^2}} , \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2}}) \end{align}$$

$$\begin{align} E \equiv p^0 = \frac{m}{\sqrt{1 - v^2}}, \quad \vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2}} \end{align}$$

we get

$$\begin{align} E^2 - p^2 = m^{2} \end{align}$$

we can also expand energy $E$ in the low velocity limit( put speed of light $c$ by dimension analysis)

$$\begin{align} E = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)mc^2 = mc^2 + \frac{mv^2}{2} + \cdots \end{align}$$

It's a familiar result.

Lecture 7: $\star$ Gauge Theory $\star$

Gauge transformation is position dependent phase rotations, i.e.

$$\begin{align} \phi\to &\phi' = e^{\mathrm{i}\theta(x)}\phi \\ \phi^{* } \to& \phi'^{* }= e^{-\mathrm{i}\theta(x)}\phi^{* } \end{align}$$

Let's see how

$$\begin{align} L = \int\left[ \partial_{\mu}\phi^{* } \partial^{\mu}\phi - m^2\phi^{* } \phi \right] \mathrm{d}^4x \end{align}$$

Obviously, term $m^2\phi^{* } \phi$ is invariant under gauge transformation.

$$\begin{align} \frac{\partial\phi'}{\partial x^{\mu}} &= \frac{\partial\phi}{\partial x^{\mu}}e^{\mathrm{i}\theta(x)} + \mathrm{i}\frac{\partial\theta}{\partial x^{\mu}}e^{\mathrm{i}\theta(x)}\phi\\ \frac{\partial\phi'^{* }}{\partial x^{\mu}} &= \frac{\partial\phi^{* }}{\partial x^{\mu}}e^{-\mathrm{i}\theta(x)} - \mathrm{i}\frac{\partial\theta}{\partial x^{\mu}}e^{-\mathrm{i}\theta(x)}\phi^{* } \end{align}$$

We get

$$\begin{align} \partial_{\mu}\phi'^{* } \partial^{\mu}\phi' = \partial_{\mu}\phi^{* } \partial^{\mu}\phi -\mathrm{i}\frac{\partial\theta}{\partial x^{\mu}} \left[ \phi\partial_{\mu}\phi^{* } - \phi^{* }\partial_{\mu}\phi \right] + \partial_{\mu}\theta\partial^{\mu}\theta \phi^{* }\phi \end{align}$$

So, the Lagrangian is not invariant under such a transformation. Let's see if we can force it to be invariant. But to do so we have to add some other collection of fields into the brew. We invent some new fields(electromagnetic) $A_{\mu}$ , create a new Lagrangian

$$\begin{align} L =& \int\left[ \left(\partial_{\mu}\phi + \mathrm{i}e A_{\mu}\phi\right)^{* } \left(\partial^{\mu}\phi + \mathrm{i}e A^{\mu}\phi\right) - m^2\phi^{* } \phi \right] \mathrm{d}^4x \\ =& \int\left[ \partial_{\mu}\phi^{* } \partial^{\mu}\phi -\mathrm{i}eA^{\mu} \left[ \phi\partial_{\mu}\phi^{* } - \phi^{* }\partial_{\mu}\phi \right] + e^2A_{\mu} A^{\mu} \phi^{* }\phi - m^2\phi^{* } \phi \right] \mathrm{d}^4x \end{align}$$

the second equal uses $A_{\mu} \partial^{\mu}\phi = A^{\mu}\partial_{\mu}\phi$ .under transformation

$$\begin{align} L \to \int \left[\left(\partial_{\mu}\phi^{* } - \mathrm{i}\partial_{\mu}\theta\phi^{* } - \mathrm{i}e A'_{\mu}\phi^{* }\right) \left(\partial_{\mu}\phi + \mathrm{i}\partial_{\mu}\theta\phi + \mathrm{i}e A'_{\mu}\phi \right) - m^2\phi^{* }\phi \right]\mathrm{d}^4x \end{align}$$

If we let $\frac{1}{e}\partial_{\mu}\theta + A'_{\mu} \equiv A$ , i.e. $A_{\mu}$ transform like

$$\begin{align} A_{\mu} \to A'_{\mu} = A_{\mu} - \frac{1}{e}\partial_{\mu}\theta(x) \end{align}$$

then Lagrangian is invariant.

The only real symmetries of nature are gauge symmetries. All others are not really symmetries of nature.

Let's forget charges( $\phi$ ). There are electromagnetic waves through empty space. So, there must be some dynamics to the electromagnetic fields even in the absence of charges. Lagrangian's most important thing is the dependence of velocity(the derivative of $A_{\mu}$ ). And we want it gauge invariance.

There are 16 difference of derivatives $\partial_{\nu} A_{\mu}$ . Under gauge transformation

$$\begin{align} \partial_{\nu}A_{\mu} \to \partial_{\nu}A_{\mu} - \frac{1}{e} \partial_{\nu}\partial\mu\theta(x) \end{align}$$

the extra term $\frac{1}{e} \partial_{\nu}\partial\mu\theta(x)$ is invariant when we exchange $\nu$ and $\mu$ . So

$$\begin{align} \partial_{\nu}A_{\mu} - \partial_{\mu} A_{\nu} \end{align}$$

is invariant under gauge transformation.

Define

$$\begin{align} F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu} \end{align}$$

and it is an anti-symmetric tnesor. So there are 6 independent components. 3 electric electric fields, 3 magnetic fields.

We also want Lagrangian quadratic and Lorentz invariant. As long as all indices are contracted correctly, then the Lorentz transformation will be a symmetry of anything that we make. So We make

$$\begin{align} \mathcal{L} = F_{\nu\mu} F^{\nu\mu} \end{align}$$

Lecture 8: $\star$ Electromagnetic & Maxwell's Equations $\star$

Lagrangian(add a factor $-1/4$ )

$$\begin{align} \mathrm{Action} = - \frac{1}{4}\int \mathrm{d}^4x \cdot F_{\nu\mu} F^{\nu\mu} \end{align}$$

from Euler-Lagrange equation we get

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\nu}}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A^{\nu}} = 0 \end{align}$$

the second equal is because $\mathcal{L}$ is independent of $A$, only depends on the derivative of $A$ .

So, the equation of motion is

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} F^{\mu\nu} = 0 \end{align}$$

and Maxwell's equation is

$$\begin{align} \nabla \cdot \vec{E} &= \rho, \quad \mathrm{equation} \quad \mathrm{of} \quad \mathrm{motion} \quad \mathrm{about}\quad j^0\\ \nabla \cdot \vec{B} &=0, \quad \mathrm{consequence} \quad \mathrm{of}\quad \mathrm{definition} \quad \mathrm{of} \quad \vec{B}\\ \nabla \times \vec{E} &= -\dot{B}, \quad \mathrm{consequence} \quad \mathrm{of}\quad \mathrm{definition} \quad \mathrm{of} \quad \vec{B} \quad \mathrm{and} \quad \vec{E}\\ \nabla \times \vec{B} &= \dot{\vec{E}} + \vec{\jmath} , \quad \mathrm{equation} \quad \mathrm{of} \quad \mathrm{motion} \end{align}$$

Reference

Noether's theorem
Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder - An Introduction To Quantum Field Theory (2018, Westview PressCRC Press)
Electromagnetic tnesor

一个简单的积分: 自由粒子的传播子

2021-03-03T00:00:00+08:00

$$\begin{align} U(t) =& \langle \vec{x} | e^{-\mathrm{i} H t} | \vec{x}_0\rangle \\ =& \int \frac{\mathrm{d}^3\vec{p}}{(2\pi)^3} \langle \vec{x}| e^{-\mathrm{i} \frac{p^2}{2m}t}|\vec{p}\rangle \langle \vec{p} | \vec{x}_0\rangle \\ =& \int \frac{\mathrm{d}^3\vec{p}}{(2\pi)^3} e^{-\mathrm{i} \frac{p^2}{2m}t} e^{\mathrm{i}\vec{p}\cdot(\vec{x} - \vec{x}_0)} \\ =& \left( \frac{m}{2\pi \mathrm{i}t} \right)^{3/2} e^{\mathrm{i}m\frac{(\vec{x} - \vec{x}_0)^2}{2t}} \end{align}$$

最后一个等号的过程如下. 记 $|\vec{x} - \vec{x}_0| = \Delta x$

$$\begin{align} U(t) =& \frac{1}{(2\pi)^2} \int_0^{\infty}\mathrm{d}p\cdot p^2\int_{-1}^1\mathrm{d}\cos\theta\cdot e^{-\mathrm{i} \frac{p^2}{2m}t}e^{\mathrm{i} p\Delta x \cos\theta} \\ =& \frac{1}{(2\pi)^2} \int_0^{\infty}\mathrm{d}p\cdot p e^{-\mathrm{i} \frac{p^2}{2m}t} \frac{1}{\mathrm{i}\Delta x} [e^{\mathrm{i} p\Delta x} - e^{-\mathrm{i} p\Delta x}]\\ =& \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}p\cdot p e^{-\mathrm{i} \frac{p^2}{2m}t} \frac{1}{\mathrm{i}\Delta x} e^{\mathrm{i} p\Delta x} \\ =& \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}p e^{-\mathrm{i} \frac{p^2}{2m}t} \frac{p}{\mathrm{i}\Delta x}\cdot \frac{1}{\mathrm{i}p} \frac{\partial}{\partial\Delta x} e^{\mathrm{i} p\Delta x} \\ =& \frac{1}{(2\pi)^2} \frac{-1}{\mathrm{i}\Delta x}\frac{\partial}{\partial\Delta x} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}p e^{-\mathrm{i} \frac{p^2}{2m}t} e^{\mathrm{i} p\Delta x} \\ =& \frac{1}{(2\pi)^2} \frac{-1}{\mathrm{i}\Delta x}\frac{\partial}{\partial\Delta x} \sqrt{\frac{2\pi m}{\mathrm{i}t}} e^{-\frac{\Delta x^{2} m}{2it}}\\ =& \left( \frac{m}{2\pi \mathrm{i}t} \right)^{3/2} e^{\mathrm{i}m\frac{\Delta x^2}{2t}} \end{align}$$

注

记住这个还不是错的, 不用老配方了...

$$\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2 + bx} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}} \end{align}$$

Reference

Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder - An Introduction To Quantum Field Theory (2018, Westview Press_CRC Press) Chap 2.1
https://physics.stackexchange.com/questions/424587/peskin-schroeder-free-particle-propagation

Carl Bender Mathematical Physics Lecture7 Note

2021-03-02T00:00:00+08:00

Information

原出处: https://www.perimeterinstitute.ca/video-library/collection/11/12-psi-mathematical-physics
可以看自动生成的字幕: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzcd6SoIscwjHuWRE38UXWG92uq0Sy4UF
Bilibili: https://www.bilibili.com/video/BV1w4411q7x6?fromsearch&seid7852838902448285010
Book: Carl M. Bender, Steven A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I Asymptotic Methods and Perturbation Theory, 1999

Keywords

Pade technique for summing a series. Asymptotic series. Fuchs' theorem. Frobenius series.

Pade

Poles are "mocking up" the cut.

展示了 $\frac{\ln (1 + x)}{x}$ Pade 近似的结果. Mathematican 中可以用函数 PadeApproximant 来实现.

这是上节课尾巴.

Stirling's Series

$$\begin{align} \Gamma(x) \sim x^{x-1/2} e^{-x}\sqrt{2\pi} \left(1 + \frac{1}{12 x} + \frac{1}{288 z^2} - \cdots \right) \end{align}$$

它收敛很慢. 但是变成 Pade 后, 就收敛很快. 但是 no idea why it works.

What is Asymptotic Series?

$$\begin{align} f(x) - \sum_{n = 0}^N a_n x^n \sim a_{N + 1} x^{N + 1} \quad \mathrm{as} \quad x\to 0 \end{align}$$

means that

$$\begin{align} f(x) - \sum_{n=0}^N a_n x^n \sim a_{N + 1} x^{N + 1} \quad \mathrm{as} \quad x\to 0 \quad \mathrm{for} \quad \mathrm{all} \quad N \end{align}$$

also

$$\begin{align} \lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - \sum_{n=0}^N a_n x^n}{x^{N + 1}} = a_{N + 1} \quad \mathrm{for} \quad \mathrm{all} \quad N \end{align}$$

只有说一个 series asymptotic to 某个函数时, 才有意义. 直接说某个 series 是不是 asymptotic series 是没有意义的.

对于一个 series, 总有一个 function 是此级数 asymptotic to 的.

但对于一个 function 只有一个 series 是 asymptotic to 它的.

A function has an unique asymptotic series. But a series could be asymptotic to many different functions.

asymptotic series 也可以有其它的形式, 如

$$\begin{align} f(x) - \sum_{n = 0}^N (a_n - a) x^n \sim a_{N + 1} x^{N + 1} \quad \mathrm{as} \quad x\to a \end{align}$$

同样, $n$ 也不一定是整数. 可以是分数等等.

如

$$\begin{align} \frac{\Gamma(x)}{x^{x-1/2} e^{-x}\sqrt{2\pi}} \sim 1 + \frac{1}{12 x} + \frac{1}{288 z^2} - \cdots \quad \mathrm{as} \quad x \to \infty \end{align}$$

An Example about "How do asymptotic series arise?"

对

$$\begin{align} x^3 y'' = y \end{align}$$

在 near $x=0$ 处进行 local analysis.

偏题: 如何分析一个 second order linear DE?

拿到形如

$$\begin{align} a(x) y'' + b(x) y' + c(x)y = 0 \end{align}$$

的方程, 首先化成 normal form. 两边同时除以 $a(x)$ , 变成了如下形式

$$\begin{align} y'' + A(x) y' + B(x)y = 0 \end{align}$$

要分析它在 $x\to x_0$ 处的行为. How does $y(x)$ behave near $x = x_0$ ?

There are exactly three possibilities there.

case 1

$A(x)$ , $B(x)$ analytic near $x = x_0$ ( $x_0$ is a regular point)

此时有定理, Fuchs' theorem. (Lazarus Immanuel Fuchs (5 May 1833 – 26 April 1902) was a Jewish-German[1] mathematician who contributed important research in the field of linear differential equations)

All solutions have a Taylor series about $x = x_0$

$$\begin{align} y(x) = \sum_0^{\infty} (x - x_0)^n a_n \end{align}$$

case 2

Not both $A$ and $B$ are analytical. But $(x - x_0) A(x)$ and $(x - x_0) B(x)$ are analytical. ( $x_0$ is a regular singular point)

At least one solution has the form (Frobenius series)

$$\begin{align} y(x) = \sum_0^{\infty} (x - x_0)^{n + \alpha} a_n \end{align}$$

others

$$\begin{align} y(x) = \sum_0^{\infty} (x - x_0)^{n + \alpha} a_n \ln(x - x_0) \end{align}$$

case 1 and case 2 solutions' converge radius is often the distance from $x_0$ to the nearest singularity.

case 3

$x_0$ is an irregular point.

local analysis

对于

$$\begin{align} x^3 y'' = y \end{align}$$

来说

$$\begin{align} A = 0, \quad B = \frac{1}{x^3} \end{align}$$

它属于 case 3. 如果强行写一个 Frobenius series 的解

$$\begin{align} y(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^{n + \alpha} \quad(a_n \neq 0) \end{align}$$

那么代回原方程可以得到

$$\begin{align} \sum_{n = 1}^{\infty} (n - 1 + \alpha)(n - 2 + \alpha) a_{n - 1} x^{n + \alpha} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^{n + \alpha} \end{align}$$

结果是 $a_0 = 0$ , $a_n = 0$ . 也就是它没有 Frobenius series 的解.

这个问题太难了, 让我们看一下一阶的问题, 能不能猜一下它的解.

$y' = \frac{y}{2}$

它的 case 1, 在 $x = 0$ 处是 regular point. 那么它有 Taylor series 形式的解. 当然的, 它的解是

$$\begin{align} y(x) = C e^{\frac{x}{2}} = C \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(x/2)^n}{n!} \end{align}$$

$y' = \frac{y}{2x}$

它是 case 2, 在 $x = 0$ 处是 regular singular point. 它的解为

$$\begin{align} y(x) = C \sqrt{x} \end{align}$$

这是 Frobenius series, $\alpha = 1/2$ , 只有一项. Frobenius was right!

$y' = \frac{y}{2x^2}$

它是 case 3, irregular point. 但是它的可解的, 结果是

$$\begin{align} y = C e^{- \frac{1}{2x}} \end{align}$$

它的形式是

$$\begin{align} y = e^{s(x)} \end{align}$$

How do asymptotic series arise?

因此, Green (是 George Green?)给出了这样的 suggested, 一个 $y = e^{s(x)}$ 形式的试探解( $s(x)$ is singular, blowing up at $x = 0$ )

$$\begin{align} y(x) = e^{a x^b}, \quad b<0 \end{align}$$

如果直接将 $y = e^{s(x)}$ 代回 $x^3 y'' = y$ , 会得到 Riccati

$$\begin{align} x^3(s'' + s'^2) &= 1 \\ \Downarrow& \\ x^3(T' + T^2) &= 1 \end{align}$$

如果 $s = a x^b$ 那么会得到

$$\begin{align} s' =& b a x^{b - 1}\\ s'' =& b(b - 1) a x^{b-2}\\ s'^2 =& b^2a^2 x^{2b - 2} \end{align}$$

Mr. Green noticed that if $b < 0$ which of $s'', s'^2$ is more important as $x\to 0$ ? (Its an issue of 2b or not 2b. That's the point! -_- !!! Bender 讲了这么多就只是为了玩 shakespeare 的梗...当然不是...) 当然是

$$\begin{align} s'' \ll (s')^2 \quad \mathrm{as} \quad x \to 0 \end{align}$$

所以用了 the method of dominant balance( 第一节课讲的 ), 将等号的换成 $\sim$ , 问题有了进展. 这也再次说明 equal sign make no progress! Replace this equation by an asymptotic relations

$$\begin{align} x^3(s'' + s'^2) &= 1 \\ \Downarrow& \\ x^3 s'^2 &\sim 1 \quad \mathrm{as} \quad x\to 0\\ \end{align}$$

ha! I can solve that equation. It's only a first order euqation.

$$\begin{align} s \sim \mp C\frac{2}{\sqrt{x}}\quad \mathrm{as} \quad x\to 0 \end{align}$$

Just like that! We cracked into the equation!

We know what $s$ is asymptotic to. 但是我们想要的是 $y(x) = e^{s(x)}$ . 那么问题来了. If $f(x)\sim g(x)$ as $x\to x_0$ , is it true $e^{f(x)}\sim e^{g(x)}$ as $x\to x_0$ ? (因为 asymptotic 并不意味着 $f(x) - g(x)$ 很小, 它可以很大, 比如 $x^2 + x \sim x^{2}$ as $x\to \infty$ , 但它们相差无穷大!)

Only true when $f(x) - g(x) \ll 1$ as $x \to x_0$ . The one thing that you cannot do both sides of an asymptotic approximation is to exponent it.

$\mp \frac{2}{\sqrt{x}}\quad \mathrm{as}$ 叫做 controlling factor. 因此我们只能 roughly speaking

$$\begin{align} y(x) \sim e^{\frac{2}{\sqrt{x}}} \quad \mathrm{or} \quad e^{-\frac{2}{\sqrt{x}}} \quad \mathrm{as} \quad x\to 0 \end{align}$$

有一个解在 $x \to 0$ 时很快地 blow up. 另一个趋于 $0$ . 这两个解都没有 Frobenius 或者 Taylor series.

Bender 最后总结, 新的概念就是这样被发明的. 这个方程的解一定是一个函数, 但是通常的方法都没法表示, 所以 we're forced to a new way to represent the function.

最终的结果是

$$\begin{align} y(x) \sim e^{\mp \frac{2}{\sqrt{x}}} x^{3/4} \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^{n/2} \quad \mathrm{as} \quad x \to 0 \end{align}$$

之后会发现这是个 divergent series. 所以说, divergent series are forced upon us. This is the only way to represent the solution. We don't have a convergent series representation.

之后会讲如何 sum that series and actually write down the answer.

Summary

介绍了 asymptotic series 的定义, 之后重点用一个例子说明我们是如何有了 asymptotic series 这个概念的: 我们发现了一些方程, 它的解的形式只能用 asymptotic series 来表示. 这就像 $x^2 = -1$ 的解让我们不得不拥有了复数的概念一样.

Reference

Stirling's Series
Stokes' wedges (只有 Bender 这么叫?)
Fuchs' theorem

two body density matrix

2021-03-01T00:00:00+08:00

两体密度矩阵

$$\begin{align} \rho(\mathbf{r}, \mathbf{r}'; \mathbf{r}_1) \equiv \langle \Psi | \psi^{\dagger}(\mathbf{r}) \psi^{\dagger}(\mathbf{r}_1) \psi(\mathbf{r}_1) \psi(\mathbf{r'}) | \Psi \rangle = \phi^*(\mathbf{r}, \mathbf{r}_1)\phi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}') \end{align}$$

其中 $|\Psi\rangle$ 是两体态

$$\begin{align} | \Psi \rangle = \int \mathrm{d} \mathbf{r}_3 \int \mathrm{d} \mathbf{r}_4\cdot \phi (\mathbf{r}_3, \mathbf{r}_4)\cdot \psi^{\dagger}(\mathbf{r}_3) \psi^{\dagger}(\mathbf{r}_4) | 0 \rangle \end{align}$$ $$\begin{align} \langle \Psi| = \int \mathrm{d} \mathbf{r}_5 \int \mathrm{d} \mathbf{r}_6\cdot \phi^{*} (\mathbf{r}_5, \mathbf{r}_6)\cdot \langle 0 |\psi(\mathbf{r}_6) \psi(\mathbf{r}_5) \end{align}$$

所以

$$\begin{align} \rho(\mathbf{r}, \mathbf{r}'; \mathbf{r}_1) = &\int \mathrm{d} \mathbf{r}_3 \int \mathrm{d} \mathbf{r}_4 \int \mathrm{d} \mathbf{r}_5\int \mathrm{d} \mathbf{r}_6\cdot \phi^{*} (\mathbf{r}_5, \mathbf{r}_6)\phi (\mathbf{r}_3, \mathbf{r}_4)\\ &\langle 0 | \psi(\mathbf{r}_6) \psi(\mathbf{r}_5)\cdot \psi^{\dagger}(\mathbf{r}) \psi^{\dagger}(\mathbf{r}_1) \psi(\mathbf{r}_1) \psi(\mathbf{r'})\cdot \psi^{\dagger}(\mathbf{r}_3) \psi^{\dagger}(\mathbf{r}_4) |0\rangle \\ =&\int \mathrm{d} \mathbf{r}_3 \int \mathrm{d} \mathbf{r}_4 \int \mathrm{d} \mathbf{r}_5\int \mathrm{d} \mathbf{r}_6\cdot \phi^{*} (\mathbf{r}_5, \mathbf{r}_6)\phi (\mathbf{r}_3, \mathbf{r}_4)\\ &\left[ \delta (\mathrm{r} - \mathrm{r}_{5}) \delta(\mathrm{r}_1 - \mathrm{r}_{6}) -\delta (\mathrm{r} - \mathrm{r}_6) \delta(\mathrm{r}_1 - \mathrm{r}_5) \right]\cdot \left[ \delta (\mathrm{r}' - \mathrm{r}_3) \delta(\mathrm{r}_1 - \mathrm{r}_4) -\delta (\mathrm{r}' - \mathrm{r}_4) \delta(\mathrm{r}_1 - \mathrm{r}_3) \right] \end{align}$$

$$\begin{align} \rho(\mathbf{r}, \mathbf{r}'; \mathbf{r}_1) = \sharp \phi^*(\mathbf{r}, \mathbf{r}_1)\phi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}') \end{align}$$

Reference

Harald Siegfried Friedrich, Theoretical Atomic Physics-Springer (2005) Chap 1.4.1

两体束缚态

2021-03-01T00:00:00+08:00

any

$r > r_0$ 时, $V(r) = 0$ , 径向 Schrodinger 方程为 $$ \label{eq:sq} -\chi'' + \frac{l(l+1)}{r^2}\chi = k^2 \chi $$

将 $\chi$ 在 $k=0$ 处做低能展开 $$ \chi(r) = \phi(r) + k^2 f(r) +k^4 g(r) + \mathcal{O}(k^6) $$

将展开代回到 $(\ref{eq:sq})$ , 对比 k 的系数得到:

零能时, 也就是 $\phi$ 满足的方程为 $$ \label{eq:phi}

\phi '' + \frac{l(l+1)}{r^2}\phi = 0 $$ f 满足的方程为 $$ \label{eq:f}
f '' + \frac{l(l+1)}{r^2}f = \phi $$ g 满足的方程为 $$ \label{eq:g}
g'' + \frac{l(l+1)}{r^2}g = f $$

s-wave

$l = 0$ 代入 $(\ref{eq:phi})$ 零能解为 $$ \phi \propto \sharp_1 + \sharp_2 r $$ 舍去一个归一化因子, 相对系数可定义散射长度 $$ \label{eq:phi_s} \phi = 1 - \frac{r}{a} $$

$$ \psi(r)|_{k=0} = \frac{\chi(r)}{r} \propto \frac{1}{r} - \frac{1}{a} $$

$(\ref{eq:phi_s})$ 代入 $(\ref{eq:f})$ 解得 $$ f = -\frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{6a} + C_1 + C_2 r $$ 重新定义 $f \to f - C_1\phi$ (这总是可以做到的, 因为相当于直接在展开的时候令 $\chi = \phi + k^2 (f-C_1\phi) + k^4 g$ , $f - C_1 \phi$ 也可以做一到是任意函数 ) ,并用系数定义 effective range $$ \label{eq:f_s} f = -\frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{6a} + \frac{r_s}{2} r $$ $(\ref{eq:f_s})$ 代入 $(\ref{eq:f})$ ,并做类似地处理 ( $g\to g - \cdots$ , 定义 $r_s'$ ) 得到 ( $r_s'$ 的系数why?1/24?? ) $$ g = \frac{r^4}{24} - \frac{r^5}{120a} - \frac{r_s}{12}r^3 +\frac{r_s'}{24}r $$ s-wave 非零能的径向方程实际是严格可解的, 舍去一个归一化系数, 另一个系数定义相移( 是 k 的函数 ), 形式为 $$ \psi(r) = \frac{\sin (k r + \delta_k)}{r\sin\delta_k} $$ $\psi(r)$ 也做低能 $k\to 0$ 的展开 $$ \psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} = \cot\delta_k \sin(kr)\frac{1}{r} + \cos(kr)\frac{1}{r} = \frac{1}{r} + k\cot\delta_k + \mathcal{O}(r^2) $$ $k\cot\delta_k$ 为 $r^0$ 的系数, 因此得到 $k\cot\delta_k$ 低能展开 $$ k\cot \delta_k = -\frac{1}{a} + k^2\frac{r_s}{2} + k^4 \frac{r_s'}{24} + \mathcal{O}(k^6) $$

p-wave

$l = 1$ 代入 $(\ref{eq:phi})$ 零能解为零能时 $$ -\phi'' + \frac{1\times(1+1)}{r^2}\phi = 0 $$ 解为 $$ \phi(r) \propto \sharp_1 r^2 + \sharp_2 \frac{1}{r} $$

舍去一个归一化因子, 相对系数可定义 v $$ \label{eq:phi_p} \phi(r) = \frac{1}{r} - \frac{r^2}{3v} $$ $(\ref{eq:phi_p})$ 代入 $(\ref{eq:f})$ 解得 $$ f = \frac{r}{2} + \frac{r^4}{30v} + \sharp_1 r^2 +\sharp_2 \frac{1}{r} $$ 与 s-wave 类似的处理, 用系数定义 R , 重新定义后的 f 为 $$ f = \frac{r}{2} + \frac{r^4}{30v} - \frac{r^2}{3R} $$ 所以 $$ \psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} = \left( \frac{1}{r^2} - \frac{r}{3v} \right) + k^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{r}{3R} + \frac{r^3}{30v} \right) + \mathcal{O}(k^4) $$

~~p-wave 非零能的径向方程的严格解是求 Bessel 函数, 舍去一个归一化系数, 另一个系数定义相移( 是 k 的函数 ), 在 $r\to\infty$ 的渐近形式为~~

$$ > \begin{align} > \psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} \sim& \frac{1}{r\sin\delta_k}\sin\left(kr - \frac{1}{2}\pi + \delta_k \right) \\ > =& -\frac{1}{r}\cot \delta_k + k + r\frac{k^2}{2}\cot\delta_k+\mathcal{O}(r^2)\quad, \quad \mathrm{as}\, r \to\infty > \end{align} > $$

将严格解也在低能展开 ( 此式的来源??? ) $$ \psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} \propto \cot\delta_k j_1(kr) - y_1(kr) = \frac{1}{k^2 r^2} + \frac{1}{2} + \frac{r}{3}k \cot\delta_k + \mathcal{O}(r^2) $$

对比 $\frac{1}{r^2}$ 及 r 的系数可得 $$ \cot \delta_k = -\frac{1}{v k^3} - \frac{1}{kR} + \mathcal{O}(k) $$

d-wave

$l = 2$ 代入 $(\ref{eq:phi})$ 零能解为零能时 $$ -\phi'' + \frac{2(2+1)}{r^2}\phi = 0 $$ 解为 $$ \phi(r) = \sharp_1 r^3 + \sharp_2 \frac{1}{r^2} $$

舍去一个归一化因子, 相对系数可定义 D $$ \label{eq:phi_d} \phi(r) = \frac{1}{r^2} - \frac{r^3}{45 D} $$ $(\ref{eq:phi_d})$ 代入 $(\ref{eq:f})$ 解得 $$ f = \frac{1}{6} + \frac{r^5}{630 D} + \sharp_1 r^3 + \frac{\sharp_2}{r^2} $$ 与 s-wave 类似的处理, 用系数定义 v , 重新定义后的 f 为 $$ \label{eq:f_d} f = \frac{1}{6} + \frac{r^5}{630 D} - \frac{r^3}{45v} $$ $(\ref{eq:f_d})$ 代入 $(\ref{eq:g})$ ,并做类似地处理 ( $g\to g - \cdots$ , 定义 $r_s'$ ) 得到 $$ \begin{align} g =& \frac{r^5}{630 v} + \frac{r^2}{24} - \frac{r^7}{22680 D} + \sharp_1 r^3 + \frac{\sharp_2}{r^2} \\ \Rightarrow g =& \frac{r^5}{630 v} + \frac{r^2}{24} - \frac{r^7}{22680 D} -\frac{r^3}{45R} \end{align} $$ 所以 $$ \begin{align} \psi(r) =& \frac{\chi(r)}{r} = \frac{\phi(r) + k^2 f(r) +k^4 g(r) + \mathcal{O}(k^6)}{r} \\ =& \left(\frac{1}{r^3} - \frac{r^2}{45 D} \right) +k^2\left( \frac{1}{6} + \frac{r^5}{630 D} - \frac{r^3}{45v} \right) +k^4\left( \frac{r^5}{630 v} + \frac{r^2}{24} - \frac{r^7}{22680 D} -\frac{r^3}{45R} \right) \end{align} $$

将严格解也在低能展开 $$ \psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} \propto \cot\delta_k j_2(kr) - y_2(kr) = \frac{3}{k^3 r^3} + \frac{1}{2kr} + \frac{kr}{8} + \frac{r^2}{15}k^2 \cot\delta_k + \mathcal{O}(r^3) $$

对比系数得 $$ \cot \delta_k = - \frac{1}{Dk^5} - \frac{1}{vk^3} - \frac{1}{kR} + \mathcal{O}(k) $$

高斯波包的扩散

2021-02-28T00:00:00+08:00

Monochromatic wave

单色波的波函数可以写为

$$\begin{align} \psi_k(x, t) = \phi_k(x) e^{-\mathrm{i}Et/\hbar} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\mathrm{i}\left[kx - \omega(k) t\right]} \end{align}$$

phase velocity $v = \omega/k$ . $\omega(k)$ 为色散关系.

Localized wave packet

一个波包包含不同波长的单色波, 也就是不同的 $k$ 的叠加

$$\begin{align} \psi(x, 0) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\psi}(k) \psi_k(x, 0) \mathrm{d}k = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}kx} \tilde{\psi}(k) \mathrm{d}k \end{align}$$

叠加系数为

$$\begin{align} \tilde{\psi}(k) = \langle \psi_k(x, 0) | \psi(x, 0) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\mathrm{i}kx} \psi(x, 0)\mathrm{d}x \end{align}$$

那么 $t$ 时刻的波函数为

$$\begin{align} \psi(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\psi}(k) \psi_k(x, t) \mathrm{d}k = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}\left[ kx - \omega(k)t \right]} \tilde{\psi}(k)\mathrm{d}k \end{align}$$

Gaussian wave packet

高斯波包

$$\begin{align} \psi(x, 0) = (\beta\sqrt{\pi})^{-1/2} e^{-\frac{(x - x_0)^2}{2\beta^2}} e^{\mathrm{i}k_0 x} \end{align}$$

取色散关系为 $\omega(k) = \frac{\hbar k^2}{2\mu}$ 可得 (Mathematica 计算过程: [[file:2021-02-28-专业笔记-wave_packet_spreading/draft20210120_Gaussian_wave_packet.nb]] )

$$\begin{align} |\psi(x, t)|^2 = \frac{1}{b(t) \sqrt{\pi}} e^{-\frac{(x - x_0 - v_0t)^2}{b(t)^2}} \end{align}$$

其中

$$\begin{align} b(t) = \beta \sqrt{1 + \frac{\hbar^2t^2}{\mu^2\beta^4}}, \quad v_0 = \frac{\hbar k_0}{\mu} \end{align}$$

可见波包中心按速度 $v_0$ 传播, 宽度越来越宽.

如果 $k$ 集中于 $k_0$ 附近, 那么可以做展开

$$\begin{align} \omega(k) \approx \omega(k_0) + (k - k_0) \left. \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} \right|_{k_0} \end{align}$$

那么

$$\begin{align} \psi(x, t) \approx \frac{e^{-\mathrm{i}\omega_0t}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\psi}(k) e^{\mathrm{i}k(x - v_{\mathrm{g}}t)} \mathrm{d}k \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \omega_0 =& \omega(k_0) - k_0 \left. \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} \right|_{k_0}\\ v_{\mathrm{g}} =& \left. \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} \right|_{k_0} \end{align}$$

Reference

Harald Siegfried Friedrich, Theoretical Atomic Physics-Springer (2005) Chap 1.4.1

Radial symmetric potential and special functions summary(update 28/Feb/2021)

2021-01-18T00:00:00+08:00

SO(3) Symmetric potential

粒子在具有 SO(3) 球对称性的势中运动的定态 Schrodinger 方程为

$$\begin{align} \left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V(r) \right)\psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}) \end{align}$$

其中 $\nabla^2$ 为

$$\begin{align} \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{r^2} \frac{\hat{L}^2}{\hbar^2} \end{align}$$

SO(3) 群有 $2l + 1$ 维的不可约表示. 由不可约表示的维度, 可得出它的能级至少有 $2l + 1$ 重的简并. $Y_{l,m}(\theta, \phi)$ 给出了 $SO(3)$ 群的所有不可约表示. 波函数可以写成

$$\begin{align} \psi(\vec{r}) = f_l(r) Y_{l,m} (\theta, \phi) \end{align}$$

其中 $Y_{l,m}(\theta, \phi)$ 满足

$$\begin{align} \hat{\Pi} Y_{l,m}(\theta, \phi) = ( - 1)^l Y_{l,m}(\theta, \phi) \end{align}$$

代回原来的方程有

$$\begin{align} \left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu}\left( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2} + \frac{2}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \right) + \frac{l(l + 1)}{r^2} \frac{\hbar^2}{2\mu} + V(r) \right] f_l (r) = E f_l (r) \end{align}$$

如果做代换

$$\begin{align} \psi(\vec{r}) = \frac{\phi_l(r)}{r} Y_{l,m}(\theta, \phi) \end{align}$$

那么径向的方程就等价成了一个一维问题

$$\begin{align} \left( -\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2} + \frac{l(l + 1)}{r^2} \frac{\hbar^2}{2\mu} + V(r) \right) \phi_l(r) = E \phi_l(r) \end{align}$$

不用说, 径向方程是正交归一的, 也可以验证

$$\begin{align} \langle \psi_{l,m} | \psi_{l', m'} \rangle = \delta_{l,l'} \delta_{m, m'} \int_0^{\infty} r^2 \mathrm{d}r\cdot \frac{\phi_l^{ * }(r)}{r} \frac{\phi_{l'}(r)}{r} = \delta_{l,l'} \delta_{m, m'} \int_0^{\infty} \mathrm{d}r\cdot \phi_l^{ * }(r) \phi_{l'}(r) \end{align}$$

Boundary Condition

假设 $\phi$ 在 $r \to 0$ 时的行为为 $r^{\alpha}$ . 如果 $V(r)$ 趋于 $0$ 的速度比 $r^{-2}$ 要慢, 那么将 $\phi_l (r) \propto r^{\alpha}$ 代回径向方程就可以得到

$$\begin{align} -\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2} + l(l + 1) r^{\alpha - 2} = k^2 r^{\alpha} \\ \left[ - \alpha(\alpha - 1) + l(l + 1)\right] r^{\alpha - 2} = k^2r^a \end{align}$$

等式右边相对于左边在 $r\to 0$ 时可以忽略, 可得 $\alpha = l + 1$ 或者 $\alpha = - l$ . 但 $\alpha = -l $ 时, $\psi\propto r^{-l-1}$ 会使得波函数发散, 无法归一化, 因此

$$\begin{align} \phi_l(0) = 0 \quad\mathrm{for}\quad \mathrm{all} \quad l\\ \phi_l(r) \propto r^{l+1} \quad \mathrm{for} \quad r \to 0 \end{align}$$

Radially Symmetric Harmonic Oscillator

此时的势能为

$$\begin{align} V(r) = \frac{\mu}{2} \omega^2 r^2 \end{align}$$

由于 $r \to \infty$ 时, $V(r) \to \infty$ , 所以解只存在 bound states

$$\begin{align} E_{n, l} = \left( 2n + l +\frac{3}{2} \right)\hbar\omega \end{align}$$

波函数是 generalized Laguerre $L_n^{\alpha}(x)$ 多项式的形式

$$\begin{align} \phi_{n, l} = 2(\sqrt{\pi}\beta)^{-1/2} \left[ \frac{2^{n + l} n!}{(2n + 2l + 1)!!} \right] \left( \frac{r}{\beta} \right)^{l+1} L_n^{l + 1/2} \left(\frac{r^2}{\beta^2}\right) e^{-\frac{r^2}{2\beta^2}} \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \beta = \sqrt{\frac{\hbar}{\mu\omega}} \end{align}$$

Short ranged

短程力, 也就是说当 $r > r_0$ 时, $V(r) = 0$

Bound states

当 $E < 0$ 时, 在 $r > r_0$ 处的解为 modified Bessel functions, 舍去发散的解, 只剩下

$$\begin{align} \phi_-(r) = \sqrt{\kappa r} K_{l+1/2}(\kappa r) \end{align}$$

如果在 $r > r_0$ 处为 Coulomb 势, 也就是

$$\begin{align} V(r) = - \frac{C}{r}, \quad r > r_0 \end{align}$$

那么它在 $r > r_0$ 处的解是 Whittaker functions

$$\begin{align} \phi_-(r) = W_{\gamma, l+1/2}(2 \kappa r) \end{align}$$

其中 $\gamma = \frac{\mu C}{\hbar^2\kappa}$

Unbound states

当 $E > 0$ 时, 在 $r > r_0$ 处的解有两个, 是 Spherical Bessel 和 Neumann functions

$$\begin{align} \phi_s(r) = k r j_l(kr) \\ \phi_c(r) = kr n_l(kr) \end{align}$$

它们的渐近行为为

$$\begin{align} \phi_s(r) = \sin \left(kr - \frac{l \pi}{2} \right) \left[ 1 + \mathcal{O}\left( \frac{1}{r} \right) \right] \\ \phi_c(r) = \cos \left(kr - \frac{l \pi}{2} \right) \left[ 1 + \mathcal{O}\left( \frac{1}{r} \right) \right] \end{align}$$

可以写成相移的形式

$$\begin{align} \phi(r) \propto \sin \left( kr - \frac{l\pi}{2} + \delta_l \right) \end{align}$$

相称表征了波函数相对于 regular 解的 shift. 如果在 $r > r_0$ 处为 Coulomb 势, 也就是

$$\begin{align} V(r) = - \frac{C}{r}, \quad r > r_0 \end{align}$$

那么对应的结果为 regular Coulomb function 和 irregular Coulomb function

$$\begin{align} \phi_s(r) = F_l(\eta, kr) \\ \phi_c(r) = G_l(\eta, kr), \quad r > r_0 \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \eta = - \frac{\mu C}{\hbar^2 k} \end{align}$$

渐近行为为

$$\begin{align} F_l(\eta, kr) \to \sin\left( kr - \eta \ln 2kr - \frac{l\pi}{2} + \sigma_l \right),\quad \mathrm{for} \quad r\to\infty \\ G_l(\eta, kr) \to \cos\left( kr - \eta \ln 2kr - \frac{l\pi}{2} + \sigma_l \right),\quad \mathrm{for} \quad r\to\infty \end{align}$$

类似地, 也可以写成相移的形式.

Reference

Harald Siegfried Friedrich, Theoretical Atomic Physics-Springer (2005) Chap 1.2, 1.3

后记

昨天返校, 今天终于把从上学期就想整理的东西草草整理了.

积分阶数的分析技巧

2021-01-13T00:00:00+08:00

问题

已知积分

$$\begin{align} I(\kappa) = \int_{r_c}^{\infty} r^2 F(\kappa r) \mathrm{d}r \end{align}$$

其中 $F(\kappa r)$ 是一个无量纲的函数, $r_c$ 是常数. 问 $I(\kappa)$ 在 $\kappa \to 0$ 时的行为.

方法

令 $x = \kappa r$ , 则

$$\begin{align} I = \frac{1}{\kappa^3}\int_{\kappa r_c} ^{\infty} x^2 F(x) \mathrm{d}x \sim \frac{1}{\kappa^3} \int_0^{\infty} x^2 F(x) \mathrm{d}x = \frac{\sharp}{\kappa^3} \quad \mathrm{as} \quad \kappa \to 0 \end{align}$$

即 $I(\kappa)$ 在 $\kappa \to 0$ 时以 $1/\kappa^3$ 的速度发散.

评述

比较直接的思路, 是直接把 $F(\kappa r)$ 在 $\kappa = 0$ 处展开, 再把 $r$ 积掉. 但是 $F$ 形式如果未知就行不通了.

此法当然要求 $\int_0^{\infty} x^2 F(x) \mathrm{d}x$ 收敛于一个常数, 也要求积分限在做换元后也趋于一个常数( $\kappa r_c \to 0$ as $\kappa\to 0$ )

数值验证

对于

$$\begin{align} I(\kappa) = \int_{ - \infty}^{ + \infty} r^{2} e^{ - (\kappa r - 5)^2} \mathrm{d}r \end{align}$$

用 sage 验证 $I(\kappa) \sim \sharp/\kappa^3$ , 其中 $\sharp = \int_{ - \infty}^{ + \infty} r^{2} e^{ - (r - 5)^2} \mathrm{d}r$ 是一个常数:

code: (第一次用 Sage, 有些函数不知道怎么实现, 只能和 numpy, pyplot 混着用了 ^_^%)

# sage file
# sage file
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = SR.var('x')
r = SR.var('r')
κ = SR.var('κ')
F = exp(-(x - 5)**2)
I(κ) = integrate(r**2 * F(κ*r), r, -infinity, infinity)

n = 5
yy = []
xx = np.linspace(1e-3, 3e-3, n)
for i in range(n):
    yy.append(I(xx[i]))

k = integrate(r**2 * F(r), r, -infinity, infinity) # analytical slope

plt.plot(log(xx), -3*log(xx) + log(k), label='analytical')
plt.plot(np.log(xx), np.log(yy), 'o', label='numerical')
plt.xlabel(r'$\log(\kappa)$')
plt.ylabel(r'$\log(I)$')
plt.legend()
plt.savefig('fig.png')

致谢

关于微分方程的解的问题(update 07/June/2021)

2021-01-11T00:00:00+08:00

问题

将微分方程

$$\begin{align} \label{eq:inhomo} \mathcal{L} \psi(x) = k^2 \psi(x) \end{align}$$

的通解 $\phi(k, x)$ 在 $k = 0$ 处级数展开

$$\begin{align} \phi(k, x) = u_0 + k^2 u_1 + \mathcal{O}(k^4) \end{align}$$

将展开的结果代回原方程可得

$$\begin{align} \mathcal{L} u_0 =& 0 \\ \label{eq:step} \mathcal{L} u_1 =& u_0 \end{align}$$

那么 $u_{0}$ 是否是方程

$$\begin{align} \label{eq:homo} \mathcal{L} \psi(x) = 0 \end{align}$$

的通解?

看起来是

解方程 $(\ref{eq:homo})$ 得到通解, 然后再解 $(\ref{eq:step})$ , 逐阶求解, 就得到了 $(\ref{eq:inhomo})$ 的通解.

Reference

Yu, Z., Thywissen, J. H. & Zhang, S. Supplementary Material: Universal Relations for a Fermi Gas Close to a p-wave Interaction Resonance.

旧

将微分方程 \begin{align} \mathcal{L} \psi(x) = k^2 \psi(x) \end{align} 的通解 $\phi(k, x)$ , 取 $k\to 0$ 时的极限, 能否得 \begin{align} \mathcal{L} \psi(x) = \psi(x) \end{align} 的全部解?

格林函数的格林(翻译)The Green of Green Functions

2020-12-24T00:00:00+08:00

本文为 Physics Today 56, 12, 41 (2003), Lawrie Challis, The Green of Green Functions 的翻译. 图片可查看原文.

格林函数的格林

1828 年, 英国诺丁汉的一位磨坊主发表了一篇数学论文, 几乎没有产生任何影响. 然而, 乔治·格林的分析后来在从经典静电学问题到现代量子场论中都找到了应用.

诺丁汉是英格兰中部地区一个迷人而繁荣的小镇, 因与罗宾汉的关联而闻名. 罗宾汉的雕像屹立在城堡的墙边. 尽管市民的心中不再有恐惧, 诺丁汉郡治安官在市政府中仍然扮演着特殊的角色.

最近, 诺丁汉的天际线上出现了一个新景点, 即风车 (见图1) . 风车在有风的日子会转, 与之相邻的轧机厂出售石磨面粉, 但更令人惊讶的是, 还卖数学物理小册子. 面粉与物理之间的联系是磨坊独特特征的一部分, 并用一块附着在磨坊塔侧面的铭牌加以说明,

HERE LIVED AND LABOURED

GEORGE GREEN

MATHEMATICIAN

B.1793–D.1841.

在这里生活和劳动

乔治·格林

数学家

公元1793–1841

这就是格林定理, 它是全世界物理学本科生都熟悉的定理, 并且格林函数用于经典物理和量子物理学的许多分支.

早期生活和教育

乔治·格林的父亲在诺丁汉市中心附近的一家面包店, 那时是一个人口约 30 000 的小镇. 他的独生子乔治于 1793 年 7 月 14 日受洗. 1801 年 3 月, 乔治以罗伯特·古德克雷的 255 号学生入学, 他在那里呆了仅 18 个月. 他 9 岁那年, 他被安排到父亲的面包店工作. 在古德阿克雷学院度过的那段时间, 是格林在 40 岁去剑桥大学前唯一的正规教育. 他很幸运地接受了那么多的教育. 大多数孩子没有孩子, 尽管有些孩子在主日学被教读写. 格林还很幸运, 他的父亲有能力让他接受私人教育, 并选择了罗伯特·古德克雷学院, 罗伯特·古德克雷以对天文学和自然科学的热情而闻名.

格林在父亲的面包店里呆了五年, 然后被派去学习做磨坊主, 磨坊是父亲在距离诺丁汉约一英里的斯尼顿村的一座小山上建造的塔式磨房. 磨坊高五层, 在一个有粮仓的院子里, 养着八匹马. 院子里还有一个茅屋, 供磨坊主约翰·史密斯, 他的妻子和他的女儿简使用. 诺丁汉的街道在天黑后行走是不安全的, 因此, 格林在磨坊里工作了许多个日夜, 并且是住在磨坊里. 直到他的家人在磨坊附近建了一所房子. 简·史密斯在格林 31 岁时为他生了一个女儿. 他们总共有七个孩子, 但从未结婚. 据说格林的父亲认为简不适合做格林的妻子, 毕竟格林是一个富裕的商人和地主的儿子, 并威胁要取消他的继承权.

对于格林从1802年到1823年的生活知之甚少. 特别是, 不知道他是否在数学发展方面获得了帮助, 或者他是否完全自学成才. 他可能得到了约翰·托普利斯的帮助. 约翰·托普利斯是剑桥大学皇后学院研究员, 也是诺丁汉语法学校校长. 托普利斯对 Pierre-Simon Laplace 的书《Mécanique Céleste》(1814年在诺丁汉出版) 的翻译似乎是格林对势理论感兴趣的一种来源. 由于托普利斯使用了 Gottfried Leibniz 的更方便的微分记号, 而不是Isaac Newton的, 所以在当时的英国是一件不寻常的工作. 由于格林采用了莱布尼兹的记号, 因此格林受托普利斯影响似乎是合理的, 但没有证据表明托普利斯以任何方式充当其导师.

1823年, 格林加入了诺丁汉订阅图书馆, 这是该镇知识活动的中心. 图书馆位于 Bromley House (见图2). 图书馆会员资格为格林提供了鼓励, 支持和使用 Philosophical Transactions of the Royal Society 和其他科学期刊的机会. 这些不包括海外期刊, 但是 Transactions 不在海外期刊之列, 这使得格林可以直接从作者那里获得复印件.

格林在 1828 年的论文

格林于 1828 年发表了第一篇工作, 《关于将数学分析应用于电磁学理论的论文》. 这项长约70页的工作包含格林定理的推导, 并将该定理与格林函数一起应用于静电问题. 其标题页如图 3 所示.

当时, 在英国出版科学论文的惯用途径是通过两个学会（皇家学会和剑桥哲学学会）的期刊之一. 但是格林没有任何资格, 也没有与科学机构建立联系, 因此认为将他的论文提交给期刊是冒昧的. 因此, 他自费在诺丁汉私下发表. 在他的前言中很明显地看到了他尝试出版的方式. 在那里, 他表达了它的希望, “该学科的难度将使数学家享受地阅读本著作, 尤其是当他们被告知这是由一位年轻人撰写时, 这个年轻人不得不获得他所掌握的很少的知识, 以这样的间隔和方式, 作为其它必不可少的爱好, 提供了很少提高的机会 ”

格林每篇论文的成本为 7 先令半, 大约是诺丁汉长袜制造者每周的工资. 购买者包括当地的医生, 校长, 牧师以及当时诺丁汉的蕾丝, 针织品和其它主要制造业的制造者. 购买该作品的人中有将近一半是诺丁汉订阅图书馆的成员. 几乎没有人能理解这篇文章, 因此他们显然必须对作者的能力有相当大的信心.

格林发表的主要目的是使他的作品引起英国和海外其他数学家的注意. 但是, 似乎除了一个例外, 几乎没有响应. 那一定令人非常沮丧.

唯一的例外是爱德华·布罗姆黑德, 他对格林的论文印象深刻. 他立即回答, 表示愿意帮助格林将来将任何论文发表在期刊上. 布罗姆黑德是一位富有和有影响力的人, 是公众人物, 也是诺丁汉东北 35 英里的林肯市的赞助者. 他曾先后在格拉斯哥大学和剑桥大学学习数学, 尽管他的社会地位使他脱离了学术生涯, 但他仍与包括Charles Babbage, John Herschel 和 William Whewell 在内的许多英国著名数学家和科学家保持着密切联系.

因此, Bromhead 非常适合让格林与这些数学家和其他数学家联系, 并且一定感到惊讶和失望, 因为他没有收到格林的任何答复. 大约20个月后, 终于到达了. 格林的一封长信解释了他一直很高兴和感激 Bromhead 的来信, 以及他最初打算回信并接受他的 offer . 但是他被告知, 布罗姆黑德给他的信是出于礼貌, 而且鉴于他们的社会地位存在差异, 因此不宜回信. 直到后来他才发现那条建议多么糟糕.

Bromhead迅速做出了回应, 随后进行了许多其他交流, 并在林肯附近的 Bromhead 房子见面. 在 Bromhead 的帮助下, 格林于 1833 年在期刊上发表了他的第一篇论文. 那篇论文又是关于电力的, 但是在布罗姆黑德的建议下, 格林随后放弃了这个课题, 当时英国的数学家对这个课题并不感兴趣. 他继续研究流体力学, 波动和光学等更主流的课题, 这是他于 1835 年至 1839 年间发表的八篇论文的主题.

他们见面后不久, 格林告诉布罗姆黑德他想去剑桥的梦想. 他在 1833 年 4 月的一封信中谈到了这个话题, 他在信中写道：“您知道, 如果有一个成功的良好前景, 我会倾向于剑桥. 不幸的是, 我几乎不懂拉丁文, 只懂很少的希腊文, 虚度了太多的冬天, 因此处于一个很纠结的状态. ”格林一定还意识到, 简和他的孩子（当时只有四个）的存在与大学要求成员独身的要求有些矛盾！但是, 只要成员未实际结婚, 独身这一条似乎是可以接受的. 受到布罗姆海德的影响, 格林于 1833 年 10 月进入剑桥大学, 成为一名本科生, 成为了布罗姆海德所在的 Gonville & Caius College 学院的一员. 格林于 1837 年毕业, 1839 年 11 月成为大学研究员. 不幸的是, 他很快病倒, 于1840 年春季回到诺丁汉, 并于 1841 年 5 月 31 日死于流感. 他和简被一起葬在离工厂几百码远的圣史蒂芬教堂的院子里. 没有他的画像, 他在摄影术发明后不久就去世了.

格林的论文的二次发掘

到 1840 年代初期, 格林的大部分著作都可以在公开文献中找到, 但他最重要的贡献, 即他的论文, 尚未在期刊上发表. 如果不是被威廉·汤姆森（如图4所示）发现的话, 它可能很多年都不会被发现. 汤姆森, 后来的开尔文勋爵, 在格林死后不久就去了剑桥. 他的父亲是格拉斯哥的数学教授, 汤姆森在去剑桥之前已经获得了格拉斯哥的学位. 他对电力很感兴趣, 并且在罗伯特·墨菲的一篇论文的脚注中看到了格林的论文. 在1907年, 他去世前不久写给约瑟夫·拉莫尔的一封关于格林的信中, 汤姆森写到：

When I went up to Cambridge as a freshman, I asked at all the book shops in Cambridge for Green’s Essay on Electricity and Magnetism, and could hear nothing of it.

The day before I left Cambridge for Paris after taking my degree, in Jan. 1845, I met [William] Hopkins on what I believe was then called the Senior Wranglers’ Walk, and I told him I had enquired in vain for Green’s Essay. . . . He said “I have some copies of it.” He turned with me and took me to his house, and there, in his chief coaching room in which I had been day after day for two years, he found three copies of Green’s Essay in his bookcase and gave them to me.

I had only time that evening to look at some pages of it, which astonished me. Next day, if I remember right, on the top of a diligence [stagecoach] on my way to Paris, I managed to read some more of it.

当我还是剑桥新生时, 我在剑桥的所有书店里寻找格林的《电和磁学随笔》, 却没有结果.

1845 年 1 月, 我获得学位后, 在离开剑桥前往巴黎的前一天, 遇到了[William] Hopkins, 遇见的那个地方在当时称之为 Senior Wranglers’ Walk, 我告诉他我打听格林的论文无果时. . . . 他说：“我有一些副本. ” 他带我去了他的家. 在那里, 在我两年的时间每天都待的首席教练室里, 他在书架上发现了三篇格林的论文的副本, 并将它们交给了我.

我只在晚上有时间看它一些, 内容让我感到惊讶. 第二天, 如果我没记错的话, 我在去巴黎的路上尽了全力[驿马车], 我设法读了更多.

汤姆森去巴黎待四个月, 以获取一些实验物理学的经验. 但他也想见一些理论家, 例如米歇尔·查尔斯, 约瑟夫·刘维尔和查尔斯·斯图姆. 他给拉莫尔的信中继续说, 在刘维尔家中向他展示时, 刘维尔对格林的论文“给予了极大的关注”. 后来, 汤姆森和一位剑桥同事在一起时, 斯图姆气喘吁吁地走过来. 他热切地想要看格林的文章. “所以我把它交给了他. 他坐下来, 热情洋溢地翻了翻书页. 他在一个地方停下来, 喊道：“啊, 这是我的工作(法语). ”“不可避免地, 自从这篇论文发表以来的17年间, 格林的许多发现被重新发现了. 汤姆森指出, 除斯图姆外, 查尔斯也在论文中发现了自己的成果和示范.

汤姆森回到英格兰后, 安排格林的论文重新发表在 Crelle’s Journal 上. 埃德蒙·惠特克在他的《以太与电的理论史》（Dover, 1989）中说：

It is impossible to avoid noticing throughout all Kelvin’s work evidences of the deep impression which was made on him by the writings of Green. The same may be said of Kelvin’s friend and contemporary, [George] Stokes, and indeed it is no exaggeration to describe Green as the founder of that “Cambridge School” of natural philosophers of which Kelvin, Stokes, [Lord] Rayleigh, [James] Clerk Maxwell, [Horace] Lamb, J. J. Thomson, Larmor and [Augustus] Love were the most illustrious members in the latter half of the nineteenth century. 不可避免的是, 在开尔文所有作品中, 都能够感受到格林的论文给他的深刻影响. 对于开尔文的朋友以及当时的[乔治] 斯托克斯来说, 也可以这样说. 实际上, 毫不夸张地说, 格林是自然哲学家 “Cambridge School” 的创始人. 开尔文, 斯托克斯, [瑞利]勋爵, [詹姆斯] ] 克拉克麦克斯韦, [贺拉斯] 兰姆, J. J. 汤姆森, 拉莫尔和 [奥古斯都] 洛夫都是19世纪下半叶 “Cambridge School” 中最杰出的成员.

格林对科学的贡献

格林论文的灵感来自法国, 拉普拉斯和西蒙·泊松. 最近通过实验建立了两个电荷之间力的平方反比定律, 泊松证明了如何由此确定导体表面电荷分布的. 他使用的技术仅适用于具有简单几何形状的曲面, 因此格林设计了强大的技术来得到任何曲面的分布. 他充分利用了电势, 并给它起了名字. 他发展的其中一个定理, 现在称为格林定理, 可以简化为通常称为散度定理或高斯定理的定理. 不过, 许多早期的教科书也将这种简化称为格林定理, 以强调他是最先发现的. 文章中发展的的另一种强大工具现在称为 Green function 或者 Green’s function.

格林接下来对弹性研究的工作, 因为格林的张量而被大家记住. 格林通过考虑“以太”而对弹性产生了兴趣, “以太”当然必须是固体, 因为光波是横波. 他表明, 通常需要 21 个模量才能描述各向异性介质的弹性, 并且他解释了对称如何减少模量的个数.

在另一篇论文中, 格林首次修正了界面上的反射和折射的能量比的计算, 并解释了全内反射现象. 该解释中包括对存在于较高折射率介质中的倏逝波的描述. 在这项工作中, 他成为最早写下能量守恒原理的人之一. 格林后来的工作还包括其他一些数学上的先河. 这些包括从他的论文中得出的一种求解微分方程的近似方法的推论, 该微分方程是关于水波在宽度和深度可变的导管中的运动的. 一个多世纪之后, 他的方法作为 Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）方法重新出现. 他也是第一个陈述泛函最小化的 Dirichlet 原则的人, 尽管 Bernhard Riemann 给它起了那个众所周知的名字.

格林定理和格林函数

格林函数的概念最容易通过一个例子来说明: 一个最初静止的粒子, 它受随时间变化的力 $F(t)$ , 考虑它的动力学. 首先要考虑一个很短时间内的力：猛推一下. 这个冲量在时间 $t'$ 产生单位大小的动量改变. 在之后的时间 t , 粒子的位移 $s(t)$ 被定义为格林函数 $G(t, t')$ . 但是, 作用在无穷小的时间间隔 $\Delta t'$ 上的力 $F(t')$ 是大小为 $F(t') \Delta t'$ 的冲量, 并且随时间连续施加的力可以看作是产生了一系列这样的冲量. 通过对从初始时间 $t_0$ 到时间 t 施加的所有冲量的影响进行求和, 可以求得粒子的运动, 从而 $$ \begin{align} \label{eq:1} S(t) = \int_{t_0}^t G(t, t') F(t') \mathrm{d}t' \end{align} $$ 它的初始条件为 $s=0$ , $\mathrm{d}s/\mathrm{d}t = 0$ . 得到格林函数后, 就可以计算系统对任意力的响应. 注意, 格林函数取决于动力系统, 而不取决于作用力的形式. 方框1给出了具体的计算.

式 ( $\ref{eq:1}$ ) 中的连续冲量的影响的叠加仅对线性系统有效, 在线性系统中, 响应与施加的力成比例. 尽管如此, 格林的方法显然已广泛应用于各种系统, 包括力学和电气系统, 在实际应用中, 对力或电压的线性响应非常重要.

格林的原始工作是针对解决封闭区域内的静电问题. 在这种情况下, 格林函数 $G(\mathbf{r},\mathbf{r}')$ 是在 $\mathbf{r}'$ 处的单位点电荷产生的点 $\mathbf{r}$ 处的电势. 点电荷是仅在单个时刻起作用的冲量的空间类比. 格林函数与点电荷产生的静电库仑电势不同, 因为点源还会在边界上感应出电荷. 利用现在知道的格林定理, 静电势 $\phi(\mathbf{r})$ 可以用现代符号表示为 (有关更多详细信息, 请参见框2) : $$ \begin{align} \phi(\mathbf{r}) =& \int_{\tau} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') \rho(\mathbf{r}')\mathrm{d}\tau' + \\ & \int_S \left[\phi(\mathbf{r}')\nabla' G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') - G(\mathbf{r}, \mathbf{r}' ) \nabla' \phi(\mathbf{r}') \right]\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}' \end{align} $$ 电势 $\phi(\mathbf{r})$ 是体积 $\tau$ 中空间电荷密度 $\rho(\mathbf{r}')$ 和体积边界表面 S 上的感应电荷所引起的效应的叠加, 其影响通过格林函数 $G(\mathbf{r},\mathbf{r}')$ 来传递. 格林的工作的重要性在于它的普遍性. 对表面的几何形状没有限制.容易证明, 例如, 如果任何表面保持零电势（接地）并且不包含电荷 ( $\rho = 0$ ), 则在内部的每个位置都是 $\phi = 0$ 也就是说, 内部完全不受外部静电影响.

散射理论中的格林函数

在19世纪后半叶, 越来越多地使用格林函数方法来求解偏微分方程, 这些方程非常相似, 描述了电, 磁, 力学和热现象. 格林函数也可以用来表述经典波的散射理论. 实际上, 由于薛定谔方程的形式与波动方程类似, 因此格林函数还可用于描述外势 $V(\mathbf{r})$ 对单个粒子的非相对论性散射. 对于总能量 E , 质量 m 的粒子, 波函数 $\psi(\mathbf{r})$ 的不含时部分满足 $$ \begin{align} \label{eq:3} -\frac{\hslash^2}{2m}\nabla^2 \psi + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \end{align} $$ 对项 $V\psi$ 做和静电问题中的施加电荷相同的处理, 可以写出式 ( $\ref{eq:3}$ ) 的形式解： $$ \begin{align} \label{eq:4} \psi(\mathbf{r}) = \psi_0(\mathbf{r}) +\int G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') \frac{2m}{\hslash^2}V(\mathbf{r}')\psi(\mathbf{r}') \mathrm{d}\tau' , \end{align} $$ 其中 $\psi_0(\mathbf{r})$ 是能量为 E 的粒子的入射波, 格林函数 $G(\mathbf{r},\mathbf{r}')$ 是在 $\mathbf{r}'$ 处的给定点源在 $\mathbf{r}$ 处产生的波幅. 但是与式 ( $\ref{eq:1}$ ) 不同, 式 ( $\ref{eq:4}$ ) 不是显式解, 因为未知波函数出现在积分内. 物理上的原因是, 与式 ( $\ref{eq:1}$ ) 中由外部影响确定的力不同, 仅当存在入射波时才存在散射波源 (式 ( $\ref{eq:3}$ ) 中的 $V\psi$ 项).

解式 ( $\ref{eq:4}$ ) 的常用方法是迭代. 第一个迭代项是将积分中的 $\psi(\mathrm{r}')$ 替换为 $\psi_0(\mathrm{r}')$ , 这是散射理论中熟悉的玻恩近似. 迭代中的接下来的项是下列形式的积分 $$ \begin{align} \label{eq:5} \int G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')V(\mathbf{r}')\psi_0 (\mathbf{r}') G(\mathbf{r}', \mathbf{r}'')V(\mathbf{r}'')\psi_0 (\mathbf{r}'') \cdots \mathrm{d}\tau'' \mathrm{d}\tau' \end{align} $$ 这些项对应于多次散射事件, 它们发生在入射波在到达 $\mathbf{r}$ 之前的点 $\mathbf{r}'$ , $\mathbf{r}''$ 等处. 因为在每个散射点都有一个动量变化, 所以 $G(\mathbf{r},\mathbf{r}')$ 就像是时间依赖的格林函数对冲量的响应一样.

之后的发展

在基本粒子物理学中, 散射至关重要, 因为我们研究基本粒子特性的唯一方法是通过它们彼此之间的相互作用. 但是, 这些相互作用必须通过由虚能量和动量量子来传递力的量子场来描述. 对于通过电磁相互作用的带电粒子, 这些量子是量子电动力学 (QED) 中的的光子. 电子 (和正电子) 之间通过量子化电磁场进行相互作用的理论是在 1940 年代后期提出的, 用于解释氢原子 1s 能级的兰姆位移以及电子的磁矩与狄拉克值的偏差. 这两种现象均归因于场的涨落, 但是早期的理论受到无穷大修正的困扰, 直到证明可以通过电子质量和电荷的重整化来消除无穷大.

朱利安·史温格和理查德·费曼分别独立完成了一样的 QED. Schwinger 在雷达工作时曾使用格林函数来描述微波传播, 他给出了形式的场论处理, 其中格林函数作为时空点之间传播场出现. 他的理论的某些方面与日本的朝永振一郎的工作非常相似, 后者正在发展量子场论方法来进行重整化. 费曼将他的时空直觉方法用于量子力学. 在该理论中, 给定过程的概率幅度是每个可能的时空路径的概率幅总和. 对于任何特定路径, 振幅都是自由传播或散射相互作用的因子的乘积, 如式 ( $\ref{eq:5}$ ) 所示. 每个传播子和相互作用的都可以表示为所谓的费曼图, 该图给出了该过程有用的物理图景. 后来, 弗里曼·戴森证明了费曼的理论和史温格的理论的等效性, 并将 QED 中高阶效应的计算系统化了.

在费曼的方法中, 可以很清晰地看出格林函数为何在粒子物理理论中发挥如此自然而基本的作用. 粒子间相互作用是复杂的多重散射事件, 其中力通过量子场传递. 但是, 不同点之间场的传播正是格林函数最初的想要用来描述的. 因此, 格林函数, 在粒子物理学中通常被称为费曼传播子, 是现代量子物理学中理论分析的标准工具之一.

在 1950 年代和 1960 年代, 物理学家开始使用格林函数方法来描述凝聚态物理学的多体相互作用. 固体的电导率实质上是对外部电场的线性响应. 因此, 可以如久保亮五等人所展示的那样, 用格林函数表示. 固体中的电阻的来源是散射过程, 其自然地通过格林函数来描述. 但是与粒子物理学中通常描述的过程不同, 凝聚态过程在有限的温度下发生. 该理论的推广导致热或者有限温格林函数. 但值得注意的是, 在引入了虚部与温度倒数成正比的复数时间坐标后, 可以使用与普通零温度格林函数几乎相同的技术来计算非零温格林函数. 如今, 物理学家将格林函数应用了到许多领域, 这些领域在格林的时代是难以想像的, 并且有可能继续这样做. 将来什么都有可能发生.

在自己国家的荣誉

蒸汽机结束了风车的时代, 格林的磨坊渐渐失修了. 1920年, 工厂由当地商人和慈善家奥利弗·辛德买下, 后者修理了木帽. 同年, 霍尔布鲁克捐赠了磨坊的纪念牌匾. 有一段时间, 这个磨坊像是被重新上光的家具一样焕然一新, 但在1947年, 它起火并被完全毁坏. Hind 通过登上门窗并用混凝土板代替盖子来密封外壳. 多年来, 当地对格林的兴趣一直保持在中等水平, 这主要是由于诺丁汉大学成员的活动所致. 1945年, 大学数学系成员H. Gwynedd Green（不是乔治格林的亲戚）撰写了格林的传记. 玛丽·坎内尔（Mary Cannell）在1993年发表了更长的著作. 扩充的第二版于2001年出版.

恢复磨坊的计划最初是由谣言引起的, 谣传它将被拆除以进行重新开发. 这导致了诺丁汉大学物理学家和其他人士组建了乔治·格林纪念基金, 最终, 作为对格林的纪念馆, 诺丁汉市对该磨坊进行了修复. 现在是诺丁汉的主要博物馆和旅游景点之一. 格林的第二个主要纪念馆是伦敦的威斯敏斯特大教堂. 那是英国国王和王后的安息之地, 也是最近许多人回想起著名文学和科学人物的地方. 1993年, 在格林诞辰200周年之际, 皇家学会主席迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）揭幕了纪念馆. 如图 5 所示, 该牌匾位于修道院的地板上, 毗邻牛顿, 迈克尔·法拉第, 麦克斯韦和开尔文的纪念馆. 会众包括格林的许多后裔以及包括史温格和戴森在内的许多其他科学家和数学家. 开尔文（Kelvin）的纪念馆必须向侧面移动才能容纳格林（Green）的纪念碑. 但是他肯定不会反对.

Box1

假设希望得到一个粒子的速度 $v(t)$ . 初始时刻粒子静止, 受到粘滞力 $\alpha v$ 和任意力 $F(t)$ 的作用. 那么它的运动方程为 $$ \begin{align} m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + \alpha v = F(t) \end{align} $$

对于在时间 $t=t'$ 时施加的一个单位冲量, 它的解是格林函数 $G(t, t')$ . 施加冲量后的一瞬间, 它的速度是 $1/m$ , 然后随时间指数衰减, 所以对于 $t > t'$ , $$ \begin{align} G(t, t') = \frac{1}{m} e^{-\alpha (t - t')/m} \quad (t\ge t') . \end{align} $$

对于 $t < t'$ 时, 格林函数为零.

因此, 这个问题对于任意力的通解为 $$ \begin{align} v(t) = \int_0^t \frac{1}{m} e^{-\alpha (t - t')/m} F(t') \mathrm{d}t' \, . \end{align} $$ 对于这个简单的例子, 也可以直接将运动方程用常数变易法积分, 从而得到问题的解.

Box2

格林函数通常用来求解一个经典场的偏微分方程 $$ \begin{align} \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) + k^2 \phi(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r}) \end{align} $$ 其中对于静电场 $k=0$ , 但对于波动场不为零. 格林函数 $G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')$ 是一个在 $\mathbf{r}'$ 处, 由 Dirac Delta 函数 $\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')$ 表示的点源的解. 也就是说, 格林函数满足方程 $$ \begin{align} \nabla^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') + k^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \end{align} $$ 对 $\phi$ 和 G 用格林第二公式, $$ \begin{align} \int_\tau (\phi \nabla^2 G - G\nabla^2 \phi) \mathrm{d}\tau = \int_S (\phi \nabla G - G\nabla \phi) \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \, , \end{align} $$ 交换 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{r}'$ 并利用 $G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')$ 的对称性后, 可以得到式 ( \ref{eq:2} )

为了唯一确定 $\phi(\mathbf{r})$ 的解, 我们必须给定边界条件. 也必须给 $G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')$ 选定合适的边界条件. 因此, 格林函数是由一个点源产生, 并由边界上的影响进修正, 得到的场. 在静电场中, 边界上的影响来自于表面电荷. 在波动问题中, 边界产生反射波, 反射波可以通过求解适当的无源方程来得到.

在格林函数对粒子运动的处理中, 单位冲量由一个力 $F(t) = \delta(t - t')$ 表示, 可以与空间中的单位点源类比. 初始条件与这里的边界条件扮演同样的角色.

在散射问题中, 格林函数由式 ( \ref{eq:3} ) 的变形得到, 将式 ( \ref{eq:3} ) 中的 $V\psi$ 移到右边, 并由的一个 delta 函数源 $\delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}')$ 替换. 对于这样的问题, 边界条件要求解在离源很远的地方是出射波, 因为入射波意味着在无穷远的反射, 这是不物理的.

扩展阅读

The Scientific Papers of George Green, compiled in 1995 into three volumes, available on the George Green Society Web site at http://www.nottingham.ac.uk/physics/gg. Click on “The George Green Memorial Fund” for ordering information.
N. M. Ferrers, ed., Mathematical Papers of George Green, (1871; reprint, Chelsea, New York, 1970).
H. G. Green, “A Biography of Geroge Green,” in M. F. A. Montagu, ed., Studies and Essays in the History of Science and Learning, Schuman, New York (1946; New York: Arno Press, 1975).
D. M. Cannell, George Green: Mathematician & Physicist, 1793–1841: The Background to His Life and Work, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia (2001).

知识背景

罗宾汉（英語：Robin Hood）是英國民间传说中的俠盜. 他武艺出众、机智勇敢, 仇视官吏和教士, 是一位劫富濟貧、行俠仗義的綠林英雄. 传说他住在诺丁汉雪伍德森林（Sherwood Forest）.

主日學（英語：Sunday school）是基督教教會於主日（通常即星期日，部分教派为安息日）早上在教堂或其他场所進行的宗教教育，一般在主日敬拜之前或之後舉行。主日學的形式多樣化，因教會而異，內容多以查經、教授基本聖經內容為主，並由教會所指定的小組長、執事、傳道或牧師講道。

p 波接触相互作用参数的重整化

2020-10-29T00:00:00+08:00

p-Wave Scattering Amplitude

由 Taylor 书 (6.14) 可得 $l$ 分波的散射振幅

$$\begin{align} f_l(k) = \frac{e^{2\mathrm{i}\delta_l(k)} - 1}{2 \mathrm{i} k} = \frac{1}{k \cot \delta_l(k) - \mathrm{i}k} \end{align}$$

对于 $l = 1$ 的 p 波, 用 $m = 1, 0, -1$ 表示磁量子数, 将 $k^3\cot \delta_m(k)$ 低能展开到 $k^2$ 阶

$$\begin{align} k^3\cot \delta_m(k) = - \frac{1}{v_m} - \frac{k^2}{R_m} \end{align}$$

其中 $v_m$ 是 effective volume, $R_m$ 是 effective range. 那么散射振幅就为

$$\begin{align} \label{eq:scatterAM} f(k) \approx \frac{k^2}{- \frac{1}{v_m} - \frac{k^2}{R_m} - \mathrm{i}k^3} \end{align}$$

Hamiltonian

考虑 p 波相互作用的两分量 Bose 气体

$$\begin{align} \hat{H} = &\sum_{\vec{k},\sigma}\left(\frac{k^2}{2M} - \mu\right)\hat{a}_{\vec{k},\sigma}^{\dagger} \hat{a}_{\vec{k},\sigma} + \sum_{\vec{q},m}\left(\frac{q^2}{4M} - 2 \mu - \nu_m\right)\hat{b}_{\vec{q},m}^{\dagger} \hat{b}_{\vec{q}, m}\\ &+ \sqrt{\frac{1}{V }} \sum_{\vec{k},\vec{q},m}\left[g_m k Y_{1, m}(\hat{k}) \hat{b}^{\dagger}_{\vec{q},m}\hat{a}_{\frac{\vec{q}}{2} + \vec{k}} \hat{a}_{\frac{\vec{q}}{2} - \vec{k}} + \mathrm{h.c.} \right] \end{align}$$

T-matrix

下图中 $G_0$ 表示自由原子的自由松原格林函数, $D_0$ 表示两个原子形成的分子的自由松原格林函数, $D$ 表示考虑分子分裂和形成之后的分子格林函数

通过图可以对应 Dyson 方程

$$\begin{align} D = D_0-D_0 \left(\frac{1}{\beta}\sum_{\vec{k}_1, \omega}\mathcal{V} G_1 G_2\mathcal{V}^* \right) D \end{align}$$

其中 $\mathcal{V}$ 表示 p 波相互作用顶点. 即 $\mathcal{V} = \frac{1}{\sqrt{V}}g_m k Y_{1, m}(\hat{k})$ . 通过此 Dyson 方程可以得到分子格林函数的表达式为

$$\begin{align} \frac{1}{D} = \frac{1}{D_0} + \frac{1}{\beta}\sum_{\vec{k}_{1}, \omega} G_0 G_0|\mathcal{V}|^2 \end{align}$$

其中对 $\omega$ 的求和可以由 Matsubara frequency summation 求出(考虑化学势会影响重整化关系?)

$$\begin{align} &\frac{1}{\beta}\sum_{\vec{k}_{1}, \omega} G_{0}(E - \omega, \frac{\vec{q}}{2} + \vec{k}_1) G_0(\omega, \frac{\vec{q}}{2} - \vec{k}_1)|\mathcal{V}|^2\\ =& -\sum_{\vec{k}_1} \frac{n(\varepsilon_{\vec{q} /2 + \vec{k}_1})+1 + n(\varepsilon_{\vec{q}/2 - \vec{k}_1})} {\mathrm{i}E- \varepsilon_{\vec{q} /2 + \vec{k}_1} - \varepsilon_{\vec{q} /2 - \vec{k}_1}} \frac{1}{V } g_m^2 k_1^2 \left|Y_{l, m}(\hat{k}_1)\right|^2\\ \end{align}$$

所以求得分子松原格林函数

$$\begin{align} \frac{1}{D} = \mathrm{i}E - \frac{q^2}{4M} + \nu_m -\sum_{\vec{k}_1} \frac{n(\varepsilon_{\vec{q} /2 + \vec{k}_1})+1 + n(\varepsilon_{\vec{q}/2 - \vec{k}_1})} {\mathrm{i}E- \varepsilon_{\vec{q} /2 + \vec{k}_1} - \varepsilon_{\vec{q} /2 - \vec{k}_1}} \frac{1}{V } g_m^2 k_1^2 \left|Y_{l=1, m}(\hat{k}_1)\right|^2 \end{align}$$

将松原格林函数解析延拓成推迟格林函数(忽粒子数是延拓的一部分?)

$$\begin{align} \frac{1}{D^{\mathrm{ret}}} = E + \mathrm{i}0^+ - \frac{q^2}{4M} + \nu_m -\sum_{\vec{k}_1} \frac{1} {E + \mathrm{i}0^+ - \varepsilon_{\vec{q} /2 + \vec{k}_1} - \varepsilon_{\vec{q} /2 - \vec{k}_1}} \frac{1}{V } g_m^2 k_1^2 \left|Y_{1, m}(\hat{k}_1)\right|^2 \end{align}$$

因此可以得到 T-matrix 为(不仅加上两个顶点, 还要有个因子 $4$ ?)(以及求和项中 $4\pi$ 的来源?)

$$\begin{align} T(k \hat{k}, k \hat{k}', E = \frac{k^2}{M}) =& \frac{1}{V} g_m^{2}k^2 Y_{1, m}^{*}(\hat{k}) Y_{1, m}(\hat{k}') D^{\mathrm{ret}}(\vec{q} = 0, E) \\ =& \frac{\frac{1}{V} g_m^{2}k^2 Y_{1, m}^{*}(\hat{k}) Y_{1, m}(\hat{k}')} {E + \mathrm{i}0^+ + \nu_m - 4\pi \sum_{\vec{k}_1} \frac{g_m^2 k_1^2\left|Y_{1, m}(\hat{k_1})\right|^2}{V} \frac{1}{E - \frac{k_1^2}{M} + \mathrm{i}0^+}} \end{align}$$

Renormalization

分母中的求和化积分为(球谐函数对角度积分归一)

$$\begin{align} &4\pi \sum_{\vec{k}_1} \frac{g_m^2 k_1^2\left|Y_{1, m}(\hat{k_1})\right|^2}{V} \frac{1}{E - \frac{k_1^2}{M} + \mathrm{i}0^+} \\ =& \frac{g_m^2}{2 \pi^2}\int_0^{\infty} \mathrm{d}k_1 \frac{k^4_1}{E- \frac{k_1^2}{M} + \mathrm{i}0^+} \\ =& \frac{g_m^2}{2 \pi^2}\int_0^{\infty} \mathrm{d}k_1 \left[\mathcal{P}\frac{k^4_1}{E- \frac{k_1^2}{M}} - \mathrm{i}\pi \cdot k_1^4 \delta(E - \frac{k_1^2}{M})\right] \end{align}$$

被积函数部分发散, 其发散行为

$$\begin{align} \frac{k^4_1}{E- \frac{k_1^2}{M}} = - M^2E - Mk_1^2 + M^2 E^2 \frac{1}{E - \frac{k_1^2}{M}} \end{align}$$

第一项是常数, 第二项是 $k^2$ , 对这两项的积分是发散的. 而第三项, 可以算出其积分值为 $0$ . 被积函数虚部可以算出

$$\begin{align} - \mathrm{i}\pi \int_0^{\infty} \mathrm{d}k_1 \cdot k_1^4 \delta(E - \frac{k_1^2}{M}) = -\mathrm{i}\pi \frac{M k^3}{2} \end{align}$$

其中利用了关系 $E = \frac{k^2}{M}$ .

将积分结果代回原式, 并将积分再化为求和, 得

$$\begin{align} &4\pi \sum_{\vec{k}_1} \frac{g_m^2 k_1^2\left|Y_{1, m}(\hat{k_1})\right|^2}{V} \frac{1}{E - \frac{k_1^2}{M} + \mathrm{i}0^+} \\ =& - \frac{g_m^2}{V} M \left[\sum_{\vec{k}_1} \frac{ME}{k^2_1} + \sum_{\vec{k}_1}1 \right] - \mathrm{i} \frac{g_m^2}{4\pi} Mk^3 \end{align}$$

将此结果代加 T-matrix 表达式可得

$$\begin{align} T(k \hat{k}, k \hat{k}', E = \frac{k^2}{M}) =& \frac{\frac{1}{V} k^2 Y_{1, m}^{*}(\hat{k}) Y_{1, m}(\hat{k}')} {\frac{k^2}{M }\left[ \frac{1}{g_m^2} + \frac{M^2}{V}\sum_{\vec{k}_1}\frac{1}{k_1^2}\right] + \left[ \frac{\nu_m}{g_m^2} + \frac{M}{V}\sum_{\vec{k}_1}1 \right] + \mathrm{i} \frac{M}{4\pi}k^3 } \end{align}$$

其中利用了关系 $E = \frac{k^2}{M}$ . 上式与 (\ref{eq:scatterAM}) 对比可得重整化关系

$$\begin{align} \frac{1}{g_m^2} =& \frac{M^2}{4\pi} R_m^{-1} - \frac{M^2}{V}\sum_{\vec{k}_1}\frac{1}{k_1^2} \\ \frac{\nu_m}{g_m^2} = & \frac{M}{4\pi} v_m^{-1} - \frac{M}{V} \sum_{\vec{k}_1}1 \end{align}$$

重整化之后的 T-matrix 为 \begin{align} T(k \hat{k}, k \hat{k}', E = \frac{k^2}{M}) =& \frac{\frac{1}{V} R_m \frac{4\pi}{M^2}k^2 Y_{1, m}^{*}(\hat{k}) Y_{1, m}(\hat{k}')} {\frac{k^2}{M } + \frac{R_m}{M v_m} + \mathrm{i} \frac{R_m}{M }k^3 } \end{align}

Reference

Taylor, Scattering Theory: quantum theory of nonrelativistic collisions, 1972, John Wiley & Sons
PhysRevA.86.012711, Renormalization in the three-body problem with resonant p-wave interactions
PhysRevA.99.012701, Three-body problem of bosons near a d-wave resonance

Carl Bender Mathematical Physics Lecture6 Note

2020-10-10T00:00:00+08:00

Information

原出处: https://www.perimeterinstitute.ca/video-library/collection/11/12-psi-mathematical-physics
可以看自动生成的字幕: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzcd6SoIscwjHuWRE38UXWG92uq0Sy4UF
Bilibili: https://www.bilibili.com/video/BV1w4411q7x6?fromsearch&seid7852838902448285010
Book: Carl M. Bender, Steven A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I Asympotic Methods and Perturbation Theory, 1999

Keywords

Continued fractions. Pade sequence. Shear magic. Stieltjes series

Continued Factions

有一个 $HP(\epsilon)$ 微扰得到一个 asympotic series 形式的结果 $ANS(\epsilon) \sim \sum a_n \epsilon^n$ , 但是一般只有前几项, 而且收敛半径是 $0$ . 思路上将其转化成 continued functions, a sequence of "approximants" , 而这个 sequence 的收敛性比那个 asympotic series 的收敛性好的多. 之前讲 $e^{ze^{ze^{z\cdots}}}$ 的例子只因为 Bender love 这个例子, 因为它太 weird, 它 glorious, 并且鲜为人知. 之后并不会再讨论 continued exponential.

下面考虑 continued fractions

$$\begin{align} \label{eq:cf} \sum a_n x^n \to \frac{b_0}{1 - \frac{b_1x}{1 - \frac{ b_2x}{1 - b_3 x \cdots}}} \end{align}$$

idea 是, 我们求得了 (\ref{eq:cf}) 的左边, 但它是发散的. 如果把它转换成 (\ref{eq:cf}) 右边的 continued fractions 的形式, the sequence of approximants you get from the continued fractions might well converge. the sequence of approximants 指的是(假设收敛到 $L$ )

$$\begin{align} b_0, \frac{b_0}{1 - b_1x}, \frac{b_0}{1 - \frac{b_1x}{ 1 - b_2x}}, \cdots, \to L \end{align}$$

也就是说, 我们从一个发散的, 但是包含我们所需要的信息的级数, 转化成一个收敛的级数, 因此我们从其中提取所需要的信息.

IQ Test

用一个特别的方式来说明这个.

像 IQ 测试一样, 下面数例的下一个数是什么

$$\begin{align} 1, 5, 61, ?? \end{align}$$

这太难了, 你之前知道就会, 之前不知道就不会. 它们是 Euler numbers. 下面讲一种方法来计算它. 将上面的数列记为(手动加上 $a_0 = 1$ )

$$\begin{align} a_0 = 1, a_1= 1, a_2 = 5, a_3 = 61, \cdots \end{align}$$

我们想将它 transform 成一个更明显, 更好猜的数例 $b_n$

$$\begin{align} b_0, b_1, b_2, b_3, \cdots \end{align}$$

下面分三个步骤进行

step1

Given $\{a_n\}$, imagine that (moment problems) \begin{align} a_n = \int_{-L}^L \mathrm{d}x\cdot w(x) x^{2n} \end{align}

step2

If you have $\{b_n\}$ \begin{align} P_0 (x) =& 1 \\ P_1(x) \equiv& x \\ P_{n + 1}(x) =& x P_n - b_n P_{n - 1}(x) \end{align} so (monic) \begin{align} P_2(x) =& x^2 - b_1 \\ P_3(x) =& x^{3} - (b_1 + b_2) x \\ P_4(x) =& x^4 - (b_1 + b_2 + b_3) x^2 + b_3 b_1 \end{align}

step3

Let's require these polynomials are orthogonal with respect to $w$ \begin{align} \int_{-L} ^L \mathrm{d}x \cdot w(x) P_n(x) P_m(x) = 0 , \quad n\neq m \end{align} so \begin{align} P_0 \bot P_2 :& a_1 - b_1 = 0 \Rightarrow a_1 = b_1 \\ P_1 \bot P_3 :& a_2 - (b_1 + b_2 ) b_1 = 0 \Rightarrow a_2 = b_1(b_1 + b_2) \\ P_4 \bot P_o :& a_2 = b_1(b_1 + b_2) \\ P_4 \bot P_2 :& a_3 = b_1(b_1 + b_2)^2 + b_1 b_2 b_3 \end{align} $\mathscr{P}$

发现结果恰好是之前的数例

$$\begin{align} a_1 = 1 \to& b_1 = 1 \\ a_2 = 5 \to& b_2 = 4 \\ a_3 = 61\to& b_3 = 9 \\ a_4 = 1385 \to& b_4 = 16 \end{align}$$

If $a_n\sim n!$ , then $b_n \sim n$ . If $a_n \sim (2n)!$ , then $b_n\sim n^2$ . 这里的 $a_n, b_n$ 的关系, 就是前面的级数和 continued fractions 的关系. 比如

$$\begin{align} E_n(1, 5, 61, 1385, \cdots) \sim (2n)! C^n,\quad \mathrm{as}\, n\to \infty \end{align}$$

Pade Sequence

There is very deep connetction between continued fractions and orthogonal polynomials. 当然, 最简单的方法是直接 Taylor 展开, 如

$$\begin{align} \frac{1}{1 - x} =& 1 + x + \mathcal{O}(x^2) \\ \frac{1}{1 - \frac{x}{1 - 4x}} =& 1 + x + 5 x^2 + \mathcal{O}(x^2) \\ \frac{1}{1 - \frac{x}{1 - \frac{4x}{1 - 9 x}}} =& 1 + x + 5 x^2 + 61 x^3 + \cdots \\ \vdots & \end{align}$$

如果把 continued fractions 有理化, 那么

$$\begin{align} b_0 \to& \frac{\mathscr{P}_0}{\mathscr{P}_0} \label{eq:padeStart}\\ \frac{b_0}{1 - b_1x}\to& \frac{\mathscr{P}_0}{\mathscr{P}_{1}} \\ \frac{b_0}{1 - \frac{b_1 x}{ 1 - b_2x}} \to& \frac{\mathscr{P}_1}{\mathscr{P}_1}\\ \frac{b_0}{1 - \frac{b_1 x}{ 1 - \frac{b_2x}{1 - b_3x}}} \to& \frac{\mathscr{P}_1}{\mathscr{P}_2} \\ \vdots \to& \frac{\mathscr{P}_2}{\mathscr{P}_2} \\ \vdots \to& \frac{\mathscr{P}_2}{\mathscr{P}_3} \label{eq:padeEnd}\\ \vdots & \end{align}$$

其中 $\mathscr{P}_n$ 代表 $n$ 阶多项式. 右边叫做 Pade sequence. 更 general 的

$$\begin{align} \sum_0^{p+q} a_n x^n = \frac{\mathscr{P}_p}{\mathscr{P}_q} = \mathcal{P}^p_q \end{align}$$

两边的系数相等. 被称作 Pade approximates. 对于一个级数, 可以写一个 Pade table (Bender 在黑板上笔误了上下标标反了) 而前面的 (\ref{eq:padeStart}) ~ (\ref{eq:padeEnd}) 是 Pade table 中(副)对角的部

	$q=1$	$q=2$	$q=3$	$\cdots$
$p=1$	$\mathcal{P}^1_1$	$\mathcal{P}^1_2$	$\mathcal{P}^1_3$	$\cdots$
$p=2$	$\mathcal{P}^2_1$	$\mathcal{P}^2_2$	$\mathcal{P}^2_3$	$\cdots$
$p=3$	$\mathcal{P}^3_1$	$\mathcal{P}^3_2$	$\mathcal{P}^3_3$	$\cdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

分, 称为 main/diagonal Pade sequence.

总的来说, 我们将一个不收敛的级数, 写成了 Pade sequence 的形式, 而这通常收敛非常快, really really rapidly.

接下来是精辟的评论

It's the antidote to what they teach you in calsses on quantum field theory and on quantum mechanics. Because in a class on quantum mechanics or quantum field theory they teach you perturbation theory and without teaching you this. It's junk! Because you can't do anything with what you've learned. You calculate a bunch of Feynman diagrams, big deal, but you convert that to Pade, and you can sum it up.

Pade 不仅收敛地快, 而且 $\mathcal{P}^n_n$ 和 $\mathcal{P}^n_{n + 1}$ 分别从 $L$ 的上边和下边逼近, 因此还可以做 Shanks transform, 会收敛地更快.

之后举了几个例子, 来说明 Pade sequence 比 Taylor series 收敛地更快.

An Intuitive Explanation

Pade 是多项式, 它的分母可以有零点. 比如 $\Gamma$ function 有许多 pole, Taylor series 没有 pole, 但 Pade 可以有. Pade 可以 mock up (模拟) poles. 因此 Pade 是一个 very flexible 的表示.

同时, Taylor series 的收敛区域是一个圆, 它要求圆内所有的点都收敛. 这就限制了它的收敛的区域. 而 Pade 就不必, 它的收敛区域可以是整个复平切去割线. Pade 所要求的更少, 它的收敛区域不必是一个圆, 因此, 它可以给我们的更多.

Taylor series hate you, because you force them to converge in a full circle. It just say 'go away, I'm not working for you today.' Whereas Pade, you don't force it to converge here, you're not requiring it and it doesn't converge, and therefore where it does converge it converges much better and much faster than a Taylor series. It's wonderful!

Summary

讲了如何将发散的级数求和, 给出的方法是将原来发散的级数转化成 Pade sequence.

Reference

https://en.wikipedia.org/wiki/Pad%C3%A9_table

Carl Bender Mathematical Physics Lecture5 Note

2020-10-08T00:00:00+08:00

Information

原出处: https://www.perimeterinstitute.ca/video-library/collection/11/12-psi-mathematical-physics
可以看自动生成的字幕: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzcd6SoIscwjHuWRE38UXWG92uq0Sy4UF
Bilibili: https://www.bilibili.com/video/BV1w4411q7x6?fromsearch&seid7852838902448285010
Book: Carl M. Bender, Steven A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I Asympotic Methods and Perturbation Theory, 1999

Keywords

Summation of divergent series continued. Analytic continuation of zeta and gamma functions. The anharmonic oscillator.

Divergent Series Are Not Bad

不收敛的级数比收敛的级数更容易提取信息.

接着上节课的讲. 继续算一些发散的级数求和

$$\begin{align} S = & \mathcal{S} ( 1+ 2 + 4 + 8 + \cdots) \label{eq:2n}\\ = & 1 + \mathcal{S} ( 2 + 4 + 8 + 16 \cdots)\\ = & 1 + 2\mathcal{S} ( 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots) \end{align}$$

求得 $S = -1$ . 一些正数相加竟然得到了一个负数. 实际上这些求和 really working in the complex plane, 而在复平面上, 没有比较数的大小一说, we give up symbol " $\, < \,$ ". 可以用下面的方式理解这个结果. 将轴上的点投影到复平面的一个圆上

如图, 将 $G$ 投影到 $K$ , 将 $D$ 投影到 $J$ , 将无穷远点投影到 $C$ (在复数中, 无穷远点是一个点, 不像实数一样有 $+ \infty, - \infty$ 之分) . 求和所做的类似于将 $K, J, I, H$ 求和, 然后再将结果投影回实轴上.

题外话, 将地球做成平面的地图, 也需要将球上的每一点投影到一个平面上. 这有许多投影方法. 其中现在许多地图采用的是 Mercator projection, 比如 Google maps 就是采取这种方式, 它的优点在于地图上的方向和实际方向是一致的, 国家的形状也一致, 但是面积会很不同. 有一个网站可以比较不同国家的真实面积: https://www.thetruesize.com/

再来求另一个 series

$$\begin{align} S =& \mathcal{S}(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots) \label{eq:sum1}\\ =& 1 + \mathcal{S}(1 + 1 + 1 + 1 + \cdots) \\ =& 1 + S \end{align}$$

因此 $S = \infty$ . 比较 (\ref{eq:2n}) 和 (\ref{eq:sum1}) 会发现一个有意思的结果, (\ref{eq:2n}) 的每一项都大于或等于 (\ref{eq:sum1}) , 但结果却是 $-1$ 和 $\infty$ . 原因还是在于复数中没有大于这种说法.

Meaning of What We Are Doing?

$\zeta$ function 定义为

$$\begin{align} \zeta(z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^z} \end{align}$$

其中 $z$ 是一个复数. $z$ 取偶数时它与 $\pi$ 有关

$$\begin{align} \zeta(2) =& 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \\ \zeta(4) =& 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \\ \zeta(6) =& 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{945} \end{align}$$

但是奇数都无法准确的写出来. 如

$$\begin{align} \zeta(3) \approx 1.202\cdots \end{align}$$

叫做 Apéry's constant. $\zeta(z)$ 函数在 $z = 1$ 处有一个 singularity, $\zeta(1) = \infty$. 如果计算 $\zeta(0)$ , 会发现 $\zeta(0) = 1 + 1 + 1 + \cdots -\frac{1}{2}$ , 而不是前面用 generic machine 得出的 $\infty$ , 因为 $\zeta$ function 不满足之前提出的那两个性质. $\zeta$ summation 是另外一种 summation machine. 用这种求和, 会发现

$$\begin{align} \zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = - \frac{1}{12} \end{align}$$

计算 $\zeta$ function 的方法是 analytic continuation. analytic continuation 的结果是唯一的. function 是一个抽象的概念, 它可以有不同的 representation, 比如

$$\begin{align} f(x) = \frac{1}{1 - x} , \quad x\neq 1 \end{align}$$

也可以有另外的表示

$$\begin{align} f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^n , \quad | x | < 1 \end{align}$$

这两种表示各自有不同的适用区间. 以 $\Gamma$ function 为例, 它本身是抽象的, 它的 Euler representation

$$\begin{align} \Gamma(x) = \int_0^{\infty} \mathrm{d}t \cdot e^{-t} t^{x-1} \end{align}$$

但它只在 $\mathrm{Re} x > 0$ 时有效, 否则它就发散了. 但 $\Gamma$ function 在其它区域也是存在的, 只是需要另一个表示. $\zeta$ function 也是类似的, 那个表示在 $\zeta(0)$ 处 doesn't work, 但是可以找到一个积分表示, 它在 $\zeta(0)$ 处是可以算出的. 回到 $\Gamma(x)$ function , 可以用另一种表示研究它在 $\mathrm{Re}x < 0$ 时的行为

$$\begin{align} \Gamma(x) =& \int_1^{\infty}\mathrm{d}t\cdot e^{-t} t^{x-1} + \int_0^1 \mathrm{d}t \cdot e^{-t} t^{x-1} \end{align}$$

第一项对于任意 $x$ , 它都有良好的定义, 而第二项 $0 < t < 1$ ,可以做 Taylor 展开, $e^{-t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}t^n$ , 它是一致收敛, 绝对收敛的, 可以交换积分与求和的顺序, 因此

$$\begin{align} \int_0^1 \mathrm{d}t \cdot e^{-t} t^{x-1} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!} \int_0^1 \mathrm{d}t \cdot t^{n + x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(n + x)} \end{align}$$

最后的求和对 $\mathrm{Re}x < 0$ 且不是整数时也可以求. 现在可以考虑 $x\to 0$ 时 $\Gamma(x)$ 的行为. 会发现相比于求和的第一项, 所有其它项都是可以忽略的

$$\begin{align} \frac{1}{1(0 + x)} \sim \frac{1}{x} \quad \mathrm{as} \, x \to 0 \end{align}$$

因此 $\Gamma(0) = \infty$ $\zeta$ 函数比这更加复杂, 但也是类似的操作. 对于 $\zeta(z)$ 函数来说, 当 $z \to 1$ 时, 它是 log 发散的.

后面 Bender 又提到了 Casimir force 什么的. 两条平等的接近的船相互吸引 ...

$\Gamma$ function 并不能由 $n!$ 的表示延拓出来, 因为我们可以给它加上一个在整数上都为零的函数, 比如 $\sin(n\pi)$ . 所以它不是唯一的. 而 stirling 表示是可以的.

之后和上节课类似地, 解释了发散求和与微扰的关系.

What If We Don't Know All The Terms In The Series?? WE USE CONTINUED FUNCTIONS!

实际物理问题中计算微扰是很麻烦的, 所以并不能很容易地得到很多项, 往往只得到前几项.

Taylor 级数只在收敛半径内收敛, 但是物理上, 我想要的是收敛半径以外的结果. 有一种方法是把 Talyor 级数的函数表示转化成 continued functions 的表示形式.

如 continued exponential function.

$$\begin{align} f(x) =& \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \\ =& b_0e^{b_1x e^{b_2x e^{b_3x \cdots}}} \end{align} $$

已知 $a_n$ 的前 $N$ 项, 可以求出 $b_n$ 的前 $N$ 项, 反之亦然. 如果所有 $b_n = 1$ 它们之间的确切关系为

$$\begin{align} \label{eq:contiExp} e^{x e^{x e^{x \cdots}}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n + 1)^{(n - 1)}}{n!}x^n \end{align}$$

假设通过艰难的微扰计算, 我们得到了上式的右边, 我们将它转换成上式左边的形式. 左边比右边的表示要好, 下面进行解释.

先来求一下右边的收敛半径.

在 $n$ 很大的时候 (stirling approximation)

$$\begin{align} n! \sim n^{n + \frac{1}{2}} e^{- n} \sqrt{2\pi},\quad \mathrm{as} \, n\to \infty \end{align}$$

所以(忽略可以忽略的 $1, \frac{1}{2}, \pi\cdots$ 这样可以忽略的量)

$$\begin{align} \frac{(n + 1)^{(n - 1)}}{n!} \sim \frac{n^n}{n^ne-^n} \sim e^n ,\quad \mathrm{as} \, n\to \infty \end{align}$$

所以 (\ref{eq:contiExp}) 右边的求和只在 $| x | < \frac{1}{e}$ 内收敛.

接下来考虑如何计算 (\ref{eq:contiExp}) 左边. 分别计算如下 $A_n$

$$\begin{align} A_1 =& e^x \\ A_2 =& e^{x e^x} \\ A_3 =& e^{x e^{x e^x}} \\ \vdots & \end{align}$$

事实证明 sequence $\{A_n\}$ 会在一个比 (\ref{eq:contiExp}) 右边的求和更大的范围内收敛到一个唯一的值. 它的收敛区间的形状是一个心脏线 (Cardioid)

之后 Bender show 出了一张它想让同学们在周末会梦到的图片.

Summary

本节的主题还是发散级数求和.

Reference

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function

Carl Bender Mathematical Physics Lecture3 & Lecture4 Note

2020-10-07T00:00:00+08:00

Information

原出处: https://www.perimeterinstitute.ca/video-library/collection/11/12-psi-mathematical-physics
可以看自动生成的字幕: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzcd6SoIscwjHuWRE38UXWG92uq0Sy4UF
Bilibili: https://www.bilibili.com/video/BV1w4411q7x6?fromsearch&seid7852838902448285010
Book: Carl M. Bender, Steven A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I Asympotic Methods and Perturbation Theory, 1999

Keywords

Branch cuts. Shanks transform. Acceleration of convergence. Richardson extrapolation. Summing a divergent series. Euler summation. Borel summation. Generic summation machines.

Branch Point And Branch Cut

以 $\sqrt{z}$ 为例讲解, 非常清晰!

Shanks Transform

Shanks Transform 的作用是

Accelerate the convergence of a series that was already converging.

例如

$$\begin{align} \label{eq:log2} \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = 0.693 147 2\cdots \end{align}$$

Shanks Transform 能够让收敛变得更快.

Mr. Shanks syas, let's make a model of this series.

把这种振荡的级数 model 一下.假设级数 $S_N$ 有如下的形式

$$\begin{align} S_N = L + A B^N \end{align}$$

其中 $-1 < B < 0$ , $L$ 代表 limit, 也就是级数收敛的结果. 这个 model 并不完全和 (\ref{eq:log2}) 一致, 只是它们的模式一致.我们只关心级数最终收敛的结果, 也就是 $L$ , 我们可以通过下面的式子把 $L$ 解出来

$$\begin{align} S_{N-1} =& L + A B^{N-1}\\ S_N =& L + A B^N \\ S_{N+1} =& L + A B^{N+1} \end{align}$$

可得

$$\begin{align} L = \frac{S_N^2 - S_{N+1}S_{N-1}}{2 S_N - S_{N-1} - S_{N+1}} \end{align}$$

如果我们对级数 (\ref{eq:log2}) 做多次 Shanks transform, 结果如下 [[file:./2020-10-07-专业笔记-CarlBenderMathematicalPhysicsLecture3and4/ShanksTrans.jpg]] code: [[file:./2020-10-07-专业笔记-CarlBenderMathematicalPhysicsLecture3and4/ShanksTrans.py]]

效果相当明显(不过还是像 Bender 一样列表, 才能够更清晰地看出精度的不断增加. 画这个图是为了把算法写出来).

对于 Shanks transform, 有同学提问, 如何证明它能够对这样级数加速收敛, Bender 如是回答

Some summation theory partially rigorous but mostly not. It is very powerful and works in places where people cannot even justify why it is working.

并说它在这门课所要教的是

Cutting-edge mathematical physics. Very useful mathematical physics.

Richardson Extrapolation

以级数

$$\begin{align} S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} = \zeta(2) \end{align}$$

为例. 讲解如何用 Richardson extrapolation (理查德森外推法) 对不断逼近, 但是收敛很慢的级数进行加速.

首先说明它收敛很慢. 计算到第 $N$ 项的误差为

$$\begin{align} S - S_N = \sum_{N+1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sim \int_N^{\infty} \frac{\mathrm{d}n}{n^2} \sim \frac{1}{N} \quad (\mathrm{as} \, N\to \infty) \end{align}$$

也就是说, 计算到第 $1000$ 项, 也只达到 $\frac{1}{1000}$ 的精确度. 如果想到精确到小数点后面十几位, 计算量就变得相当大.

Richardson extrapolation is a technique for extrapolating a sequence $S_N$ to the limit of that sequence.

与 Shanks transform 类似的做法, 对这种收敛形式的级数 makes a model

$$\begin{align} S_N = S + \frac{a}{N} + \frac{b}{N^2} + \frac{c}{N^3} + \cdots \end{align}$$

如果保留到一阶, as $N\to \infty$

$$\begin{align} S_{N } \sim & S + \frac{a}{N} \\ S_{N+1}\sim & S + \frac{a}{N + 1}\\ \end{align}$$

两边同乘 $N$ 以及 $N + 1$ , 然后两式相减(not care $a$), 可以解出

$$\begin{align} R_1 \equiv S = (N + 1)S_{N + 1} - N S_N \end{align}$$

其中 $R_1$ 代表 first order Richardson. 类似地可以做二阶, 结果

$$\begin{align} R_2 \equiv \frac{N^2S_N - 2(N + 1)^2S_{N + 1} + (N + 2)^2 S_{N + 2}}{2} \end{align}$$

以及更高阶. 下图是二阶的结果 [[file:./2020-10-07-专业笔记-CarlBenderMathematicalPhysicsLecture3and4/Richardson.jpg]] code: [[file:./2020-10-07-专业笔记-CarlBenderMathematicalPhysicsLecture3and4/Richardson.py]]

Richardson extrapolation 在数值积分中有很多应用, 如 Simpson's rule 是 trapezoid rule 的一阶 Richardson. Romberg integration 是 trapezoid rule 的更高阶的 Richardson.

Summing Divergent Series

Shanks transform 和 Richardson extrapolation 都是对本来就已经收敛的级数进行加速. 下面讨论如何 summing divergent series. 比如

$$\begin{align} &1 - 1 + 1 - 1 + 1 \cdots \label{div} \\ &1 + 2 + 4 + 8 + 16 \cdots \\ &1 + 1 + 1 + 1 + 1 \cdots \\ &1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1\cdots \\ &1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdots = \zeta(1) \label{eq:zeta1} \end{align}$$

首先, 用 (\ref{eq:zeta1}) 来说明

Some divergent series REALLY sum up to infinity -- this is perfectly OK!

(\ref{eq:zeta1}) 可以对应物理图像, 将质量均匀的砖一块一块地摞, 最多能伸出多远. 如图 file:./2020-10-07-physics-CarlBenderMathematicalPhysicsLecture3and4/zeta1.gif Geogebra 在线示意: https://www.geogebra.org/m/gxzshmzr 将砖自上而下的放, 每次放砖, 使砖的右侧对准上面所有砖头的重心, 那么伸出的长度就是 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$ , 而重心始终保持稳定, 不会倒. 因为 $\zeta(1)$ 这个级数是发散的, 那么按照这种摞法, 只要够高, 砖头就会伸出无穷远. 这个非常有意思!

对于一个无穷级数来说, 不能够交换各项的顺序, 否则会改变他们的值. 比如前面提到的

$$\begin{align} \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = 0.693 147 2\cdots \end{align}$$

如果我们任意交换各项的顺序, 我们可以让它收敛到任意实数. 可以给一个不收敛的级数求和安排一个有意义的数字.

Euler Summation (Machine)

首先, 最简单的方法是 Euler summation. 假设 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ 不收敛. 那么构造函数 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ , 如果它在 $|x| < 1$ 时是收敛的, 那么定义

$$\begin{align} E \equiv \lim_{x\to 1} f(x) \end{align}$$

例如, 对于 series

$$\begin{align} 1 - 1 + 1 - 1 + 1 \cdots \end{align}$$

构造

$$\begin{align} f(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots = \frac{1}{1 - x} \end{align}$$

那么

$$\begin{align} E \equiv \lim_{x\to 1} f(x) = \frac{1}{2} \end{align}$$

Borel Summation (Machine)

Borel Summation 比 Euler Summation 更加 powerful.

由 $\Gamma$ 函数的定义我们知道

$$\begin{align} \frac{\int_0^{\infty}\mathrm{d}t\cdot e^{-t}t^n}{n!} = 1 \end{align}$$

那么对于级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ 构造

$$\begin{align} B \equiv \int_0^{\infty}\mathrm{d}t\cdot e^{-t}\frac{ t^n a_n}{n!} \end{align}$$

如果也把它用在级数

$$\begin{align} 1 - 1 + 1 - 1 + 1 \cdots \end{align}$$

上, 会发现 $B=\frac{1}{2}$ , 和 Euler machine 的结果是相同的!

Generic Summation Procedure (Machine)

接下来构造一种普适的方法 $\mathcal{S}(a_0 + a_1 + a_2 + \cdots) = S$. 但是不给出具体的操作过程, 只给出它应该满足的两条性质

- prop #1 : $\mathcal{S}(a_0 + a_1 + a_2 + \cdots) = a_0 + \mathcal{S}(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots)$ - prop #2: linearity $\mathcal{S}\left(\sum(\alpha a_n + \beta b_n)\right) = \alpha \mathcal{S} (\sum a_n)+ \beta \mathcal{S}(\sum b_n)$

例如, 我们还是将它用在级数

$$\begin{align} 1 - 1 + 1 - 1 + 1 \cdots \end{align}$$

上.

$$\begin{align} S = &\mathcal{S}(1 - 1 + 1 - 1 + 1 \cdots) \\ = & 1 + \mathcal{S}( - 1 + 1 - 1 + 1 \cdots) \quad \mathrm{prop1} \\ =& 1 - \mathcal{S}(1 - 1 + 1 - 1 + 1 \cdots) \quad \mathrm{prop2} \\ =& 1 - S \end{align}$$

可得 $S = \frac{1}{2}$ , 是和前面一样的结论.

再如, 级数

$$\begin{align} 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1\cdots \end{align}$$

如果用 Euler machine

$$\begin{align} E = & \lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1} 1 - x^{2} + x^3 - x^5 + x^6 \cdots \\ =& \lim_{x\to 1} (1 + x^3 + x^6 + x^9\cdots) - (x^2 + x^5 + x^8 \cdots) \\ =& \lim_{x\to 1} \frac{1}{1 - x^3} - \frac{x^2}{1 - x^3} \\ = & \frac{2}{3} \end{align}$$

注意第三个等号交换了各项的顺序, 这对于 Taylor 级数来说是没问题的. 可以看出, 这个级数中有没有零是很关键的, 这说明求和时, 不能够用结合律把某些项加起来再求和.

如果用 Generic machine

$$\begin{align} S = & \mathcal{S}(1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 \cdots) \\ = & 1 + \mathcal{S}( 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 \cdots) \quad \mathrm{prop1} \\ = & 1 + \mathcal{S}( - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 \cdots) \quad \mathrm{prop1} \\ \end{align}$$

把三个等号后面的式子相加, 并用 prop#2

$$\begin{align} 3S = 2 + \mathcal{S}\left( (1 + 0 - 1) + (0 - 1 + 1) + (-1 + 1 + 0)\cdots \right) = 2 \end{align}$$

因此 $S = \frac{2}{3}$ , 和 Euler machine 的结果相同.

Commentment

Bender 在 Lecture 4 的最后做了精彩的评述, 大意如下:

讲这些对不收敛的级数求和, 是为了用于微扰论.

微扰论将一个 hard problem 转化一无穷多非常简单的问题. 但是这些级数是不收敛的, 因此我们需要用到这些方法来对它求和.

比如我们想要用微扰求解一个问题, 它的 answer 是 $\frac{1}{1 + \epsilon}$ , 但是它很难, 我们没法直接得到 $\frac{1}{1 + \epsilon}$ 这个答案. 只能用微扰来解, 而通过微扰, 我们得到的结果是 $\sum(-1)^n \epsilon^n$ . 但是我们想要是 $\epsilon=3$ 时的结果, 那这是一个发散的求和. 那我们 play 一个 trick. 将 $\epsilon$ 取成 $|\epsilon| < 1$ 的值, 那就得到了 $\frac{1}{1 + \epsilon}$ , 那把 $\epsilon=3$ 代入就得到了答案 $\frac{1}{4}$ . $\sum(-1)^n \epsilon^n$ 只是答案的一种表示, 并不是要我们真的去求和. 我们要做的是用一种方法将答案从求和的表示, 得到它真正的值.

Summary

微扰得到的是不收敛的级数, 我们因此发展了用来求不收敛的级数的方法.

Carl Bender Mathematical Physics Lecture2 Note

2020-10-01T00:00:00+08:00

Information

原出处: https://www.perimeterinstitute.ca/video-library/collection/11/12-psi-mathematical-physics
可以看自动生成的字幕: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzcd6SoIscwjHuWRE38UXWG92uq0Sy4UF
Bilibili: https://www.bilibili.com/video/BV1w4411q7x6?fromsearch&seid7852838902448285010
Book: Carl M. Bender, Steven A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I Asympotic Methods and Perturbation Theory, 1999

Keywords

The Schrodinger equation. Riccati equation. Initial value problem. Perturbation series approach to solving the Schrodinger equation. The eigenvalue problem

Really Really Hard Probles

任何形如

$$\begin{align} \label{eq:2ndODE} y'' + a(x)y' + b(x) y = 0 \end{align}$$

的微分方程都可以化为

$$\begin{align} \label{eq:SchEQ} y'' + Q(x) y = 0 \end{align}$$

证明: 令 $y = U(x)z(x)$ . 代入 (\ref{eq:2ndODE}) 得 \begin{align} U''z + U z'' + 2 U'z' + a U'z + aUz' + bUz = 0 \end{align} find a $U$ 使得 $z'$ 的项消失, 也就是 $U$ 满足 \begin{align} \frac{U'}{U} + \frac{a}{2} = 0 \end{align} 这是一个一阶, separable 方程, 一定是可解的. 解得 \begin{align} U(x) = e^{-\int^x \frac{a(s)}{2}\mathrm{d}s} \end{align} 可以加上一个常数, 但是是无所谓.

而 (\ref{eq:SchEQ}) 是一个 very very hard problem. 为什么 very very hard?

Why So Hard?

first order linear equation $y' + a(x)y = b(x)$ 是一个 routine standard EASY problem, 因为它可以用 integrating factor 来解. 下面说明, (\ref{eq:SchEQ})为什么它 so hard

如果这个问题好解的话, 只有下面一种方法. 采用简化的符号 $D\equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ . 因此 $y' + a(x)y = b(x)$ 变为 \begin{align} \label{eq:unfactored} [D^{2} + a(x)D +b(x) ] y(x) = 0 \end{align} 方括号中是一个线性微分算符. 分析因式(线性算符的分解不是唯一的) \begin{align} \label{eq:factor} [D + A(x)][D +B(x) ] y(x) = 0 \end{align} 如果上式可以做到, 就已经解决了这个问题, 因为它分解成了两个一阶的问题. 所以这个问题难的部分在于分析因式, 也就是寻找函数 $A(x)$ 和 $B(x)$. 把 (\ref{eq:factor}) 展开 \begin{align} (D^2 +AD + AB + B' + BD)y = 0 \end{align} 并与 (\ref{eq:unfactored}) 比较, 会得到 $A(x)$ 和 $B(x)$ 需要满足的方程 \begin{align} A + B =& a \\ AB + B' =& b \end{align} 通过消元解上述方程组 \begin{align} aB - B^2 + B' = b \end{align} 变成了一阶方程, great progress! 但它有 $B^{2}$ , 不是线性的. 它是一个有名的方程: Riccati. 只有一种方法解 Riccati 方程 \begin{align} y' = \alpha y^2 + \beta y + \gamma \end{align} 令 $y = Q \frac{W'}{W}$ (This is a very standard substitution for linearing nonlinear equations) , 那么 \begin{align} Q' \frac{W'}{W} + Q \frac{W''}{W} - Q \frac{W'^2}{W^2} = \alpha Q^2 \frac{W'^2}{W^2} - \beta Q \frac{W'}{W} + \gamma \end{align} 其中的二次项可以取适当的 $Q$ 使其消掉 \begin{align} Q = -\frac{1}{\alpha} \end{align} 然后两边乘上 $W$ \begin{align} Q' W' + Q W'' = \beta Q W' + \gamma W \end{align} 它是 linear homogeneous 的. 它得形式可以在书上找到, 比如它是 Bessel 方程的形式. 因此之前关于 $B$ 的 quadratic 的 Riccati 方程可以变为 \begin{align} -W'' = aW' + bW \end{align} 也就是 \begin{align} W'' + aW' + bW = 0 \end{align} 结果又回到了最初的形式. 因此这个问题 really really hard! 用积分变换也没有办法, 因为它不会改变问题的难度, 只会改变问题的形式, principle of conservation of effort :) 只有当你放弃等号的时候, 才会 reduce the problem!

(Bender 在视频的 8:15 时说 I should take sort of 5 minutes and explain to you why it's diffcult, 然后在 26:43 时说完了 🤣 )

Perturbation

放弃等号, reduce the problem to powers! 来给 (\ref{eq:SchEQ}) 加上微扰

$$\begin{align} \label{eq:SchEQPerturb} y'' + \epsilon Q(x) y = 0 \end{align}$$

(为什么加在这里? 因为 uperburbed problem 是可解的.) 考虑边界条件

$$\begin{align} y(0) =& \alpha \\ y'(0) =& \beta \end{align}$$

unpert: $y_0(x) = \alpha + \beta x$

Assuming $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x)\epsilon^n$ 代加 (\ref{eq:SchEQPerturb})

$$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} a_n''(x)\epsilon^n + \sum_{n=1}^{\infty} Q(x) a_{n-1}(x) \epsilon^n = 0 \end{align}$$

比较 $\epsilon$ 的系数.

$\epsilon^0$ : $a_0'' = 0$ , 这时无微扰时的解 $a_0(x) = \alpha + \beta x$
$\epsilon^n$ : $a_n'' = -Q(x)a_{n-1}$ 因为 $a_0$ 已经满足边界条件了, 所以更高阶的边界条件全部为 $0$ , 也就是 $a_n(0) = a_n'(x) = 0$ , 那么积分就可以得到全部的系数

$$\begin{align} a_n'(x) =& -\int_0^x \mathrm{d}s\cdot Q(s)a_{n-1}(s) \\ a_n(x) =& -\int_0^x\mathrm{d}t \int_0^t \mathrm{d}s Q(s)a_{n-1}(s) \end{align}$$

那么得到 $a_n(x)$ 的通过

$$\begin{align} a_n(x) = (-1)^n \int \int Q\int \int Q \cdots \int \int Q (\alpha + \beta x) \end{align}$$

一共有 $2n$ 重积分. 下面证明这个积分是收敛的.

证明: 有定理 if $| f(x) | < M$ when $M\in(a, b)$ , then $| \int_a^b f(x) \mathrm{d}x |\le | a - b | M$ 因此, 如果 $\mathrm{Max}|Q| = M, \mathrm{Max}|\alpha + \beta x| = m$ , 那么 \begin{align} |a_n(x)| \le M^n m\underbrace{\int_0^x \mathrm{d}t \int_0^t \mathrm{d}u\int_0^u \mathrm{d}v\cdots \int}_{2n} = M^n m \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{align} 因此这个 series converges faster than \begin{align} \sum \frac{k^n}{(2n)!}\epsilon^n \end{align} 它的收敛半径 radius of convergence 是无穷大(忘了怎么求收敛半径了).

讲到这里, Bender 假装很激动地说:

Boys, we are powerful! We can do anything! :)

但是, $x$ 不能是无穷大, 也就是 we can't solve the Schrodinger equation on an infinite domain. We can only solve it on a finite domain for finite $x$ . 但实际求解时, 要求本征函数是归一的, 在全空间.

因此我们在 finite domain 里得到了 Schrodinger equation 的解!

Eigenvalue Problem

现在我们感觉自己很强大了, 让我们来解非常重要的问题: 本征值问题. 带有非简谐势的一个本征值问题, 用微扰

$$\begin{align} \left(-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} + \frac{x^2}{4} + \epsilon \frac{x^4}{4} \right)\psi = E( \epsilon )\psi \end{align}$$

这节课没时间了, Bender 说 I don't want to spoil the climax by rushing it. 直接给了这个问题的结果

$$\begin{align} E_{\mathrm{ground state}} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}\epsilon - \frac{21}{8}\epsilon^2 - \frac{333}{16}\epsilon^3 + \cdots \end{align}$$

它(看似)不收敛. 是的, 它确实不收敛, 收敛半径是 $0$ . 之后用提到用费曼图作微扰和这个是一样的, 它不收敛

You've been cheated! ... Everything you've been taught is garbage unless we can make sense out of this.

它不收敛的原因是 $\epsilon=0$ 处有 singularity. $\epsilon$ 由正变负时, 会使阱原有的 bound states 消失(如图), 都 tunnels 出去了. We have Hawking radiation. Something abrupt.

What the Nature of the Singularity Is?

考虑二能级系统

$$\begin{align} H = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right) + \epsilon\left( \begin{array}{cc} 0 & c \\ c & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

I look at this problem and I say 'oh, god! That's a hard problem to sovle! I think I'll use perturbation theory.'

$$\begin{align} E_{\mp}(\epsilon) = \frac{a + b \pm\sqrt{(a - b)^2 + 4 \epsilon^2 c^2}}{2} \end{align}$$

它有两个 singularities $\epsilon = \pm \mathrm{i}\frac{a - b}{2c}$ ,由一条 branch cut 连接. 当 $\epsilon$ 从 $1$ 出发, 经过一个 singularites, 跨越一次 branch cut 回到 $1$ (如图),它就从一个本征能量到了另一个本征能量.

Remember this: quantum mechanics is not quantized. Because if I'am allowed to vary $\epsilon$ into the complexs plane, you smoothly go from one energy level to the other energy level.

Quantizations comes from counting the sheets in a Riemann surface.

Different energy levels are not independent numbers like you know.

If we enlarge our way of thinking about problem by doing perturbation theory and by introducing this magnificient parameter because, it gives a whole new way of thinking about the world!

不同的基本粒子(如电子, $\mu$ 子), 它们都是对同一微扰参数的 analytic continuation.

Summary

任何形如

$$\begin{align} y'' + Q(x)y' + b(x) y = 0 \end{align}$$

的微分方程都可以化为

$$\begin{align} y'' + Q(x) y = 0 \end{align}$$

上式是 Schrodinger 方程的形式. 而上式在有限区间内限定边界条件时是可解的. 但量子力学考虑的都是边界条件在无穷远的情况, 一般无法求解. 因而需要用微扰来处理. 但会发现, 通过微扰得到的级数形式的解是发散的.

Quantizations comes from counting the sheets in a Riemann surface.

Different energy levels are not independent numbers like you know.

Reference

很好的讲解 integrating factor 的视频 First Order Linear Differential Equation & Integrating Factor (idea/strategy/example) by blackpenredpen , 有时间可以整理一下 note: https://www.youtube.com/watch?v=DJsjZ5aYK_g

Stationary Phase Approx, Laplace's Method

2020-09-23T00:00:00+08:00

Laplace's Method

结论

对于积分

$$\begin{align} \int_a^b e^{Mf(x)} \cdot\mathrm{d} x \end{align}$$

假设 $f(x)$ 只有一个全局最大值, 位于 $x = x_0 \in (a, b)$ 处. 那么当 $M\gg 0$ 时, 它可以做如下近似

$$\begin{align} \int_a^b e^{Mf(x)} \cdot\mathrm{d} x \approx \sqrt{\frac{2\pi}{M|f''(x_0)|}} e^{Mf(x_0)} \end{align}$$

证明

将 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处 Taylor 展开

$$\begin{align} \int_a^b e^{Mf(x)} \cdot\mathrm{d} x = \int_a^b e^{M\left[f(x_0) - \frac{|f''(x_0)|}{2}(x - x_0)^2 + \cdots \right]} \cdot\mathrm{d} x \end{align}$$

其中利用了 $f'(x_0) = 0, f''(x_0) < 0$ .

由于 $f(x_0)$ 是极大值, 且 $M$ 很大, 所以积分主要由 $x_0$ 附近贡献. 下图是 $f(x)= -x^2$ 时的情况, 可以看出 $M$ 越大, 积分的贡献越集中于 $x_{0}$ 处

只保留到展开的二阶项, 略去更高阶, 因此积分近似为

$$\begin{align} \int_a^b e^{Mf(x)} \cdot\mathrm{d} x \approx e^{Mf(x_0)}\int_a^b e^{- M\frac{|f''(x_0)|}{2}(x - x_0)^2 } \cdot\mathrm{d} x \end{align}$$

由于远离 $x_0$ 的部分对积分贡献几乎为零, 所以可以将积分区间拓展到 $(-\infty, +\infty)$ , 这样就可以将高斯积分算出, 得到结果

$$\begin{align} \int_a^b e^{Mf(x)} \cdot\mathrm{d} x \approx \sqrt{\frac{2\pi}{M|f''(x_0)|}} e^{Mf(x_0)} \end{align}$$

例子: Stirling's Approx

$\Gamma$ function 为

$$\begin{align} N! = \Gamma(N+1) = \int_0^{\infty} \mathrm{d}x\cdot x^N e^{-x} \end{align}$$

可以将上式变形

$$\begin{align} N! = \int_0^{\infty} \mathrm{d}x\cdot e^{-x +N\ln x} = \int_0^{\infty} \mathrm{d}x\cdot e^{N\left(-\frac{x}{N} +\ln x\right)} \end{align}$$

当 $N$ 很大的时候, 可以进行 Laplace's method 近似. 做变量代换 $x/N = t$ , 那么

$$\begin{align} N! = \int_0^{\infty} \mathrm{d}x\cdot e^{-x +N\ln x} = N^{N + 1}\int_0^{\infty} \mathrm{d}t\cdot e^{Nf(t)} \end{align}$$

其中 $f(t) = -t +\ln t$ 如下图

在 $t = 1$ 处有极大值. 因此可以用 Laplace's method 做近似为

$$\begin{align} N! \approx N^{N + 1} e^{-N} \sqrt{\frac{2\pi}{N\cdot 1}} = \sqrt{2\pi N} e^{N(\ln N -1)} \end{align}$$

取对数为

$$\begin{align} \ln N! \approx \frac{1}{2}\ln 2\pi + \frac{1}{2}\ln N + N(\ln N - 1) \approx N(\ln N - 1) \end{align}$$

最后一步省略了前两项, 因为相比较于后两项, 它们是可以忽略的. 这就是常用的 Stirling 公式.

Stationary Phase Approx

结论

对于积分

$$\begin{align} I = \int_a^b g(t) e^{\mathrm{i}kf(t)} \cdot \mathrm{d}t \end{align}$$

称其中的 $f(t)$ 为 phase function. 假如 $f(t)$ 在 $(a, b)$ 内有 $n$ 个 stationary points (也就是一阶导数为零的点) $s_j, 其中 j = 1, 2, \cdots ,n$ 那么当 $k\to \infty$ 时, 有如下近似

$$\begin{align} I \approx \sum_{j=1}^n g(s_j) e^{\mathrm{i}k f(s_j) + \frac{\mathrm{i}\mathrm{sign}[f''(s_j)]\pi}{4}} \sqrt{\frac{2\pi}{k|f''(s_j)|}} \end{align}$$

Intuition (不做严格证明)

假设 $f(t)$ 只有一个 stationary point $s_j \in(a, b)$ : $f'(s_j) = 0$ .

将 $f(t)$ 在 $t = s_j$ 处 Taylor 展开

$$\begin{align} I = \int_a^b g(t) e^{\mathrm{i}k\left[f(s_j) + \frac{f''(s_j)}{2}(t - s_j)^2 + \cdots \right]} \cdot \mathrm{d}t \end{align}$$

其中利用了 $f'(s_j) = 0$

当 $k\to \infty$ 时, 剧烈振荡, 相互抵消(Coates-Euler formula), 积分主要由 stationary point 处贡献. 只保留到二阶项, 略去更高阶项, 并且将积分区间拓展到 $(-\infty, + \infty)$ , 就可以得到结论

$$\begin{align} I \approx &\int_a^b g(s_j) e^{\mathrm{i}k\left[f(s_j) + \frac{f''(s_j)}{2}(t - s_j)^2 \right]} \cdot \mathrm{d}t \\ =& g(s_j)e^{\mathrm{i}kf(s_j)} \int_a^b e^{\mathrm{i}k\left[\frac{f''(s_j)}{2}(t - s_j)^2 \right]} \cdot \mathrm{d}t \\ \approx & g(s_j)e^{\mathrm{i}kf(s_j)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}k\left[\frac{f''(s_j)}{2}(t - s_j)^2 \right]} \cdot \mathrm{d}t \\ =& g(s_j)e^{\mathrm{i}kf(s_j)}\sqrt{\frac{2\pi\mathrm{i}}{k f''(s_j)}} \\ =& g(s_j)e^{\mathrm{i}kf(s_j)}\left[\mathrm{i} \cdot\mathrm{sign}[f''(s_j)]\right]^{1/2} \sqrt{\frac{2\pi}{k |f''(s_j)|}} \\ =& g(s_j)e^{\mathrm{i}kf(s_j) + \frac{\mathrm{i} \cdot\mathrm{sign}[f''(s_j)]\pi}{4}} \sqrt{\frac{2\pi}{k |f''(s_j)|}} \end{align}$$

有多个 stationary points 时, 对它们求和即可.

例: Bessel functions 的渐近形式

Bessel functions 的积分表达形式为

$$\begin{align} J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos (x \sin \theta - n\theta) \mathrm{d}\theta \end{align}$$

将其写为指数形式

$$\begin{align} J_n(x) = \frac{1}{\pi} \mathrm{Re}\left[\int_0^{\pi} e^{\mathrm{i}(x \sin \theta - n\theta)} \mathrm{d}\theta\right] \end{align}$$

当 $x\to\infty$ 时, 积分可以用 stationary phase approx

$$\begin{align} \int_0^{\pi} e^{\mathrm{i}(x \sin \theta - n\theta)} \mathrm{d}\theta = \int_0^{\pi}e^{-\mathrm{i} n\theta} e^{\mathrm{i}x \sin \theta } \mathrm{d}\theta \end{align}$$

$\sin\theta$ 在积分区间 $(0, \pi)$ 内的 stationary points 为 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 因此其近似结果为

$$\begin{align} \int_0^{\pi} e^{\mathrm{i}(x \sin \theta - n\theta)} \mathrm{d}\theta \approx& e^{-\mathrm{i} n \frac{\pi}{2}} e^{\mathrm{i} x \sin \frac{\pi}{2} + \frac{\mathrm{i} \cdot (-1)\cdot \pi}{4}}\sqrt{\frac{2\pi}{x \cdot 1}} \\ =& e^{-\mathrm{i} \frac{n\pi}{2}} e^{\mathrm{i} (x - \frac{\mathrm{i} \cdot \pi}{4})}\sqrt{\frac{2\pi}{x}} \end{align}$$

代回 Bessel functions 取实部得到

$$\begin{align} J_n(x) \approx& \frac{1}{\pi} \mathrm{Re}\left[e^{-\mathrm{i} \frac{n\pi}{2}} e^{\mathrm{i} (x - \frac{\mathrm{i} \cdot \pi}{4})}\sqrt{\frac{2\pi}{x}} \right] \\ = &\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos\left( x - \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) , \quad \mathrm{as} \, x \to \infty \end{align}$$

Reference

https://www.youtube.com/watch?v=7PuZQhqkWxk
https://www.youtube.com/watch?v=b7PZlmorEok
https://www.math.unl.edu/~scohn1/8423/intasym4.pdf
Altland Alexander, Simons Ben D., Condensed Matter Field Theory, Second Edition-Cambridge University Press (2010)

关于 Heisenberg 运动方程

2020-07-10T00:00:00+08:00

时间演化算符

时间演化

$$\begin{align} U(t_0 + \mathrm{d}t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar}Ht \end{align}$$

那么

$$\begin{align} U(t + \mathrm{d}t, t_0) = \left(1 - \frac{i}{\hbar}Ht \right)U(t, t_0) \end{align}$$

所以

$$\begin{align} U(t + \mathrm{d}t, t_0) - U(t + , t_0) =& - \frac{i}{\hbar}\mathrm{d}t U(t, t_0) \\ \Downarrow &\\ \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t, t_0) =& H(t) U(t, t_0) \end{align}$$

关键在于如果 Hamiltonian 中含时, 它和演化算符中是同一个 $t$ . 由此得到最 general 的演化算符的形式

$$\begin{align} U(t,t_0) = T \left\{ e^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int _{t_0}^t \mathrm{d}t' H(t')} \right\} \end{align}$$

也就是说最 general 的情况下, $[U(t, t_0), H(t)] \neq 0$ .

Heisenberg 运动方程为

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}A^H}{\mathrm{d}t} = -\frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t)[A, H(t)] U(t) + U^{\dagger}(t)\frac{\partial A}{\partial t} U(t) \end{align}$$

上式中的 $H(t), U(t)$ 也是同一个 $t$ .

Liouville–von Neumann equation

密度矩阵的演化满足 Liouville–von Neumann equation

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \rho(t) = \frac{\mathrm{i}}{\hbar} [\rho(t), H] \end{align}$$

它的 Heisenberg 运动方程类似, 但要注意差了一个负号, 并且它是在 Schrodinger picture 中的.

密度算符

$$\begin{align} \rho(t) = \sum_n p_n U(t)|n\rangle\langle n| U^{\dagger}(t) \end{align}$$

从上式可以看出负号的来源. Heisenberg picture 中的算符是 $U^{\dagger}AU$ , 而密度算符是 $U|n\rangle\langle n|U^{\dagger}$ , $U$ 和 $U^{\dagger}$ 的位置刚好相反.

Reference

J. J. Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics 2nd
https://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_picture
https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix
https://physics.stackexchange.com/questions/112984/liouville-von-neumann-equation-can-be-directly-derived-from-heisenberg-picture

庞加莱代数

2020-07-07T00:00:00+08:00

说明

'可以证明' 在本文中的意思是, 可以证明但是我懒不想写证明或者我不会证明. Weinberg 的书真的太强了, 一句话也不多余, 一句话也不欠缺. 我只能把已经看明白的写出来, 并试着验算一些结果. 更加详细的过程记于活页手稿 $21$ .

Lorentz Transformation

假设取光速 $c1$ 在所有惯性系中都是不变的, $x^{\mu}$ 是惯性系中的坐标 ( $x^0t$ 是时间坐标, $x^1, x^2, x^3$ 是空间坐标). 那么可以得到在任意两个惯性系中有

$$\begin{align} \eta_{\mu\nu} \mathrm{d}x'^{\mu} \mathrm{d}x'^{\nu} = \eta_{\mu\nu} \mathrm{d}x^{\mu} \mathrm{d}x^{\nu} \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \eta = \left( \begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{align}$$

由一个例子说明上式的合理性. 在垂直于 $y$ 方向上放两面相距为 $l$ 的镜子, 在 $xOy$ 平面内, 一束光从一面镜子射出, 出射的方向与 $z$ 轴垂直, 到达另一面镜子后反射, 再回到第一面镜子上. 在相对镜子静止的参考系中, 光走过的路程为 $c\Delta t = 2\sqrt{(\frac{\Delta x}{2})^2 + l^2}$ . 在另一个沿 $x$ 方向相对匀速运动的惯性系中, 光走过的路程为 $c\Delta t' = 2\sqrt{(\frac{\Delta x'}{2})^2 + l^2}$ , 由这两式可得 $- (c \Delta t)^2 + (\Delta x)^2 = - (c \Delta t')^2 + (\Delta x')^2$ .

可以证明, 不同惯性系之间的 Lorentz 变换(沿 $x_1$ 方向)可以写为

$$\begin{align} x'^{\mu} = \Lambda ^{\mu}_{\,\nu} x^{\nu} \end{align}$$

其中 $\Lambda ^{\mu}_{\,\nu}$ 满足

$$\begin{align} \eta_{\mu\nu} \Lambda^{\mu}_{\,\,\rho}\Lambda^{\nu}_{\,\,\sigma} = \eta_{\rho\sigma} \end{align}$$

将上式的两边同时左乘 $\eta^{\tau\rho}$ 可以得到 $\Lambda$ 的逆为

$$\begin{align} (\Lambda^{-1}) ^{\rho} _{\,\,\nu} = \Lambda_{\nu}^{\,\,\rho} \equiv \eta_{\nu\mu} \eta^{\rho\sigma} \Lambda^{\mu}_{\,\,\sigma} \end{align}$$

Exercise: 沿 $x$ 方向的 Lorentz transformation 可以写为 \begin{align} \Lambda = \left( \begin{array}{cccc} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{align} 其中 $\beta = \frac{v}{c}$, $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2}}$ . 验证其逆变换为 \begin{align} \Lambda^{-1} = \left( \begin{array}{cccc} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{align} 验证 $\Lambda$ 满足 \begin{align} \eta_{\mu\nu} \Lambda^{\mu}_{\,\,\rho}\Lambda^{\nu}_{\,\,\sigma} = \eta_{\rho\sigma} \end{align}

Lorentz tranformation 构成 Lorentz group.

Poincare Group

在 Lorentz transformation 的基础上, 再加上时间与空间平移, 就构成了 Poincare group. 它的变换为

$$\begin{align} x'^{\mu} = \Lambda ^{\mu}_{\,\nu} x^{\nu} + a^{\mu} \end{align}$$

在量子力学中, 它对应一个幺正变换

$$\begin{align} \Psi \to U(\Lambda, a) \Psi \end{align}$$

Exercise: 由定义 $x^{\mu} \to x'^{\mu} \to x''^{\mu}$ 验证如果作用两次, 其结果为 \begin{align} U(\bar{\Lambda}, \bar{a})U(\Lambda, a) = U(\bar{\Lambda}\Lambda, \bar{\Lambda}a + \bar{a}) \end{align}

Exercise: 由上面的结果验证 \begin{align} U^{-1}(\Lambda, a) = U(\Lambda^{-1}, -\Lambda^{-1}a) \end{align}

The Poincare Algebra

生成元

李群的标准作法, 考虑在 identity 附近的的变换

$$\begin{align} \Lambda^{\mu}_{\,\,\nu} = \delta^{\mu}_{\,\,\nu} + \omega^{\mu}_{\,\,\nu}, \quad \quad a^{\mu} = \epsilon^{\mu} \end{align}$$

它应当满足 $\eta_{\mu\nu} \Lambda^{\mu}_{\,\,\rho}\Lambda^{\nu}_{\,\,\sigma} = \eta_{\rho\sigma}$ , 也就是

$$\begin{align} \eta_{\rho\sigma} =& \eta_{\mu\nu} (\delta^{\mu}_{\,\,\rho} + \omega^{\mu}_{\,\,\rho}) (\delta^{\nu}_{\,\,\sigma} + \omega^{\nu}_{\,\,\sigma}) \\ = & \eta_{\rho\sigma} + \eta_{\rho\nu} \omega ^{\nu}_{\,\,\sigma} + \eta_{\mu\sigma} \omega ^{\mu}_{\,\,\rho} +\mathcal{O}(\omega^{2}) \\ = & \eta_{\rho\sigma} + \omega _{\rho\sigma} + \omega_{\sigma\rho} + \mathcal{O}(\omega^{2}) \end{align}$$

采用了 $\eta_{\mu\nu} , \eta^{\mu\nu}$ 可以将上标变成下标, 下标变成上标的规定, 也就是

$$\begin{align} \omega_{\sigma\rho} \equiv& \eta_{\mu\sigma} \omega^{\mu} _{\,\,\rho} \\ \omega^{\mu} _{\,\,\rho} \equiv& \eta^{\mu\sigma} \omega_{\sigma\rho} \end{align}$$

所以由 $\eta_{\mu\nu} \Lambda^{\mu}_{\,\,\rho}\Lambda^{\nu}_{\,\,\sigma} = \eta_{\rho\sigma}$ 可以得到 $\omega_{\mu\nu}$ 是反对称的, 也就是

$$\begin{align} \omega_{\mu\nu} = - \omega_{\nu\mu} \end{align}$$

那么, 相互独立的 $\omega_{\rho\sigma}$ 有 $6$ 个, 再加上四个 $\epsilon^{\mu}$ , 一共有 $10$ 个参数. 对应到量子力学中, 无穷小的变换对应的幺正算符就可以写成 $\omega_{\rho\sigma}$ 和 $\epsilon_{\rho}$ 的线性组合再加上 $1$

$$\begin{align} U(1 + \omega, \epsilon) = 1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}\omega_{\rho\sigma} J^{\rho\sigma} - \mathrm{i}\epsilon_{\rho} P^{\rho} + \cdots \end{align}$$

要使 $U(1 + \omega, \epsilon)$ 是幺正的, 那么 $J^{\rho\sigma}$ 和 $P^{\rho}$ 就必须是厄米的, 也就是

$$\begin{align} J^{\rho\sigma\dagger} = J^{\rho\sigma}, \quad\quad P^{\rho\dagger} = P^{\rho} \end{align}$$

$\omega_{\rho\sigma}$ 是反对称的, $J^{\rho\sigma}$ 也可以取成反对称

$$\begin{align} J^{\rho\sigma} = - J^{\rho\sigma} \end{align}$$

其实, $P^1, P^2, P^3$ 就是动量算符, $P^{0}$ 就是能量, 也就是 Hamiltonian, $J^{23}, J^{31}, J^{12}$ 就是角动量算符.

生成元如何变换

李群的性质反应在对易关系上. 因此计算

$$\begin{align} U(\Lambda, a) U(1 + \omega, \epsilon) U^{-1}(\Lambda, a) \end{align}$$

如果将 $U(1 + \omega, \epsilon)$ 直接展开, 可以得到

$$\begin{align} &U(\Lambda, a) U(1 + \omega, \epsilon) U^{-1}(\Lambda, a) \\ =& 1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}\omega_{\rho\sigma} U(\Lambda, a) J^{\rho\sigma} U^{-1}(\Lambda, a) - \mathrm{i}\epsilon_{\rho}U(\Lambda, a) P^{\rho} U^{-1}(\Lambda, a) \end{align}$$

如果先把三个作用合并, 再展开, 可以得到

$$\begin{align} &U(\Lambda, a) U(1 + \omega, \epsilon) U^{-1}(\Lambda, a) \\ =& 1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}\Lambda_{\rho}^{\,\,\mu} \omega_{\mu\nu}\Lambda_{\sigma}^{\,\,\nu}J^{\rho\sigma} - \mathrm{i} \Lambda_{\rho}^{\,\,\mu} \epsilon_{\mu} P^{\rho} + \mathrm{i} \Lambda_{\rho}^{\,\,\mu} \omega_{\mu\nu}\Lambda_{\sigma}^{\,\,\nu} a^{\sigma} P^{\rho} \end{align}$$

Exercise: 下面验证上式 \begin{align} & U(\Lambda, a) U(1 + \omega, \epsilon) U^{-1}(\Lambda, a) \\ =& U(1 + \Lambda\omega\Lambda^{-1}, \Lambda\epsilon - \Lambda\omega\Lambda^{-1}a)\\ = & 1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}(\Lambda\omega\Lambda^{-1})_{\rho\sigma} J^{\rho\sigma} - \mathrm{i}(\Lambda\epsilon - \Lambda\omega\Lambda^{-1}a)_{\rho} P^{\rho} \\ =& 1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}\Lambda_{\rho\mu} \omega^{\mu}_{\,\,\nu}\Lambda_{\sigma}^{\,\,\nu}J^{\rho\sigma} - \mathrm{i} \Lambda_{\rho\mu} \epsilon^{\mu} P^{\rho} + \mathrm{i} \Lambda_{\rho\mu} \omega^{\mu}_{\,\,\nu}\Lambda_{\sigma}^{\,\,\nu} a^{\sigma} P^{\rho} \\ =& 1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}\Lambda_{\rho}^{\,\,\mu} \omega_{\mu\nu}\Lambda_{\sigma}^{\,\,\nu}J^{\rho\sigma} - \mathrm{i} \Lambda_{\rho}^{\,\,\mu} \epsilon_{\mu} P^{\rho} + \mathrm{i} \Lambda_{\rho}^{\,\,\mu} \omega_{\mu\nu}\Lambda_{\sigma}^{\,\,\nu} a^{\sigma} P^{\rho} \end{align}

对比上面两种展开的系数. 首先对应 $\omega_{\rho\sigma}$ 的系数得

$$\begin{align} U(\Lambda, a) J^{\rho\sigma}U^{-1}(\Lambda, a) = \Lambda_{\mu}^{\,\,\rho} \Lambda_{\nu}^{\,\,\sigma} (J^{\mu\nu} + a^{\nu} P^{\mu} - a^{\mu}P^{\nu}) \end{align}$$

对应 $\epsilon_{\rho}$ 的系数得

$$\begin{align} U(\Lambda, a) P^{\rho}U^{-1}(\Lambda, a) = \Lambda_{\mu}^{\,\,\rho}P^{\mu} \end{align}$$

对易关系

将上面两个式子中的 $U(\Lambda, a) = U(1 + \omega, \epsilon)$ 也在单位元处展开

$$\begin{align} U(\Lambda, a) =& 1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}\omega_{\rho\sigma} J^{\rho\sigma} - \mathrm{i}\epsilon_{\rho} P^{\rho}\\ U^{-1}(\Lambda, a) =& 1 - \frac{1}{2}\mathrm{i}\omega_{\rho\sigma} J^{\rho\sigma} + \mathrm{i}\epsilon_{\rho} P^{\rho} \end{align}$$

保留到一阶项

$$\begin{align} U(\Lambda, a) J^{\rho\sigma}U^{-1}(\Lambda, a) =& J^{\rho\sigma} +\frac{1}{2}\mathrm{i}\omega_{\mu\nu} [J^{\mu\nu}, J^{\rho\sigma}] - \mathrm{i}\epsilon_{\mu} [P^{\mu}, J^{\rho\sigma}] \\ =& \\ \Lambda_{\mu}^{\,\,\rho} \Lambda_{\nu}^{\,\,\sigma} (J^{\mu\nu} + a^{\nu} P^{\mu} - a^{\mu}P^{\nu}) = & J^{\rho\sigma} + \omega_{\mu\nu}\eta^{\nu\rho}J^{\mu\sigma} + \omega_{\mu\nu}\eta^{\nu\sigma} J^{\rho\mu} - \epsilon_{\mu}\eta^{\mu\rho}P^{\sigma} + \epsilon_{\mu} \eta^{\mu\sigma} P^{\rho} \end{align}$$

对应 $\omega_{\mu\nu}$ 的系数可得

$$\begin{align} \mathrm{i}[J^{\mu\nu}, J^{\rho\sigma}] = \eta^{\nu\rho} J^{\mu\sigma} - \eta^{\mu\rho} J^{\nu\sigma} - \eta^{\sigma\mu} J^{\rho\nu} + \eta^{\sigma\nu} J^{\rho\mu} \end{align}$$

对应 $\epsilon_{\mu}$ 的系数得

$$\begin{align} \mathrm{i}[P^{\mu}, J^{\rho\sigma}] = \eta^{\mu\rho} P^{\sigma} - \eta^{\mu\sigma} P^{\rho} \end{align}$$

同理对 $U(\Lambda, a) P^{\rho}U^{-1}(\Lambda, a) = \Lambda_{\mu}^{\,\,\rho}P^{\mu}$ 展开可以得到

$$\begin{align} [P^{\mu}, P^{\rho}] = 0 \end{align}$$

所以至此就得到了庞加莱代数的所有对易关系

$$\begin{align} \mathrm{i}[J^{\mu\nu}, J^{\rho\sigma}] =& \eta^{\nu\rho} J^{\mu\sigma} - \eta^{\mu\rho} J^{\nu\sigma} - \eta^{\sigma\mu} J^{\rho\nu} + \eta^{\sigma\nu} J^{\rho\mu} \\ \mathrm{i}[P^{\mu}, J^{\rho\sigma}] =& \eta^{\mu\rho} P^{\sigma} - \eta^{\mu\sigma} P^{\rho} \\ [P^{\mu}, P^{\rho}] =& 0 \end{align}$$

Exercise: 验证动量和角动量 $\vec{P} = \{P^1, P^2, P^{3} \}, \vec{J} = \{J^{23}, J^{31}, J^{12}\}$ 是守恒量, 也就是它们和 $H = P^0$ 对易. 而 boost three-vector $K = \{J^{01}, J^{02}, J^{03}\}$ 不是守恒量.

Exercise: 从庞加莱代数的对易关系得到量子力学中常见的动量与角动量之间的对易关系.

Reference

Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields Foundations Vol. 1(1995, Cambridge University Press)
A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists (2016, Princeton University Press)
Tom Lancaster, Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (2014, Oxford University Press)

格林函数方法求解微分方程

2020-07-03T00:00:00+08:00

方法介绍

$y(x)$ 在区间 $x\in [a, b]$ 内满足微分方程

$$\begin{align} \mathcal{L} y \equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( p(x) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) + q(x) y = f(x) \end{align}$$

边界条件为

$$\begin{align} \left\{ \begin{array}{c} y(a) = 0 \\ y(b) = 0 \end{array} \right. \end{align}$$

如果边界值不为零, 如 $y(a) = c_1, y(b) = c_2$, 可以很容易地构造一个边界值为零的函数 $u = y - \frac{c_1(b - x) + c_2 (x - a)}{b - a}$ .

它的解可以由对格林函数的积分求得

$$\begin{align} y(x) = \int_a^b G(x, t) f(t) \mathrm{d}t \end{align}$$

格林函数满足

$$\begin{align} \mathcal{L} G(x, t) = \delta(x - t) \end{align}$$

格林函数可以按照如下方式构造

$$\begin{align} G(x, t) = \left\{ \begin{array}{cc} A y_1(x) y_2(t),& x < t\\ A y_2(x) y_1(t),& x > t \end{array} \right. \end{align}$$

其中 $y_1, y_2$ 满足 homogeneous 方程 $\mathcal{L}y = 0$ . 并且分别满足边界条件 $y_1(a) = 0, y_2(b) = 0$ . $A$ 的值为

$$\begin{align} A = \frac{1}{p(t) \left[ y_2'(t) y_1(t) - y_1'(t) y_2(t) \right]} \end{align}$$

例

可用格林函数方法求解微分方程

$$\begin{align} - y'' = f(x) ,\quad \quad \quad y(0) = y(1) = 0 \end{align}$$

在这里, $p(x) = -1$ , 两个满足边界条件的齐次解取为 $y_1 = x, y_2 = x - 1$ , 所以可以求得 $A = \frac{1}{-1\left[1 \cdot t - 1 \cdot (t - 1) \right]} = -1$ 所以格林函数为

$$\begin{align} G(x, t) = \left\{ \begin{array}{cc} - x (t - 1),& x < t\\ - t (x - 1) ,& x > t \end{array} \right. \end{align}$$

那么方程的解为

$$\begin{align} y(x) = \int_0^1 G(x, t) f(t) \mathrm{d}t = (1 - x)\int_0^x t f(t) \mathrm{d}t + x\int_x^1 (1-t) f(t) \mathrm{d}t \end{align}$$

如果取 $f(x) = \sin (\pi x)$ , 那么可以算得

$$\begin{align} y(x) = \frac{1}{\pi ^2} \sin (\pi x) \end{align}$$

如果取 $f(x) = \cos (\pi x)$ , 那么可以算得

$$\begin{align} y(x) = \frac{1}{\pi ^2} \left[2x + \cos (\pi x) - 1 \right] \end{align}$$

Summary

格林函数方法将求解微分方程, 转换成计算定积分. 即使没有解析解, 也可以形式上写成一个积分.

更加复杂的情况以后用到再整理.

Reference

Arfken, Weber, Harris, Mathematical Methods for Physicists 7ed:

读书笔记: Time Reversal and Kramer's Degeneracy

2020-05-21T00:00:00+08:00

引言: 时间反演概述与 Kramer's Degeneracy

对于牛顿力学

$$\begin{align} m \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec{x}(t) = - \nabla V(\vec{x}) \end{align}$$

$x(-t)$ 也是它的一个解.

但是对于 Schrodinger 方程( $H$ 不含时)

$$\begin{align} \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial t} \psi(t) = H \psi(t) \end{align}$$

由于上式中有对时间的一阶导数, $\psi(- t)$ 不是它的解. 但是 $\psi^{*}(- t)$ 是它的解. 因为将上式取复共轭

$$\begin{align} -\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t} \psi^{*}(t) =& H \psi^{*}(t) \\ \Downarrow& \\ \mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t'} \psi^{*}(-t') =& H \psi^{*}(-t') \end{align}$$

因此 $\psi^{*}(-t)$ 还是 Schrodinger 方程的解.

对于一个在平面波态 $\psi(t) = e^{\mathrm{i} (\vec{p}\cdot \vec{x} - Et)}$ spinless 的粒子, $\psi^{*}(-t) = e^{-\mathrm{i} (-\vec{p}\cdot \vec{x} - Et)}$ 是反向传播的平面波, 还是 Schrodinger 方程的解.

定义时间反演算符 $T \psi(t) = \psi^{*}(-t)$ , 这是一种对称操作. 如果波函数破缺了这种对称性, 它也会引起简并. 具体地说:

如果 $[H, T] = 0$ , 也就是说 Hamiltonian 具有时间反演对称性, 那么

$$\begin{align} HT\psi = TH\psi = TE\Psi = E T\psi \end{align}$$

从上式可以看出, 如果 $\psi$ 不具有时间反演对称性, 那么就会有简并.

Example: 对于一个静电场中的电子, 它的 Hamiltonian 中有关相互作用的部分为 \begin{align} H = e\phi(\vec{x}) \end{align} $\phi(\vec{x})$ 是位置 $\vec{x}$ 的实函数, 由于 $\vec{x}$ 在时间反演下是不变的, 所以这个系统的 Hamiltonian $[H, T] = 0$ . 同时, 时间反演对 spin $1/2$ 作用的结果为 $T^2 |\rangle = - |\rangle$ 所以 $T$ 作用在自旋上会使原来的态变成另一个态. 如果 $T$ 作用的结果仅仅是一个相伴的化, 就会有 $T^2 = 1$ . 因此, 在这个系统中, Hamiltonian 具有时间反演对称性, 而系统的态不具有时间反演对称性, 所以会产生简并, 这就是 Kramer's Degeneracy

时间反演的含义

时间反演的含义, 就是使运动往时间减小的方向演化.

时间反演算符是 antiunitary 的

假设一个一维自由波包, 动量为 $p$ , 方向水平向右为正. 在 $t=0$ 时刻, 波包中心在 $x=0$ 处, 将此时的态记为

$$\begin{align} |\alpha\rangle = |p, 0\rangle \end{align}$$

考虑这样一个过程.

我们对它进行一个时间反演的操作, 根据时间反演的含义, 它应该变成向左的动量, 也就是 $|-p, 0\rangle$ 也就是 \begin{align} T |p, 0\rangle = |-p, 0\rangle \end{align} 然后让 $T|-p, 0\rangle$ 经过一段小时间后, 它会按动量 $-p$ 向左传播, 记经过 $\delta t$ 时间后, 波包中心到了 $-\delta x$ , 记为态 $|\beta\rangle = |-p, -\delta x\rangle$ , 也就是 \begin{align} \left[1 - \frac{\mathrm{i}}{\hbar} H\, \delta t\right] T |p, 0\rangle = |-p, -\delta x\rangle = |\beta \rangle \end{align}

再考虑另一个过程

先让这个粒子演化 $- \delta t$ 的时间, 相当于往左后退, 它应该变成态 $| p , -\delta x\rangle$ , 也就是 \begin{align} \left[1 - \frac{\mathrm{i}}{\hbar} H\, (-\delta t)\right] |p, 0\rangle = |p, -\delta x\rangle \end{align} 再做一个时间反演操作, 使它的动量反向, 也就是 \begin{align} T\left[1 - \frac{\mathrm{i}}{\hbar} H\, (-\delta t)\right] |p, 0\rangle = |-p, -\delta x\rangle = |\beta\rangle \end{align}

对比两个过程, 它们的初末态是一样的, 所以两个演化过程是等价的, 也就是说

$$\begin{align} T\left[1 - \frac{\mathrm{i}}{\hbar} H\, (-\delta t)\right] = \left[1 - \frac{\mathrm{i}}{\hbar} H\, \delta t\right]T \end{align}$$

即

$$\begin{align} T \,\mathrm{i}H = - \mathrm{i}H\, T \end{align}$$

如果 $T$ 是幺正的, 一定有

$$\begin{align} H T = - T H \end{align}$$

这是非物理的, 因为对于能量本征态 $H|n\rangle = E_n|n\rangle$ 一定有

$$\begin{align} H T |n\rangle= - T H|n\rangle= (-E_n) T |n\rangle \end{align}$$

得出的结论是态 $T |n\rangle$ 具有负能量, 但这对于一个自由波包来说是非物理的.

因此, $T$ 只能是反幺正的, 就也是 $T\mathrm{i} = -\mathrm{i}T $ 那么就有 $TH = HT$ , 这才是物理的.

关于 antiunitary 的定义, 高量书上给出了两个条件. 反幺正算符作用在态 $|\alpha\rangle, |\beta\rangle$ 上 \begin{align} |\alpha\rangle \to |\tilde{\alpha}\rangle = \theta |\alpha\rangle, \quad |\beta\rangle \to |\tilde{\beta}\rangle = \theta |\beta\rangle \end{align} 有两个性质 \begin{align} \langle \tilde{\beta} | \tilde{\alpha} \rangle &= \langle \beta|\alpha \rangle^{*} \\ \theta \left(c_1|\alpha\rangle + c_2|\beta\rangle \right) &= c^{*}_1\theta|\alpha\rangle + c^{*}_2\theta|\beta\rangle \end{align} 第二条单列出来叫做 antilinear.

有一个重要的 identity:

Exercise: 证明对于线性算符 $A$ 有 \begin{align} \langle \beta | \hat{A} | \alpha \rangle = \langle \tilde{\alpha} | T \hat{A}^{\dagger} T^{-1} | \tilde{\beta} \rangle \end{align}

可观测量在时间反演下的奇偶

定义在 time reversal 作用下 observables 的 odd 与 even. 如果 observeral 满足

$$\begin{align} \langle \alpha | \hat{A} |\alpha\rangle = \pm \langle \tilde{\alpha} | \hat{A} | \tilde{\alpha}\rangle \end{align}$$

那么 $+$ 为 even, $-$ 为 odd. 根据那个重要的 identity, 并且 observable $\hat{A}$ 是厄米的, 上述定义等价于 $T \hat{A} T^{-1} = \pm \hat{A}$

$$\begin{align} \langle \alpha | \hat{A} |\alpha\rangle =& \langle \tilde{\alpha} |T \hat{A}T^{-1} | \tilde{\alpha}\rangle\\ \Downarrow& \\ \langle \alpha | \hat{A} |\alpha\rangle = \pm \langle \tilde{\alpha} | \hat{A} | \tilde{\alpha}\rangle\quad \Leftrightarrow& \quad T \hat{A} T^{-1} = \pm \hat{A} \end{align}$$

对易关系与时间反演的奇偶

角动量的对易关系为

$$\begin{align} [J_i, J_j] = \mathrm{i}\hbar\epsilon_{ijk}J_k \end{align}$$

那么

$$\begin{align} T[J_i, J_j]T^{-1} =&T \,\mathrm{i}\hbar\epsilon_{ijk}J_kT^{-1} \\ \Downarrow& \\ [(TJ_iT^{-1}), (TJ_jT^{-1})] =&-\mathrm{i}\hbar\epsilon_{ijk} (T J_kT^{-1}) \\ \Downarrow& \\ T \vec{J} T^{-1} = - \vec{J} \end{align}$$

角动量在时间反演下反号, 这是符合物理的.

Exercise: 由 $\vec{x}$ 是时间反演不变的, 以及位置与动量的对易关系, 得出动量在时间反演下是反号的.

角动量时间反演作用下的结果

整数角动量

态 $|\alpha\rangle$ 在坐标表象下的波函数 $\psi_{\alpha}(x) = \langle x|\alpha\rangle$

$$\begin{align} T \psi_{\alpha}(x) \equiv \langle x |T|\alpha\rangle = \langle \tilde{x}|T|\alpha\rangle =\langle \tilde{x} |\tilde{\alpha}\rangle = \langle x |\alpha\rangle^{*} = \psi_{\alpha}(x)^{*} \end{align}$$

因此, 对于 $l\in \mathbb{N}$ 角动量, 本征函数

$$\begin{align} T Y^m_l(\theta, \phi) = Y^{m*}_l(\theta, \phi) = (-1)^mY^{-m}_l(\theta, \phi) \end{align}$$

也就是说

$$\begin{align} T | l , m \rangle = (-1)^m |l, -m\rangle \end{align}$$

它会出现一个相位. 如果作用两次, 会有

$$\begin{align} T | l , m \rangle = |l, m\rangle \end{align}$$

就会回到原来的态.

半整数角动量

对于 $l$ 是半整数的情况, 以 spin $1/2$ 为例, 它也会出现一个相位. 我们并不知道相位是多少, 只知道它会使 $m$ 量子数反号, 因此假设它产生的相位是 $\eta$ . 也就是说

$$\begin{align} T |\uparrow\rangle = \eta |\downarrow \rangle \end{align}$$

同时根据自旋的定义, 翻转自旋相当于绕 $y$ 轴转 $pi$ 的角度, 也就是

$$\begin{align} e^{-\mathrm{i}\pi S_y/\hbar}|\downarrow\rangle = |\uparrow\rangle \end{align}$$

将 $T$ 写成 $T=UK$ 的形式( Supplementary 中证明 ), 其中 $U$ 是一个幺正算符, $U$ 是取共轭. 再结合以上两式可得

$$\begin{align} \eta |\downarrow \rangle = UK |\uparrow\rangle =& UK e^{-\mathrm{i}\pi S_y/\hbar} |\downarrow\rangle = e^{\mathrm{i}\pi S_y/\hbar} U|\downarrow\rangle\\ \Downarrow & \\ U =& \eta e^{-\mathrm{i}\pi S_y/\hbar}\\ \Downarrow & \\ T =& \eta e^{-\mathrm{i}\pi S_y/\hbar} K = -\mathrm{i}\eta \left( \frac{2S_y}{\hbar} \right)K \end{align}$$

因此我们找到了 $T$ 的具体形式. 但是相位 $\eta$ 是未知的. 如果作用两次

$$\begin{align} T^2 |\uparrow\rangle = T\eta |\downarrow\rangle = \eta^{*}T|\downarrow\rangle = \eta^{*} (-\mathrm{i})\cdot \eta \left( \frac{2S_y}{\hbar} \right)K |\downarrow\rangle = \eta^{*}\cdot(-\mathrm{i})\eta \left( \frac{2S_y}{\hbar} \right) |\downarrow\rangle = -|\uparrow\rangle \end{align}$$

Supplementary

$T$ 可以写成 $T=UK$ ,那么 $UK$ 应该满足它的两人条件

$$\begin{align} \langle \tilde{\beta} | \tilde{\alpha} \rangle &= \langle \beta|\alpha \rangle^{*} \\ \theta \left(c_1|\alpha\rangle + c_2|\beta\rangle \right) &= c^{*}_1\theta|\alpha\rangle + c^{*}_2\theta|\beta\rangle \end{align}$$

第二条比较明显是满足的. 下面说明第一条.

将 $|\alpha\rangle$ 在一组基底下展开

$$\begin{align} |\alpha\rangle = \sum_a|a\rangle\langle a|\alpha\rangle \end{align}$$

那么

$$\begin{align} |\tilde{\alpha}\rangle = \sum_aUK|a\rangle\langle a|\alpha\rangle = \sum_aU|a\rangle\langle a|\alpha\rangle^{*} \end{align}$$

同理

$$\begin{align} |\tilde{\beta}\rangle =& \sum_b U|b\rangle\langle b|\beta\rangle^{*} \\ \Downarrow&\mathrm{D.C.}\\ \langle \tilde{\beta} | =& \sum_b \langle b|\beta \rangle \langle b| U^{\dagger} \end{align}$$

所以

$$\begin{align} \langle \tilde{\beta} |\tilde{\alpha}\rangle = \sum_a\sum_b \langle b|\beta \rangle \langle b| U^{\dagger}U|a\rangle\langle a|\alpha\rangle^{*} = \langle \tilde{\beta} |\tilde{\alpha}\rangle^{*} \end{align}$$

Reference

Jun John Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 2017, Cambridge University Press, Chap 4.4
A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, 2016, Princeton University Press
https://en.wikipedia.org/wiki/Kramers_theorem

读书笔记: SU(2) 群

2020-05-20T00:00:00+08:00

$SU(2)$ locally isomorphic to $SO(3)$

在牛津高阶中, iso- 与 morph 的解释为

iso-: equal morph: to change smoothly from one image to another using computer action to change, or make sb/sth change into sth different

那么 isomorphic 的意思就是 equal change, 相同的变换, 也就是同构. 选 traceless hermitean 的 Pauli 矩阵 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 做为 $SU(2)$ 群的基底, 对于一个 $SO(3)$ 的自然表示基底中的一个 vector $\vec{V} = (x, y, z)$ , 它们是对应的上表在说明 $SU(2)$ 和 $SO(3)$ isomorphic. 而 locally 是说并不是真的 isomorphic ,

	SO(2)	SU(2)
basis	$(\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z)$	$(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$
	三维空间中的 vector: $\vec{V}=(x, y, z)$	任意 traceless hermitean $2\times 2$ matrix: $X = \left(\begin{array}{cc} z&x-\mathrm{i}y \\ x+ \mathrm{i}y & -z \end{array}\right)$
transformation	$\vec{V}' = R \vec{V}$	$X' = U^{\dagger} XU$
element	$R$	$U$
invariant	$V = x^2 + y^2 + z^2$	$\det X = -(x^2 + y^2 + z^2)$

因为 $SU(2)$ 中元素 $U$ 和 $-U$ 对应 $SO(3)$ 中的同一个 $R$ . 因此 $SU(2)$ covers $SO(3)$ twice.

Lie algebra of $SU(2)$

群元 $U=e^{\mathrm{i}H}$ . $U^{\dagger}U = 1$ 要求 $H$ 是 hermitean 的. $\det U = 1$ 要求 $H$ 是 traceless 的. 对于 $SU(2)$ , 一个 $2\times 2$ 的 traceless hermitean 的矩阵有 $N^2 - 1 = 3$ (去掉 $1$ 个 trace)个独立的变量. 对于 $SU(2)$ 来说, 就是由 $3$ 个 Pauli matrix 来线性组合成任意 $2\times 2$ traceless hermitean 的 $H$

Exercise: 对于 $SO(N)$ 来说, 需要的 $\frac{1}{2}N(N-1)$ . 如何得出这个结论.

Example: $SU(2)$ 的参数个数是 $2^2 - 1 = 3$ 个. $SO(3)$ 的参数个数是 $\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot(3 - 1) = 3$ 个. 它们的参数个数是相同的.

Pauli 矩阵的所有性质都包含在下式中

$$\begin{align} \sigma_a\sigma_b = \delta_{ab} + \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c, \quad \mathrm{where}\quad a, b, c= 1, 2, 3 \end{align}$$

Example: 当 $b = a$ 时, 可得 $(\sigma_{a})^2 = I$

Example: 当 $b\neq a$ 时, 可得 $\sigma_a\sigma_b = \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c$ , 也就是 $\sigma_1\sigma_2 = \mathrm{i}\sigma_3$ 以及类似结果

Example: 通过交换 $a, b$ 可得以下两式 \begin{align} \sigma_a\sigma_b = \delta_{ab} + \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c \sigma_b\sigma_a = \delta_{ab} - \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c \end{align} 两式相差可得 Pauli 矩阵的对易关系 \begin{align} [\sigma_a, \sigma_b] = 2 \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c \end{align} 两式相加可得 Pauli 矩阵的反对易关系 \begin{align} \{ \sigma_a, \sigma_b \} = 2 \delta_{ab} \end{align}

$SU(N)$ 群的李代数可以由 $[T^a, T^b] = \mathrm{i}f^{abc}T^c$ 给出, 那么根据上面的关系, 就可以得到 $SU(2)$ 群的李代数

$$\begin{align} \left[ \frac{\sigma_a}{2}, \frac{\sigma_b}{2} \right] = \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\frac{\sigma_c}{2} \end{align}$$

也就是说 $SU(2)$ 的 generators $T^a$ 由 $\frac{\sigma_a}{2}$ , $SU(2)$ 的 structure constant 就是反对称张量 $f^{abc} = \varepsilon^{abc}$ . 可以看出, 它和 $SO(3)$ 李代数是相同的.

The group elements of $SU(2)$

$SU(2)$ 的任何元素都可以写为

$$\begin{align} U = e^{\mathrm{i} \phi_a \frac{\sigma_a}{2}} = \cos \frac{\phi}{2}\,I + \mathrm{i}\hat{\phi}\cdot\vec{\sigma}\sin \frac{\phi}{2} \end{align}$$

现在看 $U^{\dagger} X U$ 是如何作用的. 不失一般性地, 取 $\phi$ 的方向沿 $\sigma_3$ , 也就是说绕 $z$ 轴旋转.

$$\begin{align} U^{\dagger} X U =& \left[ \cos \frac{\phi}{2}\,I - \mathrm{i}\sigma_3\sin \frac{\phi}{2} \right] (x\sigma_1 + y\sigma_2 + z\sigma_3) \left[ \cos \frac{\phi}{2}\,I + \mathrm{i}\sigma_3\sin \frac{\phi}{2} \right] \\ =&\left( \begin{array}{ccc} \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi & -\sin\phi&0 \\ \sin\phi&\cos\phi&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) \end{align}$$

Exercise: 计算 $U^{\dagger} X U$ . \begin{align} U^{\dagger} \sigma_1 U = \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_1 + \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_3\sigma_1\sigma_3 + \mathrm{i}\sin \frac{\phi}{2}\cos \frac{\phi}{2}[\sigma_1, \sigma_3] \end{align} 而 $\sigma_3\sigma_1\sigma_3 = \sigma_3\{\sigma_1\sigma_3\} - \sigma_3\sigma_3\sigma_1 =2 \sigma_3 \delta_{13} - \sigma_1 = -\sigma_1$ , $[\sigma_1, \sigma_3] = 2\mathrm{i}\epsilon_{132}\sigma_2 = -2\mathrm{i}\sigma_2$ 所以 \begin{align} U^{\dagger} \sigma_1 U =& \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_1 - \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_1 +2\sin \frac{\phi}{2} \cos \frac{\phi}{2} \sigma_2 \\ &= \cos \phi \,\sigma_1 + \sin \phi\, \sigma_2 \end{align} 同样的 \begin{align} U^{\dagger} \sigma_2 U =& \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_2 - \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_2 -2\sin \frac{\phi}{2}\cos \frac{\phi}{2} \sigma_1 \\ = & \cos \phi \, \sigma_2 - \sin \phi \, \sigma_1 \end{align} 对于 $U^{\dagger} \sigma_3 U$ , $\sigma_3\sigma_3\sigma_3 = \sigma_3$ , $[\sigma_3, \sigma_3] = 0$ 所以 \begin{align} U^{\dagger} \sigma_3 U = \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_3 + \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_3 = \sigma_3 \end{align} 将以上三个结果合在一起为 \begin{align} U^{\dagger} X U =&U^{\dagger} \left( \begin{array}{ccc} \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) U \\ =&\left( \begin{array}{ccc} \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi & -\sin\phi&0 \\ \sin\phi&\cos\phi&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) \end{align}

注意, 以上并没有用到 Pauli 算符的具体形式. 这样我们就找出了 $U = e^{\mathrm{i}\phi_a \frac{\sigma_a}{2}}$ 所对应的 $SO(3)$ 群中的群元, 它就对应 $SO(3)$ 中对应的角度 $\vec{\phi}$ 的转动.

如果把 Pauli 矩阵代入, 会有下面的矩阵

$$\begin{align} \left( \begin{array}{cc} z & x - \mathrm{i}y \\ x + \mathrm{i}y & -z \end{array} \right) \end{align}$$

和下式对比

$$\begin{align} U = e^{\mathrm{i} \phi_a \frac{\sigma_a}{2}} = \cos \frac{\phi}{2}\,I + \mathrm{i}\hat{\phi}\cdot\vec{\sigma}\sin \frac{\phi}{2} \end{align}$$

注意区分上面两个式子, 第一个式子是 tarceless hermitean 的. 而第二个式子是满足 $U^{\dagger}U = 1, \det U = 1$ , 但并不是 tarceless hermitean 的. 所以只有第二个式子是 $SU(2)$ 的一个表示

如果我们再次不失一般性地取 $\vec{\phi}$ 沿 $\sigma_3$ 方向, 那么

$$\begin{align} U(\phi) = \left( \begin{array}{cc} e^{\mathrm{i}\frac{\phi}{2}} &0 \\ 0 & e^{-\mathrm{i}\frac{\phi}{2}} \end{array} \right) \end{align}$$

上式是 $SU(2)$ , 可以看出, 对于 $\phi\in[0, 2\pi)$ 和 $\phi\in[2\pi, 4\pi)$ ,它对应不同的群元, 但是它对应的 $SO(3)$ 转动却是相同的, 从这个意义上来说, 它不构成 $SO(3)$ 的一个通常意义上的表示, 它有时被叫做又会表示( a double-valued representation of $SO(3)$ ) .

Reference

A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, 2016, Princeton University Press

读书笔记: IV.4 Tensors and Representations of Special Unitary Groups

2020-05-19T00:00:00+08:00

$SO(N)$ 与 $SU(N)$ 的对比

在这里, 要对 $SU(N)$ 群做与 $SO(N)$ 群相同的事. 它们的区别如下

	$SO(N)$	$SU(N)$
	实	复
	只有上标	有上标, 有下标
Special	$O^T O=1$	$U^{\dagger} U = 1$
	$O(N)\to SO(N)$	$U(N) \to SU(N)$
	$\det O=\pm 1\to \det O = 1$	$\det U = e^{\mathrm{i}\alpha} \to \det U = 1$

$SU(3)$ 群的表示

全对称张量 $\phi^{ijk}$ 生成 $SU(3)$ 的一个 $10$ 维不可约表示.

$$\begin{align} \phi^{333}, \phi^{331}, \phi^{332}, \phi^{322}, \phi^{321}, \phi^{311}, \phi^{222}, \phi^{221}, \phi^{111}, \phi^{112} \end{align}$$

$SU(N)$ 群的下标

从 $SO(N)$ 群的 $O^T O=1$ 到 $SU(N)$ 群的 $U^{\dagger} U = 1$ 就引出了下标

$$\begin{align} \psi_i \equiv \psi^{i*} \end{align}$$

因此

$$\begin{align} \zeta^{\dagger}\psi = \zeta^{j*}\psi^j = \zeta_j\psi^j \end{align}$$

把 $U^{ij}$ 也写成 $U^i_{\,j}$ 的形式, 来保证上标只和下标求和, 下标只和上标求和, 所以 tensor 之间的变换就写为

$$\begin{align} \psi^i \to& \psi'^i = U^i_{\,j} \psi^j \\ \psi_i \to& \psi'_i = \psi_j (U^{\dagger})^j_{\,i} \end{align}$$

总的来说就是: 上标由 $U$ 变换, 下标由 $U^{\dagger}$ 变换.

Example: \begin{align} \phi^{ij}_k \to \phi'^{ij}_k = U^i_{\,l} U^j_{\,m} \phi^{lm}_n (U^{\dagger})^n_{\,k} \end{align}

在此记法下, 它们的 trace 为一个上标和一个下标的求和

$$\begin{align} \delta^k_{\,j} \phi^{ij}_k \equiv \phi^{ij}_j \end{align}$$

Exercise: \begin{align} \phi^{ij}_j \to U^i_{\,l}U^j_{\,m} \phi^{lm}_n(U^{\dagger})^n_{\,j} =& U^i_{\,l}\delta ^n_{\,m} \phi^{lm}_n = U^i_{\,l} \phi^{ln}_n \end{align}

$SO(N)$ 群的不可约表示

因为上标和下标按不同的方式变换, 所以它们各自有独立的对称性.

书上说

Thus, in summary, the irreducible representations of $SU(N)$ are realized by traceless tensors with definite symmetry properties under permutation of indices. Convince yourself that for $SU(N)$ , the dimensions of the representations defined by the following tensors $\phi^i$ , $\phi^{ij}$ (antisymmetric), $\phi^{ij}$ (symmetric), $\phi^i_{\,j}$ , and $\phi^{ij}_k$ (antisymmetric in the upper indices) are, respectively, $N , N (N − 1)/2, N (N + 1)/2, N^2 − 1$ and $\frac{1}{2} N (N − 2)(N + 1)$.

Example: symmetric traceless representation $S^{ij}_k = S^{ji}_k$ 是 $\frac{1}{2}N(N+1)N-N =\frac{1}{2}N(N-1)(N+2)$ 维的. 先不考虑下标, 目标的对称表示共有 $\frac{1}{2}N(N+1)$ 种, 下标还有 $N$ 种可能, 再减去 $N$ 个迹. 这 $N$ 个迹 $S^{ij}_i$ 对应 $N$ 个不同的 $j$ .

Exercise: 说明 antisymmetric traceless representation $A^{ij}_k = - A^{ji}_k$ 是 $\frac{1}{2}N(N-1)N - N = \frac{1}{2}N(N+1)(N-2)$ 维的.

$SU(N)$ 群的不可约表示是由具有确定对称性的无迹张量生成的. (不知道第二句话的意思是否是说所有的 $SU(N)$ 群的不可约表示都只有这几个维度, 这里貌似是不加证明地给出了这个结论) .

Example: $SU(5)$ 有 $5, 10, 15, 24, 45$ 维的不可约表示.

上下标之间的移动

前面用到了 $SU(N)$ 的 unitary $U^{\dagger}U = 1$ . 它可以如下表示

$$\begin{align} \varepsilon_{i_1i_2\cdots i_N} U^{i_1}_{\,j_1}U^{i_2}_{\,j_2} \cdots U^{i_N}_{\,j_N} = \varepsilon_{j_1j_2\cdots j_N} \end{align}$$

两边同时乘 $(U^{\dagger})^{j_N}_{p_N}$ 并对 $j_N$ 求和有

$$\begin{align} \varepsilon_{i_1i_2\cdots i_N} U^{i_1}_{\,j_1}U^{i_2}_{\,j_2} \cdots U^{i_N}_{\,j_N}(U^{\dagger})^{j_N}_{p_N} =& \varepsilon_{j_1j_2\cdots j_N}(U^{\dagger})^{j_N}_{p_N} \\ \Downarrow& \\ \varepsilon_{i_1i_2\cdots p_N} U^{i_1}_{\,j_1}U^{i_2}_{\,j_2} \cdots U^{i_{N-1}}_{\,j_{N-1}} =& \varepsilon_{j_1j_2\cdots j_N}(U^{\dagger})^{j_N}_{p_N} \end{align}$$

重复上述过程可以把 $U$ 换成 $U^{\dagger}$ .

Example: 定义 \begin{align} \phi_{kpq} \equiv \epsilon_{ijpq} \phi^{ij}_k \end{align} 那么它的变换 \begin{align} \varepsilon_{ijpq} \phi^{ij}_k \to \varepsilon_{ijpq} U^i_{\,l}U^j_{\,m} \phi^{ij}_k (U^{\dagger})^n_{\,k} = (U^{\dagger})^s_{\,p}(U^{\dagger})^t_{\,q}(U^{\dagger})^n_{\,k} \phi_{nst} \end{align}

总结一下, 用两个反对称符号, 就可以将 $SU(N)$ 群张量的上下标上下移动.

Reference

A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, 2016, Princeton University Press
https://en.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group

从此不再恐惧变分和高阶泛函导数(update 23/Sept/2020)

2020-05-18T00:00:00+08:00

前言

经常碰到, 将对泛的一些认识整理在这里, 以便查找.

Definition

通俗地讲, function 的输入是一个数, 输出也是一个数. functional 输入的是一个 function, 输出是一个数

$$\begin{align} \mathrm{Function:}&\quad\quad \mathrm{number: 3} \Rightarrow \mathrm{number: 27} \\ \mathrm{Functional:}&\quad\quad \mathrm{function:} \frac{e^xx^2}{3} \Rightarrow \mathrm{number: 29} \end{align}$$

更加形象的是 Blundell 书上的漫画.

Example

functional $G[f]$ 做用到一个 funciton $f$ 上的结果如下

$$\begin{align} G[f] = \int_{-a}^a 5[f(x)]^2 \mathrm{d}x \end{align}$$

那么如果给定一个 function $f(x) = x^2$ , 那么 functional 将会返回下面的 number

$$\begin{align} G[f] = \int_{-a}^a 5x^4 \mathrm{d}x = 2a^5 \end{align}$$

Functional Derivative

类似 function 的导数的定义, functional 的导数的定义如下

$$\begin{align} \frac{\delta F}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon\to 0} \frac{F[f(x') + \epsilon \delta(x - x')] - F[f(x')]}{\epsilon} \end{align}$$

Example: 对于 functional $J[f] = \int [f(y)]^p\varphi(y) \mathrm{d}y$ ,它的泛函导数为 \begin{align} \frac{\delta J[f]}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon}\left[ \int [f(y) + \epsilon \delta(y-x)]^p\varphi(y) \mathrm{d}y - \int [f(y)]^p\varphi(y) \mathrm{d}y \right] \end{align} 是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限, 上下对 $\epsilon$ 求导得 \begin{align} \frac{\delta J[f]}{\delta f(x)} =& \lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{1}\left[ p\int [f(y) + \epsilon \delta(y-x)]^{p-1}\varphi(y)\delta(y - x) \mathrm{d}y \right] \\ =& \left[ p\int f(y) ^{p-1}\varphi(y)\delta(y - x) \mathrm{d}y \right] \\ =& p f(x) ^{p-1}\varphi(x) \end{align} 与幂指数型的 function 求导有类似的结果.

Example: 对于 functional $F[f(x)] = \int_a^b g(f') \mathrm{d}x$ , 它的泛函导数为 \begin{align} \frac{\delta F[f]}{\delta f(x)} =& \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\epsilon}\left[ \int_a^b g[f'(y) + \epsilon \delta'(y-x)] \mathrm{d}y - \int_a^b g[f'(y)] \mathrm{d}y \right] \\ =& \lim_{\epsilon\to 0} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}\left[ \int_a^b g[f'(y) + \epsilon \delta'(y-x)] \mathrm{d}y \right] \\ =& \int_a^b \frac{\mathrm{d}g }{\mathrm{d}f'} \delta'(y-x) \mathrm{d}y \\ \end{align} 上式中 $\delta'(y-x)$ 是没法处理的, 但是我们可以用分部积分法 \begin{align} \frac{\delta F[f]}{\delta f(x)} =& \int_a^b \frac{\mathrm{d}g }{\mathrm{d}f'} \delta'(y-x) \mathrm{d}y \\ = & \left.\frac{\mathrm{d}g }{\mathrm{d}f'} \delta(y-x)\right|_{y=a}^{y=b} - \int_a^b\mathrm{d}y \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \frac{\mathrm{d}g }{\mathrm{d}f'} \right) \delta(y-x) \end{align} 由于原来泛函中的积分区间是 $(a, b)$ , 所以 $y\in(a, b)$ 才有意义, 不然变分恒为零. 因此 $\delta(a-x) = \delta(b-x) = 0$ . 最终的泛函导数为 \begin{align} \frac{\delta F[f]}{\delta f(x)} =& - \int_a^b\mathrm{d}y \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \frac{\mathrm{d}g }{\mathrm{d}f'} \right) \delta(y-x) \\ =& - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \frac{\mathrm{d}g }{\mathrm{d}f'} \right) \end{align}

High Order Derivative

functional 最 general 的导数的定义来来自于它的 Taylor 展开.

对于一个给定的任意函数 $f(x)$ , 它的任意无穷小的 variation $\delta f(x)$ 可以记为

$$\begin{align} \delta f(x) = \epsilon \eta (x) \end{align}$$

其中 $\epsilon$ 是一个无穷小的数, $\eta(x)$ 是一个任意的函数.

进而, 定义一个 functional $F[f]$ 的 variation $\delta F$ 为

$$\begin{align} \delta F \equiv F[f + \delta f] - F[f] \end{align}$$

可以看出, $F[f + \delta f]$ 关于 $\epsilon$ 是一个函数, 也就是说给定一个 $\epsilon$ , 就会得到一个数. 因此, 可以对这个关于 $\epsilon$ 的函数在 $\epsilon = 0$ 处做 Taylor 展开

$$\begin{align} F[f + \epsilon \eta] = F[f] + \left.\frac{\mathrm{d} F[f + \epsilon \eta]}{\mathrm{d}\epsilon}\right|_{\epsilon=0}\epsilon + \frac{1}{2}\left.\frac{\mathrm{d}^2 F[f + \epsilon \eta]}{\mathrm{d}\epsilon^2}\right|_{\epsilon=0}\epsilon^2 + \cdots \end{align}$$

根据这个展开, 可以定义泛函的一阶导数为

$$\begin{align} \left.\frac{\mathrm{d} F[f + \epsilon \eta]}{\mathrm{d}\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \equiv \int \mathrm{d}x_1 \frac{\delta F[f]}{\delta f(x_1)} \eta (x_1) \end{align}$$

发现如果这里取 $\eta(x_1) = \delta x - x_{1}$ , 那么就与之前定义的泛函导数 $\frac{\delta F}{\delta f(x)}$ 是一致的.

为什么要将对 $\epsilon$ 的一阶项定义为泛函导数的积分, 而不是直接定义成泛函层数, 可以借助 Simons 书中将泛函理解成多变量函数在变量无穷多时的极限, 泛函导数对应成多变量函数对某个变量的偏微分. 也就是

	多变量函数	functional
	$F(f_1, f_2, \cdots , f_n)$	$F[f(x)]$
	$\frac{\partial F}{\partial f_i}$	$\frac{\delta F}{\delta f(x)}$
	$\mathrm{d}F = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial f_i}\mathrm{d}f$	$\left[\frac{\mathrm{d} F[f + \epsilon \eta]}{\mathrm{d}\epsilon}\right] _{\epsilon=0} = \int \frac{\delta F[f]}{\delta f(x_1)} \eta (x_1)\mathrm{d}x_1$

因此, 类比一阶导数, 可以根据 Taylor 展开的 $\epsilon$ 的二阶项定义泛函的二阶导数 $\frac{\delta^2 F[f]}{\delta f(x_1)\delta f(x_2)}$ 为

$$\begin{align} \left.\frac{\mathrm{d}^2 F[f + \epsilon \eta]}{\mathrm{d}\epsilon^2}\right|_{\epsilon=0} \equiv \int \mathrm{d}x_1 \int\mathrm{d}x_2 \frac{\delta^2 F[f]}{\delta f(x_1)\delta f(x_2)} \eta (x_1) \eta(x_2) \end{align}$$

同样可以定义更高阶的导数, 不再多说.

求泛函导数可以根据极限的定义求, 如前面几个求一阶导数的例子. 还有一种方法就是按照 $\epsilon$ Taylor 展开, 然后对应得到导数, 下面举几个用这种方法求高阶导数的例子.

Example of High Order Derivative

Thomas-Fermi kinetic energy

参考 Ref[4] 中的例子, The energy functional of the simplest DFT, the Thomas-Fermi kinetic energy

$$\begin{align} F_{\mathrm{TF}} [n] \equiv T^{\mathrm{TF}}_{\mathrm{s}}[n] = C_{\mathrm{TF}} \int \mathrm{d}^3r\cdot n^{5/3} (\vec{r}) \end{align}$$

因此

$$\begin{align} \delta F_{\mathrm{TF}} =& F_{\mathrm{TF}}[n + \epsilon \eta] - F_{\mathrm{TF}}[n] \\ =& C_{\mathrm{TF}} \int \mathrm{d}r^3\cdot [(n + \epsilon \eta)^{5/3} - n^{5/3}] \\ =& C_{\mathrm{TF}} \int \mathrm{d}r^3\cdot \left[\frac{5}{3}n^{2/3}\epsilon \eta + \frac{1}{2}\cdot \frac{10}{9}n^{-1/3}\epsilon^2\eta^2 + \cdots \right] \end{align}$$

对比定义就可以得到泛函的一阶导数

$$\begin{align} \frac{\delta F_{\mathrm{TF}}}{\delta n(\vec{r}) } = \frac{5}{3}C_{\mathrm{TF}} n(\vec{r})^{2/3} \end{align}$$

泛函的二阶导数

$$\begin{align} \frac{\delta^2 F_{\mathrm{TF}}}{\delta n(\vec{r}_1)\delta n(\vec{r}_2) } = \frac{10}{9}C_{\mathrm{TF}} n(\vec{r})^{-1/3}\delta^3\left(\vec{r_1} - \vec{r_2}\right) \end{align}$$

从上式可以看出泛函的二阶导数是对角的.

Stationary Phase Approximation of a Single Particle Path Integral

此例子在 Simons 书的的第 110 页.

单粒子在势 $V(r)$ 中, 它的传播子为

$$\begin{align} \langle q_f | e^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}t}|q_i\rangle = \int_{q(t)=q_f, q(0)= q_i} Dq\cdot e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S[q]} \end{align}$$

其中 $S[q] = \int_0^t \mathrm{d}t'L(q, \dot{q})$ , $L(q, \dot{q}) =\frac{m\dot{q}^2}{2} - V(q)$

对它在经典路径 $q_{\mathrm{cl}}(t)$ 附近做 stationary phase approximation , 并记 $r(t) = q(t) - q_{\mathrm{cl}}(t)$ , 它的传播子可近似为

$$\begin{align} \langle q_f | e^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}t}|q_i\rangle \approx e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S[q_{\mathrm{cl}}]} \int_{r(t)=r(0)=0} Dq\cdot e^{\frac{\mathrm{i}}{2\hbar}\int_0^t\mathrm{d}_{1}\int_0^t\mathrm{d}_2 r(t_{1}) \frac{\delta^2 S[q]}{\delta q(t_1)\delta q(t_2)} r(t_2)} \end{align}$$

其中, 作用量泛函的二阶导数 $\frac{\delta^2 S[q]}{\delta q(t_1)\delta q(t_2)}$ 可以用上面的 Taylor 展开法求.

$$\begin{align} \delta S =& S[q_{\mathrm{cl}} + r(t)] - S[q_{\mathrm{cl}}(t)] \\ =& \int_0^t\mathrm{d}t' \cdot\left\{ \frac{m}{2}\left[\partial_{t'}( q_{\mathrm{cl}} + r)\right]^2 - V(q_{\mathrm{cl}} + r) -\frac{m}{2}\left[\partial_{t'} q_{\mathrm{cl}} \right]^2 + V(q_{\mathrm{cl}}) \right\} \\ = & \int_0^t\mathrm{d}t' \cdot\left\{O(r) + \frac{m}{2} (\partial_{t'}r)^2 - \frac{1}{2}V''(q_{\mathrm{cl}})r^2 + O(r^{3}) + \cdots\right\} \end{align}$$

其中 $O(r^n)$ 表示 $r^n$ 阶项. 可以用分部积分法做如下变换

$$\begin{align} \int_0^t \mathrm{d}t'\cdot \left[\partial_{t'}r(t')\right] \left[\partial_{t'}r(t')\right] =& \left.r(t')\partial_{t'}r(t')\right|_0^t - \int_0^t \mathrm{d}t'\cdot r(t')\partial_{t'}^{2}r(t') \\ = & - \int_0^t \mathrm{d}t'\cdot r(t')\partial_{t'}^{2}r(t') \end{align}$$

最终得到作用量泛函的二阶导数 $\frac{\delta^2 S[q]}{\delta q(t_1)\delta q(t_2)}$ 为

$$\begin{align} \frac{\delta^2 S[q]}{\delta q(t_1)\delta q(t_2)} = -\delta(r_1 - r_2)\left[m\partial_{t_2}^2 + V''q_{\mathrm{cl}}(t_2)\right] \end{align}$$

Chain Rule for Functions to Functionals

对于泛函导数的链式法则, 首先要说明的是, 如 Ref[2] 中指出的, 并不存在 the functional of a functional, 存在的是 functions to functional.

比如 functional $F$ 依赖于 function $G(y)$ . 而 $G$ 是 $f(x)$ 的 functional, 记做 $G[f](y)$ . 这样的话, $F$ 也是 $f(x)$ 的 functinal, 根据定义, 它对 $f$ 的变分就为

$$\begin{align} \left.\frac{\mathrm{d}F[G[f(x) + \epsilon \eta(x)](y)]}{\mathrm{d}\epsilon}\right|_{\epsilon=0} = \int \frac{\delta F[f]}{\delta f(x)} \eta (x) \mathrm{d}x \end{align}$$

如果我们把 $G[f(x) + \epsilon \eta(x)](y)$ 展成 $G$ 对 $f$ 的泛函导数

$$\begin{align} G[f(x) + \epsilon \eta(x)](y) =& G[f(x)](y) + \int \frac{\delta G[f](y)}{\delta f(x)} \epsilon \eta(x) \mathrm{d}x +\mathcal{O}(\epsilon^2) \\ =& G[f(x)](y) + \epsilon\bar{\eta}(y) +\mathcal{O}(\epsilon^2) \end{align}$$

上式中第二个等号是对 $\bar{\eta}(y)$ 的定义. 把上式带回到 $F$ 对 $f(x)$ 的泛函导数定义中, 就会发现它是 $F$ 对 $G(y)$ 的泛函导数的形式

$$\begin{align} \left.\frac{\mathrm{d}F[G[f(x)](y) + \epsilon \bar{\eta}(y)]}{\mathrm{d}\epsilon}\right|_{\epsilon=0} = \int \frac{\delta F[f]}{\delta G(y)} \bar{\eta} (y) \mathrm{d}y \end{align}$$

对比就可以知道 $F$ 对 $f(x)$ 的泛函导数 $\frac{\delta F}{\delta f(x)}$ 与 $F$ 对 $G(y)$ 的泛函导数 $\frac{\delta F}{\delta G(y)}$ 之间的关系了

$$\begin{align} \int \frac{\delta F[f]}{\delta f(x)} \eta (x) \mathrm{d}x =& \int \frac{\delta F[f]}{\delta G(y)} \bar{\eta} (y) \mathrm{d}y \\ =& \int \int \frac{\delta F[f]}{\delta G(y)} \frac{\delta G[f](y)}{\delta f(x)} \eta(x) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \end{align}$$

也就是

$$\begin{align} \frac{\delta F[f]}{\delta f(x)} = \int \frac{\delta F[f]}{\delta G(y)} \frac{\delta G[f](y)}{\delta f(x)} \mathrm{d}y \end{align}$$

这就是泛函导数的链式法则. 上式也可以通过 Simons 书中将泛函看成是多元函数的极限来用多元函数求导的链式法则来理解.

Product Rule of Functional differentiation

直接用泛函导数的定义就可以得到

$$\begin{align} &\left. \frac{\mathrm{d}\left( F_1[f + \epsilon \eta] F_2[f + \epsilon \eta] \right) }{\mathrm{d}\epsilon} \right|_{\epsilon = 0} \\ =& \left. \frac{\mathrm{d} F_1[f + \epsilon \eta] }{\mathrm{d}\epsilon} F_2[f + \epsilon \eta] \right|_{\epsilon = 0} +\left. F_1[f + \epsilon \eta] \frac{\mathrm{d} F_2[f + \epsilon \eta] }{\mathrm{d}\epsilon} \right|_{\epsilon = 0} \end{align}$$

也就是说

$$\begin{align} \frac{\delta(F_1F_2)}{\delta f(x)} = \frac{\delta F_1}{\delta f(x)} F_2 + F_1\frac{\delta F_2}{\delta f(x)} \end{align}$$

Reference

[1] Tom Lancaster, Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, 2014, Oxford University Press
[2] https://math.stackexchange.com/questions/235769/is-there-a-chain-rule-for-functional-derivatives
[3] Appendix A of Density Functional Theory An Advanced Course by Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler: https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-3-642-14090-7%2F1.pdf
[4] Altland Alexander, Simons Ben D., Condensed Matter Field Theory, Second Edition-Cambridge University Press (2010)
[5] https://physics.stackexchange.com/questions/251265/how-to-calculate-the-second-functional-derivative-of-the-action-of-a-one-particl/581476#581476

读书笔记: Tensors and Representations of the Rotation Groups SO(N)

2020-05-14T00:00:00+08:00

前言

Zee 的这本书看了好久了, 也没整理过笔记. 看到哪里都不记得了... 今天整理一下, 下次再看就知道从哪看了(虽然不知道下次什么时候看 (- _ -) ).

IV.1 Tensor and Representations of Rotation Groups $SO(N)$

Representing the rotation groups

$SO(N)$ 群定义为, 满足如下关系的, $N\times N$ 维矩阵 $R$ , 组成的群

$$\begin{align} R^TR = I \\ \det R = 1 \end{align}$$

vector 的定义, 由它在转动下的关系定义

$$\begin{align} v^i \to V'^{i} = R^{ij} V^j \quad \quad \mathrm{with} i, j = 1, 2, \cdots,N \end{align}$$

由一个 vector 生成 $SO(N)$ 群的一个 $N$ 维 irreducible representations.

Several questions and some flying guesses

Constructing the irreducible representations of $SO(N)$

这里给出了 tensor 的一个例子. 想像一下, 在 $N$ 维空间里, 一个数学的东西, 它长着两个指标, 如果它在旋转下按如下方式变换

$$\begin{align} T^{ij} \to T'^{ij} = R^{ik} R^{jl} T^{kl} \end{align}$$

那 $T$ 就像一个 tensor 一样变换, 它就是一个 tensor.

Fear of tensors

Representation Theory

tensor $T$ 的每个指标都独立地变换

$$\begin{align} T^{ij} \to T'^{ij} = R^{ik} R^{jl} T^{kl} \end{align}$$

tensor $T$ 生成 $SO(3)$ 群的一个九维表示 $D(R)D(R)$ .

Reducible or irreducible?

有九个量 $T^{ij}$ 在变换下会变成另外九个. 但是它是否存在一个子集, 能够独立地变换? 有的.

antisymmetric 的 $A^{ij}\equiv T^{ij} - T^{ji}$ , 具有反对称的性质 $A^{ij} = -A^{ji}$ . 它如下变换

$$\begin{align} A^{ij} \to A'^{ij} \equiv T'^{ij} - T'^{ji} = R^{ik}R^{jl}T^{kl} - R^{jk}R^{il}T^{kl} = R^{ik}R^{jl}T^{kl} - R^{jl}R^{ik}T^{lk} = R^{ik}R^{jl}(T^{kl} - T^{lk}) = R^{ik}R^{jl} A^{kl} \end{align}$$

所以 $A^{ji}$ 也是一个 tensor. 反对称的特性在变换下不变. $A^{ji}$ 共有 $\frac{1}{2}N(N-1)$ 个, 例如此时 $N=3$ 共有 $3$ 个.

还有 symmetric $S^{ij}\equiv T^{ij} + T^{ji}$ , 同样可以证明它是一个 tensor. 然而它还可以约化, 它的 trace $S^{ii} = S^{11} + S^{22} + \cdots$ 也是一个 tensor.

因此 tensor $T^{ij}$ 生成 $SO(3)$ 的一个 $9$ 维表示, 它可以约化为 $3\oplus 5\oplus 1$ , 分别是 $\frac{1}{2}N(N-1)$ 维的反对称张量 $A^{ij}$ , $\frac{1}{2}N(N+1)-1$ 维的无迹对称张量 $\tilde{S}^{ij} = S^{ij} - \delta^{ij}\frac{S^{kk}}{N}$ 和 $1$ 维的迹 $S^{ii}$ .

将 $T^{ij}$ 约化成三个表示, 也就是将 $T^{ij}$ 生成的表示分块对角化的过程.

An advanced tidbit(花絮)

Invariant symbols

SO(3) 的 Orthogonal

$$\begin{align} R^TR =& I \\ (R^{T})^{ij}R^{jk} =& R^{ji} R^{jk} = \delta^{ik} \\ \delta^{ij} R^{ik}R^{jl} =& \delta^{kl} \end{align}$$

SO(3) 的 Special

$$\begin{align} \det R =& 1 \\ \varepsilon^{ijk\cdots n}R^{ip}R^{jq}R^{kr}\cdots R^{ns} =& \varepsilon^{pqr\cdots s} \end{align}$$

从上面的式子可以看出, $\delta^{ij}, \varepsilon^{ijk\cdots n}$ 在旋转下是不变的, 是 invariant symbols.

Dual tensors

定义一个新的 tensor $B^{k\cdots n} = \varepsilon^{ijk\cdots n}A^{ij}$ , 它有 $N-2$ 个指标( 再复习的时候, 可以验证它按张量的方式旋转做练习哦 ). $A$ 和 $B$ 叫做 dual to each other.

对于 $N3$ 的情况, $B^k\varepsilon^{ijk}A^{ij}$ , 有一个指标, 就是一个 vector. 所以我们从 $9$ 维表示中约化出来的 $3$ 维表示就是之前定义 $SO(3)$ 时的 vector.

Constructing larger irreducible representations of $SO(N)$

用这种张量的方法, 可以构造出许多 $SO(N)$ 群的表示.

Contraction indices

$S^{ii}$ 是 contracted indices 的一种特殊情况, 它只有两个指标, 把它们收缩了之后, 就按照 $0$ 个指标的张量旋转, 也就是一个 trivial 的表示.

Why SO(3) is special

在前面的 Dual tensors 部分提到, 对于 $N=3$ 的 $SO(3)$ 的情况, 对于一个全反对称的张量 $A^{ij}$ , 它的 dual tensor 有 $N-2 = 3 - 2 = 1$ 个指标. $N =3$ 说明 $\varepsilon_{ijk}$ 只有 $3$ 个指标, $2$ 是说 $A^{ij}$ 有两个指标.

下面说明对于 $SO(3)$ , 高阶的张量表示 $T^{i_1\cdots i_j}$ , 对它们进行分解, 只有全对称张量会给出新的不可约表示.

Example: 对于二阶张量, 前面已经详细讨论了, 分解后给出的不可约表示是 $3 \oplus 5 \oplus 1$ , 其中 $1$ 是 trivial 的表示, $3$ 等价于一阶张量, 也就是 vector 给出的表示, 只有二阶全对称无迹张量会给出 $SO(3)$ 群一个新的不可约表示

Example: 对于三阶张量, 可以构造部分对称和反对称的张量 $T^{\{ij\}k} \equiv (T^{ijk} + T^{jik})$ , $T^{[ij]k} \equiv (T^{ijk} - T^{jik})$ 对于 $T^{[ij]k}$ , 因为可以构造一个二阶张量 $B^{lk} \equiv \varepsilon^{ijl}T^{[ij]k}$ 所以它生成的表示在二阶张量中就已经存在了对于 $T^{\{ij\}k}$ , 可以将它分解成全对称和部分反对称的部分, 也就是 $3T^{\{ij\}k} = (T^{\{ij\}k} + T^{\{jk\}i} + T^{\{ki\}j}) + (T^{\{ij\}k} - T^{\{jk\}i}) + (T^{\{ij\}k} - T^{\{ki\}j})$ 第一个小括号中是全对称的, 后两个小括号分别是关于 $ik, jk$ 反对称的. 对于反对称的部分, 它们生成的表示同样可以在更低阶的张量中找到. 所以三阶张量只有全对称部分才会生成 $SO(3)$ 群新的表示.

对于更高阶的张量, 比如四阶张量 $T^{ijkl}$ , 可以做类似的分解, 最终也只有全对称部分中会有新的表示.

Dimension of the irreducible representations of $SO(3)$

通过上面的分析, 得出的结论就是, 一个新的更高维的张量, 只有全对称的部分会给出新的表示, 所以通过考虑各阶的全对称张量, 会给出 $SO(3)$ 群的许多不可约表示, 下面求它们的维度是多少.

考虑 $j$ 阶全对称张量 $S^{i_1i_2\cdots i_j}$ , 它总共有

$$\begin{align} \sum_{k=0}^j(k+1) = \frac{1}{2}( j + 1)(j + 2) \end{align}$$

$SO(3)$ 群的指标只有三种可能的值, 假设第一个指标有 $j - k$ 个, 那么剩下的两指标总共有 $k$ 个. 这 $k$ 个指标, 有 $k+1$ 种分配可能.

然后去掉它们的 trace $\delta^{i_1i_2}S^{i_1i_2\cdots i_j}$ , 这个 trace 是个 $j - 2$ 阶全对称张量, 因此根据上面的讨论有 $\frac{1}{2}(j - 2 + 1)(j - 2 + 2) = \frac{1}{2}j(j - 1)$ 个迹. 所以 $j$ 阶张量给出的 $SO(3)$ 的新的不可约表示的维度是

$$\begin{align} \frac{1}{2}(j + 1)(j + 2) - \frac{1}{2}j(j - 1) = 2j + 1 \end{align}$$

The tensors of $SO(2)$

Polar decomposition

Roations in higher-dimensional space

Self-dual and antiself-dual

Restriction to a subgroup

The adjoint representation and the Jacobi identity

The adjoint of $SO(N)$

Reference

A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, 2016, Princeton University Press

由 rf current 的定义推导其格林函数的表达形式

2020-05-02T00:00:00+08:00

问题描述

通过计算, 探究 rf current, 也就是粒子数对时间的导数, 与 Green's function 的关系.

Hamiltonian

考虑不同 hyperfine state 上的 Fermi 原子. 不同的 hyperfine state 用希腊字母下标表示( e.g. $\sigma, \alpha, \beta$ ) 它的 internal nergy 为 $E_{\sigma}$ , 受到的 external trapping potential 为 $V_{T,\sigma}(\vec{r})$ 它们之间的相互作用势为 $V_{\alpha, \beta}(\vec{r}, \vec{r}')$. 其中两个 hyperfine state $e, g$ 由外场 $\Omega(\vec{r}, t)$ couple. 整个系统的 Hamiltonia 为

$$\begin{align} \hat{H}_{C} = \hat{H}_{0C} + \hat{H}_{L}(t) \end{align}$$

第一项是系统本身的项

$$\begin{align} \hat{H}_{0C} =& \int \mathrm{d}^3r \sum_{\sigma} \hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r})\left( -\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m_{\sigma}} + E_{\sigma} + V_{T,\sigma}(\vec{r}) \right)\hat{\psi}_{\sigma}(\vec{r}) \\ &+ \frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta} \int \mathrm{d}^3r \int \mathrm{d}^3r'\cdot \hat{\psi}_{\alpha}^{\dagger}(\vec{r})\hat{\psi}_{\beta}^{\dagger}(\vec{r}') V_{\alpha,\beta}(\vec{r},\vec{r}') \hat{\psi}_{\beta}(\vec{r}')\hat{\psi}_{\alpha}(\vec{r}) \end{align}$$

第二项是外场对 $e, g$ 的 couple

$$\begin{align} \hat{H}'_{L}(t) = \int \mathrm{d}^3 r \left[ \hbar\Omega(\vec{r}, t) \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r})\hat{\psi}_{g}(\vec{r}) + \mathrm{h.c.} \right] \end{align}$$

这里的二次量子化形式可以理解成, 对 $e, g$ 来说, 它是非本征表象的单体算符, 而对 $\vec{r}$ 来说它是本征表象的单体算符.

下标 $C$ 代表 canonical ,正则系宗, 因为 $H'_{L}(t)$ 使得粒子数不守恒.

把时间演化全都放到算符上, 也就是在 Heisenberg picture, rf current 定义为 $e$ 态上的粒子数随时间的变化

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi|\hat{N}_{e}(t)|\Psi\rangle \end{align}$$

其中粒子数算符为对粒子数密度算符的积分

$$\begin{align} \hat{N}_e(t) = \int \mathrm{d}^3r \cdot \hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t) \hat{\psi}_e(\vec{r}, t) \end{align}$$

Heisenberg 运动方程

根据 Heisenberg picture 的运动方程

$$\begin{align} \mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t) \hat{\psi}_e(\vec{r}, t)\right] = \left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{H}_{0C} + \hat{H}'_{L}(t)\right](t) \end{align}$$

其中关于 $\hat{H}_{0C}$ 的对易子为零, 只有 couple 项 $\hat{H}'_{L}$ 才会对粒子数密度的演化有影响. 下面进行计算

$$\begin{align} &\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{H}'_{L}(t)\right] \\ =&\int \mathrm{d}^3 r'\left\{ \hbar\Omega(\vec{r}',t)\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}')\hat{\psi}_{g}(\vec{r}') \right] + \hbar\Omega^{*}(\vec{r}',t)\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}')\hat{\psi}_e(\vec{r}') \right]\right\} \end{align}$$

先算第一项

$$\begin{align} \hbar\Omega(\vec{r}',t)\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}')\hat{\psi}_{g}(\vec{r}') \right] = \hbar\Omega(\vec{r}',t)&\left\{\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}') \right]\hat{\psi}_{g}(\vec{r}')\right. \\ &\left. +\hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}') \left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{\psi}_{g}(\vec{r}') \right] \right\} \end{align}$$

对于 Fermion 有

$$\begin{align} \left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}') \right] =& \hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \left\{ \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}') \right\} -\left\{\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) , \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}') \right\}\hat{\psi}_e(\vec{r}) \\ =& \hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \cdot \delta(\vec{r}-\vec{r}') - 0\cdot \hat{\psi}_e(\vec{r}) = \hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r})\delta(\vec{r}-\vec{r}') \end{align}$$

式中 $\{ A,B \} = AB + BA$ 为反对易子.

$$\begin{align} \left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{\psi}_{g}(\vec{r}) \right] = 0 \end{align}$$

所以

同理

$$\begin{align} \hbar\Omega^{ * }(\vec{r}',t)\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}')\hat{\psi}_e(\vec{r}') \right] = - \hbar\Omega^{ * }(\vec{r}',t)\hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}')\hat{\psi}_e(\vec{r})\delta(\vec{r} - \vec{r}') \end{align}$$

那么算得所需要的对易关系为

$$\begin{align} &\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{H}'_{L}(t)\right] \\ =&\int \mathrm{d}^3 r'\left\{ \hbar\Omega(\vec{r}',t)\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r})\hat{\psi}_{g}(\vec{r}')\delta(\vec{r} - \vec{r}') - \hbar\Omega^{*}(\vec{r}',t)\hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}')\hat{\psi}_e(\vec{r})\delta(\vec{r} - \vec{r}') \right\} \\ = &\hbar\Omega(\vec{r},t)\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r})\hat{\psi}_{g}(\vec{r}) - \hbar\Omega^{*}(\vec{r},t)\hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r})\hat{\psi}_e(\vec{r}) \end{align}$$

所以 $e$ 态上粒子数随时间的变化在 Heisenberg 表象中为

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi|\hat{N}_{e}(t)|\Psi\rangle =& \int \mathrm{d}^3r\langle \Psi \left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t) \hat{\psi}_e(\vec{r}, t)\right]\right|\Psi\rangle \\ =& \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int \mathrm{d}^3r\langle \Psi \left|\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}) \hat{\psi}_e(\vec{r}) , \hat{H}'_{L}(t)\right](t)\right|\Psi\rangle \\ =& \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int \mathrm{d}^3r\cdot \left[ \hbar\Omega(\vec{r},t)\langle\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r}, t)\rangle - \hbar\Omega^{*}(\vec{r},t)\langle\hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_e(\vec{r}, t)\rangle \right] \end{align}$$

其中 $\langle \rangle$ 是 $\langle\Psi||\Psi\rangle$ 的简写.

线性响应

现在已经通过 Heisenberg 运动方程, 将原来问题中算符导数的平均, 变成了对关联函数的平均. 接下来已经不能严格求解了, 要将 couple $\hat{H}'_{L}(t)$ 作为微扰, 在相互作用表象中进行线性近似.

以下讨论都是在相互作用表象.

在相互作用表象中, 一个态矢的演化由演化算符给出(取 $t_0=0$ )

$$\begin{align} |\Psi(t)\rangle = U(t) |\Psi\rangle \end{align}$$

其中

$$\begin{align} U(t) = T \left\{ e^{\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_0^t \mathrm{d}t'\cdot \hat{H}_{L}(t')} \right\} \end{align}$$

这里 $\hat{H}_L(t) = e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_{0C}(t)} \hat{H}'_L(t) e^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_{0C}(t)}$ , 也就是 $\hat{H}'_L(t)$ 去掉 $'$ 后, 表示它在相互作用表象中.

对于一个相互作用表象中的算符 $\hat{O}(t) = e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_{0C}(t)} \hat{O} e^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_{0C}(t)}$ , 它在 $t$ 时刻的期望为

$$\begin{align} \langle\Psi(t)| \hat{O} |\Psi(t)\rangle = \langle U^{\dagger} (t) \hat{O}(t) U(t)\rangle \end{align}$$

其中 $\langle \rangle$ 是 $\langle\Psi(0)| |\Psi(0)\rangle$ 的简写. 把演化算符的表达式代入, 按 $\hat{H}_{L}(t)$ 的展开, 得

$$\begin{align} \langle\Psi(t)| \hat{O}(t)|\Psi(t) \rangle = \langle \hat{O}(t) \rangle + \langle \hat{O} \rangle_{1\mathrm{st}} + \langle \hat{O} \rangle_{2\mathrm{nd}} + \cdots \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \langle \hat{O} \rangle_{1\mathrm{st}} =& \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_0^t\mathrm{d}t' \langle\left[\hat{O}(t), \hat{H}_L(t') \right]\rangle \\ = & \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_0^{\infty}\mathrm{d}t' \cdot \theta(t - t')\langle\left[\hat{O}(t), \hat{H}_L(t') \right]\rangle \\ =& \int_0^{\infty} \mathrm{d}t' \cdot \chi(t, t') \end{align}$$

这里定义了

$$\begin{align} \chi(t, t') = \frac{1}{i\hbar}\theta(t - t')\langle\left[\hat{O}(t), \hat{H}_L(t') \right]\rangle \end{align}$$

应用线性响应, 并扔掉两项

rf current 在相互作用表象中可以写成

$$\begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle \\ =& \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int \mathrm{d}^3r\cdot \left[ \hbar\Omega(\vec{r},t)\langle\Psi(t)|\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r},t)|\Psi(t)\rangle - \hbar\Omega^{*}(\vec{r},t)\langle\Psi(t)|\hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_e(\vec{r}, t)|\Psi(t)\rangle \right] \end{align}$$

利用线性响应的结果计算两项均值. 第一项

$$\begin{align} &\hbar\Omega(\vec{r},t)\langle\Psi(t)|\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r}, t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}} \\ =& \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \int_0^{\infty}\mathrm{d}t'\cdot \hbar\Omega(\vec{r}, t)\theta(t - t') \langle\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r}, t), \hat{H}_L(t') \right]\rangle \end{align}$$

将 $\hat{H}_{L}(t')$ 的具体形式

$$\begin{align} \hat{H}_{L}(t') = \int \mathrm{d}^3 r' \left[ \hbar\Omega(\vec{r}', t') \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_{g}(\vec{r}', t') + \mathrm{h.c.} \right] \end{align}$$

代入后

$$\begin{align} &\hbar\Omega(\vec{r},t)\langle\Psi(t)|\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r}, t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}} \\ =& \frac{\hbar}{\mathrm{i}} \int_0^{\infty}\mathrm{d}t'\int \mathrm{d}^3 r'\cdot \theta(t - t')\Omega(\vec{r}, t)\Omega(\vec{r}', t') \langle\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r}, t), \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_{g}(\vec{r}', t') \right]\rangle \\ +& \frac{\hbar}{\mathrm{i}} \int_0^{\infty}\mathrm{d}t'\int \mathrm{d}^3 r'\cdot \theta(t - t')\Omega(\vec{r}, t)\Omega^{*}(\vec{r}', t') \langle\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r}, t), \hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_e(\vec{r}', t') \right]\rangle \end{align}$$

同理, 第二项

$$\begin{align} &-\hbar\Omega(\vec{r},t)\langle\Psi(t)|\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r}, t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}} \\ =&- \frac{\hbar}{\mathrm{i}} \int_0^{\infty}\mathrm{d}t'\int \mathrm{d}^3 r'\cdot \theta(t - t')\Omega^{*}(\vec{r}, t)\Omega(\vec{r}', t') \langle\left[\hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_e(\vec{r}, t), \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_{g}(\vec{r}', t') \right]\rangle \\ -& \frac{\hbar}{\mathrm{i}} \int_0^{\infty}\mathrm{d}t'\int \mathrm{d}^3 r'\cdot \theta(t - t')\Omega^{ * }(\vec{r}, t)\Omega^{*}(\vec{r}', t') \langle\left[\hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_e(\vec{r}, t), \hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_e(\vec{r}', t') \right]\rangle \end{align}$$

所以 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle$ 中的一阶项中出现了如下四项

$$\begin{align} &\Omega(\vec{r}, t)\Omega(\vec{r}', t') \langle\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r}, t), \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_{g}(\vec{r}', t') \right]\rangle \\ &\Omega(\vec{r}, t)\Omega^{*}(\vec{r}', t') \langle\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r}, t), \hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_e(\vec{r}', t') \right]\rangle \\ -&\Omega^{*}(\vec{r}, t)\Omega(\vec{r}', t') \langle\left[\hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_e(\vec{r}, t), \hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_{g}(\vec{r}', t') \right]\rangle \\ -&\Omega^{ * }(\vec{r}, t)\Omega^{*}(\vec{r}', t') \langle\left[\hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_e(\vec{r}, t), \hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_e(\vec{r}', t') \right]\rangle \end{align}$$

上面四项中, 第一项和第四项互为复共轭, 第二项和第三项互为复共轭.

在第一项和第四项中出现了同一个态上有两个产生或湮灭算符的形式, 比如 $\hat{\psi}_e\hat{\psi}_e$ . 书上的推导把它们扔掉了, 它说

become zero unless the state possesses some special correlations requiring a non-trivial many-body state.

在 rf 谱中, 它就是零

when taking the expectation values,RF spectroscopy where the species labeled by e is in the normal state: then this type of terms is certainly zero.

但是

But in general one should keep in mind that terms of the form $\hat{\psi}^{\dagger}_{\sigma}(\vec{r}, t)\hat{\psi}^{\dagger}_{\sigma}(\vec{r}, t)$ exist as well and might be relevant since they basically describe correlations within each species.

扔掉这两项后, 就变成了

$$\begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}} \\ =& -\int \mathrm{d}^3r \int \mathrm{d}r'\int_0^{\infty} \mathrm{d}t' \cdot\theta(t - t') \left\{\Omega(\vec{r}, t)\Omega^{*}(\vec{r}', t') \langle\left[\hat{\psi}_e^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r}, t), \hat{\psi}_g^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_e(\vec{r}', t') \right]\rangle + \mathrm{h.c.} \right\} \end{align}$$

Rotating Wave Approximation

现在做一个 trick. 原因在书上(待会补充)

上面在相互作用表象中的算符, 都是由 $\hat{H}_{0C}$ 演化的. 是巨正则系统, 没有化学势. 现在定义一个新的 $\hat{H}_{0}$ , 让它包含化学势, 也就是

$$\begin{align} \hat{H}_{0} = \hat{H}_{0C} - \hat{H}_{\mu} \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \hat{H}_{\mu} = \int \mathrm{d}^3r\sum_{\sigma}\hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r})( \mu_{\sigma} + E_{\sigma})\hat{\psi}_{\sigma}(\vec{r}) \end{align}$$ $$\begin{align} \hat{H}_{0} =& \int \mathrm{d}^3r \sum_{\sigma} \hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r})\left( -\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m_{\sigma}} - \mu_{\sigma} + V_{T,\sigma}(\vec{r}) \right)\hat{\psi}_{\sigma}(\vec{r}) \\ &+ \frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta} \int \mathrm{d}^3r \int \mathrm{d}^3r'\cdot \hat{\psi}_{\alpha}^{\dagger}(\vec{r})\hat{\psi}_{\beta}^{\dagger}(\vec{r}') V_{\alpha,\beta}(\vec{r},\vec{r}') \hat{\psi}_{\beta}(\vec{r}')\hat{\psi}_{\alpha}(\vec{r}) \end{align}$$

这样的话就有

$$\begin{align} \hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r}, t) = e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_0t} \left[ e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_{\mu}t} \hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r}) e^{\frac{-\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_{\mu}t} \right] e^{\frac{-\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_0t} \end{align}$$

由 Heisenberg 运动方程可知

$$\begin{align} \mathrm{i}\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_{\mu}t} \hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r}) e^{\frac{-\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_{\mu}t} \right] = \left[\hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r}) , \hat{H}_{\mu} \right] = -(\mu_{\sigma} + E_{\sigma})\hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r}) \end{align}$$

所以

$$\begin{align} e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_{\mu}t} \hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r}) e^{\frac{-\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_{\mu}t} = \hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger} e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(\mu_{\sigma} + E_{\sigma} )t} \end{align}$$

下面的 $\hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r}, t)$ 重新定义为

$$\begin{align} \hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r}, t) \equiv e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(\mu_{\sigma}+ E_{\sigma} )t} e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}_0t} \hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r}) \end{align}$$

那么 (之前的产生煙灭算符都应该带下标 $C$ 的, 下次复习的时候再添吧)

$$\begin{align} \hat{\psi}_{\sigma C}^{\dagger}(\vec{r}, t) = e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(\mu_{\sigma} + E_{\sigma} )t} \hat{\psi}_{\sigma}^{\dagger}(\vec{r}, t) \end{align}$$

对于偶合, 假设是如下振动

$$\begin{align} \Omega(\vec{r}, t) = \Omega(\vec{r}) \sin (\omega_Lt) = \Omega(\vec{r}) \frac{e^{\mathrm{i}\omega_Lt} - e^{-\mathrm{i}\omega_Lt}}{2 \mathrm{i}} \end{align}$$

将这些结果带入之前得到的 rf current 的线性响应近似的结果

$$\begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}} \\ =& -\int \mathrm{d}^3r \int \mathrm{d}r'\int_0^{\infty} \mathrm{d}t' \cdot\theta(t - t') \left\{\Omega(\vec{r}, t)\Omega^{*}(\vec{r}', t') \langle\left[\hat{\psi}_{eC}^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{gC}(\vec{r}, t), \hat{\psi}_{gC}^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_{eC}(\vec{r}', t') \right]\rangle + \mathrm{h.c.} \right\} \end{align}$$

中, 会出现以下关于 $t$ 的振动项

$$\begin{align} \left(e^{\mathrm{i}\omega_Lt} - e^{-\mathrm{i}\omega_Lt} \right) e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}[(E_e - E_g) - (\mu_g - \mu_e)]t} = e^{\mathrm{i}[\omega_L + \frac{E_e - E_g}{\hbar} - \frac{\mu_g - \mu_e}{\hbar}]t} - e^{-\mathrm{i}[\omega_L - \frac{E_e - E_g}{\hbar} + \frac{\mu_g - \mu_e}{\hbar}]t} \end{align}$$

做旋波近似, 略去 $\omega_L + \frac{E_e - E_g}{\hbar}$ 的高频率, 将 detuning 记为

$$\begin{align} \tilde{\delta} = \delta + \frac{\mu_g - \mu_e}{\hbar} = \omega_L - \frac{E_e - E_g}{\hbar} + \frac{\mu_g - \mu_e}{\hbar} \end{align}$$

做完旋波近似后, 关于 $t$ 的振动项只剩下

$$\begin{align} - e^{-\mathrm{i}\tilde{\delta}t} \end{align}$$

同样对关于 $t'$ 的振动项做完旋波近似后剩下

$$\begin{align} - e^{\mathrm{i}\tilde{\delta}t'} \end{align}$$

还有两个 $\frac{1}{2\mathrm{i}}$ , 所以做完旋波近似后

$$\begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}, \mathrm{rwa}} \\ =& -\frac{1}{4}\int \mathrm{d}^3r \int \mathrm{d}^3r'\int_0^{\infty} \mathrm{d}t' \cdot\theta(t - t') \left\{\Omega(\vec{r})\Omega^{*}(\vec{r}')e^{ - \mathrm{i}\tilde{\delta}(t - t')} \langle\left[\hat{\psi}_{e}^{\dagger}(\vec{r}, t)\hat{\psi}_{g}(\vec{r}, t), \hat{\psi}_{g}^{\dagger}(\vec{r}', t')\hat{\psi}_{e}(\vec{r}', t') \right]\rangle + \mathrm{h.c.} \right\} \end{align}$$

rf 谱动量守恒

The speciality of RF spectroscopy is that the wavelength of the RF field is large compared to other length scales in the system, typically much larger than the cloud of atoms. Related to this, the corresponding momentum is negligible compared to, e.g., typical scales of the Fermi momentum, and in the above formulas can be set to zero. Furthermore, the intensity of the RF field over the cloud can be taken as uniform in the scale of the cloud, which makes the coupling parameter to be simply a constant.

对于 rf 脉冲, 它的动量相对原子的动量可以忽略. rf 场的波长相对原子云的波长很大, 可以认为它的均匀的. 也就是

$$\begin{align} \Omega (\vec{r}) = \Omega \end{align}$$

变换到动量表象

$$\begin{align} \hat{\psi}(\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \sum_{\vec{k}}\hat{c}_{\vec{k}}^{\dagger} e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{r}} \end{align}$$

这样就有

$$\begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}, \mathrm{rwa}} \\ =& -\frac{|\Omega|^2}{4}\int \mathrm{d}^3r \int \mathrm{d}^3r'\int_0^{t} \mathrm{d}t' \sum_{\vec{k}\vec{k}'\vec{l}\vec{l}'} e^{\mathrm{i}(\vec{l} - \vec{k})\cdot \vec{r}} e^{\mathrm{i}(\vec{k}' - \vec{l}')\cdot \vec{r}'} \left\{e^{ - \mathrm{i}\tilde{\delta}(t - t')} \langle\left[\hat{c}_{ke}^{\dagger}(t)\hat{c}_{lg}(t), \hat{c}_{l'g}^{\dagger}(t')\hat{c}_{k'e}(t') \right]\rangle + \mathrm{h.c.} \right\} \end{align}$$

将空间部分积掉是 $\delta$ 函数, 然后求和掉 $\vec{l}', \vec{l}'$ 结果为

$$\begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}, \mathrm{rwa}} \\ =& -\frac{|\Omega|^2}{4}\int_0^{t} \mathrm{d}t' \sum_{\vec{k}\vec{k}'} \left\{e^{ - \mathrm{i}\tilde{\delta}(t - t')} \langle\left[\hat{c}_{ke}^{\dagger}(t)\hat{c}_{kg}(t), \hat{c}_{k'g}^{\dagger}(t')\hat{c}_{k'e}(t') \right]\rangle + \mathrm{h.c.} \right\} \end{align}$$

写成格林函数

The correlators above could in principle be non-zero for $k \neq k'$ and/or $l\neq l'$ if the state possesses some non-trivial correlations between different momentum states of the same species. However, this is not the case, for instance, for the normal state or for the BCS state, and many other typical many-body states. So, in our example that aims to treat such states, we assume $k=k'$ and $l=l'$ .

对于 normal state 和 BCS 态来说, $k \neq k'$ 的态是不存在的, 所以就有

$$\begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}, \mathrm{rwa}} \\ =& -\frac{|\Omega|^2}{4}\int_0^{t} \mathrm{d}t' \sum_{\vec{k}} \left\{e^{ - \mathrm{i}\tilde{\delta}(t - t')} \langle\left[\hat{c}_{ke}^{\dagger}(t)\hat{c}_{kg}(t), \hat{c}_{kg}^{\dagger}(t')\hat{c}_{ke}(t') \right]\rangle + \mathrm{h.c.} \right\} \end{align}$$

推迟格林函数的定义

$$\begin{align*} G_{AB}^{\mathrm{ret}}(t,t') =-\mathrm{i}\theta(t-t')\langle [A(t),B(t')]_{-\varepsilon}\rangle \end{align*}$$

因此 $|e\rangle,|g\rangle$ 之间的推迟格林函数为

$$\begin{align} G_{eg}(k, t - t') = -\mathrm{i}\theta(t-t')\langle\left[\hat{c}_{ke}^{\dagger}(t)\hat{c}_{kg}(t), \hat{c}_{kg}^{\dagger}(t')\hat{c}_{ke}(t')\right]\rangle \end{align}$$

所以

做变量代换 $t - t' \to t$ , $\mathrm{d}t'\to -\mathrm{d}t$ , $t'\in[0, +\infty] \to t\in[t, -\infty]$ 有

$$\begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}, \mathrm{rwa}} \\ =& -\frac{|\Omega|^2}{4}\int_{-\infty}^{t} \mathrm{d}t \sum_{\vec{k}} \left\{e^{ - \mathrm{i}\tilde{\delta}t} \mathrm{i} G_{eg}(k, t) + \mathrm{h.c.} \right\} \end{align}$$

而格林函数在能量表象为

$$\begin{align} G_{AB}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}(t - t') G_{AB}(t - t')e^{\mathrm{i}\omega(t - t')} \end{align}$$

所以, 当取极限时 $t\to\infty$ 时

$$\begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}, \mathrm{rwa}, t\to\infty} \\ =& -\frac{|\Omega|^2}{4}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}t \sum_{\vec{k}} \left\{e^{ - \mathrm{i}\tilde{\delta}t} \mathrm{i} G_{eg}(k, t) + \mathrm{h.c.} \right\} \\ =& -\frac{|\Omega|^2}{4} \sum_{\vec{k}} \left\{ \mathrm{i} G_{eg}(k, -\tilde{\delta}) + \mathrm{h.c.} \right\} \end{align}$$

而

$$\begin{align} \mathrm{i} G_{eg}(k, -\tilde{\delta}) + \mathrm{h.c.} =& \mathrm{i} G_{eg}(k, -\tilde{\delta}) -\mathrm{i} G_{eg}^{*}(k, -\tilde{\delta}) = \mathrm{i}\left[ 2\mathrm{i} \mathrm{Im}G_{eg}(k, -\tilde{\delta}) \right] \\ =& -2\mathrm{Im}G_{eg}(k, -\tilde{\delta}) \end{align}$$

所以

$$\begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}, \mathrm{rwa}, t\to\infty} \\ =& \frac{|\Omega|^2}{2} \sum_{\vec{k}} \mathrm{Im}G_{eg}(k, -\tilde{\delta}) \end{align}$$

这里 $\tilde{\delta} = \delta + \frac{\mu_g - \mu_e}{\hbar} = \omega_L - \frac{E_e - E_g}{\hbar} + \frac{\mu_g - \mu_e}{\hbar}$ . 如果 $E_e - E_g = \mu_g - \mu_e$ , 那么 $\tilde{\delta} = \omega_L$ .

初末两个态没有相互作用

e and g are only coupled by the field. In this case, the state of the system before the perturbation is a product of states for the species e and g which means the four-operator correlators can be factorized to parts that contain only e operators or g operators.

在将 rf 脉冲作为微扰引入前, $|e\rangle ,|g\rangle$ 两个态没有相互作用, 因此四算符的关联函数可以拆成两个二算符关联函数的乘积, 也就是

$$\begin{align} \langle \hat{c}_{ke}^{\dagger}(t)\hat{c}_{kg}(t) \hat{c}_{k'g}^{\dagger}(t')\hat{c}_{k'e}(t') \rangle = \langle \hat{c}_{ke}^{\dagger}(t)\hat{c}_{k'e}(t') \rangle \langle \hat{c}_{kg}(t) \hat{c}_{k'g}^{\dagger}(t') \rangle \end{align}$$

The correlators above could in principle be non-zero for $k \neq k'$ and/or $l\neq l'$ if the state possesses some non-trivial correlations between different momentum states of the same species. However, this is not the case, for instance, for the normal state or for the BCS state, and many other typical many-body states. So, in our example that aims to treat such states, we assume $k=k'$ and $l=l'$ .

对于 normal state 和 BCS 态来说, $k \neq k'$ 的态是不存在的, 所以就有

$$\begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\Psi(t)|\hat{N}_{e}(t)|\Psi(t)\rangle_{1\mathrm{st}, \mathrm{rwa}} \\ =& -\frac{|\Omega|^2}{4}\int_0^{t} \mathrm{d}t' \sum_{\vec{k}} \left\{e^{ - \mathrm{i}\tilde{\delta}(t - t')} \left[ \langle \hat{c}_{ke}^{\dagger}(t)\hat{c}_{ke}(t') \rangle\langle \hat{c}_{kg}(t) \hat{c}_{kg}^{\dagger}(t') \rangle - \langle \hat{c}_{kg}^{\dagger}(t')\hat{c}_{kg}(t) \rangle \langle \hat{c}_{ke}(t')\hat{c}_{ke}^{\dagger}(t) \rangle \right] + \mathrm{h.c.} \right\} \end{align}$$

Reference

Phys. Scr. 91 (2016) 043006 ,Päivi Törmä ,Physics of ultracold Fermi gases revealed by spectroscopies
Torma P.,Klaus Sengstock K, Quantum Gas Experiments Exploring Many-Body States

Rotating Wave Approximation

2020-04-22T00:00:00+08:00

Hamiltonian

考虑碱金属原子的基态 $|^2S_{1/2}\rangle$ 和两个激发态 $|^2P_{1/2}\rangle, |^2P_{3/2}\rangle$ 之间的跃迁.

如果不考虑精细结构, 两个激发态 $|^2P_{1/2}\rangle, |^2P_{3/2}\rangle$ 是简并的. 那么它的 Hamiltonian 在基底 $|^2S_{1/2}\rangle, |^2P_{1/2}\rangle, |^2P_{3/2}\rangle$ 下可以写为

$$\begin{align} \left( \begin{array}{ccc} E_{\mathrm{ex}} & 0 & 0 \\ 0 & E_{\mathrm{ex}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

其中, 选取了基态 $|^2S_{1/2}\rangle$ 能量为 $0$ , 激发态能量为 $E_{\mathrm{ex}}$ .

两个激发态可以由 spin-orbital coupling 项 $\frac{A_{\mathrm{fs}}}{\hbar^2}\hat{\vec{L}}\cdot\hat{\vec{S}}$ 解除简并

$$\begin{align} \hat{\vec{L}}\cdot\hat{\vec{S}} &= \frac{1}{2}\left[(\hat{\vec{L}}+\hat{\vec{S}} )^2 - \hat{\vec{L}}^2 - \hat{\vec{S}}^2\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[\hat{\vec{J}} ^2 - \hat{\vec{L}}^2 - \hat{\vec{S}}^2\right] \end{align}$$

所以

$$\begin{align} \frac{A_{\mathrm{fs}}}{\hbar^2}\hat{\vec{L}}\cdot\hat{\vec{S}} |^2S_{1/2}\rangle =&0|^2S_{1/2}\rangle \\ \frac{A_{\mathrm{fs}}}{\hbar^2}\hat{\vec{L}}\cdot\hat{\vec{S}} |^2P_{1/2}\rangle =& \frac{A_{\mathrm{fs}}}{2} |^2P_{1/2}\rangle\\ \frac{A_{\mathrm{fs}}}{\hbar^2}\hat{\vec{L}}\cdot\hat{\vec{S}} |^2P_{3/2}\rangle =&- A_{\mathrm{fs}}|^2P_{3/2}\rangle \end{align}$$

那么它的 Hamiltonian 在基底 $|^2S_{1/2}\rangle, |^2P_{1/2}\rangle, |^2P_{3/2}\rangle$ 下可以写为

$$\begin{align} H_{\mathrm{at}} = \left( \begin{array}{ccc} E_{\mathrm{ex}} + \frac{A_{\mathrm{fs}}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & E_{\mathrm{ex}} - A_{\mathrm{fs}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

在偶极近似下, 光会通过偶极相互作用 $\hat{H}_{\mathrm{d}} = \hat{\vec{d}}\cdot\hat{\vec{E}} = d_jE^0_j \cos(\phi_j - \omega t)$ (对相同的指标求和)将基态与激发态耦合在一起. 由于 $|^2S_{1/2}\rangle$ 是偶宇称的态, $|^2P_{1/2}\rangle, |^2P_{3/2}\rangle$ 是奇宇称的态, 而偶极相互作用只耦合不同宇称的态, 所以它在基底 $|^2S_{1/2}\rangle, |^2P_{1/2}\rangle, |^2P_{3/2}\rangle$ 下可以写为

$$\begin{align} H_{\mathrm{d}} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & V \\ 0 & 0 & V \\ V^{*} & V^{*} & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

其中 $V = \langle^2P_{1/2}|d_j|^2S_{1/2}\rangle E^0_j \cos(\phi_j - \omega t) = \langle^2P_{3/2}|d_j|^2S_{1/2}\rangle E^0_j \cos(\phi_j - \omega t) \equiv \langle \mathrm{ex}|d_j|\mathrm{g}\rangle E^0_j \cos(\phi_j - \omega t)$

所以总的 Hamiltonian 在基底 $|^2S_{1/2}\rangle, |^2P_{1/2}\rangle, |^2P_{3/2}\rangle$ 下可以写为

$$\begin{align} H = H_{\mathrm{at}} + H_{\mathrm{d}} = \left( \begin{array}{ccc} E_{\mathrm{ex}} + \frac{A_{\mathrm{fs}}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & E_{\mathrm{ex}} - A_{\mathrm{fs}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & V \\ 0 & 0 & V \\ V^{*} & V^{*} & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

Rotating Wave Approximation

对 Hamiltonian 作变换

对 Hamiltonian 做一个幺正变换

$$\begin{align} U = \left( \begin{array}{ccc} e^{-\mathrm{i}\omega t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-\mathrm{i}\omega t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{align}$$ $$\begin{align} U^{\dagger}H U = U^{\dagger}H_{\mathrm{at}} U + U^{\dagger}H_{\mathrm{d}} U = H_{\mathrm{at}} + \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & V e^{\mathrm{i}\omega t} \\ 0 & 0 & V e^{\mathrm{i}\omega t} \\ V^{*}e^{-\mathrm{i}\omega t} & V^{*}e^{-\mathrm{i}\omega t} & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

其中

$$\begin{align} V e^{\mathrm{i}\omega t} = & \langle \mathrm{ex}|d_j|\mathrm{g}\rangle E^0_j \cos(\phi_j - \omega t) e^{\mathrm{i}\omega t}\\ = &\langle \mathrm{ex}|d_j|\mathrm{g}\rangle E^0_j \frac{1}{2}(e^{\mathrm{i}(\phi_j-\omega t)} + e^{-\mathrm{i}(\phi_j-\omega t)}) e^{\mathrm{i}\omega t} \\ = &\langle \mathrm{ex}|d_j|\mathrm{g}\rangle E^0_j \frac{1}{2}e^{\mathrm{i}\phi_j}(1 + e^{2\mathrm{i}\omega t}) \end{align}$$

如果略去高频项 $e^{2\mathrm{i}\omega t}$ , 并记 $E_j \equiv E_j^0 e^{\mathrm{i}\phi_j}$ 那么记

$$\begin{align} U^{\dagger}H_{\mathrm{d}} U \approx \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & V_r \\ 0 & 0 & V_r \\ V_r^{*} & V_r^{*} & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

对 $\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t}$ 作变换

做一个幺正变换相当于选了一组基底, 幺正变换不会改变本征能量. 但是这个幺正变换是含时的, 会对时间演化产生影响, 它的时间演化为

$$\begin{align} \left(U^{\dagger} \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} U \right) \left(U^{\dagger}|\psi\rangle \right) = \left(U^{\dagger} H U \right) \left(U^{\dagger}|\psi\rangle \right) \end{align}$$

计算时间演化的幺正变换 $\left(U^{\dagger} \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} U \right)$

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t} U \left(U^{\dagger}|\psi\rangle \right) = & \frac{\partial}{\partial t} \left( \begin{array}{ccc} e^{-\mathrm{i}\omega t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-\mathrm{i}\omega t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\left(U^{\dagger}|\psi\rangle \right) \\ = & \left[ \begin{array}{c} \\ \\ \\ \end{array} \right. \left( \begin{array}{ccc} -\mathrm{i}\omega & 0 & 0 \\ 0 & -\mathrm{i}\omega & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)U + U\frac{\partial}{\partial t} \left. \begin{array}{c} \\ \\ \\ \end{array} \right] \left(U^{\dagger}|\psi\rangle \right) \end{align}$$

所以新的时间演化为

$$\begin{align} \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \left(U^{\dagger}|\psi\rangle \right) = H_r \left(U^{\dagger}|\psi\rangle \right) \end{align}$$

其中

$$\begin{align} H_r =& U^{\dagger} H U - \left( \begin{array}{ccc} \hbar\omega & 0 & 0 \\ 0 & \hbar\omega & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ =&\left( \begin{array}{ccc} E_{\mathrm{ex}} + \frac{A_{\mathrm{fs}}}{2}- \hbar\omega & 0 & 0 \\ 0 & E_{\mathrm{ex}} - A_{\mathrm{fs}} - \hbar\omega & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & V_r \\ 0 & 0 & V_r \\ V_r^{*} & V_r^{*} & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

如果记 $\Delta_{\mathrm{ex2}} \equiv E_{\mathrm{ex}} + \frac{A_{\mathrm{fs}}}{2}- \hbar\omega$ , $\Delta_{\mathrm{ex1}} \equiv E_{\mathrm{ex}} + A_{\mathrm{fs}}- \hbar\omega$ 那么

$$\begin{align} H_r =\left( \begin{array}{ccc} \Delta_{\mathrm{ex2}} & 0 & 0 \\ 0 & \Delta_{\mathrm{ex1}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & V_r \\ 0 & 0 & V_r \\ V_r^{*} & V_r^{*} & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

用 Dirac 表象来理解 Rotating Wave Approximation

回到我们做 Rotating Wave Approximation 之前的 Hamiltonian

如果打入的光的频率对应的能量 $\hbar\omega$ 很接近 $E_{\mathrm{ex}}$ , 那么 $\Delta_{\mathrm{ex2}}$ 和 $\Delta_{\mathrm{ex2}}$ 可以看做是一个微扰, 所以可以将 Hamiltonian 写成 $H = H_0 + V_\mathrm{p}$ (添加下标 $p$ 代表 perturbation, 以区别于 $V = \langle \mathrm{ex}|d_j|\mathrm{g}\rangle E^0_j \cos(\phi_j - \omega t)$ )的形式

$$\begin{align} H = H_0 + V_{\mathrm{p}} = \left( \begin{array}{ccc} \hbar\omega & 0 & 0 \\ 0 & \hbar\omega & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{ccc} \Delta_{\mathrm{ex2}} & 0 & V \\ 0 & \Delta_{\mathrm{ex1}} & V \\ V^{*} & V^{*} & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

所以在 Dirac 表象中, 它的演化方程为

$$\begin{align} \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi^D(t) \rangle = V_{\mathrm{p}}^D(t) |\psi^D(t) \rangle \end{align}$$

其中上标 $D$ 代表 Dirac 表象. $|\psi^D(t)\rangle = U_0^{\dagger}(t)| \psi(t)\rangle$ 是 Schrodinger 表象中的态矢去掉 $H_0$ 的演化. $V_{\mathrm{p}}^D(t) = U_0^{\dagger}(t) V_p U_0(t)$ 是 Dirac 表象中的微扰项. 而根据 Dirac 表象的定义 $U_0(t)$ 为 $H_0$ 对应的时间演化为

$$\begin{align} U_0 = e^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H_0t} = \left( \begin{array}{ccc} e^{-\mathrm{i}\omega t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-\mathrm{i}\omega t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{align}$$

就是之前进行用到过的幺正变换. 所以如果我们在这里同样地略掉高频项, 就有 $V_{\mathrm{p}}^D(t) = H_{r}$ 与之前的结果相符.

Reference

[1] H. Z. 的 lecture
[2] 博客中的 Term Symbol, 多体物理读书会:3.1节 Dirac表象中的演化算符-diagram techniques的起点, 定态微扰论总结 (update 18/Apr/2020)

Term Symbol

2020-04-16T00:00:00+08:00

Term Symbol

Term Symbol 用来描述一个多电子原子的(总)角动量量子数, 也可以用来描述单个电子.

原子的每个能级不仅由 electron configuration(电子所处的轨道) 来描述, 也由 term symbol 来描述. 因为原子的能级不仅仅依赖于 electron configuration, 还依赖于它们的总角动量(spin orbital coupling).

记号

$$\begin{align} ^{2S+1}L_{J} \end{align}$$

$S$ 是总的自旋量子数. $2S+1$ 是 spin multiplicity, ( $L\le S$ 时)表示给定 $L, S$ 时, $J$ 可能取值的个数. $L$ 是轨道量子数, $J$ 是总的角动量量子数.

用 Term Symbol 表示原子的基态

1. 找到最稳定的 electron configuration. 把 full shells and subshells 去掉, 因为它们对总角动量没有贡献. 比如对于 fluorine F , 第九号元素, 它的原子最稳定的组态是 $1s^22s^22p^{5}$ , 它的 $1s$ 和 $2s$ 轨道都被填满, $2p$ 轨道可以填六个电子, 这里只填了五个, 所以只用这个不満壳层的电子来表示原子的基态. 2. 由于 Pauli 不相容原理, $L=-1, 0 , 1$ 三个轨道上有两个填上一对自旋相反的电子, 另一个轨道上只有一个电子. 根据 Hund's rule, 要让 $S, L$ 最大, 所以 $L=-1$ 是那个填一个电子的态. 这样, 总的自旋是 $1/2$ 总的轨道角动量是 $1$ . 3. 这样, 总的角动量 $J = 1/2$ 或者 $J3/2$ .再根据 Hund's rule, $J3/2$ 能量更低, 所以它的基态为

$$\begin{align} ^2P_{\frac{3}{2}} \end{align}$$

Alkali Atoms

基态

Alkali atoms 在最外层的非满壳层只有一个电子, 那么它的基态就是这个电子在 $s$ 轨道上, 所以 $S1/2, L0, J=1/2$ , 用 term symbol 表示就是 $^2S_{1/2}$ .

激发态

Alkali atoms 的激发态, 这个电子被激发到 $p$ 轨道上, 那么 $S1/2, L1, J=1/2$ ,或者 $S1/2, L1, J=3/2$ , 用 term symbol 表示就是 $^2P_{1/2}$ 或者 $^2P_{3/2}$ .

Alkaline-Earth(like) Atoms.

基态

Alkaline-Earth(like) Atoms 在最外层的非满壳层有两个电子, 那么它的基态, 两个电子都在 $s$ 轨道上, 所以 $S0, L0, J=0$ 用 term symbol 表示就是 $^1S_0$ .

所有 Boson 的碱土原子的同位素的 nuclear spin 都是 $0$ , 而 Fermion 都是非零的.

激发态

Alkaline-Earth(like) Atoms 的激发态, 一个电子待在 $s$ 轨道上, 另一个电子被激发到 $p$ 轨道上, 所以 $L1$ , 根据 Hund's rule $S1$ 的能量要比 $S=0$ 的能量低. 那么有 $S1, L1, J=0, 1, 2$ 用 term symbol 表示就是 $^3P_{0}, ^3P_{1}, ^3P_2$ .

由于 dipole transion 是不改变自旋的, 所以从基态到激发态是 spin forbidden 的. 它耦合的是基态和 $^1P_1$ .

Reference

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Term_symbol

数值积分遇到的一个坑

2020-03-19T00:00:00+08:00

问题积分

$$ \begin{align} I(\Omega) =& \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}\mathrm{d}^3\vec{q}\cdot \mathrm{Im} \left[\frac{1}{q^2-16q\cos\theta+2(\Omega+14)+\mathrm{i}0^+}\right]\\ =& \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}\mathrm{d}q \int_0^{\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \cdot \mathrm{Im} \left[\frac{q^2\sin\theta} {q^2-16q\cos\theta+2(\Omega+14)+\mathrm{i}0^+}\right]\\ =&\int_0^{\infty}\mathrm{d}q\int_{-1}^1\mathrm{d}x \cdot\mathrm{Im}\left[ \frac{q^2}{q^2-16qx+2(\Omega+14)+\mathrm{i}0^+} \right] \end{align} $$

全部解析地积: 先积 x 再积 q

$$ \begin{align} I(\Omega) =&\int_0^{\infty}\mathrm{d}q \cdot \frac{q}{16}\mathrm{Im}\left[ \ln\left(q^2+16q+2(\Omega+14)+\mathrm{i}0^+\right) -\ln\left(q^2-16q+2(\Omega+14)+\mathrm{i}0^+\right) \right] \\ =& -\pi \theta(18-\Omega)\sqrt{2(18-\Omega)} \end{align} $$

全部解析地积: 先积 q 对积 x

解析积 q , 数值积 x

$$ \begin{align} I(\Omega) =&-\pi\int_{-1}^1\mathrm{d}x \int_0^{\infty}\mathrm{d}q\cdot q^2\frac{\delta(q-q^+)+\delta(q-q^-)}{|q^+-q^-|}\\ =&\int_0^{\infty}\mathrm{d}q\int_{-1}^1\mathrm{d}x \cdot\mathrm{Im}\left[ \frac{q^2}{q^2-16qx+2(\Omega+14)+\mathrm{i}0^+} \right](通否化成 q 复平面上的积分?)\\ =&-\pi\left[\int_{-1}^1\mathrm{d}x \cdot\frac{\theta(-\Omega-14)q^{+2}}{|q^+-q^-|} +\int_\sqrt{\frac{\Omega+14}{32}}^1\mathrm{d}x\cdot \frac{\theta(\Omega+14)\theta(18-\Omega) \left( q^{+2}+q^{-2} \right)}{|q^+-q^-|}\right] \end{align} $$

其中 $$ \begin{align} \Delta =& (16x)^2-8(\Omega+14) \\ q^{\pm} =& \frac{16x \pm\sqrt{\Delta}}{2} \end{align} $$ 而 $$ |q^+ - q^-| = \sqrt{\Delta} $$

$$ \begin{align} \int_{-1}^{1}\mathrm{d}x\cdot\frac{q^{+2}}{|q^+-q^-|} =& \frac{1}{4}\int_{-1}^{1}\mathrm{d}x\cdot\left(32x + \sqrt{\Delta}+\frac{(16x)^2}{\sqrt{\Delta}}\right) \\ =& \frac{1}{4}\int_{-1}^{1}\mathrm{d}x\cdot\left(32x + \sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}+ \frac{(16x)^2}{\sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}}\right) \end{align} $$$$ \begin{align} \int_\sqrt{\frac{\Omega+14}{32}}^1\mathrm{d}x\cdot\frac{q^{+2}+q^{-2}}{|q^+-q^-|} =& \frac{1}{2}\int_\sqrt{\frac{\Omega+14}{32}}^1\mathrm{d}x\cdot\frac{(16x)^2+ \Delta}{\sqrt{\Delta}} \\ =& \frac{1}{2}\int_\sqrt{\frac{\Omega+14}{32}}^1\mathrm{d}x\cdot\left[\frac{(16x)^2}{\sqrt{\Delta}} +\sqrt{\Delta}\right] \\ =& \frac{1}{2}\int_\sqrt{\frac{\Omega+14}{32}}^1\mathrm{d}x\cdot\left[\frac{(16x)^2}{\sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}} +\sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}\right] \end{align} $$

上面这两个积分, 想通过数值计算. 值得注意的是, 被积函数在积分下限处发散, 但是 $\mathcal{O}\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$ 形式的发散, 积分结果并不发散. 比如当 $\Omega=-6$ 时 $$ \begin{align} \int_\sqrt{\frac{\Omega+14}{32}}^1\mathrm{d}x\cdot\frac{q^{+2}+q^{-2}}{|q^+-q^-|} =& \frac{1}{2}\int_\sqrt{\frac{\Omega+14}{32}}^1\mathrm{d}x\cdot\left[\frac{(16x)^2}{\sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}} +\sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}\right] \\ =& \frac{1}{2}\int_\frac{1}{2}^1\mathrm{d}x\cdot\left[\frac{(16x)^2}{\sqrt{(16x)^2-64}} +\sqrt{(16x)^2-64}\right] \end{align} $$

普遍情况

积分 $$ I(B,C,x) = \int_{0}^{\infty}\mathrm{d}q\cdot \mathrm{Im}\left[ \frac{q^2f(q)}{q^2 - qBx+C+\mathrm{i}0^+}\right] ,\quad \mathrm{for} \,\, x\in[-1,1],B>0 $$

分母中关于 q 的二次函数的根的判别式 $$ \begin{align} \Delta =& (Bx)^2 -4C \\ \Delta >& 0 \Rightarrow C<\frac{(Bx)^2}{4} \\ \end{align} $$ 只有 $\Delta>0$ 时, 积分才不为零. 此时分母中关于 q 的二次函数有两个根 $$ q^{\pm} = \frac{Bx\pm\sqrt{\Delta}}{2} $$ 取虚部 $$ \begin{align} I(B,C,x) =& -\pi\int_0^{\infty}\mathrm{d}q\cdot q^2f(q)\frac{\delta(q-q^+)+\delta(q-q^+)}{|q^+-q^-|} \\ =& -\pi\int_0^{\infty}\mathrm{d}q\cdot q^2f(q)\frac{\delta(q-q^+)+\delta(q-q^+)}{\sqrt{\Delta}} \end{align} $$

对 q 的积分范围是 $[0, \infty]$ , 因此 $q^{\pm}>0$ 时, 对应的 Dirac delta 函数才对积分有贡献.

$q^+>0$ 的条件为

当 $x>0$ 时: $q^+>0$ 恒成立.
当 $x < 0$ 时: 若要 $q^+ > 0$ , 应有 $Bx+\sqrt{\Delta}>0 \Rightarrow C<0$ .

$q^->0$ 的条件为

当 $x < 0$ 时: $q ^ - < 0$ 恒成立, 即 $q^+ > 0$ 恒不成立.
当 $x>0$ 时: 若要 $q^->0$ 应有 $Bx-\sqrt{\Delta}>0 \Rightarrow C>0$ .

所以对积分有贡献的区域如下图

因此, 积分化为

$$ \begin{align} I(B,C,x) =& -\pi\int_0^{\infty}\mathrm{d}q\cdot q^2f(q)\frac{\delta(q-q^+)+\delta(q-q^+)}{\sqrt{\Delta}} \\ =& -\pi \left[ \theta(-C)\frac{f(q^+)q^{+2}}{\sqrt{\Delta}} + \theta(C)\theta\left(\frac{(Bx)^2}{4}-C\right) \theta\left(\sqrt{\frac{4C}{B}}-x\right) \frac{f(q^+)q^{+2}+f(q^-)q^{-2}}{\sqrt{\Delta}}\right] \end{align} $$

Supplementary

先积 x 再积 q 的详细过程

$$ \begin{align}I(\Omega) =&\int_0^{\infty}\mathrm{d}q \cdot \frac{q}{16}\mathrm{Im}\left[ \ln\left(q^2+16q+2(\Omega+14)+\mathrm{i}0^+\right) -\ln\left(q^2-16q+2(\Omega+14)+\mathrm{i}0^+\right) \right] \\ =& -\pi \theta(18-\Omega)\sqrt{2(18-\Omega)}\end{align} $$

上式中第二个等号的计算细节.

只有当第一个对数中大于零, 第二个对数中小于零时积分才不为零.

二次函数根的判别式相同, 为 $$ \begin{align} \Delta = 16^2-8(\Omega + 14)\\ \Delta > 0 \Rightarrow \Omega < 18 \\ \sqrt{\Delta} > 16 \Rightarrow \Omega < 14 \end{align} $$ 第一项的根为 $$ q^{\pm}= \frac{-16 \pm \sqrt{\Delta}}{2} $$

第二项的根为 $$ q^{\pm}= \frac{16 \pm \sqrt{\Delta}}{2} $$ 积分不为零的条件为 $$ \begin{align} 0<\frac{\sqrt{\Delta}-16}{2}14 \\ 0<\frac{16-\sqrt{\Delta}}{2}

先积 q 再积 x 的详细过程

$$ \begin{align} I(\Omega) =&-\pi\int_{-1}^1\mathrm{d}x \int_0^{\infty}\mathrm{d}q\cdot q^2\frac{\delta(q-q^+)+\delta(q-q^-)}{|q^+-q^-|}\\ =&-\pi\left[\int_{-1}^1\mathrm{d}x \cdot\frac{\theta(-\Omega-14)q^{+2}}{|q^+-q^-|} +\int_\sqrt{\frac{\Omega+14}{32}}^1\mathrm{d}x\cdot \frac{\theta(\Omega+14)\theta(18-\Omega) \left( q^{+2}+q^{-2} \right)}{|q^+-q^-|}\right]\\ =& -\pi \left[ \theta(-\Omega-14)\left.\cdot \frac{x}{4} \sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}\right|_{x=-1}^{x=1} \\ +\left.\theta(\Omega+14)\theta(18-\Omega)\cdot \frac{x}{2} \sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}\right|_{x=\sqrt{\frac{\Omega+14}{32}}}^{x=1} \right]\\ =& -\pi \left[ \theta(-\Omega-14)\left.\cdot \frac{x}{2} \sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}\right|_{x=0}^{x=1} \\ +\left.\theta(\Omega+14)\theta(18-\Omega)\cdot \frac{x}{2} \sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}\right|_{x=\sqrt{\frac{\Omega+14}{32}}}^{x=1} \right]\\ =& -\pi \left[ \theta(-\Omega-14)\left.\cdot \frac{x}{2} \sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}\right|_{x=0}^{x=1} \\ +\left.\theta(\Omega+14)\theta(18-\Omega)\cdot \frac{x}{2} \sqrt{(16x)^2-8(\Omega+14)}\right|_{x=\sqrt{\frac{\Omega+14}{32}}}^{x=1} \right] \\ =& -\pi\theta(18-\Omega)\sqrt{2(18-\Omega)} \end{align} $$

总结

数值积分的时候, 注意某个点发散但积分不发散的情况.

常用光学知识点

2020-03-18T00:00:00+08:00

批作业会用到

第二章几何光学 (Geometrical Optics)

几何光学精确的, 基本的规律

反射定律与折射定律与全反射

从波来理解几何光学: 惠更斯作图法

费马原理 (Fermat’s Principle) 与物像等光程与虚光程

Light traverses the route having the smallest optical path length

教材 38 页. 为了把物像之间的等光程性原理推广到虚物或虚像的情形, 需要引入 "虚光程" 的概念.

光程正负号的规定: 与虚物或虚像相联系的与实际光线的延长线对应的光程称为虚光程，规定其符号取负值. (实际光线没有走到虚物或虚像的位置, 所以要减去)

折射率的规定: 虚光程部分的折射率由与之对应的实际光线的折射率决定. (光按照实际光线那边的折射率才能走到虚像或虚物的位置, 所以折射率按实际光线那边算)

傍轴近似下的成像

球面折射

可以通过折射定律或费马原理在傍轴近似下得到下式: $$ \frac{n'}{s'} + \frac{n}{s} = \frac{n'-n}{r} $$

按入射光线从左到右, 式中符号规定如下:

物在顶点左侧, $s>0$ , 实物
像在顶点右侧, $s'>0$ , 实像
球心在顶点右侧, $r>0$

球面反射

可理解为一种特殊的 "折射" , $n'=-n$ , 就可以由球面折射得到球面反射.

球面焦距

由球面折射可以得到焦距的表达式 $$ \begin{align} s'\to&\infty \\ s\to& f = n\cdot\frac{r}{n'-n} \end{align} $$

$$ \begin{align} s\to&\infty \\ s'\to& f' = n' \cdot \frac{r}{n'-n} \end{align} $$

那么用焦距来表达球面折射 $$ \frac{f'}{s'} + \frac{f}{s} = 1 $$ 这也叫高斯物像公式.

横向放大率

根据教材图 2-9 , 对于折射, 一定有 $y'<0$ , 在傍轴近似下, 根据折射定律 $$ V = \frac{y'}{y} = \frac{(-i') s'}{i s} = -\frac{ns'}{n's} = -\frac{fs'}{f's} $$

薄透镜成像

薄透镜的假设是两个球面的顶点几乎重合, 那么就可以认为 $s_1'=-s_2$ , 那么用两次球面折射公式可以得到 $$ \frac{n'}{s'} + \frac{n}{s} = \frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2} $$

由上式将 s 或者 $s'$ 取为 $\infty$ 可以得到焦距公式 $$ \begin{align} s'\to&\infty \\ s\to& f = \frac{n}{\frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}} \end{align} $$

$$ \begin{align} s\to&\infty \\ s'\to& f' = \frac{n'}{\frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}} \end{align} $$

取 $n'=n=1$ 可得磨镜者公式 $$ f = f' = \frac{1}{(n_L - 1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})} $$

薄透镜的成像仍然满足高斯公式. 若透镜两边折射率相等, 那么 $f=f'$ , 便得到最常见的薄透镜成像公式 $$ \frac{1}{s'}+\frac{1}{s} = \frac{1}{f} $$ 这个公式的条件是: 傍轴, 薄透镜, 透镜两边折射率相等. 此时过光心的光线方向不变, 横向放大率也变为 $$ V = - \frac{s'}{s} $$

理想光具组成像

理想光具组公式

理想光具组可以用高斯公式.

按入射光线从左到右. s 为物到物方面的距离, 在左为正. $s'$ 为像到像方主面的距离, 在右为正. (教材57页) $f, f'$ 与 $s, s'$ 有相同的符号规则.

两个光具组合在一起 $$ \begin{align} f =& -\frac{f_1 f_2}{\Delta} \\ f' =& -\frac{f_1' f_2'}{\Delta} \\ X_H = & H_1H = f_1 \frac{d}{\Delta}\\ X_H' =&H_2'H = f_2' \frac{d}{\Delta} \end{align} $$

其中按照入射光线从左往右, $\Delta$ 是第一个光具组的像方焦点与第二个光具组的物方焦点的距离, d 是对应的主面的距离.

理想光具作图

节点(冗余的条件): 角放大率为 1

光学仪器: 眼镜

近视镜应该让佩戴者看清无穷远的物, 也就是使无穷远处的物成像于佩戴者的远点处.

远视镜应该让佩戴者看清明视距离 ( $25\mathrm{cm}$ ) 处的物, 也就是使明视距离处的物成像于佩戴者近点处.

眼镜的度为 $$ P = 100\mathrm{m}/f $$ 近视眼佩戴凹透镜, 度数为负. 远视眼佩戴凸透镜, 度数为正.

几何光学总结

$$ \begin{align} \left\{\begin{array}{c}惠更斯原理\\费马原理\end{array}\right\} \overset{精确}{\Rightarrow} \left\{\begin{array}{c}折射定律\\反射定律\end{array}\right\} \overset{傍轴近似}{\Rightarrow} \left\{\begin{array}{c}球面折射公式\\球面反射公式\end{array}\right\} \overset{薄透镜近似}{\Rightarrow} 薄透镜高斯物像公式 \end{align} $$

第三章干涉

杨氏双缝

在傍轴近似下有 $$ \frac{\delta}{d} = \frac{x}{D} $$

双缝间距为 d , 距离孔 D 处的屏上, x 的距离对应 $\delta$ 的光程差.

等厚干涉

牛顿环, 由于半波损, 中心为暗点.

等倾干涉

上下表面反射的相同倾角的两束光在无穷远处形成干涉条纹. 无近似, i 为介质内的入射反射角(教材3-35) $$ \Delta L = 2 n h \cos i $$

F-P 干涉仪条纹的半高全宽 $\varepsilon$ 与反射率 R 之间的关系 $$ \varepsilon = \frac{2(1 - R)}{\sqrt{R}} $$

第四章衍射

用矢量图解法叠加振幅

教材图 4-15

菲涅耳半波带片的焦距公式

好像以前那种老式的手电筒上就是用的这种衍射的会聚透镜. $$ f = \frac{\rho_1^2}{\lambda} = \frac{\rho_k^2}{k\lambda} $$

夫琅禾费衍射

单缝

$$ \frac{I}{I_0} = \left(\frac{\sin \alpha} {\alpha}\right)^2 \quad, \mathrm{where} \quad \alpha = \frac{a \pi}{\lambda}\sin \theta $$

多缝

$$ \frac{I}{I_0} = \left(\frac{\sin \alpha}{\alpha}\right)^2 \left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2 \quad, \mathrm{where} \quad\alpha = \frac{a \pi}{\lambda}\sin \theta, \quad\beta = \frac{d \pi}{\lambda}\sin \theta $$

当 $\beta = k\pi$ 时, 多缝因子为 $N^2$ 为主极大. 当 $\beta = (k + m/N)\pi,m/N\notin \mathbb{Z}$ 时, 强度为零.

半角宽度, 是 k 级主极大到相邻暗纹的距离 $$ \begin{align} \Delta \theta_k =& (\theta_k+\Delta\theta_k) - \theta_k = \arcsin\left[\left( k + \frac{1}N \right) \frac{\lambda}{d}\right] - \arcsin\left( \frac{k\lambda}{d}\right) = \frac{\lambda}{Nd\cos\theta_k} + \mathcal{O}\left( \frac{1}{N^2} \right) \ \approx& \frac{\lambda}{Nd\cos\theta_k}

\end{align}{} $$

光栅

"光栅的衍射场鲜明地表现出'多光束干涉'的基本特征". 光栅性能的主要标志为色散本领和色分辨本领.

角色散本领, 是两个很接近的波长产生的两个主极大分开的角度与波长差的比值, 量纲是波长的倒数 $$ \begin{align} D_{\theta} =& \frac{\delta \theta}{\delta\lambda} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\arcsin\left( \frac{k\lambda}{d} \right) =\frac{k}{d}\frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{k\lambda}{d} \right)^2}} =\frac{k}{d}\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \\ =& \frac{k}{d\cos\theta_k} \end{align} $$

线色散本领 $$ D_l = fD_{\theta} = f \frac{k}{d \cos\theta_k} $$

两个很接近的波长产生的两个主极大分开的角度, 刚好等于此波长处的半角宽度时, 根据瑞利判据, 刚好可以分辨这两条谱线, 光栅的色分辨本领 R 由此定义 $$ D_{\theta} = \frac{\Delta\theta}{\delta \lambda} \Rightarrow R\equiv \frac{\lambda}{\delta\lambda} = Nk $$

色分辨本领, 是能够分辨的最小波长差

圆孔正入射

$$ I(\theta) = I_0 \left[\frac{2J_1(x)}{x}\right]^2\quad\, ,x=\frac{2\pi a}{\lambda} \sin \theta $$

口径的最小分辨角, 就是第一暗环角半径 $$ \delta \theta_{\mathrm{min}} \Delta\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D} $$

第五章变换光学

屏函数

衍射屏的作用可以集中地用屏函数来表征 $$ \tilde{T}(x, y) = \frac{\tilde{U}_\mathrm{out}(x, y)} {\tilde{U}_\mathrm{in}(x, y)} $$ 它的模叫振幅变换函数, 它的相位叫做相位变换函数.

平面波和球面波的复振幅

球面波

从 $(x_0, y_0, 0)$ 发出的球面波, 在点 $(x, y, z)$ 处的复振幅为 $$ \tilde{U}(x, y ) = \frac{Ae^{\mathrm{i}\phi_0}}{r}e^{\mathrm{i}kr} $$ 其中 $r = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + z^2}$ . 在傍轴近似下, 可以在 $x = 0, y = 0 ,x_0 = 0, y_0 = 0$ . 做 Taylor 展开, 并且只保留到二阶项 $$ \begin{align} r =& |z| + \frac{1}{2}\frac{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}{|z|} + \mathcal{O}\left\{\left[(x-x_0)^2 + (y - y_0)^2\right]^2\right\} \\ \approx& |z| + \frac{x_0^2 + y_0^2}{2|z|} + \frac{x^2 + y^2}{2|z|} - \frac{xx_0 + yy_0}{|z|} \end{align} $$ 在复振幅中, 分母中可以直接取领头项 $r\approx |z|$ . 而在指数上, 由于 k 很大, 在不满足远场近似时, 需要保留二阶项. 所以傍轴近似下, 复振幅表示为 $$ \tilde{U}(x, y ) = \frac{Ae^{\mathrm{i}\phi_0}}{|z|}e^{\mathrm{i}k\left( |z| + \frac{x_0^2 + y_0^2}{2|z|} + \frac{x^2 + y^2}{2|z|} - \frac{xx_0 + yy_0}{|z|} \right)} $$ 取其复共轭, 即为会聚波.

平面波 $$ \tilde{U}(\vec{r}) = Ae^{\mathrm{i}\phi_0}e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{r}} $$

傅里叶变换

夫琅禾费积分 $$ \begin{align} \tilde{U}(x', y') =& Ae^{\mathrm{i}kz}e^{\mathrm{i}k\frac{x'^2 + y^2}{2}} \int\mathrm{d}x\int\mathrm{d}y \cdot \tilde{T}(x, y) \cdot e^{-\mathrm{i}k\frac{xx' + yy'}{z}} \\ \tilde{U}(\theta_1, \theta_2) =& Ae^{\mathrm{i}\phi(\theta_1, \theta_2)} \int\mathrm{d}x\int\mathrm{d}y \cdot \tilde{T}(x, y) \cdot e^{-\mathrm{i}k(x\sin\theta_1 + y\sin\theta_2)} \\ \end{align} $$ 都是傅里叶变换的形式. 衍射屏上的一点 $(x, y)$ 就对应一对频率. 衍射屏的大小是有限的, 所以衍射屏会过虑掉一些频率的作用.

全息照相

全息底片记录了照片的相位信息 $$ I_H(x, y) = (\tilde{U}_O + \tilde{U}_R) (\tilde{U}_O + \tilde{U}_R)^* $$

经过线性冲洗后的透过率函数为 $\tilde{T}_H$ , 用 $\tilde{U}_R'$ 照射后, 透射场为 $$ \begin{align} \tilde{U}_T =& \tilde{T}_H\tilde{U}_R' = [T_O + \beta I_H(x, y)]\tilde{U}_R'\ =&(T_0 + \beta A_O^2 + \beta A_R^2)\tilde{U}_R'

\beta \tilde{U}_R'\tilde{U}_R^* \tilde{U}_O
\beta \tilde{U}_R'\tilde{U}_R \tilde{U}_O^* \end{align} $$ 三项分别对应 0, 1, -1 级

第六章偏振

马吕斯定律

线偏振光通过检偏器后透射光的强度随 $\theta$ 角变化的规律 $$ I_2 = I_1 \cos^2\theta $$

布儒斯特角

使 p 分量反射率为零的入射角 $i_B$ 称为布儒斯特角. 从介质 $n_1$ 到 $n_2$ 的布儒斯特角为 $$ i_B = \arctan \frac{n_2}{n_1} $$

菲涅耳反射折射公式

$$ \begin{align} &\left\{ \begin{array}{c} \tilde{r}_p = \frac{\tan(i_1 - i_2)}{\tan(i_1 + i_2)} \\ \tilde{r}_s = \frac{\sin(i_2 - i_1)}{\sin(i_2 + i_1} \end{array} \right. \\ &\left\{ \begin{array}{c} \tilde{t}_p = \frac{2n_1\cos i_1}{n_2\cos i_1 + n_1 \cos i_2} \\ \tilde{t}_s = \frac{2n_1\cos i_1}{n_1\cos i_1 + n_2 \cos i_2} \end{array} \right. \end{align} $$

偏振度

$$ I = \frac{I_{\mathrm{max}} - I_{\mathrm{min}}}{I_{\mathrm{max}} + I_{\mathrm{min}}} $$

强度透射反射率

$$ R = \frac{I_1'}{I_1} = |\tilde{r}|^2 $$$$ T = \frac{I_2}{I_1} = \frac{n_2}{n_1}|\tilde{t}|^2 $$

全反射光的相移

$$ \begin{align} \left\{ \begin{array}{c} \delta_p = 2 \arctan \left( \frac{n_1}{n_2} \frac{\sqrt{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\sin^2i_1-1}}{\cos i_1} \right) \\ \delta_s = 2 \arctan \left( \frac{n_2}{n_1} \frac{\sqrt{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\sin^2i_1-1}}{\cos i_1} \right) \end{array} \right. \end{align} $$

双折射

光线垂直于主光轴传播, 可用折射定律

第七章光与物质相互作用

布格定律

$$ I = I_0 e^{-\alpha l} $$

科西公式

$$ n = A + \frac{B}{\lambda^2} $$

群速度与相速度的关系

群速度 $$ v_{\mathrm{g}} = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} $$

Reference

赵凯华, 新概念物理教程光学 , 2004, 高等教育出版社
Eugene Hecht, Optics, Global Edition, 2017, Pearson Higher Education

量子光学读书会01电磁场的量子化

2020-03-18T00:00:00+08:00

3.11 日 DRJ 主讲.

2.1 电磁场的量子化

选取 Coulomb gauge, 由 Maxwell equations 可以得到关于矢势 $\vec{A}$ 的波动方程 $$ \nabla^2 \vec{A}(\vec{r},t) = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{A}(\vec{r}, t)}{\partial t^2} $$ 选取基底和适当的单位, 解可以写为 $$ A(\vec{r},t) = \sum_k \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega_k\varepsilon_0}} \left[ a_k \vec{u}_k(\vec{r}) e^{-\mathrm{i}\omega_k t} + a_k^{\dagger} \vec{u}_k^*(\vec{r}) e^{\mathrm{i}\omega_k t}\right] $$ 电磁场的经典 Hamiltonian 为 $$ H = \frac{1}{2} \int (\varepsilon_0 \vec{E}^2 + \mu_0\vec{H}^2) \,\mathrm{d}^3\vec{r} $$ 将 $\vec{A}$ 代入, 然后做对应 $a_k \to \hat{a}_k$ , 并满足 Boson 对应关系, 最后得到量子化的电磁场 $$ H = \sum_k \hbar\omega_k \left( a_k^{\dagger} a_k + \frac{1}{2} \right) $$

2.2 Fock 表象

参考

D.F. Walls, Gerard J. Milburn, Quantum Optics, Springer (2008)

d-wave (dissuasion)

2019-12-19T00:00:00+08:00

fig

file:./2019-12-19-physics-dwaveRF/imSigma.jpg

file:./2019-12-19-physics-dwaveRF/imSigma2.jpg

file:./2019-12-19-physics-dwaveRF/bigInteraction.jpg

file:./2019-12-19-physics-dwaveRF/fig1.jpg

file:./2019-12-19-physics-dwaveRF/fig2.jpg

file:./2019-12-19-physics-dwaveRF/fig3.jpg

code

[[file:./2019-12-19-physics-dwaveRF/p-WaveSinglePole.f90][fortran code download]]

! ==============================================================================
! program  : pWaveSinglePole
! version  : 02-Dec-2019
! author   : Zeqing Wang
! purpose  : calculate the RF spectrum of p-wave sue single pole approximation 
! reference: 
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : param
! type     : module
! version  : 05-Dec-2019
! purpose  : set the precision
! comment  : 
! ==============================================================================
module prec
  implicit none
  integer, parameter :: rkind=16   ! the precision
end module prec
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : param
! type     : module
! version  : 05-Dec-2019
! purpose  : set the precision
! comment  : 
! ==============================================================================
module param
  use prec
  implicit none
  real(kind=rkind), parameter :: pi=acos(-1.0_rkind)
  real(kind=rkind), parameter :: beta=1_rkind, mu=-1_rkind, rkv=&
       &-1.0_rkind, rp=1.0/30.0
  real(kind=rkind), parameter :: phi_k=0.0 ! phi_k 是无关的量, 不影响结果
end module param
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : pWavesinglePole
! type     : program
! version  : 19-Dec-2019
! comment  : the main program
! ==============================================================================
program pWaveSinglePole
  use prec
  use param
  implicit none

  integer, parameter :: dim=50 ! 画图取点的个数
  integer :: i                  ! 循环变量
  real(kind=rkind) :: x(dim) ,y(dim)    ! 纵坐标
  real(kind=rkind) :: sigma, spectrum_k_thetak ! 画图用到的函数
  real(kind=rkind) :: k=2.0, theta_k = pi/2 ! 给定 k 和 theta_k 画图
  real(kind=rkind) :: start, end        ! 用于计时的变量

  interface
     function linspace(a, b, dim) result(list)
       use prec
       integer :: dim
       real(kind=rkind) :: a, b, list(dim)
     end function linspace
  end interface

  ! 计时开始
  call cpu_time(start)
  
  x = linspace(-20.0_rkind, 10.0_rkind, dim)
!  x = linspace(0.0_rkind, pi, dim)
  do i = 1, dim
          y(i) = sigma(x(i), k, theta_k)
     !     y(i) = spectrum_k_thetak(x(i), k, theta_k)
     print *, 'calculating...', i, 'of', dim
  end do

  ! 计时结束
  call cpu_time(end)
  print *, 'calculate finish! time is ', end - start, 'seconds'

  ! 将数据保存到文件, 用于画图
  open(1, file='./data/datax.csv')
  write(1, *) x
  close(1)
  open(2, file='./data/datay.csv')
  write(2, *) y
  close(2)
  print *, 'save data finish!'  
end program pWaveSinglePole

! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : spectrum
! type     : function
! version  : 19-Dec-2019
! purpose  : calculate spectrum function
! comment  : 还是只有虚部
! ==============================================================================
function spectrum_k_thetak(omega, k, theta_k)
  use prec
  use param
  implicit none

  real(kind=rkind) :: omega, k, theta_k
  real(kind=rkind) :: spectrum_k_thetak
  real(kind=rkind) :: sigma, sigma_real, sigma_imag
  sigma_imag = sigma(omega, k, theta_k)
!  print *, sigma_imag
  sigma_real = 0.0_rkind

  spectrum_k_thetak = -2*sigma_imag / ((omega - k**2 - sigma_real)**2 +&
       & sigma_imag**2) 
end function spectrum_k_thetak
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : sigma
! type     : function
! version  : 18-Dec-2019
! purpose  : calculate self energy
! comment  : 积掉 phi_q . 还是只有虚部
! ==============================================================================
function sigma(omega, k, theta_k)
  use prec
  use param
  implicit none

  real(kind=rkind) :: sigma

  real(kind=rkind) :: omega, k, theta_k, theta_q, phi_q

  real(kind=rkind) :: gaussQuad, r1, r2, x, cos_theta_kq, deltapart
  integer, parameter :: n=50

  ! 将没有积掉 phi_q 时的自能接口进来
  interface
     function sigma_phiq(omega, k, theta_k, phi_q)
       use prec
       implicit none
       real(kind=rkind) :: omega, k, theta_k, phi_q
       real(kind=rkind) :: sigma_phiq
     end function sigma_phiq
  end interface
  
  sigma = gaussQuad(fun, 0.0_rkind, 50.0_rkind, n)

contains
  function fun(phi_q)
    use prec
    implicit none
    real(kind=rkind) :: phi_q, fun
    fun = sigma_phiq(omega, k, theta_k, phi_q)
  end function fun
end function sigma
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : sigma_phiq
! type     : function
! version  : 18-Dec-2019
! purpose  : calculate self energy
! comment  : 这里把 q 积掉了, 还乘下 theta_q, phi_q 没有积
!            再积掉 theta_q, 还乘下 phi_q 没有积
! ==============================================================================
function sigma_phiq(omega, k, theta_k, phi_q)
  use prec
  use param
  implicit none

  real(kind=rkind) :: omega, k, theta_k, theta_q, phi_q
  real(kind=rkind) :: sigma_phiq, sp
  real(kind=rkind) :: gaussQuad, r1, r2, x, cos_theta_kq, deltapart
  integer, parameter :: n=50

  ! 将没有积掉 theta_q 时的自能接口进来
  interface
     function sigma_thetaq_phiq(omega, k, theta_k, theta_q, phi_q)
       use prec
       implicit none
       real(kind=rkind) :: omega, k, theta_k, theta_q, phi_q
       real(kind=rkind) :: sigma_thetaq_phiq
     end function sigma_thetaq_phiq
  end interface
  
  sigma_phiq = gaussQuad(fun, 0.0_rkind, 50.0_rkind, n)

  ! 将没有积掉 theta_q 的自能定义成一个 theta_q 的函数
contains
  function fun(theta_q)
    use prec
    implicit none
    real(kind=rkind) :: theta_q, fun
    fun = sigma_thetaq_phiq(omega, k, theta_k, theta_q, phi_q)
  end function fun
end function sigma_phiq
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : sigma_thetaq_phiq
! type     : function
! version  : 18-Dec-2019
! purpose  : calculate self energy
! comment  : 这里把 q 积掉了, 还乘下 theta_q, phi_q 没有积
! ==============================================================================
function sigma_thetaq_phiq(omega, k, theta_k, theta_q, phi_q)
  use prec
  use param
  implicit none

  real(kind=rkind) :: omega, k, theta_k, theta_q, phi_q
  real(kind=rkind) :: sigma_thetaq_phiq, sp
  real(kind=rkind) :: cauthyGaussQuad, r1, r2, x, cos_theta_kq, deltapart
  real(kind=rkind) :: delta ! b^2 - 4*a*c

  ! 将没有积掉 q 时的自能接口进来
  interface
     function numerator_of_sigma(omega, k, q, theta_k,  theta_q, phi_q)
       use prec
       implicit none
       real(kind=rkind) :: omega, k, q, theta_k,  theta_q, phi_q
       real(kind=rkind) :: numerator_of_sigma
     end function numerator_of_sigma
  end interface
  
  x = cos_theta_kq(theta_k, theta_q, phi_k, phi_q)
!  x=0
  delta = 4*k**2*x**2 - 2*(omega + k**2 +mu + rkv)
  if (delta .gt. 0.0_rkind) then
     r1 = 2*k*x - sqrt(delta)
     r2 = 2*k*x + sqrt(delta)
     sigma_thetaq_phiq = deltapart(fun, r1, r2) ! 计算出虚部
  else
     sigma_thetaq_phiq = 0      ! 计算出虚部
  end if



  ! 将没有积掉 q 的自能定义成一个 q 的函数(便于计算虚部, 去掉了分母)
contains
  function fun(q)
    use prec
    implicit none
    real(kind=rkind) :: q, fun
    fun = numerator_of_sigma(omega, k, q, theta_k,  theta_q, phi_q)
  end function fun
end function sigma_thetaq_phiq
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : sigma_q_thetaq_phiq
! type     : function
! version  : 05-Dec-2019
! purpose  : calculate self energy
! comment  : 这里有三个待积变量, q, theta_q, phi_q
! ==============================================================================
function sigma_q_thetaq_phiq(omega, k, q, theta_k,  theta_q, phi_q)
  use prec
  use param
  implicit none

  real(kind=rkind) ::  omega, k, theta_k, q, theta_q, phi_q
!  real(kind=rkind) :: phi_k=0_rkind
  real(kind=rkind) :: real, imag
  real(kind=rkind) :: sigma_q_thetaq_phiq
  real(kind=rkind) :: kp2       !square of k'
  real(kind=rkind) :: cos_theta_kq, bose, cos_theta_kprime, sylm10

  kp2 = 4*k**2 + q**2 - 4*k*q*cos_theta_kq(theta_k, theta_q, phi_k, phi_q) !k'^2

  sigma_q_thetaq_phiq = bose(k**2 + q**2 - 2*cos_theta_kq(theta_k, theta_q, phi_k&
                      &, phi_q) - mu, beta)&
                      & - bose(q**2/2 - 2*mu - rkv, beta)
  sigma_q_thetaq_phiq = sigma_q_thetaq_phiq / (omega + k**2 + q**2/2 -2*k*q&
                      &*cos_theta_kq(theta_k, theta_q, phi_k, phi_q) + mu +&
                      & rkv)
  sigma_q_thetaq_phiq = sigma_q_thetaq_phiq * q**2 * kp2 * sin(theta_q) *&
       & sylm10(cos_theta_kprime(k, q, cos_theta_kq(theta_k, theta_q, phi_k,&
       & phi_q))) * rp * 2 / (pi**2)
end function sigma_q_thetaq_phiq
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : numerator_of_sigma
! type     : function
! version  : 24-Dec-2019
! purpose  : calculate self energy
! comment  : 这里有三个待积变量, q, theta_q, phi_q
!            function sigma_q_thetaq_phiq 去掉分母, 用于计算虚部
! ==============================================================================
function numerator_of_sigma(omega, k, q, theta_k,  theta_q, phi_q)
  use prec
  use param
  implicit none

  real(kind=rkind) ::  omega, k, theta_k, q, theta_q, phi_q
!  real(kind=rkind) :: phi_k=0_rkind
  real(kind=rkind) :: real, imag
  real(kind=rkind) :: numerator_of_sigma
  real(kind=rkind) :: kp2       !square of k'
  real(kind=rkind) :: cos_theta_kq, bose, cos_theta_kprime, sylm10

  kp2 = k**2 + q**2/4 - k*q*cos_theta_kq(theta_k, theta_q, phi_k, phi_q) !k'^2

  numerator_of_sigma = bose(k**2 + q**2 - 2*cos_theta_kq(theta_k, theta_q, phi_k&
                      &, phi_q) - mu, beta)&
                      & - bose(q**2/2 - 2*mu - rkv, beta)

  numerator_of_sigma = numerator_of_sigma * q**2 * kp2  * sin(theta_q) *&
        & sylm10(cos_theta_kprime(k, q, cos_theta_kq(theta_k, theta_q, phi_k,&
        & phi_q))) * rp * 2 / (pi**2)
end function numerator_of_sigma
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : cos_theta_kprime
! type     : function
! version  : 05-Dec-2019
! purpose  : known k, q, and the angle between k and q, calculate cos(k'),
!            where k' is the angle between k and -k+q
! comment  : 
! ==============================================================================
function cos_theta_kprime(k, q, cos_theta_kq)
  use prec
  implicit none

  real(kind=rkind), intent(in) :: k, q, cos_theta_kq
  real(kind=rkind) :: cos_theta_kprime

  cos_theta_kprime =  (2*k*q*cos_theta_kq - 2*k**2) / (2*k*sqrt(k**2 + q**2 -&
       & 2*k*q*cos_theta_kq))   
end function cos_theta_kprime
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : cos_theta_kq
! type     : function
! version  : 05-Dec-2019
! purpose  : known theta_k, theta_q, phi_k, phi_q, calculate the cosine of
!            angle between k and q
! comment  : 
! ==============================================================================
function cos_theta_kq(theta_k, theta_q, phi_k, phi_q)
  use prec
  implicit none

  real(kind=rkind), intent(in) :: theta_k, theta_q, phi_k, phi_q
  real(kind=rkind) :: cos_theta_kq

  cos_theta_kq = sin(theta_k)*sin(theta_q)*cos(phi_k - phi_q) + cos(theta_k)&
       &*cos(theta_q) 
end function cos_theta_kq
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : bose
! type     : function
! version  : 05-Dec-2019
! purpose  : Bose-Einstein function
! comment  : n(x, beta) = 1 / (e^(beta*x) - 1)
!            beta: 1/Temperature  x: energy
! ==============================================================================
function bose(energy, beta)
  use prec
  implicit none

  real(kind=rkind), intent(in) :: energy, beta
  real(kind=rkind) :: bose
  if (energy .lt. 0.0_rkind) then
     print *, '=======Energy is negtive, Unphysical!======'
     stop
  end if

  bose = exp(-beta*energy) / (1 - exp(- beta*energy))
end function bose
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : sylm10
! type     : function
! version  : 05-Dec-2019
! purpose  : square of spherical harmonica function
! comment  : |Y_l=1 m=0(x)|^2
! ==============================================================================
function sylm10(x)
  use prec
  use param
  implicit none

  real(kind=rkind), intent(in) :: x
  real(kind=rkind) :: sylm10

  sylm10 = 3/(4*pi) * cos(x)**2
end function sylm10
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : cauthyGaussQuad
! type     : function
! version  : 05-Dec-2019
! purpose  : calculate the cauthy principal value integral of function "fun"
!            from a to b with singlarity sp
! comment  : 
! ==============================================================================
function cauthyGaussQuad(fun, a, b, n, sp)
  use prec
  implicit none

  integer, intent(in) :: n
  real(kind=rkind), intent(in) :: a, b, sp

  ! 被积函数接口
  interface
     function fun(x)
       use prec
       implicit none
       real(kind=rkind) :: x, fun
     end function fun
  end interface
  
  integer :: j
  real(kind=rkind) :: cauthyGaussQuad, diffa, diffb, ff, sgq1, sgq2, gaussQuad

  diffa = sp - a
  diffb = b - sp

! 计算积分
  if (diffa .lt. diffb) then
     sgq1 = gaussQuad(ffun, 0.0_rkind, sp-a, n)
     sgq2 = gaussQuad(fun, 2*sp-a, b, n)
  else
     sgq1 = gaussQuad(ffun, 0.0_rkind, b-sp, n)
     sgq2 = gaussQuad(fun, a, 2*sp-b, n)
  end if

  cauthyGaussQuad = sgq1 + sgq2
contains
  function ffun(t)
    use prec
    implicit none
    real(kind=rkind) :: t, ffun
    ffun = fun(t+sp) + fun(-t+sp)
  end function ffun
end function cauthyGaussQuad
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : gaussQuad
! type     : function
! version  : 03-Dec-2019
! purpose  : calculate the integral of function "fun" from a to b
! comment  : 
! ==============================================================================
function gaussQuad(fun, a, b, n)
  use prec
  implicit none

  integer, intent(in) :: n
  real(kind=rkind), intent(in) :: a, b

  ! 被积函数接口
  interface
     function fun(x)
       use prec
       implicit none
       real(kind=rkind) :: x, fun
     end function fun
  end interface
  
  integer :: j
  real(kind=rkind) :: gaussQuad, r(2, n), fxi(n)

  ! 根与权重接口
  interface
     function node_weight(n) result(r)
       use prec
       implicit none
       integer :: n
       real(kind=rkind) :: r(2, n)
     end function node_weight
  end interface

  ! 计算积分
  r = node_weight(n)
  do j = 1, n
     fxi(j) = fun((r(1, j)*(b - a) + a + b) / 2)
  end do
  gaussQuad = dot_product(r(2, :), fxi)
  gaussQuad = gaussQuad * (b - a) / 2
end function gaussQuad
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : node_weight
! type     : function
! version  : 02-Dec-2019
! purpose  : calculate the root of n-order Legendre polynomial, and weight
! comment  : use the method in reference
! ==============================================================================
function node_weight(n) result(r)
  use prec
  implicit none
  integer :: n, i, iter, k
  real(kind=rkind) :: r(2, n), x, f, df, dx
  real(kind=rkind), parameter :: pi = acos(-1._rkind)
  real(kind=rkind), allocatable :: p0(:), p1(:)
  real(kind=rkind), allocatable :: tmp(:)

  ! 利用递推公式求 n 阶 Legendre 多项式的系数, 幂次从高到低排列, 结果就是数组 p1 
  p0 = [1.0_rkind]
  p1 = [1._rkind, 0._rkind]
  do i = 2, n
     tmp = ((2*i - 1)*[p1, 0._rkind] - (i - 1)*[0._rkind, 0._rkind, p0]) / i
     p0 = p1; p1 = tmp
  end do
  
  ! 这个函数将 n 阶的情况的 根存在 r(1,:) 中, 权重存在 r(2, :) 中
  do i = 1, n
     x = cos(pi*(i - .25_rkind) / (n + .5_rkind))
     do iter = 1, 10
        f = p1(1); df = 0._rkind
        do k = 2, size(p1)
           df = f + x*df        ! 得到的是 P_n'(x_0) 的值
           f = p1(k) + x*f      ! 得到的是 P_n(x_0) 的值
        end do
        dx = f/df
        x = x - dx
        if (abs(dx)<10*epsilon(dx)) exit
     end do
     r(1, i) = x
     r(2, i) = 2/((1 - x**2)*df**2)
  end do
end function node_weight
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : linspace
! type     : function
! version  : 19-Dec-2019
! purpose  : similar to 'numpy.linspace' in python
! comment  : 
! ==============================================================================
function linspace(a, b, dim) result(list)
  use prec
  implicit none

  real(kind=rkind) :: a, b
  integer :: dim
  real(kind=rkind) :: list(dim)
  
  integer :: i
  real(kind=rkind) :: diff

  do i = 1, dim
     list(i) = i - 1            ! i-1 instead of i, in order to be the same as
                                ! numpy.linspace 
  end do

  diff = b - a
  list = a + list * diff/dim
end function linspace
! ==============================================================================




! ==============================================================================
! program  : deltapart
! type     : function
! version  : 18-Dec-2019
! purpose  : get the delta part of  \int_0 ^\inf f(x) / ((x-r1)(x-r2) + i0) dx
! comment  : the result is -pi * (f(r1) - f(r2)) / (r1 - r2)
!            注意, 这个程序没有得到验证!
! ==============================================================================
function deltapart(fun, r1, r2)
  use prec
  use param
  implicit none
  real(kind=rkind) :: r1, r2, deltapart
  
    ! 函数 f(x) 的接口
  interface
     function fun(x)
       use prec
       implicit none
       real(kind=rkind) :: x, fun
     end function fun
  end interface

  if ((r1 .lt. 0) .and. (r2 .lt. 0)) then ! 两个根都小于零, 没有虚部
     deltapart = 0
     ! print *, 'no root'
  else if (r1 .lt. 0) then          ! r1<0, r1>0, 取 r2
     deltapart = pi * fun(r2) / (r1-r2)
     ! print *, 'root2'
     ! print *, fun(r2)
  else if (r2 .lt. 0) then          ! r1<0, r2>0, 取 r1
     deltapart = -pi * fun(r1)  / (r1-r2)
     ! print *, 'root1'
  else                          ! 两个根都大于0
     deltapart = -pi * (fun(r1) - fun(r2)) / (r1-r2)
     ! print *, '2 roots'
  end if
end function deltapart
! ==============================================================================

BCS Theory 课堂笔记整理 II

2019-12-08T00:00:00+08:00

Review

真空中的两体问题, 费米海上的两体问题, 都可以求解, 它们的方程略有不同.

$$\begin{align} \frac{m}{4\pi \hbar^2 a_s} = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{V}\left( \sum_{\vec{k}}\frac{1}{E - 2\epsilon_{\vec{k}}} + \sum_{\vec{k}}\frac{1}{2\epsilon_{\vec{k}}}\right) & \mathrm{vacuum}\\ \frac{1}{V}\left( \sum_{|\vec{k}|> k_{\mathrm{F}}}\frac{1}{E - 2(\epsilon_{\vec{k}} - \mu)} + \sum_{\vec{k}}\frac{1}{2\epsilon_{\vec{k}}}\right) & \mathrm{Fermi sea} \end{array} \right. \end{align}$$

右边求和之后是关于能量的函数, 把能量的函数画出来. 特别关心的是能量为负的一边 [[./2019-12-08-physics-BCSII/fig2.jpg]] 有费米海的两体问题, 求和变成了所有对于 $|\vec{k}| > k_{\mathrm{F}}$ 的求和, 因为这时候已经有费米子把费米海填满了. 在 $E$ 很负的地方, 两条线是逐渐靠近的. 它们的区别是在 $E=0$ 时, 一个函数是 $0$ (一加一减抵消掉了), 还有一个向 $-\infty$ 发散. 解这个方程, 画一条横线( $\propto \frac{1}{a_s}$ ) .

从这个方程的结构里边可以看到, 如果要去研究这个问题的话, 散射长度是一个最关键的参数. 最好的标定这个参数效果的不是它自己, 而是它的倒数, 也就是 $1/a_s$ . 但它不是无量纲的东西, 在多体系统中, 一般要乘上一个动量的单位 , 在多体系统中, 最自然的单位就是费米动量, 所以就用 $-\frac{1}{k_{\mathrm{F}}a_s}$ (习惯上加个负号) 来标定.

BEC 侧

如果 $\frac{1}{k_{\mathrm{F}}a_s} \gg 1$ , 散射长度自己是个非常小的正数. 求解的时候, 线就在很高的地方. 这时两个交点都在 $E$ 是负的, 并且很大的地方, 说明这两个两体问题的解起来越靠近, 靠近到 $\propto\sqrt{-E}$ , 方程的解是

$$\begin{align} E = - \frac{\hbar^2}{m a_s} \end{align}$$

这个区域, 等价于 $1/a_s \gg k_{\mathrm{F}}$ , $d \tilde{} 1/k_{\mathrm{F}} \gg a_s$ , 这代表着 2-body bound state energy 的绝对值要远大于费米能, 也就是

$$\begin{align} |E| \gg \frac{\hbar^2k_{\mathrm{F}}^2}{2m} = E_{\mathrm{F}} \end{align}$$

另外一个角度来讲, 这样的 energy 对应的 2-body bound state 的大小是 $a_s$ 那么大. binding energy 越大, $a_s$ 越小. bound state size 越小, 束缚越强. bound state size 远小于粒子间间距. 双原子分子形成 BEC

BCS 侧

另外一个区域, $\frac{1}{k_{\mathrm{F}}a_s} \gg 1$ , 线在很负的地方, 在下面. 在这个区域中, 真空中的两体问题是没有解的. 没错, 如果散射长度是负的, 真空中的两体问题没有所谓的 shallow bound state . 但是, 在多体系统中, 会给出一个 $E < 0$ 的解, 这告诉我们 Fermi surface 是不稳定的. 因为在费米面上放两个 particle , 激发能是负的. 所以要 reconstruct 一个 ground state. 但是 2-body 的解给我们一些启发 1. 这个不稳定, 不是一个单粒子的不稳定, 是一个 2-body 的不稳定性, 它应该跟两个费米子的相互作用有关系 2. 这个能量虽然是负的, 但是非常小, 这个贡献来自于 $\mu$ 的贡献 (从方程中可以看出, 这个发散的贡献, 来自于费米面附近的贡献) , 所以这个 reconstruction 最主要的要发生在 Fermi surface 附近. 这就是从 2-body 的解得到的 motivation . 因为这个 motivation, 要去重构一个 ground state, 这个 ground state 就是 BCS state

费米面的空间反射对称性

这个 BCS state 从最原始的有相互作用的两分量费米气体出发

$$\begin{align} H = \sum_{\vec{k,\sigma}}(\epsilon_{\vec{k}} - \mu) c^{\dagger}_{\vec{k}\sigma}c_{\vec{k}\sigma} + \frac{g}{V}\sum_{\vec{k}, \vec{k}', \vec{q}} c^{\dagger}_{\vec{k}+\vec{q}/2\uparrow}c^{\dagger}_{-\vec{k}+\vec{q}/2\downarrow} c_{-\vec{k}' + \vec{q}/2\downarrow}c_{\vec{k}'+\vec{q}/2\uparrow} \end{align}$$

有四费米子的相互作用. 第一件事情是取 $\mathrm{q}=0$ . 所以散射过程中的一对费米子的 center of mass momentum 就是 $\mathrm{q}$ . 动量转移是 $\vec{k} - \vec{k}'$ . 原则上 $\vec{q}$ 可以随便取. 但是为什么通常在 BCS 理论中取 $\vec{q} = 0$ , 这是什么道理?

因为大部分处理的问题中, 费米面有空间反射不变性 (球形是一个典型例子). 这保证了如果 $\vec{k}$ 在费米面上, $-\vec{k}$ 一定也在费米面上. 保证了

$$\begin{align} \epsilon_{\vec{k}} = \epsilon_{-\vec{k}} \end{align}$$

如果 $\vec{q}\neq 0$ , 那么 $\epsilon_{\vec{k}+\vec{q}/2}$ 和 $\epsilon_{-\vec{k}+\vec{q}/2}$ 不一定相等. 相当于把两个粒子在动量空间上整体平衡一下, 一个态还在费米面上, 另一个态已经不在费米面上了. 所以具有空间反射不变性的费米面保证了, 两个发生散射的粒子同时在费米面上, 也就是只要 $\vec{k}$ 在费米面上, $-\vec{k}$ 一定在费米面上, 散射之后也一定在费米面上.

这个 reconstruction , 量子态的重构发生在, Fermi surface 附近, 要保证 $\vec{k}$ 跟 $-\vec{k}$ 都在费米面附近. 也有一些系统, 它发生的 pairing $\vec{q} \neq 0$ 这些系统费米面的结构和现在讨论的不一样. 这些 $\vec{q} \neq 0$ 的 pairing state 叫做 FFLO state, 但这些态是很奇怪的. 很多情况下, 它的 energy 是不稳定的, 除非 Fermi surface 特别奇怪.

所以第一件事, 就是取了 $\vec{q} = 0$ 的 scattering , 这样做的原因与费米面的空间反射对称性有关.

Pairing Symmetry

第二件事情就是, 一般讲来, 散射的系数是 $V(\vec{k} - \vec{k}')$ , 就像一个矩阵一样, 有两个 index . 一个 index 是 $\vec{k}$ , 一个 index 是 $\vec{k}'$ . 可以对这个矩阵进行正交分解

$$\begin{align} V(\vec{k} - \vec{k}') = \sum_i \lambda_i f_{\vec{k}}^i f_{\vec{k}'}^i \end{align}$$

这里相当于是做了对角化([[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%88%86%E8%A7%A3][特征分解]]) . 而且上式的结果已经默认 $V(\vec{k} - \vec{k}')$ 是实对称的, 这符合物理. 从上式也可以体会特征分解的本质. 每个矩阵元都包含不同的特征值的成分, 每个特征值对应的成分就是特征值对应的特征向量的的两个元素的乘积, 就是每个特征向量的外积按特征值为权重做线性组合. 比如一个 $2\times 2$ 的实对称的矩阵 $\Sigma$ 可以对角化 \begin{align} U^T\Sigma U = \Lambda = \left( \begin{array}{cc} \lambda_a & \\ & \lambda_b \end{array} \right) \end{align} 其中 \begin{align} U = \left( \begin{array}{cc} \vec{u}_a & \vec{u}_b \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} C_{a1} & C_{b1}\\ C_{a2} & C_{b2} \end{array}\right) \end{align} 如果分解成外积的形式 \begin{align} \Sigma = \sum_i \, \lambda_i \cdot\vec{u}_i \otimes \vec{u}^T_i \end{align} 如果写成矩阵元的形式 \begin{align} \Sigma_{ij} = \sum_{kl} U_{ik} \lambda_k\delta_{kl} U_{jl} = \sum_k \lambda_k U_{ik} U_{jk} \end{align} 具体写出来就是 \begin{align} \Sigma = U \Lambda U^T = \left( \begin{array}{cc} \lambda_aC_{a1}^2 + \lambda_bC_{b1}^2 & \lambda_a C_{a1} C_{a2} + \lambda_b C_{b1} C_{b2}\\ \lambda_aC_{a1}C_{a2} + \lambda_bC_{b1}C_{b2} & \lambda_a C_{a2}^2 + \lambda_b C_{b2}^2 \end{array}\right) \end{align} $U_{ij}$ 下标表示第 $j$ 个本征向量第 $i$ 个元素. 很明显, 每个元素都是 $\lambda_a$ 与 $\lambda_b$ 的组合. - $\Sigma_{11}$ 是: $\lambda_a$ 乘上第 $a$ 个本征值的第 $1$ 个元素与第 $1$ 个元素, 加上 $\lambda_b$ 乘上第 $b$ 个本征值的第 $1$ 个元素与第 $1$ 个元素. - $\Sigma_{12}$ 是: $\lambda_a$ 乘上第 $a$ 个本征值的第 $1$ 个元素与第 $2$ 个元素, 加上 $\lambda_b$ 乘上第 $b$ 个本征值的第 $1$ 个元素与第 $2$ 个元素. - $\Sigma_{21}$ 是: $\lambda_a$ 乘上第 $a$ 个本征值的第 $2$ 个元素与第 $1$ 个元素, 加上 $\lambda_b$ 乘上第 $b$ 个本征值的第 $2$ 个元素与第 $1$ 个元素. - ... 还可以发现, 不同的特征值之间没有耦合. 这也合理, 因为它们是正交的.

如果有一个 $\lambda_i$ 特别重要, 把它特别提出来(省略下标 $i$ )

$$\begin{align} \lambda \sum_{\vec{k}, \vec{k}'} \, f_{\vec{k}} f_{\vec{k}'}\, \hat{c}^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \hat{c}_{-\vec{k}', \downarrow} \hat{c}_{\vec{k}', \uparrow} \end{align}$$

换一种记号

$$\begin{align} g \left( \sum_{\vec{k}} \, f_{\vec{k}} \hat{c}^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right) \left( \sum_{\vec{k}'} f_{\vec{k}'}\hat{c}_{-\vec{k}', \downarrow} \hat{c}_{\vec{k}', \uparrow} \right) \end{align}$$

这是

$$\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} = \Delta^{*}\hat{A} + \Delta\hat{A}^{\dagger} - \frac{\Delta^2}{g} \quad \mathrm{where} \quad \Delta = \langle g \hat{A} \rangle \end{align}$$

的形式做完平均场后

$$\begin{align} \Delta^{*} \sum_{\vec{k}} \, f_{\vec{k}} \hat{c}^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} + \Delta \sum_{\vec{k}'} f_{\vec{k}'}\hat{c}_{-\vec{k}', \downarrow} \hat{c}_{\vec{k}', \uparrow} \end{align}$$

这个形式里面, 这个 $f_{\vec{k}}$ 来源于相互作用的分波展开, 它是一个数, 来自于相互作用的 Fourier 变换. 所以这时候把 $\Delta$ 与 $f_{\vec{k}}$ 合在一起

$$\begin{align} \Delta_{\vec{k}} \equiv \Delta^{*} f_{\vec{k}} \end{align}$$

相当于, 这时候的 order parameter 有一个动量依赖, 这个动量依赖的形式来自于相互作用分波展开. 这里的 $f^i_{\vec{k}}$ 取哪一个, 相当于是看相互作用里面哪一个分波是最重要的. 所以 $f_{\vec{k}}$ 在动量空间有一定的对称性, 相当于分波展开, 如果 $f_{\vec{k}}$ 是各向同性的, 就相当于 s 波. p-wave, d-wave 类似. 不同的 $f_{\vec{k}}$ 的不同的对称性, 就决定了 pairing 的 order parameter 不同的对称性. 这个对称性叫作 pairing symmetry . define Cooper wave function 的时候, 就是形成 Cooper pair 的两个粒子相对运动波函数是 s 波还是 p 波的.

Reconstruction of Fermi Surface

对于一个 BCS 理论来讲, 有两件事情. 一个就是 pairing 的 center of masss momentum , 这里取了 $\vec{q}0$ . 第二件事情就是 pairing symmetry , 相互作用的各个不同通道里面, 取哪个通道做 pairing 的平均场. 这两件事是在做 mean field 之前, 先人为取定的. 取哪个波, 相当于取了不同的项做平均场, 最后得到的 wave function, ground state 也不一样. 最后哪个 mean field 更正确, 就要比不同的 mean field 给出的 ground state energy 哪个更低.

这里讨论的是一个 constant $g$ , 也就是说是考虑 s 波散射, s 波 pairing, $f_{\vec{k}}$ 是一个 constant . 所以这里讨论的是 $\vec{q}=0$ 的 s 波 pairing . 就得到了一个 BCS mean field Hamiltonian

$$\begin{align} H_{\mathrm{MF}} = \sum_{\vec{k,\sigma}}(\epsilon_{\vec{k}} - \mu) c^{\dagger}_{\vec{k}\sigma}c_{\vec{k}\sigma} +\Delta^{*} \sum_{\vec{k}}\hat{c}_{-\vec{k},\downarrow} \hat{c}_{\vec{k}, \uparrow} +\Delta \sum_{\vec{k}}\hat{c}^{\dagger}_{\vec{k},\uparrow} \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} - \frac{V}{g}|\Delta|^2 \end{align}$$

这个 Hamiltonian 重要的地方就是它可以对角化, 把它对角化以后

$$\begin{align} H_{MF} = \sum_{\vec{k}} \left[ E_{\vec{k}} (\alpha_{\vec{k}}^{\dagger}\alpha_{\vec{k}} + \beta_{\vec{k}}^{\dagger}\beta_{\vec{k}}) + (\epsilon_{\vec{k}} - \mu -E_{\vec{k}} ) \right] - \frac{V}{g}|\Delta|^2 \end{align}$$

得到准粒子激发的能谱, 以及这些 quasi-particle 的 operator. where

$$\begin{align} E_{\vec{k}} = \sqrt{(\epsilon_k - \mu)^2 + \Delta^2} > 0 \end{align}$$ $$\begin{align} \alpha^{\dagger}_{\vec{k}} = u_{\vec{k}} \hat{c}^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} - v_{\vec{k}}\hat{c}_{-\vec{k}, \downarrow}\\ \beta^{\dagger}_{\vec{k}} = v_{\vec{k}} \hat{c}_{\vec{k}, \uparrow} + u_{\vec{k}}\hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \end{align}$$

怎么从 Hamiltonian 知道波函数, 知道 ground state wave function . 因为对角化完以后, 它的能谱都是正的. 要找 ground state, 就是找

$$\begin{align} \alpha_{\vec{k}} |G\rangle = 0 \\ \beta_{\vec{k}} |G\rangle = 0 \end{align}$$

也就是说, 一旦对角化以后, 得到一个能谱, 这个能谱是恒正的. 就是找到了这个体系里面 well define 的 quasi-particle, 这时候, ground state 就应该定义为 quasi-particle 的真空. 这时候找到的态就是 BCS state

$$\begin{align} |BCS \rangle = \prod_{\vec{k}}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right)|0\rangle \end{align}$$

这时候讨论一个 $\Delta \to 0$ 的极限. 如果 $\Delta \to 0$ , 那么

$$\begin{align} E_{\vec{k}} \to |\epsilon_k - \mu| \end{align}$$

对于 $|\vec{k}| < k_{\mathrm{F}}$ 的时候

$$\begin{align} u_{\vec{k}}^2 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{\epsilon_{\vec{k}} - \mu}{E_{\vec{k}}} \right)\to 0 \\ v_{\vec{k}}^2 = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{\epsilon_{\vec{k}} - \mu}{E_{\vec{k}}} \right) \to 1 \end{align}$$ $$\begin{align} \alpha_{\vec{k}}^{\dagger} \to \hat{c}_{-\vec{k},\downarrow}\\ \beta_{\vec{k}}^{\dagger} \to \hat{c}_{\vec{k},\uparrow} \end{align}$$

准粒子对应于 hole 对于 $|\vec{k}| > k_{\mathrm{F}}$ 的时候

$$\begin{align} u_{\vec{k}}^2 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{\epsilon_{\vec{k}} - \mu}{E_{\vec{k}}} \right)\to 1 \\ v_{\vec{k}}^2 = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{\epsilon_{\vec{k}} - \mu}{E_{\vec{k}}} \right) \to 0 \end{align}$$ $$\begin{align} \alpha_{\vec{k}}^{\dagger} \to \hat{c}^{\dagger}_{\vec{k},\uparrow}\\ \beta_{\vec{k}}^{\dagger} \to \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k},\downarrow} \end{align}$$

准粒子对应于 particle

$\Delta \to 0$ 就意味着 $\Delta \ll |\epsilon_k - \mu|$ , 实际上意味着远离费米面. 这很有道理. 因为对于一个费米气体, 在费米海里面的激发对应于一个 hole , 在费米海外面, 激发对应于一个 particle.

也就是说 for samll $\Delta$ , 这个 $\Delta$ 对 $E_{\vec{k}}$ 的修正主要集中在费米面附近. 在费米面上 $E_{\vec{k}} = \Delta$ , 是一个有限的值. 原来对于 free Fermion, 它的 quasi-particle 的激发是 gapless 的, 但是现在有了一个 $\Delta$ 的 gap . 一旦远离费米面, $\Delta$ 可以忽略, 就回到了 free Fermion 的情况.

还会发现 $\Delta \to 0$ 的时候

$$\begin{align} |BCS\rangle \to |FS\rangle \quad , \quad |k| < k_{\mathrm{F}} \\ |BCS\rangle \to |0\rangle, \quad |k| > k_{\mathrm{F}} \end{align}$$

也就是费米海下面是全占的, 费米海上面是全空的.

BCS 波函数对费米面进行了重构, 它主要发生在费米面附近. 在动量空间重构波函数, 使得全占是空的.

Bound State and Momentum Space Pairing

bound state , 当粒子拉远的时候, 波函数要 exponential decay, 这是 real space 的 bound state.

BCS pairing, 当两个粒子拉远的时候, 没有 exponential decay. 它是说在 momentum space 中把单占的态 exclude 掉, 只留下空态和双占态的线性组合, 组合的位相要取好, 从而 minimize energy.

在这个图像里面, 看到了两个截然不同的物理!

$a_s>0$ 的时候, 有真空中的 2-body state, 而且当 $\frac{1}{k_{\mathrm{F}}a_s} \gg 1$ 的时候, bound state 的 size 要远远小于粒子间的间距. 每个 particle 都是 Fermion, 形成 bound state 后, 是一个 Boson, 可以看成是一个双原子的 molecular, 也可以称为 molecular state.

Crossover

连续调节 $-\frac{1}{k_{\mathrm{F}}a_s}$ 就叫 BEC-BCS Crossover, 可以把两种图像连接起来. 从对称性上来讲, 没有区别 (前提是 pairing symmetry 和 bound state 的 symmetry 是一致的)

$$\begin{align} |BCS \rangle =& \prod_{\vec{k}}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right)|0\rangle \\ =&\prod_{\vec{k}}\left( 1 + \frac{v_{\vec{k}}}{u_{\vec{k}}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right)|0\rangle \\ =&e^{\sum_{\vec{k}} \frac{v_{\vec{k}}}{u_{\vec{k}}} c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow}}|0\rangle \end{align}$$

定义

$$\begin{align} \sum_{\vec{k}} \frac{v_{\vec{k}}}{u_{\vec{k}}} c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \equiv \hat{b}^{\dagger} \end{align}$$

它的动量 $\vec{q}=0$ , 更符合 BEC 的条件.

如果 $\hat{b}$ 满足 Bose 对易关系

$$\begin{align} [\hat{b}, \hat{b}^{\dagger}] = 1 \end{align}$$

那它就是一个相干态的形式. $\hat{b}$ 是由两个 particle 组成的, 一个动量是 $\vec{k}$ , 一个是 $-\vec{k}$ 把相对运动的波函数 Fourier 变换到实空间,

$$\begin{align} \phi(r) = \int \frac{v_{\vec{k}}}{u_{\vec{k}}} e^{\mathrm{i} \vec{k}\cdot \vec{r}} \, \mathrm{d}^3k \end{align}$$

如果 $\phi(\vec{r})$ ( $\vec{r}$ 是相对坐标)在实空间是局域的, 并且波函数的大小(波包)相对于粒子间间距小很多.

玻色型算符, 就是把另一个 pair 绕一个 pair 转一圈, 出来的位相是 $+1$ . 但是 pair 的 size 远小于粒子间间距的话, 两个粒子都交换一下. 但是 pair 比较大, 就不好定义了.

$u_{\vec{k}}$ , $v_{\vec{k}}$ 对 $\vec{k}$ 的 dependence 是由 $f_{\vec{k}}$ 给出的. $f_{\vec{k}}$ 的对称性, 会通过 Fourier 传到 $\phi(\vec{r})$ 上来.

BCS 波函如果能够用 BEC 波函 adiabatically, 不经过任何相变地连续地调节过来, 就必须要满足两个条件 1. 调节参数的过程中, $u_{\vec{k}}$ , $v_{\vec{k}}$ 都在变, 并且能够值得 pair wave function 起来越小. 2. pairing 的 symmetry 最后决定了 pair wave function 的 symmetry, 和最后的 2-body bound state 的对称性要兼容. 比如是一个 s 波的 bound state, 在另一侧做 d 的 BCS 理论, 它们是没法接起来的, 因为 d 波的 BCS 理论给出的 pair wave functio 永远是 d-wave 的, 没法和 s-wave 的 bound state 接起来的.

Gap Equation and Number Equation

$\Delta$ 如何决定呢?

一开始 $\Delta\equiv g\sum_{\vec{k}}\langle \hat{c}_{\vec{k}, \uparrow} \hat{c}_{-k,\downarrow} \rangle$ , 也就是

$$\begin{align} \Delta\equiv g\sum_{\vec{k}}\langle \hat{c}_{\vec{k}, \uparrow} \hat{c}_{-k,\downarrow} \rangle \end{align}$$

代入具体的形式并重整化后

$$\begin{align} \frac{m}{4\pi\hbar^2a_s} = \frac{1}{V}\sum_{\vec{k}} \left( \frac{1}{2\sqrt{(\epsilon_k - \mu)^2 + \Delta^2}} - \frac{1}{2\epsilon_k} \right) \end{align}$$

通过自洽求解上式, 来确定 $\Delta$ . 上式称为 gap equation.

还有一个方程, 来决定 $\mu$ 多大. 之前是假设 $\mu$ 在 $E_{\mathrm{F}}$ 上, 这是假设这个态偏离费米球不远. 但是原理上讲, 也需要一个方程来决定 $\mu$ 有多大. 这就是 number equation

$$\begin{align} n = \frac{1}{V}\sum_{\vec{k}} |v_{\vec{k}}|^2 \end{align}$$

也就是

$$\begin{align} \frac{k_{\mathrm{F}}^3}{6\pi^2} = \frac{1}{V}\sum_{\vec{k}}\frac{1}{2}\left( \frac{\epsilon_k - \mu}{\sqrt{(\epsilon_k - \mu)^2 + \Delta^2}} \right) \end{align}$$

之前已经看到, $v_k$ 在费米面以下是趋于 $1$ 的, 在费米面以上是趋于 $0$ 的. 把它求和, 就得到了粒子数.

要数值地求解这个方程, 首先要无量纲化, 取 $E_{\mathrm{F}}$ (自由费米气体的) 为单位.

Reference

H. Z. 的课.

松原频率求和(update 11/Aug/2020)

2019-11-27T00:00:00+08:00

问题

在多体的格林函数中, 经常遇到类似如下的求和

$$\begin{align} \sum_{\omega_n = \frac{(2n+1)\pi}{\beta}} \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n - \xi_{\vec{k}}} \end{align}$$

Counter Integral

可以发现, $\omega_n$ 取的值恰好是

$$\begin{align} \frac{1}{e^{\mathrm{i}\omega_n\beta} + 1} \end{align}$$

的 pole . 那么构造一个积分

$$\begin{align} \oint_C \frac{1}{z - \xi_{\vec{k}}} \frac{1}{e^{z\beta} + 1} \mathrm{d}z = 0 \end{align}$$

$C$ 是沿无穷远绕了一圈的大圆. 它的积分值为零可由 Jordan's lemma 得到. 由留数定理可得

$$\begin{align} \oint_C \frac{1}{z - \xi_{\vec{k}}} \frac{1}{e^{z\beta} + 1} \mathrm{d}z = 0 = 2\pi \mathrm{i} \left(\mathrm{Res}_1 + \sum \mathrm{Res}_2 \right) \end{align}$$

由此得到

$$\begin{align} \sum \mathrm{Res}_2 = \mathrm{Res}_1 \end{align}$$

其中 $\mathrm{Res}_{1}$ 表示由第一项的 pole 贡献的留数, 为

$$\begin{align} \mathrm{Res}_{1} =& \lim_{z\to\xi_{\vec{k}}} (z - \xi_{\vec{k}}) \frac{1}{z - \xi_{\vec{k}}} \frac{1}{e^{z\beta} + 1} \\ =& \frac{1}{e^{\xi_{\vec{k}}\beta} + 1} \\ =& n_{\mathrm{F}}(\xi_{\vec{k}}) \end{align}$$

它就是费米分布函数. $\sum\mathrm{Res}_{2}$ 表示由第二项的 pole 贡献的留数, 为

$$\begin{align} \sum\mathrm{Res}_{2} = \sum_{\omega_n = \frac{(2n+1)\pi}{\beta}} \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n - \xi_{\vec{k}}} \lim_{z\to\omega_n}\frac{z - \omega_n}{e^{z\beta} + 1} \end{align}$$

而由洛必达法则有

$$\begin{align} \lim_{z\to\omega_n}\frac{z - \omega_n}{e^{z\beta} + 1} = \lim_{z\to\omega_n}\frac{1}{\beta e^{z\beta}} = -\frac{1}{\beta} \end{align}$$

所以

$$\begin{align} \sum\mathrm{Res}_{2} = -\frac{1}{\beta} \sum_{\omega_n = \frac{(2n+1)\pi}{\beta}} \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n - \xi_{\vec{k}}} \end{align}$$

最终有

$$\begin{align} \sum_{\omega_n = \frac{(2n+1)\pi}{\beta}} \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n - \xi_{\vec{k}}} = \beta n_{\mathrm{F}} \end{align}$$

费米分布函数的 pole , 恰好就是费米子 Matsubara frequency 的取值.

Another View

有的书上以另一种观点来说明这个事情, 但本质是一样的. 首先, 将最原始的求和形式化成一个 counter integral , counter 是绕着所有的 $\mathrm{i}\omega_n$ 它们都在虚轴上, 其它地方一正一负就抵消了. 即

$$\begin{align} \frac{1}{\beta} \sum_{\omega_n} F(\mathrm{i}\omega_n) = \oint \frac{\mathrm{d}z}{2\pi \mathrm{i}} F(z) \frac{1}{e^{\beta z} + 1} \end{align}$$

注意这里的回路没有包括 $F(z)$ 的 pole 或者 branch cut , 而且 $F(z)$ 的 pole 或者 branch cut 都在实轴上. 然后加上 null contours , 这包括无穷远和沿实轴上下及虚轴左右的积分, 之后去掉没有贡献的点, 就只剩下 $F(z)$ 的 pole 和 branch cut. 最终结果上之前的结果是一样的. 具体可以参考 Reference[1]

还有就是, 这样理解的结果比较便于, 就是把 $F(z)$ 的 pole 和 branch cut 的值代入到费米分布函数中求和, 就得到了最终的结果, 当然得再乘上一个 $\beta$ 这是由于费米分布函数的 pole 的贡献, 乘到这边就从 $\frac{1}{\beta}$ 变成了 $\beta$ . 负号由于 contour 的绕向相反也抵消了.

Summary

因此费米子的频率求和

$$\begin{align} \sum_{\omega_n = \frac{(2n+1)\pi}{\beta}} \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n - \xi_{\vec{k}}} = \beta n_{\mathrm{F}}(\xi_{\vec{k}}) \end{align}$$

类似地有玻色子的频率求和

$$\begin{align} \sum_{\omega_m = \frac{2m\pi}{\beta}} \frac{1}{\mathrm{i}\omega_m - \xi_{\vec{k}}} = -\beta n_{\mathrm{B}}(\xi_{\vec{k}}) \end{align}$$

以及对于费米子为被减数的求和

$$\begin{align} \sum_{\omega_n=\frac{(2n+1)\pi}{\beta}} \frac{1}{\mathrm{i}\Omega_m - \mathrm{i}\omega_n - \xi_{\vec{k}}} = \beta\left[n_{\mathrm{F}}(\xi_{\vec{k}})-1\right] \quad,\quad \mathrm{where} \quad \Omega_m =\frac{2m\pi}{\beta} \end{align}$$

对于玻色子为被减数的求和

$$\begin{align} \sum_{\omega_m=\frac{2m\pi}{\beta}} \frac{1}{\mathrm{i}\Omega_n - \mathrm{i}\omega_m - \xi_{\vec{k}}} = -\beta\left[n_{\mathrm{B}}(\xi_{\vec{k}})+1\right] \quad,\quad \mathrm{where} \quad \Omega_n =\frac{2n\pi}{\beta} \end{align}$$

Supplementary

Intro

对于一个沿无穷远绕一圈 $C$ 的 counter integral , 如果它在无穷远以快于 $\frac{1}{|z|}$ 的速度趋于 $0$ , 那么它的积值为 $0$ . 即

$$\begin{align} \oint_C f(z) \mathrm{d}z = 0 , \quad\quad \mathrm{if} \quad \lim_{|z|\to\infty}f(z) |z| = 0 \end{align}$$

更一般地说, 不必是沿着整个圆圈积分, 沿无穷远的任意一段弧的积分都为 $0$ .

因为积分变量在无穷远会以 $|z|$ 的形式趋于无穷大. 具体来说, 如果把被积函数 $z$ 写成辐角的形式 $|z|e^{\mathrm{i}\theta}$ , 就有

$$\begin{align} \oint_C f(z) \mathrm{d}z = \lim_{R\to\infty}\int_0^{2\pi} f(R e^{\mathrm{i}\theta}) \mathrm{i}Re^{\mathrm{i}\theta} \mathrm{d}\theta \end{align}$$

可以看出, 如果 f(z) 在无穷远以 $\frac{1}{|z|}$ 的形式趋于 0, 那么

$$\begin{align} \lim_{R\to\infty}f(R e^{\mathrm{i}\theta}) \mathrm{i}Re^{\mathrm{i}\theta} = \mathrm{const.} \end{align}$$

积分值是有限的值. 但是如果 f(z) 在无穷远以快于 $\frac{1}{|z|}$ 的形式趋于 0 , 那么可以看出, 如果 f(z) 在无穷远以 $\frac{1}{|z|}$ 的形式趋于 0, 那么

$$\begin{align} \lim_{R\to\infty}f(R e^{\mathrm{i}\theta}) \mathrm{i}Re^{\mathrm{i}\theta} = 0 \end{align}$$

积分值为 $0$ .

Jordan's Lemma

Jordan's Lemma 是说, 如果函数 $f(z)$ 在上半平面的无穷远处为 $0$ ,那么有

$$\begin{align} \int_{C_1} e^{\mathrm{i}az}f(z) \mathrm{d}z = 0 , \quad\quad \mathrm{if} \quad a>0 \end{align}$$

其中 $C_1$ 是无穷远处的上半平面的半圆弧.

按照前面是思路, 只要证明

$$\begin{align} \int_0^{\pi} e^{-aR\sin\theta} \mathrm{d}\theta \end{align}$$

在 $R\to \infty$ 时以快于或等于 $\frac{1}{R}$ 的形式趋于 $0$ 即可. 因为把指数上的 $z$ 写成 $z = R\cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta$ , 再乘上指数上的 $\mathrm{i}$ , 只需要考虑正弦部分即可, 因为余弦部分是虚数, 指数上的虚数只代表相位.

指数上的三角函数不好积, 这里并不需要准确积出来, 只要找到一个积分的上限即可. 从三角函数的图像上可以找到我们需要的近似. 在 $[0, \pi]$ 之间, 正弦函数是对称的, 所以只需要考虑左边一半, 那直接取一个线性的上限近似, 即 $(0, 0)$ 与 $(\frac{\pi}{2}, 1)$ 两点的连线, 小于正弦函数, 再算上指数上的负号, 这样近似的积分的结果是要大于原积分的, 也就找到了积分的上限. 即

$$\begin{align} \int_0^{\pi} e^{-aR\sin\theta} \mathrm{d}\theta \le 2\int_0^{\frac{2}{\pi}} e^{-aR \frac{2}{\pi}\theta} \mathrm{d}\theta = \frac{\pi}{aR}(1 - e^{-aR}) \end{align}$$

它在 $R\to \infty$ 时, 恰好是以 $\frac{1}{R}$ 的形式趋于零. 这样 Jordan's Lemma 就得到了证明.

Summary of Jordan's Lemma

Jordan's Lemma 中的条件要弱于 intro 中提到的条件. 因为从证明中可以看到, Jordan's Lemma 的整个被积函数是以弱于 $\frac{1}{|z|}$ 的形式趋于 $0$ 的. 因为 $e^{\mathrm{i}az}$ 是 exponential 的形式趋于 $0$ , 而 $f(z)$ 趋于 $0$ 的速度是没有限制的, 整体是以比最慢的趋于 $0$ 的速度, 也就是 exponential 的速度, 稍快一点的速度趋于 $0$ .

同样的, Jordan's Lemma 中的条件弱, 同样就导致了对它的结果的比较强的限制, 它要在整个上半圆上积分, 而 intro 中任意一段弧都可以.

Supplementary of Contour Integral

下面说明

$$\begin{align} \oint_C \frac{1}{z - \xi_{\vec{k}}} \frac{1}{e^{z\beta} + 1} \mathrm{d}z = 0 \end{align}$$

它为什么成立. 实际上它是有条件的, 因为它的第一项很明显在无穷远是以 $\frac{1}{|z|}$ 的形式趋于 $0$ . 但第二项在无穷远处只在右半平面是趋于 $0$ , 在负半平面是个常数, 所以要加一项使它在负半平面也趋于 $0$ , 即

$$\begin{align} \oint_C \frac{e^{z0^+}}{z - \xi_{\vec{k}}} \frac{1}{e^{z\beta} + 1} \mathrm{d}z = 0 \end{align}$$

因为

$$\begin{align} e^z \propto e^{R\cos\theta} \end{align}$$

Reference

[1] Chap 8.3 Piers Coleman, Introduction to Many-Body Physics
[2] Arfken, Weber, Harris, Mathematical Methods for Physicists 7ed
[3] Mahan, Many-Particle Physics 3ed

厄米矩阵及其幺正对角化

2019-11-25T00:00:00+08:00

Intro: 实对称矩阵的正交对角化

厄米矩阵的幺正对角化

接下来在复变量的范围内考虑, 也就是矩阵元都在复数的范围内讨论.

厄米矩阵

定义

厄米矩阵定义为满足

$$\begin{align} U^{\dagger} \equiv U \end{align}$$

的矩阵.

$2\times 2$

比如对于一个 $2\times 2$ 的厄米矩阵应满足

$$\begin{align} \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} a^{*} & c^{*} \\ b^{*} & d^{*} \\ \end{array}\right) \end{align}$$

得

$$\begin{align} a^{*} &= a \\ d^{*} &= d \\ b^{*} &= c \\ c^{*} &= b \end{align}$$

也就是说 $a, d$ 都是实数, $b, c$ 互为复共轭. 所以 $2\times 2$ 的厄米矩阵最一般的形式可以写为

$$\begin{align} \left(\begin{array}{cc} u & r^{e^{-\mathrm{i}\phi}} \\ r^{e^{\mathrm{i}\phi}} & v \\ \end{array}\right) \end{align}$$

其中 $u, v, r, \phi$ 都是实数. 可见, $2\times 2$ 的厄米矩阵中四个独立的实变量. 本来 $2\times 2$ 的矩阵有八个变量嘛, 对角元是实数, 去掉两个独立实变量, 非对角元的互为复共轭, 再去年两个, 还剩下四个.

$n\times n$

更一般地, 可以证明, 对于 $n\times n$ 的厄米矩阵, 对角元都是实的, 非对角元是一组互为复共轭的复数, 有 $n^2$ 个独立实变量, 正好相当于一个实矩阵的独立变量个数.

性质

厄米矩阵的本征值都是实数.
厄米矩阵对应不同特征值的特征向量相互正交.

幺正矩阵

定义

幺正矩阵定义为

$$\begin{align} U U^{\dagger} \equiv 1 \end{align}$$

其中 $1$ 表示单位矩阵. 等价地

$$\begin{align} U^{\dagger} \equiv U^{-1} \end{align}$$

$2\times 2$

$2\times 2$ 的幺正矩阵应满足

$$\begin{align} \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} a^{*} & c^{*} \\ b^{*} & d^{*} \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right) \end{align}$$

也就是

$$\begin{align} |a|^2 + |b|^2 =& 1 \\ |c|^2 + |d|^2 =& 1 \\ a^{*}c + b^{*}d =& 0 \\ ac^{*} + bd^{*} =& 0 \end{align}$$

同样, 由 $U^{\dagger}U =1$ 可得

$$\begin{align} |a|^2 + |c|^2 =& 1 \\ |b|^2 + |d|^2 =& 1 \end{align}$$

所以它和行列都正交

$$\begin{align} |a|^2 + |b|^2 =& 1 \\ |c|^2 + |d|^2 =& 1 \\ |a|^2 + |c|^2 =& 1 \\ |b|^2 + |d|^2 =& 1 \\ \end{align}$$

只剩下四个独立的实变量.

它最一般的形式可以表示为

$$\begin{align} \left(\begin{array}{cc} e^{\mathrm{i}\alpha}\cos\theta & -e^{\mathrm{i}\alpha}e^{\mathrm{i}\phi}\sin\theta \\ e^{\mathrm{i}\beta}e^{-\mathrm{i}\phi}\sin\theta & e^{\mathrm{i}\beta}\cos\theta \\ \end{array}\right) \end{align}$$

总之, 它有四个独立的实变量.

问题

厄米矩阵一定可以通过幺正变换对角化吗?

例: BCS Mean-Field Hamiltonian 的对角化

BCS 平均场的 Hamiltonian 为

$$\begin{align} H_{\mathrm{MF}} = \sum_{\vec{k}}\left\{ \left(\hat{c}^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow}\quad \hat{c}_{-\vec{k}, \downarrow}\right) \left(\begin{array}{cc} \epsilon_{\vec{k}} - \mu & \Delta\\ \Delta^{*} & -(\epsilon_{\vec{k}} - \mu) \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} \hat{c}_{\vec{k}, \uparrow} \\ \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \end{array} \right) + (\epsilon_{\vec{k}} - \mu) \right\} - \frac{V}{g}|\Delta|^2 \end{align}$$

下面考虑对角化其中写成矩阵的部分

$$\begin{align} H_0(\vec{k}) = \left(\hat{c}^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow}\quad \hat{c}_{-\vec{k}, \downarrow}\right) \left(\begin{array}{cc} \epsilon_{\vec{k}} - \mu & \Delta\\ \Delta^{*} & -(\epsilon_{\vec{k}} - \mu) \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} \hat{c}_{\vec{k}, \uparrow} \\ \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \end{array} \right) \end{align}$$

为了方便, 省略一部分下标 $\vec{k}$ , 并记 $\epsilon_{\vec{k}} - \mu = \xi_{\vec{k}}$ , $k = (\vec{k}, \uparrow), -k=(-\vec{k}, \downarrow)$

$$\begin{align} H_0 = \left(\hat{c}^{\dagger}_k\quad \hat{c}_{-k}\right) \left(\begin{array}{cc} \xi & \Delta\\ \Delta^{*} & -\xi \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} \hat{c}_k \\ \hat{c}^{\dagger}_{-k} \end{array} \right) \end{align}$$

它是厄米的, 试图通过幺正变换将其对角化

$$\begin{align} H_0 = \left(\hat{c}^{\dagger}_k\quad \hat{c}_{-k}\right) U U^{\dagger} \left(\begin{array}{cc} \xi & \Delta\\ \Delta^{*} & -\xi \end{array}\right) U U^{\dagger} \left( \begin{array}{c} \hat{c}_k \\ \hat{c}^{\dagger}_{-k} \end{array} \right) \end{align}$$

两样, 比较特别, 这个厄米矩阵还是 traceless 的, 也就是对角元的和为 0 .那它的本征值可以直接得到两个本征值为 $\pm E$ , 其中

$$\begin{align} E = \sqrt{|\Delta|^2 + \xi^2} \end{align}$$

将本征值带回来解本征矢

$$\begin{align} \left(\begin{array}{cc} \xi & \Delta\\ \Delta^{*} & -\xi \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} C_{1\pm}\\ C_{2\pm} \end{array}\right) = \pm E \left(\begin{array}{c} C_{1\pm}\\ C_{2\pm} \end{array}\right) \end{align}$$

可得

$$\begin{align} \frac{C_{1\pm}}{C_{2\pm}} = \frac{\Delta}{\pm E - \xi} \end{align}$$

对于幺正矩阵来说

$$\begin{align} |C_{1\pm}|^2 + |C_{2\pm}|^2 = 1 \end{align}$$

有

$$\begin{align} \left(\begin{array}{c} C_{1\pm}\\ C_{2\pm} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{\Delta}{\sqrt{2E(E\mp \xi)}}\\ \frac{\pm E - \xi}{\sqrt{2E(E\mp \xi)}} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{\Delta}{\sqrt{2E(E\mp \xi)}}\\ \frac{\pm |\Delta|}{\sqrt{2E(E\pm \xi)}} \end{array}\right) \end{align}$$

可以看出, 很明显

$$\begin{align} |C_{1+}|^2 + |C_{1-}|^2 = 1\\ |C_{2+}|^2 + |C_{2-}|^2 = 1 \\ C_{1\pm} = \mp C_{2\mp}e^{\mathrm{i}\phi} \end{align}$$

其中 $\phi$ 是 $\Delta$ 的相位, 即 $\phi = \mathrm{Arg} (\Delta)$ . 所以

$$\begin{align} U^{\dagger} = \left(\begin{array}{cc} C_{1+} & C_{2+} \\ C_{1-} & C_{2-} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} -C_{2-} e^{\mathrm{i}\phi} & C_{2+} \\ C_{2+} e^{\mathrm{i}\phi} & C_{2-} \end{array}\right) \end{align}$$

由它们的具体表达式可以看出, $C_{2\pm}$ 是实的. 它们有三个独立的实变量. 而一般的 $2\times 2$ 的幺正有四个独立的实变量. 这里少了一个, 是因为厄米矩阵的两对角元中只有一个实变量, 也少了一个.

采用新的记号

$$\begin{align} u &= C_{2-} \\ v &= -C_{2+} \end{align}$$

变为

$$\begin{align} U^{\dagger} = \left(\begin{array}{cc} -u e^{\mathrm{i}\phi} & -v \\ -v e^{\mathrm{i}\phi} & u \end{array}\right) \end{align}$$

这里, 关于 $\Delta$ 的相位 $\phi$ 的问题, 我还没有完全弄清楚, 有些地方(Reference [3])说:

These phases may beabsorbed into the definitions of the fermion operators themselves.

而同老师讲义中说

对空间平移对称的情况, 可取为实数, 即定相位为零. (当空间不均匀时, 及讨论不同超导体连接时, $\phi$ 不可忽略).

接下来的处理, 可以理解为将相位吸收到 Fermionic 算符的定义中去, 而不放在 $U^{\dagger}$ 中, 这样新的基矢为

$$\begin{align} \left(\begin{array}{c} \alpha\\ \beta' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} -u e^{\mathrm{i}\phi} & -v \\ -v e^{\mathrm{i}\phi} & u \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} -e^{\mathrm{i}\phi}\hat{c}_k \\ \hat{c}^{\dagger}_{-k} \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array}{cc} u & -v \\ v & u \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \hat{c}_k \\ \hat{c}^{\dagger}_{-k} \end{array} \right) \end{align}$$

或者是理解这里选 $\phi = -\pi$ , 那么 $-e^{\mathrm{i}\phi} = 1$ , 同样也得到

$$\begin{align} \left(\begin{array}{c} \alpha\\ \beta' \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} u & -v \\ v & u \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \hat{c}_k \\ \hat{c}^{\dagger}_{-k} \end{array} \right) \end{align}$$

总之, 搞定这个相位之后有

$$\begin{align} U^{\dagger} = \left( \begin{array}{cc} u & -v \\ v & u \end{array} \right) \end{align}$$

而新的基矢

$$\begin{align} \left(\begin{array}{c} \alpha\\ \beta' \end{array}\right) = U^{\dagger} \left( \begin{array}{c} \hat{c}_k \\ \hat{c}^{\dagger}_{-k} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} u & -v \\ v & u \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \hat{c}_k \\ \hat{c}^{\dagger}_{-k} \end{array} \right) \end{align}$$

这样, 就得到, 经过变换后

$$\begin{align} H_0 =& \left(\hat{c}^{\dagger}_k\quad \hat{c}_{-k}\right)U \left(\begin{array}{cc} E & 0\\ 0 & -E \end{array}\right) U^{\dagger} \left( \begin{array}{c} \hat{c}_k \\ \hat{c}^{\dagger}_{-k} \end{array} \right) \\ =& \left(\alpha^{\dagger}\quad \beta'^{\dagger}\right) \left(\begin{array}{cc} E & 0\\ 0 & -E \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \alpha\\ \beta' \end{array}\right) \\ =& E \left(\alpha^{\dagger} \alpha - \beta'^{\dagger} \beta' \right) \end{align}$$

可以看出, 准粒子 $\alpha$ 的激发能是 $E$ , 而准粒子 $\beta'$ 的激发能是 $-E$ . 为了使基态是准粒子的真空态, 所有准粒子的激发能应该都是非负的, 所以定义新的准粒子

$$\begin{align} \beta = \beta'^{\dagger} \end{align}$$

这时

$$\begin{align} H_0 = E(\alpha^{\dagger}\alpha - \beta\beta^{\dagger}) = E(\alpha^{\dagger}\alpha + \beta\beta^{\dagger}) -E \end{align}$$

所以最终有

where

Reference

[1] https://ccjou.wordpress.com/%e5%b0%88%e9%a1%8c%e6%8e%a2%e7%a9%b6/hermitian%e5%af%a6%e5%b0%8d%e7%a8%b1%e7%9f%a9%e9%99%a3%e5%b0%88%e9%a1%8c/

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_matrix

[3] https://courses.physics.ucsd.edu/2014/Spring/physics239/LECTURES/CH03.pdf

BCS Theory 课堂笔记整理

2019-11-14T00:00:00+08:00

Review

有相互作用的费米系统, 一般有以下三类, 前两类比较常见.

Fermi Liquid

一类非常像无相互作用的费米系统的系统. 它的特征:

费米面, 是系统 gapless 的地方, 所有的低能激发主要集中在费米面附近, 对费米面附近的态, 最主要的描述就是 $Z$ , qusi-particle residual 和 effective mass 这两个参数, 它们都可以通过自能得到. 所以要了解一个 Fermi liquid, 最主要的就是要想办法知道它的自能函数长什么样子, 知道了自能函数, 就知道了这个 Fermi liquid 的低能行为. 这类系统通常有一个费米面. 费米面的定义就是, 粒子数动量分布在动量空间有一个跳变, 这个跳变的位置就是费米面的位置.
它的激发都是费米型的, 而且都是 gapless 的, 也就是说, 在费米面上, 激发是无能隙的.

Ordered State

BCS, Fermion 有 pairing 这样的 order, 费米子要配对.
Anti-Ferromagnetic
Charged-Density wave

费米子有 order 的 state, 它和 Fermi liquid 不一样, 这些系统通常没有费米面, 没有费米面的结构. 这些系统中, 它的激发在很多时候都是 gaped 的, 也就是有能隙的.

Non-Fermi Liquid

前两者在现有的多体理论框架中是了解的比较清楚的, 而 Non-Fermi Liquid 还了解的不是很清楚的. Non-Fermi Liquid 并不是指除了 Fermi liquid 以外的, 比如上面的 ordered state. 一般指除了 Fermi liquid 和 ordered-stated 以外的有相互作用的费米系统的态.

Introduction

BCS 理论, 是 ordered state 的典型代表. BCS 理论的发现是为了解决超导问题. 超导和超流是上世纪低温物理最重要的两个实验发现, 对我们理解多体物理, 起到非常重要的作用.

He-4 的超流, 可以由有相互作用的 BEC 来理解. Landau 判据, 有相互作用的 Boso 体系中, 会出现临界速度.

超导是费米子体系, 它不会发生 BEC.

BCS 理论的提出, 已经是在超导发现几十年之后了, 所以对超导机理的研究, 是上个世纪上半叶的一个物理学中一个很重要的问题. 直到 BCS 理论的提出, 才解决了这个问题.

Cooper Problem (a 2-Body Problem)

理解一个问题, 通常把一个问题简化到一个简单的问题. 虽然超导是一个复杂的多体问题, 但是呢, 它最核心的 insight 来自到 Cooper problem 这样一个两体问题. 其实, 虽然我们讲, 凝聚态物理, 多体系统, 通常都是一些复杂的多体问题. 但是在这些多体问题中, 有很多例子, 它对于多体物理最核心的理解, 是来自于一些简化的少体问题, Cooper problem 就是一个典型的例子. 还有一个典型的例子, 就是在分数量子 Hall effect 时候, Robert Laughlin 提出了对于 fractional quantum Hall effect 的理解, 就是 Laughlin 波函数, 后来奠定了很多强关联理论的基础. 其实 Laughlin, 如果你去看 Laughlin 当年理解 fractional quantum Hall effect 的文章, 它的文章最主要的工作是解了一个三体问题, 解了一个在磁场中有 Coulumb 相互作用电子运动的三体问题, 通过这个三体问题的解, 他猜出了 Laughlin 波函数, 这样一个多体波函数.

Cooper 问题也是这样. Cooper 问题看起来是一个两体问题. 但是从 Cooper 问题的解上面, B. C. S. 就提出了 BCS 理论.

首先, 它是 spin- $1/2$ Fermion, 它的 Hamiltonian (这不是 Cooper 在电子系统中讲的问题, 但是问题其实是一样的), 考虑两分量的费米气体, 考虑 spin up 和 spin down 之间的相互作用

$g$ 的量纲是 $[E\cdot V]$ .

intro: 2-body in vacuum

首先, 如果我们考虑第一种情况, 如果系统中总共只有两个 particle. 这不是一个多体问题, 纯粹是一个两体问题. 这样的体系没有 Fermi surface, 所以它的化学势 $\mu=0$ .

怎么解呢?

两个粒子, 就写一个两体波波函数. 因为总共只有两个粒子, 所以肯定可以取它的质心坐标系, 在质心系里面就把质心的动量设成 $0$ . 这时候, 如果一个粒子的动量是 $\vec{k}$ , 那么另外一个粒子的动量就一定是 $-\vec{k}$ . 如果一个 spin up 的动量是 $\vec{k}$ , spin down 的动量呢, 就是 $-\vec{k}$ , 所以, 不失一般性地, 就可以把它的波波函数写成(为了简洁起见, 记 $k\equiv (\vec{k}, \uparrow), -k\equiv (-\vec{k}, \downarrow)$ 但是要特别注意 $k=-k$ 是永远不会成立的, 因为自旋相反嘛!)

$$\begin{align} |\Phi \rangle = \sum_{k} \phi_{k} c_k^{\dagger}c_{-k}^{\dagger}|0\rangle \end{align}$$

相应地, Hamiltonian 变为

$$\begin{align} H = \sum_{\vec{k,\sigma}}\epsilon_{\vec{k}} c^{\dagger}_{\vec{k}\sigma}c_{\vec{k}\sigma} + \frac{g}{V}\sum_{\vec{k}, \vec{k}', \vec{q}} c^{\dagger}_{\vec{k}\uparrow}c^{\dagger}_{-\vec{k}\downarrow} c_{-\vec{k}'\downarrow}c_{\vec{k}'\uparrow} \end{align}$$

如果用这个波函数去解 Schrodinger 方程, 那么我们会得到系数 $\phi_k$ 所满足的方程

$$\begin{align} 2 \epsilon_{\vec{k}} \phi_{\vec{k}} + \frac{g}{V}\sum_{\vec{k}'}\phi_{\vec{k}'} = E \phi_{\vec{k}} \end{align}$$

第一项, 是它的动能项, 一个粒子在 $\vec{k}$ , 一个粒子在 $-\vec{k}$ , 所以它的能量就是 $2 \epsilon_{\vec{k}}$ . 第一项, 可以在不同的 $\vec{k}$ 和 $-\vec{k}$ 之间散射, 就是把所有的不同的 $\vec{k}$ 和 $-\vec{k}$ 相互之间耦合起来. 相当于说, 如果在这组波函数下面去写 Schrodinger 方程, 相当于在这组基下面对角化一个矩阵, 每个基的指标就是 $\vec{k}$ , 所以就会看到能量项是对角项, 而第二项是把所有的不同的 $\vec{k}$ 的态耦合起来, 这些项就是非对角项. 从这个方程, 可以得到

$$\begin{align} \phi_{\vec{k}} = \frac{\frac{g}{V}\sum_{\vec{k}'}\phi_{\vec{k}'}}{E - 2\epsilon_{\vec{k}}} \end{align}$$

这个方程怎么求解? 两边对 $\vec{k}$ 求和

$$\begin{align} \sum_{\vec{k}}\phi_{\vec{k}} = \sum_{\vec{k}}\frac{\frac{g}{V}\sum_{\vec{k}'}\phi_{\vec{k}'}}{E - 2\epsilon_{\vec{k}}} \end{align}$$

约掉 $\sum_{\vec{k}}\phi_{\vec{k}}$

$$\begin{align} \frac{V}{g} = \sum_{\vec{k}}\frac{1}{E - 2\epsilon_{\vec{k}}} \end{align}$$

出现了求各发散的问题. 这个问题也是来自于 $\vec{k}$ 是没有截断的, $\vec{k}$ 可以取到任意高能. 而且不同的 $\vec{k}$ 之间的散射系数, 在取 $\delta$ function 近似的条件下, 它是一个常数. 所以同样要用重整化关系

$$\begin{align} \frac{m}{4\pi\hbar^2a_s} = \frac{1}{g} + \frac{1}{V}\sum_{\vec{k}}\frac{1}{\hbar^2\vec{k}^2/m} \end{align}$$

得

$$\begin{align} \frac{m}{4\pi\hbar^2a_s} = \frac{1}{V}\left( \sum_{\vec{k}}\frac{1}{E - 2\epsilon_{\vec{k}}} + \sum_{\vec{k}}\frac{1}{2\epsilon_{\vec{k}}}\right) \end{align}$$

用完重整化关系, 得到一个收敛的结果. 把这个结果画出来, right hand side 作为 $E$ 的函数, 当 $E=0$ 时它取 $0$ , 它大体上就是 $\propto\sqrt{-E}$ , 而方程在左边

picture code

当 $a_s>0$ 的时候, 方程左边是一条在上边的横线, 与 r.h.s. 有一个交点, 这个交点就是 2-body energy 的解, 这个交点就是

$$\begin{align} E = -\frac{\hbar^2}{ma_s^2} \end{align}$$

在散射长度大于零的时候, 系统有一个 2-body bound state. 而且 $a_s$ 越大, 2-body bound state 越靠近零, bound state 越浅. 如果 $a_s < 0$ , 横线在下面, 这个方程没有解. 之所以可以用重整化的模型, 来表达多体物理的基本的模型, 就是因为可以准确地重复系统的低能物理, 这就是一个例子.

Cooper Problem

Cooper Problem 是 2-body problem with a Fermi sea. Fermi sea 的定义

$$\begin{align} |FS\rangle = \prod_{|\vec{k}| < k_{\mathrm{F}}} c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{\vec{k}, \downarrow} |0 \rangle \end{align}$$

一样多的 spin up 和 spin down 的粒子各自形成一一样多的 Fermi surface . 要在费米面上产生激发, 要放入粒子, 那只能放在费米海外面, 或者在费米海里面拿走粒子, 不管怎么样, cost 的 energy 都是非负的, 所以激发能是

$$\begin{align} |\epsilon_{\vec{k}} - \mu| \end{align}$$

这个时候有化学势, 本来就有粒子填充了, 化学势就是费米能.

Cooper 问题是再在这个 Fermi sea 上放两个粒子, 这时候它的激发能是什么样子的. 如果激发能仍然是正的, 说明 Fermi surface 还是稳定的解, 如果激发能是负的, 就说明假设的有问题. Cooper 问题 addres 的是 Fermi surface stability 的问题.

当我们谈一个多体态是不是稳定的, 就拿一个粒子来测试它, 看放入两个 particle 的能量是不是总是正的.

在 Fermi sruface 上面加两个 particle

$$\begin{align} |\Phi \rangle = \sum_{|\vec{k}| > k_{\mathrm{F}}} \phi_{\vec{k}} c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} |FS\rangle \end{align}$$

相应地, 得到

$$\begin{align} \frac{m}{4\pi\hbar^2a_s} = \frac{1}{V}\left( \sum_{|\vec{k}|> k_{\mathrm{F}}}\frac{1}{E - 2(\epsilon_{\vec{k}} - \mu)} + \sum_{\vec{k}}\frac{1}{2\epsilon_{\vec{k}}}\right) \end{align}$$

这里的 r.h.s 在 $E\to 0$ 的时候, 是往负无穷发散的.

picture code

为什么会有这样一个区别? 是因为两体问题的时候, 两个粒子是加在色散关系底部的. 它的态密度是 $\sqrt{E}$ 的关系. 两体问题是加在趋于 $0$ 的地方, 而 Cooper 问题是加在 $\sqrt{E_{\mathrm{F}}}$ 上的. 它们所处的态密度不一样.

For all $a_s$ 都有一个 $E < 0$ 的 solution.

这就是一个真空中的两体问题和一个费米面上的两体问题的区别. 真空中的两体问题, bound state 的 energy 只是出现在 $a_s < 0$ 的一侧. 而在多体系统中, 一个费米面附近的两体问题, 不管 $a_s$ 有多负, 总有一个解在负能的地方, 只不过 $a_s$ 越小, $|E|$ 越来越小, 但它总是存在的. 当然, 另外一方面就是如果, 回到 $a_s > 0$ 一边, 两条线是逐渐靠近的. 也就是说, 当 $a_s > 0$ 的时候, 如果 binding energy 足够大, 不管是真空中的两体问题, 还是有费米面的两体问题, 结果是趋于一致的. 这个事情怎么理解? 就是说 binding energy 的绝对值越大, 说明这两个粒子形成 bound state , 靠得足够近. 这个体系, spin up 和 spin down 形成一个 bound state , binding energy 越大, 它的 bound state size 越小(束缚得越紧, 靠得越近). 如果在真空中放两个 particle, 它的 size 就 $a_s$ 那么大, 但是如果在多体的环境中放这两个 particle, 如果 bound state size 要远远小于粒子间平均距离( $1/k_\mathrm{F}$ ) , 这个 bound state 就不大受多体环境的影响, 这个时候, 是真空中的束缚态, 还是多体环境中的束缚态, 其实差别不大, 这就是在这个极限下, 为什么这两种解会趋于一致. 但是最主要的事情是, 这两个解的差别, 在真空中, 如果散射长度是负的, 这时候是没有 bound state 的, 但是在多体环境中, 它永远是存在一个 bound state 的. 这就是 Cooper problem 最主要的意思. 这个计算说明, 有吸引相互作用的时候, Fermi surface 是不稳定的, 说明它不可能是一个 Fermi liquid , 所以要 reconstruct 一个多体态, 使得这个状态是一个稳定的状态. 但是 Cooper problem 一方面说明 Fermi surface 是不稳定的, 另一方面也给如何 reconstruct 这样一个态提供了一些 hit . 这个不稳定不是 single particle 的不稳定, 是一个 2-body 的不稳定, 所谓的 pairing 的事情. 问题是, 如何把这样一个 pairing 这样一个事情, 写到多体的波函数的里面去. 这里要先讲一下 Self-Consistent Mean Field Theory.

Self-Consistent Mean Field Theory

一般性的, 对于一个多体系统, 怎么做一个平均场, 特别是这个平均场我们强调它是 self-consistent , 这话什么意思. 这个方法, 在很多模型里面都会用到, 所以我们先撇开具体模型, 讲一个最一般性的事情. 假设有

$$\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} \end{align}$$

$g$ 是相互作用参数, $\hat{A}$ 是一个算符, 可以是一个单体, 也可以是一个两体算符, 是任意一个算符都行. 首先

$$\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} = \langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} + \hat{A}^{\dagger} \langle g \hat{A}\rangle + \left(g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} -\langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} - \hat{A} \langle g \hat{A}^{\dagger} \rangle\right) \end{align}$$

这是一个等式, 什么都没干! 然后呢, 要 approximation 了! 上式中, 前两项相当于是对 $\hat{A}^{\dagger}$ 做平均, 再对 $\hat{A}$ 做平均, 然后把残余项(小括号中的)减掉了, 小括号小的三项, 相当于某种 fluctuation. 然后呢, 把 fluctuation 做平均.即

$$\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} -\langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} - \hat{A} \langle g \hat{A}^{\dagger} \rangle \approx \langle g\hat{A}^{\dagger} \hat{A} -\langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} - \hat{A} \langle g \hat{A}^{\dagger} \rangle \rangle \end{align}$$

把 $g \hat{A}^{\dagger} A$ 做平均

$$\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} =\frac{(g \hat{A}^{\dagger})(g\hat{A})}{g} \approx \frac{g\langle \hat{A}^{\dagger}\rangle g\langle\hat{A}\rangle}{g} \end{align}$$

后面两项也平均. 做完平均后, 三项加在一起的结果为

$$\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} -\langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} - \hat{A} \langle g \hat{A}^{\dagger} \rangle \approx - \frac{g\langle \hat{A}^{\dagger}\rangle g\langle\hat{A}\rangle}{g} \end{align}$$

代回去, 有

$$\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} = \langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} + \hat{A}^{\dagger} \langle g \hat{A}\rangle - \frac{g\langle \hat{A}^{\dagger}\rangle g\langle\hat{A}\rangle}{g} \end{align}$$

通常定义

$$\begin{align} \Delta \equiv \langle g \hat{A} \rangle \end{align}$$

这样的东西我们称之为 order parameter , OK?

$$\begin{align} \Delta^{*} \equiv \langle g \hat{A}^{\dagger} \rangle \end{align}$$

所以, 这前说费米系统很多可能的时候, 体系处于一个 ordered state, 就是说 $\Delta \neq 0$ . 但是没有 specify $\hat{A}$ , $\hat{A}$ 就是说对什么样的项做平均场. 要把 Hamiltonian 或者其中的某一部分写成这样的形式, 做平均场. 但是拿哪一部分出来, 就是选了不同的 $\hat{A}$ OK? 这样的话 $\hat{A}$ 的意义不一样, 就代表了体系有不同的 order. 这接下来的例子中, $\hat{A}$ 就是一个 pairing 的 order . 之前说了, 从 Cooper 问题中得到的启示, 就是每两个粒子要配对. $\hat{A}$ 怎么选? $\hat{A}$ 的选法是人定的, 根据自己对物理体系的理解, 你的物理的 intuition, insight 来决定, 把 Hamiltonian 里面的什么东西写成这个形式, 拿什么算符来做平均场. BCS 就是根据 Cooper 问题的启发, 决定选 pairing operator 来做平均场, 最后得到的基态, 就是所谓 BCS 波函数. 当然也可以选别的算符来作平均场(如, Hubbard Model 中自旋, spin density wave, 反铁磁, 或者是 charge density wave, 这些态的区别是什么? 为什么叫这些名字? 就是因为用来做平均场的 $\hat{A}$ 算符不同). 如果 $\hat{A}$ 算符是 spin operator , 得出来 $\Delta\neq 0$ , 就说明这个体系有 spin order. 如果选的算符代表费米子密度, 如果得出来 $\Delta\neq 0$ , 就说明这个体系有 charge order, 有一个密度的序. 如何选择 $\hat{A}$ , 对于 ground state 来讲, 就是能量低. 这就是对于 order state , 最重要的就是, 选一个什么样的 order. 就像对于 Fermi liquid 自能很重要.

BCS Mean Field Hamiltonian

BCS

怎么用这个方法? 首先, 只关心 $\vec{k}$ 和 $-\vec{k}$ 的 pairing . 就看那些质心动量为 $0$ 的散射, 也就是 $\vec{q} = 0$ . 这就已经是一个挑选了, 在相互作用有很多项, 但是不去考虑质心动量不为 $0$ 的项. 在这些质心动量为 $0$ 的项里面, 将 Hamiltonian 重新写一下

$$\begin{align} H = \sum_{\vec{k,\sigma}}(\epsilon_{\vec{k}} - \mu) c^{\dagger}_{\vec{k}\sigma}c_{\vec{k}\sigma} + \frac{g}{V}\left(\sum_{\vec{k}} c^{\dagger}_{\vec{k}\uparrow}c^{\dagger}_{-\vec{k}\downarrow}\right) \left(\sum_{\vec{k}'}c_{-\vec{k}'\downarrow}c_{\vec{k}'\uparrow} \right) \end{align}$$

在这里, 取 $\hat{A}$ 为

$$\begin{align} \hat{A} = \sum_{\vec{k}'}c_{-\vec{k}'\downarrow}c_{\vec{k}'\uparrow} \end{align}$$

序参量为

$$\begin{align} \Delta = \langle \frac{g}{V} \sum_{\vec{k}'}c_{-\vec{k}'\downarrow}c_{\vec{k}'\uparrow} \rangle \end{align}$$

按照前面的叙述, 做平均场后

平均场做成这样有什么好处? 这是一个二次型的 Hamiltonian , 是可以对角化的. 它可以写成一个矩阵的形式

Boguliubov 激发不能够简单地通过 Unitary 变换来对角化, 原因是玻色子的 partical 和 hole 的算符经过组合以后, 它不再是一个玻色算符. 而费米子是可以的. 插入一个幺正变换后, 可得 (过程见于《厄米矩阵及其幺正对角化》 )

where

$$\begin{align} \left(\begin{array}{c} \alpha_{\vec{k}}\\ \beta_{\vec{k}}^{\dagger} \end{array}\right) = U^{\dagger} \left( \begin{array}{c} \hat{c}_k \\ \hat{c}^{\dagger}_{-k} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} u_{\vec{k}} & -v_{\vec{k}} \\ v_{\vec{k}} & u_{\vec{k}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \hat{c}_{\vec{k}, \uparrow} \\ \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \end{array} \right) \end{align}$$ $$\begin{align} u_{\vec{k}}^2 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{\epsilon_{\vec{k}} - \mu}{E_{\vec{k}}} \right) \\ v_{\vec{k}}^2 = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{\epsilon_{\vec{k}} - \mu}{E_{\vec{k}}} \right) \end{align}$$

BCS wave function

两个新的准粒子 $\alpha_{\vec{k}}, \beta_{\vec{k}}$ 的激发能都是正的, 就保证了 ground state 是 quasipartical 的真空. 这个 ground state $|GS\rangle$ , 就是著名的 BCS 波函数

$$\begin{align} |GS \rangle = \prod_{\vec{k}}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right)|0\rangle \end{align}$$

可以验证这个 ground state 满足

$$\begin{align} \alpha_{\vec{k}} |GS \rangle =& \left( u_{\vec{k}'}\hat{c}_{\vec{k}',\uparrow} - v_{\vec{k}'} \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}',\downarrow} \right) \prod_{\vec{k}}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right)|0\rangle \\ =&\left[ \prod_{\vec{k}\neq \vec{k}'}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right) \right] \left( u_{\vec{k}'}\hat{c}_{\vec{k}',\uparrow} - v_{\vec{k}'} \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}',\downarrow} \right) \left( u_{\vec{k}'} + v_{\vec{k}'}c^{\dagger}_{\vec{k}', \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}', \downarrow} \right)|0\rangle \\ =& 0 \end{align}$$

同样可以验证

$$\begin{align} \beta_{\vec{k}} |GS \rangle = 0 \end{align}$$

因此 $|GS\rangle$ 确实是 quasipartical $\alpha_{\vec{k}}, \beta_{\vec{k}}$ 的真空. 所以它在这个理论框架下就是 ground state . $\alpha_{\vec{k}}, \beta_{\vec{k}}$ up to quadratic 是给定动量上的本征模式. 所以这个 BCS ground state 就是选定的 quasipartical 的 vacuum. 接下来看, quasipartical 干什么, 把产生算符作用在 $|GS\rangle$ 上

$$\begin{align} \alpha_{\vec{k}'}^{\dagger} |GS\rangle =\hat{c}_{\vec{k}', \uparrow}^{\dagger} \prod_{\vec{k}\neq \vec{k}'}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right) |0\rangle \\ \beta_{\vec{k}'}^{\dagger} |GS\rangle =\hat{c}_{-\vec{k}', \downarrow}^{\dagger} \prod_{\vec{k}\neq \vec{k}'}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right) |0\rangle \end{align}$$

如果两个都作用上

$$\begin{align} \alpha_{\vec{k}'}^{\dagger}\beta_{\vec{k}'}^{\dagger}|GS\rangle = \left( -v_{\vec{k}'} + u_{\vec{k}'} \hat{c}_{\vec{k}',\uparrow}^{\dagger} \hat{c}_{-\vec{k}',\downarrow}^{\dagger} \right) \prod_{\vec{k}\neq \vec{k}'}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right) |0\rangle \\ \end{align}$$

也就是说, 这个态是 ground state. 这个态是两个东西的叠加, 要么是空的, 要么是双占. 准粒子的激发是激发了一个单占, 它们的能量要比 $|GS\rangle$ 高 $E_{\vec{k}}$ . $\alpha_{\vec{k}'}^{\dagger}\beta_{\vec{k}'}^{\dagger}|GS\rangle$ 也是单占和双占的叠加, 它的能量要高出两个 $E_{\vec{k}}$ .

BCS Hamiltonian

它是说将双占和全空的态耦合在一起, 散射只发生在 spin up 和 spin down 之间. 如果两个态都被占据, 那它可以作为散射的初态, 或者它是空的, 可以作为散射的末态.

A Physical View

去理解一个物理, 要么是简并微扰, 要么是非简并微扰. 如果考虑费米面附近的情况, 它们的能量都是一样的, 是一个简并微扰, 这两个态, 是一个 $2\times 2$ 的矩阵, 它有两个耦合, 比如

$$\begin{align} \left(\begin{array}{cc} \langle\mathrm{oovv}| & \langle\mathrm{vvoo} | \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 0 & \Delta \\ \Delta & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} |\mathrm{oovv}\rangle \\ |\mathrm{vvoo} \rangle \end{array}\right) \end{align}$$

$|\mathrm{oova}\rangle$ 代表 $|-\vec{k}_1\downarrow\rangle , |\vec{k}_1\uparrow \rangle, |-\vec{k}_2\downarrow\rangle , |\vec{k}_2\uparrow\rangle$ 四个态的分别是 occupied, occupied, vacuum, vacuum . $|\mathrm{vaoo}\rangle$ 类似. 中间的矩阵表示将 $|\mathrm{oovv}\rangle$ 和 $|\mathrm{vvoo}\rangle$ 耦合, 而 $|\mathrm{ovvo}\rangle$ $|\mathrm{voov}\rangle$ 与任何其它态都没有耦合, 就不用考虑. 这个耦合使 $|\mathrm{oovv}\rangle$ 和 $|\mathrm{vvoo}\rangle$ 原本的能量简并解除, 出现了两个不同的新本征态, 能量分别为 $\pm|\Delta| = \mp \Delta$ (这里还是将 $\Delta$ 的相位取为了 $-\pi$ , 这个相位还是个问题) . 而新的波函数为

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\mathrm{oovv}\rangle \pm |\mathrm{vvoo}\rangle\right) \end{align}$$

所以新的基态是 $\frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\mathrm{oovv}\rangle + |\mathrm{vvoo}\rangle\right)$ , 是双占和空态的叠加, 能量降低了 $\Delta$ 那么大. 被往上抬的态, 能量抬高了 $\Delta$ , 也是双占和空态的叠加.这与之前的结果相符, 因为这里考虑的是在费米面是的结果, 所以 $E_{kk_{\mathrm{F}}} = |\Delta|$ , $u_{|\vec{k}|k_{\mathrm{F}}}^2 = v_{|\vec{k}|= k_{\mathrm{F}}}^2$ .

BCS paring 是一个多体的效应, 是在动量空间里面, 自旋相反, 动量相反的两个态, 要么全占, 分么全空. exclude 的是在动量空间中动量相反的两个态有一个被单占, 这些态上的能量是高的, (考虑零动量上的散射, 因为体系有空间反射不变性, 零动量上的两个态能量才一样, 如果不是零动量的, 这两个态的能量本身就不一样了) 因为它们不能作为散射的初态, 也不能作为散射的末态, 所以它不能参与散射过程, 不能从相互作用中获得能量上的好处. 而这些态是可以参与散射过程的, 它能够在散射过程中能够获得能量上的 benefit , 这些态经过散射后能量降低了, 这才是真正的能量上的 ground state.

Summary

通过 BCS mean field theory , 最主要的目的是 construct 一个 ground state, 这个 ground state 在这个 Hamiltonian 里面, 激发是正的. 而且有物理上的道理.

Reference

H. Z. 的课.

RF 谱看到 Paring Gap 的实验文章 (2004)

2019-11-04T00:00:00+08:00

Intro

History and Background

1950s, pairing gap 的谱学观察, 是超导的重大实验进展.

gap 的测量, 为 investigating 配对粒子的性质提供了 key , 这些配对粒子是金属在低温下无摩擦 current 的原因.

开创性的 BCS 理论, 在同时期也发展了起来, 它表明在简并费米海中的两个电子, 可以通过有效的吸引相互作用 couple 在一起, 形成 delocalized 的, 具有 Bosonic 性质的复合粒子.

BCS Theory 预测低温下的 gap $\propto T_C$ , 这与实验一致.

(推导这个预测, 找到实验文章)

In general, 超流, 超导物理早已超出了 BCS 理论的 weakcoupling limit .

strong coupling 极限下, Fermion 形成 localized Boson, 可以发生 BEC .

BCS limit 和 BEC limit 由一个 smooth crossover 连接, 三十多年来, 吸引了无数理论研究.

配对的形成在 Fermi 系统超流中, 起了关键作用. 而 gap energy 又是 characterize paring regime 的 central quantity.

Exp review

超冷 degenerate Fermi gases 实验的迅速进展, 开启了独特的 testing ground. testing ground 用来研究低密度(比 condense matter 系统中低很多)下的配对超流现象.

cold atom 实验中, Feshbach resonances 为 control 2-body coupling strength (in gas) 提供了一个 powerful tool.

有了这样的 resonance, 强相互作用 degenerate Fermi gas 最近实现了.

又有一个重大突破! 都是因为有了 Fermion 组成的 molecular dimers 形成 BEC 的 creation. 突破是 strong coupling 极限下的 BEC 超流.

接下来, 调节 coupling strength, 探索 crossover 到 BCS-type system. 这 BEC-BCS crossover 和之前 predict 的共振超流有很大的联系, 也和 resonant interaction 的 Fermi gas 的 "universal behavior" 有联系.

(可以看看引用的 resonance superfluidity 文章)

观察到 atom pair 的 condensation, 以及测量到的 collective oscillations, support 了我们的期望, 什么期望呢, 在有 resonant interactions 的 fermi gases 中, 在目前可得的温度下的实验超流. (那时还有没有观察到直流?)

Exp Setup

将 Li-6 制备在两个最低的两个态上. 然后 laser cooling and trapping evaporative cooling. 磁场从 650G 调到 950 G 的宽共振, 中心在 $B_0\approx 830\mathrm{G}$.

在 $B < B_0$ 的区域, $|1\rangle , |2\rangle$ 之间的散射长度是正的. 这里, 两体物理 supports 一个 weakly bound molecular 态, binding energy 是 $E_b=\hbar^2/(m a^2)$ . 形成的这些 molecules 可以 BEC .

$B=B_0$ 时, 2-body 相互作用共振, $a\to\infty$ , molecular 态的 binding energy 消失.

Beyond the resonance , $B>B_0$ , 散射长度变负, 导致一个 effective 吸引. 在这个区域, 2-body 的物理不 support 一个 weakly bound molecular level, 这里的配对只能是由于 many-body effects.

This Exp

Exp process

实验可以控制 quantum gas 的温度, Fermi energy, 相互作用强度. 实验一开始有 $4\times 10^5$ 个 paired atoms (BEC 态)!

通过调 evaporation ramp 的 laser power, 可以调温度.

通过 recompression 来调 $T_\mathrm{F}$ . recompression performed by 升高 trap laser power after cooling process.

通过调磁场来调 interaction strength.

在 evaporative cooling 后进行 entropy 不变的绝热 change.

没有直接测量 deeply degenerate, strongly interacting Fermi gas 的比较好的方法, 只能测量等熵地变化到 BEC limit 之后的温度 $T'$ .

对于 deeply degenerate Fermi gas, 它真正的温度要比 $T'$ 低很多, 但现在还没有一个 general 的理论.

About RF spectroscopy

RF 谱作为研究 ultra cold Fermi gases 的相互作用的强力工具引入!

用 RF 谱测了 K-40 的 molecular binding energies, 那么就有用它观察 paring gap energy 的可能性.

用 RF 研究 Li-6 系统中的 interaction effects (up to 750 G).

强相互作用下没有了 mean-field shifts. 这种 effect 可能是由于在那个磁场范围内 Li-6 的三个态之间的散射过程同时被 unitarity-limited 了!

mean-field shift 指的是, $|1\rangle , |2\rangle$ 如果没有相互作用, $I(\nu)$ 应该是在 $\nu=0$ 处有一个 peak. 如果 $|1\rangle , |2\rangle$ 之间有一个小的相互作用, 那么 $|2\rangle$ 的能量会被 shift 比如 $g_{12}n_1 n_2$, 这个能量就是 mean-field shift.

Li-6 的这个性质非常好, 因为它 suppresses 了 mean-field 的 bordening 和 shifts!

Loss of $|2\rangle$

我们在 ~80 MHz 时 drove 从 $|2\rangle$ 到空的 $|3\rangle$ 上的 RF transitions. 并在 weak excitation by 1-s RF pulse 之后 monitored $|2\rangle$ 上原子的 loss.

实验经过优化, 得到分辨率为 100 Hz, 对应于 5nK 的 INTERACTION EFFECTS (比 $T_{\mathrm{F}}$ 低两个数量级还多) .

Results: Fig 1

Fig 1

在 $T$ 和 $a$ 不同的区域进行了测量.

在 720 G 实现了 molecular. 在共振区, 选了两个磁场, 因为并不知道精确的 $B_0$ 的位置, 可以认为分别高于和低于 $B_0$ , 为 820 G 和 837 G .

$a\ll 0$ 的区域也研究了, 是 $B=$875 G , $a\approx -600 nm$ .

在 $T\approx 6T_{\mathrm{F}} (T_{\mathrm{F}}=15 \mathrm{\mu K})$ 的时候, 谱 take in 一个 "hot" thermal sample , 表示 narrow atomic transition line . 就把这个峰的位置当作参考位置. 选裸的原子跃迁频率作为参照.

Inhomogeneity

理论上了研究了谱信号(给了一些参考文献, 可以读).

pairing 过程是清晰双峰结构. 这是因为 paired 和 unpaired 原子共存.

paired 原子的峰的频率变化比 unpaired 峰频率高, 因为 pair breaking 需要能量.

为了理解谱, pair 信号的 homogeneous line shape, 以及 inhomogeneous line 展宽(由于在 harmonic trap 中的 density 分布) 都需要考虑.

算的是一个 uniform 的系统. 但实际的系统在 trap 里, 只要 $a_s$ 是有限的, 在 trap 边界上 $density \to 0$ , 对应的 $k_{\mathrm{F}}\to 0$ ,中间 density 高, $k_{\mathrm{F}}$ 可能趋于无穷大. 测的结果是做了 trap average 以后的结果, 这个会 brodening 这些.

作为一种 inhomogeneity 效应, 由于多体而导致的费米子配对, 占据了中的高密度, 而 unpaired atoms 几乎都在 trap 的低密度边缘 region.

如果 $a_s$ 是一个负的有限的值, 显然外面是弱相互作用区, 里面可能是强相互作用区. 相互作用越强, gap 越大. 比如在 BCS 极限下, $e^{-\pi/2k_{\mathrm{F}}|a|}$ , 在 trap 中心, 如果 $k_{\mathrm{F}}a~1$ , 属于强相互作用区. 到外面, $k_{\mathrm{F}}\to 0$ , 所以外面就变成 gap 非常小. 如果有限温度的话, 外面可能是正常相, 因为它的 $T_{\mathrm{C}}$ 非常小. 这就是为什么大家都相做 box potential. 因为它是真正 uniform 的系统.

(为什么 pair 占中心)

对应于 pairs 的谱分量, shows 一个很大的 inhomogeneous 展宽, 这个展宽是在 homogeneous width 的 pair-breaking 信号的基础上展宽.

对于未配对的原子, homogeneous line 很窄, inhomogeneity 都可以忽略.

(这里重点理解)

这些理论解释了为什么一般 RF 谱都是一个 unpaired atoms 的 sharp peak 和 pairs 的 boredr peak.

Double peaks

在 $T/T_{\mathrm{F}}0.5$ 的时候, 观察到了清晰的双峰结构. 在 $B720 G$ 的分子区, sharp 原子峰也从 broad dissociation 信号中分离出来, 这 show 了 molecular binding energy.

在 $B\to B_0$ 的时候, peaks 开始 overlap. 在共振区仍然观察到了相对较窄的 atomic peak, 它和 pair signal 在一起.

对于远离共振的磁场, 在 900 G 就分辨不出双峰了.

Disappearance of the Narrow Atomic Peak

在 $T'/T_{\mathrm{F}}$ 时, RF 谱中的 narrow atomic peak 消失了. 这说明几乎所有原子都配对了.

在 BEC 侧, dissociation line shape 与更高温度和 $E_{\mathrm{F}}$ 的 trap 下的完全相同.

这里, localizd 的 pairs 是 molecules , 大小比粒子平均间距小很多, 所以 dissociation signal 与 density 无关.

在共振区, pairing 信号与 density 的依赖很明显. 在远离共振区(875 G) 时更明显. 我们把这归因于 pair 的大小变得与粒子间距可比或大很多.

另外, 右下的窄 pair signal 表明一个在动量空间中 $k_{\mathrm{F}}$ 以下的 pair localization, 因此 pair size 比粒子间距大了.

在 BEC 那边, molecular 的尺寸就是 $a$ 的大小. 从 2-body 的 bound state 的 wave function $A e^{-r/a}$ 可以看出, 衰减长度为散射长度. 所以它的 size 就是 a. 所以如果它的 size 要是比粒子间平均距离小很多的话, 它的分子分子这间就没有 overlap, 它就是一个 well define 的分子. 但是这两个是可比, 或者说 molecular 的 size 比粒子子间平均距离还大, 那这实际上并不是 well define 的. 它说的 localization 是说在一个分子里, 这两个原子是不是 loaclize 的. 分子大了以后, 分子和分子之间都是 overlap 在一起的, 它不是一些 well define, isolated 的 molecular. 最左边的图, 类似于分子和原子的一个 mixture, 分子就是分子, 原子就是原子, 它们只的 mix 在一起. 但是到了中间区域, 所有的分子全都 overlap 在一起, 它不能再看成是一些 well define 的分子, 所以它就没有一个很 shap 的 threshold.

分子寿命越长, threshold 就越 shap. 理想情况, 如果分子寿命无穷长, 它就是突然起来. 如果分子寿命是个有限寿命的激发, 它就比较平缓. 同样的, 左边这个峰, 它的峰的宽度就跟单粒子激发的寿命有关, 相互作用越弱, 单粒子激发越 well define 的一个激发.

Results Fig 2

Fig 2

为了定量研究从 2-body molecular 到 Fermionic many-body 区域的 crossover, 我们测量了 pairing energy (从 720 到 905 G).

pairing gap $\Delta \nu$ 定义为 pair-signal 的最大值和 bare atomic 共振之差.

在 BEC limit, effective pairing gap 简单地反映出了 molecular 的 binding energy.

磁场增大, 在 BEC-BCS crossover 中, $\Delta \nu$ 与 low-density molecular limit 的差距越来越大, 并且 smoothly 进入了一个 $h\Delta \nu< E_{\mathrm{F}}$ 的 density-dependent 的 many-body regime.

Comparison

对不同 $E_{\mathrm{F}}$ 下的 pairing energy 的比较, 可以得到更多关于 pairs 的 nature 的信息.

在 BEC limit, $\Delta \nu$ 单由 $E_b$ 决定, 与 $E_{\mathrm{F}}$ 无关.

在共振幺正区, $E_{\mathrm{F}}$ 是唯一的 energy scale, 我们实际上观察到 effective pairing gap 随 $E_{\mathrm{F}}$ 线性上升 $h\Delta\nu\approx 0.2E_{\mathrm{F}}$ . 在共振区以外, 我们希望系统从一个共振区变到一个 BCS-type 的行为.

发现 $\Delta \nu$ 更加依赖于 $E_{\mathrm{F}}$, gap ratio 变得更大. 我们将其解释为 pairing 的 BCS 特性上升. 期望是一个指数依赖 $h \Delta \nu/E_{\mathrm{F}}\propto e^{-\pi/2k_{\mathrm{F}}|a|}$ .

插图相当于是在零温下取不同 density . 它的结论就是, 在左边的话它的 threshold 接近于 binding energy, 而 binding energy 是一个 2-body 的量, 它只与散射长度有关, 与 density 无关. 如果是幺正极限下, 它的散射长度是 diverge 的. 这个时候 pairing gap 就完全 sacle as 它的 $k_{\mathrm{F}}$ 的某个幂次, 所以它就要依赖于 density.

蒸发冷却了时候调原子总数 $\to$ 调密度.

在幺正区的时候, 两个峰的间距变小了.

Results: Fig 3

Fig 3

在更进一步的测量中, 我们用了 heating method 来研究 gap 对温度的依赖. 用这种方法, 允许我们保持其它参数是常数.

(这种方法也有待学习)

在用通常的方法产生 pure molecular BEC 后, 我们绝热地改变条件到 $B=837 \mathrm{G}, T_{\mathrm{F}}=1.2 \mathrm{\mu K}$ .

然后提升 trap laser 的 power.

对于 fast ramps, 这个 recompression 是非绝热的, 熵会增大. 通过改变 ramp time, 我们探索了从最低温到 $T/T_{\mathrm{F}}=0.8$.

从 RF 谱中可以清楚地看到随温度降低出现了 gap. 随着温度降低, $\Delta \nu$ 明显地增加 (为什么). 这与理论对 pairing gap energy 的预期符合地很好.

fast ramp 就是把磁场一下从某一个点扫到另一个点. ramp 就是扫场.

Conclusion

Part I

我们的实验条件是对两体共振相互作用的理论分析.

算出的 RF 谱与我们的实验相符. 这演示了当气体冷却到 $T/T_{\mathrm{F}}\approx 0.5$ 以下时, 双峰如何出现, 以及进一步降温后, atom peak 如何消失.

特别是, 我们弄清了 pseudo gap regime. 在这个 regime 中, 超流形成前就先形成 pair.

根据计算的谱, 在 $T

随着对有限温 BCS-BEC crossover 的研究 predict 了到超流的相变温度, 在共振时, 比 pair 形成的温度低了 30% .

Part II

我们早在 moderate evaporative cooling 之后就观察到了 Fermionic pairing.

进一步降温后, unpaired atom 信号从我们的谱中消失.

这个观察表明, pairing 甚至占据了 trapped gas 的边缘, 边缘的 density 和 $E_{\mathrm{F}}$ 很小.

因此, 我们的实验强烈地表明, 共振的超流是在 trap 中心形成.

结合共振 condensation of Fermionic pairs 和集体激发的衰减, 我们对 pairing gap 的观察为实验上 resonantly interacting Fermi gas 的超流提供了一个 strong case.

总结

多去验证. 比如, 文中说图中两条线的比值是多少, 那不要直接接受, 而是云图中估计一下.

Reference

Science 305, 1128 (2004)

Cold Atom 实验时间线

2019-10-30T00:00:00+08:00

Year	Experiment	Paper
2002	利用 Feshback Resonance 实现 Stongly interacting Degenerate Feimi Gas	Science 298, 2179 (2002) - O’Hara et al.
2003	实现 Molecular BEC	Science 302, 2101 (2003) - S. Jochim et al. (Austira Li-6)
		Nature 426, 537 (2003) - M. Greiner, C. A. Regal, D. S. Jin (JILA K-40)
		Phys. Rev. Lett. 91, 250401 (2003) - M. W. Zwierlein et al. (MIT Li-6)
2004	BCS-BEC Crossover 的探索	Phys. Rev. Lett. 92.120401 (2004) - M. Bartenstein et al. (Austira Li-6)
	(Condensation of Atom Pairs)	Phys. Rev. Lett. 92.040403 (2004) - C. A. Regal, M. Greiner, D. S. Jin (JILA K-40)
	(Condensation of Atom Pairs)	Phys. Rev. Lett. 92.120403 (2004) - M. W. Zwierlein et al. (MIT Li-6)
	(Collective Oscillations)	Phys. Rev. Lett. 92.150402 (2004) - J. Kinast, S. L. Hemmer, M. E. Gehm, A. Turlapov, J. E. Thomas (Duke Li-6)
	(Collective Oscillations)	Phys. Rev. Lett. 92.203201 (2004) - M. Bartenstein et al. (Austira Li-6)
2004	在 Stongly interacting Feimi Gas 中观察到 Pairing Gap	Science 305, 1128 (2004) - R. Grimm, C. Chin et al












待续...	M-S-UP/DOWN 插入行不加S是移动行

Reference

R. Grimm, C. Chin et al, Science 305, 1128 (2004)

RF Current 推导

2019-10-30T00:00:00+08:00

System

考虑 Li-6 最低的三个 hyperfine states. 最低的两个态 $|1\rangle$ , $|2\rangle$ 参与超流配对. 态 $|3\rangle$ 是一个有效的自由的激发能级(effectively a free atom excitation level) .

一开始 $|3\rangle$ 态是空的.

RF field, 会 drive 原子从 $|2\rangle$ 态向 $|3\rangle$ 态跃迁. 如图

picture code

Hamiltonian

考虑巨正则系统, 态 $|3\rangle$ 的 Hamiltonian 为

$$\begin{align} H_3 - \mu_3N_3 = \sum_{\vec{k}}(\epsilon_{\vec{k}} - \mu_3) c_{3,\vec{k}}^{\dagger} c_{3,\vec{k}} \end{align}$$

态 $|1\rangle$ , $|2\rangle$ 类似, 化学势 $\mu_1\mu_2\mu$

由 RF field 产生的的 $|2\rangle$ , $|3\rangle$ 之间的跃迁为

$$\begin{align} H_T = \sum_{\vec{k},\vec{p}}T_{\vec{k},\vec{p}} c_{3,\vec{p}}^{\dagger} c_{2,\vec{k}} + \mathrm{h.c.} \end{align}$$

RF Current

RF current 定义为

$$\begin{align} I = -\langle \dot{N}_2\rangle = -\mathrm{i} \langle [H, N_2] \rangle \end{align}$$

由线性响应理论得

$$\begin{align} I(\nu) = - \frac{1}{\pi}\mathrm{Im}D^R(\nu + \mu -\mu_3) = - \frac{1}{\pi}\mathrm{Im}D^R(\Omega_L) \end{align}$$

其中 $\Omega_L$ 是 rf field 的频率. $\nu = \Omega_L - (\epsilon_3-\epsilon_2)= \Omega_L - (\mu-\mu_3)$ 为 detuning. 考虑线性响应理论的最低阶近似, $D$ 可以分解为(如图)

$$\begin{align} D_0(\mathrm{i}\Omega_{m}, \vec{0}) = \frac{1}{\beta} \sum_{\vec{k}}\sum_{\omega_n} G^{(2)}(\mathrm{i}\omega_n, \vec{k}) G^{(3)}(\mathrm{i}\omega_n + \mathrm{i}\Omega_m, \vec{k}) \end{align}$$

picture code

用下面的式子, 把格林函数用谱函数表示

$$\begin{align} G^M(\vec{k}, E_n) = \frac{1}{2\pi}\int \mathrm{d}E' \frac{A(\vec{k}, E')} {\mathrm{i}E_n - E'} \end{align}$$

得到

$$\begin{align} D_0(\mathrm{i}\Omega_{m}, \vec{0}) = \frac{1}{\beta}\frac{1}{4\pi^2}\sum_{\vec{k}} \int \mathrm{d}E_1 \int \mathrm{d}E_2 \sum_{\omega_n} A^{(2)}(E_1, \vec{k}) A^{(3)}(E_2, \vec{k}) \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n-E_1} \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n + \mathrm{i}\Omega_m-E_2} \end{align}$$

频率求和后

$$\begin{align} D_0(\mathrm{i}\Omega_{m}, \vec{0}) = \frac{1}{4\pi^2}\sum_{\vec{k}} \int \mathrm{d}E_1 \int \mathrm{d}E_2 A^{(2)}(E_1, \vec{k}) A^{(3)}(E_2, \vec{k}) \left[ f(E_1) - f(E_2) \right] \frac{1}{\mathrm{i}\Omega_m-E_2 + E_1} \end{align}$$

做代换 $\mathrm{i}\Omega_m \to \Omega_{L} + \mathrm{i}0^+$ , 并取虚部得到 $I_0(\nu)$

$$\begin{align} I_0(\nu) =& -\frac{1}{\pi}(-\pi)\frac{1}{4\pi^2} \sum_{\vec{k}} \int \mathrm{d}E_1 \int \mathrm{d}E_2\cdot A^{(2)}(E_1, \vec{k}) A^{(3)}(E_2, \vec{k}) \cdot\left[ f(E_1) - f(E_2) \right] \cdot\delta (\Omega_L - E_2 + E_1) \\ =&\frac{1}{4\pi^2} \sum_{\vec{k}} \int \mathrm{d}E_1 A^{(2)}(E_1, \vec{k}) A^{(3)}(\Omega_L + E_1, \vec{k}) \cdot\left[ f(E_1) - f(\Omega_L + E_1) \right] \\ =& \frac{1}{4\pi^2} \sum_{\vec{k}} \int \mathrm{d}\epsilon \cdot A^{(2)}(\epsilon, \vec{k}) A^{(3)}(\bar{\epsilon}, \vec{k}) \cdot\left[ f(\epsilon) - f(\bar{\epsilon}) \right] \\ \end{align}$$

其中 $\bar{\epsilon} = \Omega_L+\epsilon=\epsilon+\nu+\mu-\mu_3$ .

态 $|3\rangle$ 上的粒子自由时

态 $|3\rangle$ 是自由粒子, 所以它的谱函数为 $A^{(3)}(\bar{\epsilon}, \vec{k}) = 2\pi\delta [\bar{\epsilon} - (\epsilon_{\vec{k}} - \mu_3)] = 2\pi\delta (\epsilon + \nu + \mu - \epsilon_{\vec{k}}) = 2\pi\delta(\epsilon-\xi_{\vec{k}} + \nu)$ , 代入上式可得

$$\begin{align} I_0(\nu) = \frac{1}{2\pi}\sum_{\vec{k}} A^{(2)}(\xi_{\vec{k}} - \nu, \vec{k}) \cdot\left[ f(\xi_{\vec{k}} - \nu) - f(\xi_{\vec{k},3}) \right] \end{align}$$

其中 $\epsilon_{\vec{k}} = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \xi_{\vec{k}} = \epsilon_{\vec{k}} - \mu, \xi_{\vec{k},3} = \epsilon_{\vec{k}} - \mu_3$

态 $|2\rangle$ 上的粒子也自由时

在 $|2\rangle$ 态也是自由的时候, $A^{(2)}(\xi_{\vec{k}}- \nu, \vec{k})A_0^{(2)}(\xi_{\vec{k}}-\nu, \vec{k}) 2\pi \delta(\xi_{\vec{k}}-\nu-\xi_{\vec{k}}) = 2\pi \delta(\nu)$ , 代回上式

$$\begin{align} I_0(\nu) = \sum_{\vec{k}} \delta(\nu) \cdot\left[ f(\xi_{\vec{k}} - \nu) - f(\xi_{\vec{k},3}) \right] \end{align}$$

是一个 $\delta$ 峰. 它满足 sum rule

$$\begin{align} \int \mathrm{d}\nu \cdot I_0(\nu) =& \sum_{\vec{k}} \left[f(\xi_{\vec{k}}) - 0\right] \\ =& \sum_{\vec{k}} f(\xi_{\vec{k}}) \\ =& N \end{align}$$

其中利用了 $|3\rangle$ 空态, 所以 $f(\xi_{\vec{k},3}) = 0$ .

总结

常用思想, 除了级数展开, 小量分析外, 将新得到的结果代回的已知结论, 看能否回到原来的简单情况, 是否符合实际的物理, 以验证新结论是否可靠, 也是很重要的思想.

Supplymentary

费米子的频率求和

$$\begin{align} \sum_{\omega_n = \frac{(2n+1)\pi}{\beta}} \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n - \xi_{\vec{k}}} = \beta n_{\mathrm{F}}(\xi_{\vec{k}}) \end{align}$$

Reference

Qijin Chen et al 2009 Rep. Prog. Phys. 72 122501

NSR Calaulate IV

2019-10-28T00:00:00+08:00

结果

p-wave

$$\begin{align} \frac{\tilde{\Omega}_{\mathrm{int}}}{Nk_{\varepsilon}^2/(2M)} = \frac{n_{\varepsilon}}{n}\frac{3}{2\pi} \int_0^{\infty} \mathrm{d} \tilde{q} \int_0^{\pi}\mathrm{d} \theta_q \cdot \tilde{q}^2 \sin(\theta_q)\cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}\tilde{\omega} \frac{1}{e^{\tilde{\beta}\tilde{\omega}}-1} \tilde{\delta}_{m=0}^p (\vec{q}, z) \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \tilde{\delta}_{m=0}^p (\vec{q}, z) = \mathrm{Arg}\left[ \frac{1}{4\pi}\cdot\frac{2R_p}{k_{\varepsilon}^2v_p} + \frac{1}{4\pi}\cdot \tilde{z} + \frac{2R_p}{Mk_{\varepsilon}^2}\Pi_r^p(\vec{q}, z+\mathrm{i}0^+) \right] \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{2R_p}{Mk_{\varepsilon}^2}\Pi_r^p(\vec{q}, z) = \frac{2}{\pi^2}k_{\varepsilon}R_p \int_0^{\infty}\mathrm{d}\tilde{k}\left[ -\frac{1}{2}\tilde{k}^2 - \frac{\tilde{z}}{4} + \frac{3}{4\pi} \frac{\tilde{k}^{4}}{2\tilde{k}^2 - \tilde{z}}F^p(k,\theta_q) \right] \end{align}$$

$F(k, \theta_q)$ 为 $\vec{k}$ 的角度积分

$$\begin{align} F^p(k, \theta_q) = \int_0^{\pi} \mathrm{d}\theta_k \int_0^{2\pi} \mathrm{d} \phi_k \sin \theta_k \cos^2 \theta_k\left[ 1 + \frac{1}{e^{\tilde{\beta}(\tilde{k}^2+\tilde{q}^2/4 + \tilde{k}\tilde{q}x -2\mu)}-1} + \frac{1}{e^{\tilde{\beta}(\tilde{k}^2+\tilde{q}^2/4 - \tilde{k}\tilde{q}x -2\mu)}-1} \right] \end{align}$$

$x$ 为 $\vec{k}$ 与 $\vec{q}$ 夹角的余弦:

$$\begin{align} x =\cos \theta_{kq} = \sin\theta_k \sin \theta_q \cos(\phi_k-\phi_q) + \cos \theta_k \cos \theta_q \end{align}$$

d-wave

d-wave 与 p-wave 的不同之处在于 $\tilde{\delta}^d_{m=0}(\vec{q}, z)$ 多了一项, 以及 $\Pi_r^d$ 中 $l = 2$ , 由于 $l$ 不同, 角度积分中的 $Y_l^m$ 也不同.

$$\begin{align} \tilde{\delta}_{m=0}^d (\vec{q}, z) = \mathrm{Arg}\left[ \frac{1}{4\pi}\cdot\frac{2v_d}{k_{\varepsilon}^2D_d} + \frac{1}{4\pi}\cdot \tilde{z} + \frac{1}{4\pi}\cdot \tilde{z}^2 \frac{k_{\varepsilon}^3v_d}{2\cdot R_d k_{\varepsilon}} + \frac{2v_d}{Mk_{\varepsilon}^2}\Pi_r^d(\vec{q}, z+\mathrm{i}0^+) \right] \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{2v_d}{Mk_{\varepsilon}^2}\Pi_r^d(\vec{q}, z) = \frac{2}{\pi^2}k_{\varepsilon}^3v_d \int_0^{\infty}\mathrm{d}\tilde{k}\left[ -\frac{1}{2}\tilde{k}^4 - \frac{\tilde{z}}{4}\tilde{k}^2 - \frac{\tilde{z}^2}{8} + \frac{5}{16\pi} \frac{\tilde{k}^6}{2\tilde{k}^2 - \tilde{z}}F^d(k,\theta_q) \right] \end{align}$$ $$\begin{align} F^d(k, \theta_q) = \int_0^{\pi} \mathrm{d}\theta_k \int_0^{2\pi} \mathrm{d} \phi_k \sin \theta_k (3\cos^2 \theta_k - 1)^2\left[ 1 + \frac{1}{e^{\tilde{\beta}(\tilde{k}^2+\tilde{q}^2/4 + \tilde{k}\tilde{q}x -2\mu)}-1} + \frac{1}{e^{\tilde{\beta}(\tilde{k}^2+\tilde{q}^2/4 - \tilde{k}\tilde{q}x -2\mu)}-1} \right] \end{align}$$

单位说明

上式中均以总的粒子数定义 $E_F$ , 即 $k_n^3 = 6\pi^2n$ . 文章中也是以总粒子数定义. 因此直接画图得到的 d-wave 的结果.

对于 p-wave, 是两分量的, 同样用了总的粒子数定义 $E_F$ , 但是相互作用能减半, 得到的即是文中的 p-wave 的结果.

过程

p-wave

文章中公式 (12) (换成 p 波):

$$\begin{align} \tilde{\Omega}_{\mathrm{int}} = \sum_{m, \vec{q}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}\omega}{\pi} \frac{1}{e^{\beta\omega}-1} \tilde{\delta}_m^p (\vec{q}, z) \end{align}$$

忽略掉 $m\neq 0$ 的部分, 并把对 $\vec{q}$ 的求和化为积分:

$$\begin{align} \tilde{\Omega}_{\mathrm{int}} = \frac{V}{(2\pi)^3} \int \mathrm{d} \vec{q} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}\omega}{\pi} \frac{1}{e^{\beta\omega}-1} \tilde{\delta}_{m=0}^p (\vec{q}, z) \end{align}$$

$\tilde{\delta}_{m=0}^p (\vec{q}, z)$ 只与 $\vec{q}$ 的大小和 $\theta_{q}$ 有关, 所以:

$$\begin{align} \tilde{\Omega}_{\mathrm{int}} = \frac{V}{(2\pi)^3} \int_0^{\infty} \mathrm{d} q \int_0^{\pi}\mathrm{d} \theta_q \cdot q^2 \sin(\theta_q)\cdot 2\pi\cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}\omega}{\pi} \frac{1}{e^{\beta\omega}-1} \tilde{\delta}_{m=0}^p (\vec{q}, z) \end{align}$$

无量纲后为

其中 $n= N/V$ 为粒子数密度. $k_{\varepsilon}$ 为无量纲采用的单位, $6\pi^2 n_{\varepsilon} = k_{\varepsilon}^3$ . 能量用 $k_{\varepsilon}^2/(2M)$ 为单位.

$\tilde{\delta}_{m=0}^p (\vec{q}, z)$ 为文章中 (15) 式:

$$\begin{align} \tilde{\delta}_{m=0}^p (\vec{q}, z) = \mathrm{Arg}\left[ \frac{M}{4\pi}\cdot\frac{1}{v_p} + z \frac{M^2}{4\pi}\cdot \frac{1}{R_p} + \Pi_r^p(\vec{q}, z+\mathrm{i}0^+) \right] \end{align}$$

每项都提出一个 $\frac{M k_{\varepsilon}^2}{2R_p}$ 后:

其中 $\tilde{z} = \frac{z}{k_{\varepsilon}^2/(2M)}$ 为无量纲后的 $z$ . $\Pi_r^p(\vec{q}, z)$ 为文章中 (16) 式

$$\begin{align} \label{eq:bigpi} \frac{2R_p}{Mk_{\varepsilon}^2}\Pi_r^p(\vec{q}, z) = \frac{2R_p}{Mk_{\varepsilon}^2} \left[ - \frac{M}{V}\sum_{\vec{k}}1 -z \frac{M^2}{V}\sum_{\vec{k}}\frac{1}{k^2} + \Pi^{l=1}(\vec{q}, z) \right] \end{align}$$

$\Pi^{l=1}(\vec{q}, z)$ 为文章中 (9) 式的结果:

$$\begin{align} \label{eq:smallpi} \Pi^{l=1}(\vec{q}, z) = \frac{1}{V} \sum_{\vec{k}}\left\{ k^24\pi |Y_{l=1}^{m=0}(\hat{k})|^2 \frac{1 + n(\xi_{\vec{k}+\vec{q}/2}) + n(\xi_{-\vec{k}+\vec{q}/2})} {\xi_{\vec{k}+\vec{q}/2} + \xi_{-\vec{k}+\vec{q}/2} - \omega} \right\} \end{align}$$

将球谐函数的具体形式 $Y_{l1}^{m0}(\hat{k})= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\cos\theta_k$ 代回到上式, 再将上式代回式 (\ref{eq:bigpi}) , 并将对 $\vec{k}$ 的求和化为积分后得

$$\begin{align} \frac{2R_p}{Mk_{\varepsilon}^2}\Pi_r^p(\vec{q}, z) = \frac{2}{\pi^2}k_{\varepsilon}R_p \int_0^{\infty}\mathrm{d}\tilde{k}\left[ -\frac{1}{2}\tilde{k}^2 - \frac{\tilde{z}}{4} + \frac{3}{4\pi} \frac{\tilde{k}^4} {\tilde{\xi}_{\vec{k}+\vec{q}/2} + \tilde{\xi}_{-\vec{k}+\vec{q}/2} - \tilde{\omega}}F(k,\theta_q) \right] \end{align}$$

其中 $\tilde{k} = k/k_{\varepsilon}$ , $\tilde{\xi}_{\vec{k}+\vec{q}/2} = \frac{\xi_{\vec{k}+\vec{q}/2}}{k_{\varepsilon}^2/(2M)}$ . 将 $\tilde{\xi}_{\vec{k}+\vec{q}/2} = \tilde{k}^2 + q^2/4 + \tilde{k}\tilde{q} x-\mu$ 以及 $\tilde{z} = \tilde{\omega} - \tilde{q}^2/2 + 2\mu$ 代入上式, 可以对最后一项的分母化简

$$\begin{align} \tilde{\xi}_{\vec{k}+\vec{q}/2} + \tilde{\xi}_{-\vec{k}+\vec{q}/2} - \tilde{\omega} = 2\tilde{k}^2 - \tilde{z} \end{align}$$

而 $F(k, \theta_q)$ 为 $\vec{k}$ 的角度积分

$$\begin{align} F(k, \theta_q) = \int_0^{\pi} \mathrm{d}\theta_k \int_0^{2\pi} \mathrm{d} \phi_k \sin \theta_k \cos^2 \theta_k\left[ 1 + \frac{1}{e^{\tilde{\beta}(\tilde{k}^2+\tilde{q}^2/4 + \tilde{k}\tilde{q}x -2\mu)}-1} + \frac{1}{e^{\tilde{\beta}(\tilde{k}^2+\tilde{q}^2/4 - \tilde{k}\tilde{q}x -2\mu)}-1} \right] \end{align}$$

其中 $x$ 为 $\vec{k}$ 与 $\vec{q}$ 夹角的余弦:

$$\begin{align} x =\cos \theta_{kq} = \sin\theta_k \sin \theta_q \cos(\phi_k-\phi_q) + \cos \theta_k \cos \theta_q \end{align}$$

所以最终要算的是对 $\tilde{\omega}, \tilde{q}, \theta_q, \tilde{k}, \theta_k, \phi_k$ 的积分.

d-wave

与 p-wave 类似.

Thomas-Fermi Theory

2019-10-18T00:00:00+08:00

Sommerfeld Model

Sommerfeld Model 是考虑自由全同电子气体. 那么它的密度是与位置无关的

$$\begin{align} n_0(\varepsilon_F) = \frac{k_F^3}{3\pi^2} \end{align}$$

Thomas-Fermi Theory

如果在 Sommerfeld Model 的基础上考虑在原点有一个固定不动的电荷, 那么它的密度就会与位置有关.

一个在离原点不远的 $\vec{r}$ 处的试探电荷, 感受到在原点的电荷给它的势能为

$$\begin{align} E_{\mathrm{pot}}(\vec{r}) = (-e) \phi(\vec{r}) \end{align}$$

Thomas-Fermi Model 的假设就是, 单粒子的能量修正假设为

$$\begin{align} E(\vec{k}) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - e\phi(\vec{r}) \end{align}$$

由于不确定关系, 等式左边给定了动量, 右边给定了位置, 两边是矛盾的. 因此, 只有在 $\phi(\vec{r})$ 在位置不确定关系的范围内基本不变可以看作常量时, 上式才有意义.

待续...

Reference

Ashcroft, Mermin, Solid State Physics

Wolfgang Nolting, Fundamentals of Many-body Physics

Drude Model and the Sommerfeld Theory of Metals

2019-10-16T00:00:00+08:00

Drude Model

物理图像

金属元素的原子聚在一起形成金属时, 价电子分离出来, 并且在金属中自由的游荡, 而金属离子保持完好, 扮演着不动的正电荷粒子的角色. 一个原子总共有 $Z_{\alpha}$ 个电子. 总电量是 $-Z_{\alpha}e$ (取 $e$ 是正数). 价电子有 $Z$ 个. $Z_{\alpha}-Z$ 个电子相对紧地束缚在原子核周围, 称为 core electrons.

Drude Model 的几个基本假设:

1. 在碰撞之间, 电子与其它电子以及离子实的相互作用都被忽略(也就是忽略了长程库伦相互作用). 前者为 independent electron approximation, 后者为 free electron approximation. 2. 碰撞是瞬时的, 突然地改变电子的速度. 碰撞为电子与离子实的碰撞. 两次碰撞的平均时间间隔为 $\tau$ , 它有 relaxation time, collision time, mean free time 几种不同的叫法. 那么电子发生碰撞的概率是 $\frac{1}{\tau}$ . 3. 电子只通过碰撞来达到与环境的热平衡. 电子在碰撞后, 速度与碰撞前的速度完全无关, 而时随机地得到一个与碰撞周围的温度相匹配的温度.

主要结论

current density $\vec{j}$ 和电场强度 $\vec{E}$ 之间的线性关系

Ohm's 定律

$$\begin{align*} V =& I \cdot R \\ &\Downarrow \\ \vec{E} =& \rho \cdot \vec{j} \end{align*}$$

为什么要从第一式变到第二式. 因为 $R$ 与导体的形状有关系. 而 $\rho$ 只与导体的成份有关系, 更加普适. 这是很重要的思想. 给导体加上电场在导体中, 能产生多大的电流, 就是 $\rho$ 的意义, 用来描述导体的导电性的大小.

从更加微观的意义上考虑 current density

$$\begin{align} \vec{j} = -ne \vec{v} \end{align}$$

$\vec{j}$ 从量纲上考虑是单位面积单位时间的电荷量. 电子的速度 $\vec{v}$ 是长度比上时间. $n$ 是单位体积. 三者相乘就单位面积单位时间的电量.

$\vec{v}$ 是一个平均速度. 通过假设推导 $\vec{v}$ . $\vec{v}$ 的产生原因是 $\vec{E}$ 的存在. 因为无电场时, 没有电流, 即 $\vec{v}=0$ .

考虑 $\vec{E}$ 对 $\vec{v}$ 的影响. 受到的力产生的加速度为

$$\begin{align} \vec{a} = -\frac{e \vec{E}}{m} \end{align}$$

考虑电子两次碰撞之间的时间 $\tau$ 内产生的加速后的平均速度为

$$\begin{align} \vec{v}_{\mbox{avg}} = 0 - \frac{e \vec{E}\tau}{m} \end{align}$$

所以

$$\begin{align} \vec{j} = \frac{ne^2\tau}{m}\vec{E} \end{align}$$

微观量就可以由宏观可测的量推出

$$\begin{align} \tau = \frac{m}{\rho ne^2} \end{align}$$

电子的运动方程

假设电子在 $t$ 时刻的平均动量为 $\vec{p}(t)$ , 外场给电子的力为 $\vec{f}(t)$ .

在 $\Delta t$ 时间内没有发生碰撞的电子, 对平均动量的贡献为

$$\begin{align} \vec{p}(t) + \int_t^{t+ \Delta t}\vec{f}(t)\mathrm{d}t \end{align}$$

将第二项展开到 $\Delta t$ 的二阶(假设 $\vec{f}(t)$ 的原函数为 $\vec{F}(t)$ )

$$\begin{align} \int_t^{t+ \Delta t}\vec{f}(t)\mathrm{d}t =& \vec{F}(t+ \Delta t) - \vec{F}(t) \\ =& \vec{F}(t) + \vec{F}'(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 - \vec{F}(t)\\ =& \vec{f}(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \end{align}$$

所以

$$\begin{align} \vec{p}(t) + \int_t^{t+ \Delta t}\vec{f}(t)\mathrm{d}t = \vec{p}(t) + \vec{f}(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \end{align}$$

在 $\Delta t$ 时间内发生碰撞的电子. 根据假设, 碰撞后, 它的平均动量为 $\vec{0}$ . 所以它的经过不路 $\Delta t$ 时间的受力后, 平均动量的量级为(可见碰撞后的电子速度取为碰撞周围达到热平衡的条件是很重要的)

$$\begin{align} \vec{f}(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \end{align}$$

那么在 $\Delta t$ 时间后, 它的平均动量变为

$$\begin{align} \vec{p}(t + \Delta t) = \left( 1 - \frac{\Delta t}{\tau} \right) \left[ \vec{p}(t) + \vec{f}(t)\delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \right] + \frac{\Delta t}{\tau}\left[ \vec{f}(t)\delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \right] \end{align}$$

舍去 $\mathcal{O}(\Delta t)^2$ , 取 $\Delta t \to 0$ 后, 得到电子的运动方程

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec{p}(t) = - \frac{\vec{p}(t)}{\tau} + \vec{f}(t) \end{align}$$

The Sommerfeld Theory of Metals

与 Drude Model 的主要区别在于将电子作为全同费米子来处理, 考虑 Fermi-Dirac 分布.

又名 Free Electron Model ,Drude-Sommerfeld Model.

总结

随着学习的不断加深, 越来越要重视清晰的物理图像. 中学的物理由于物理图像都是日常生活中的图像, 与经验相符, 所以已经自然而然地存在于经验当中, 所以重点在于学习用数学来描述物理图像.

本科的学习不够深入, 只知道物理图像是必要的, 也没有体会到物理图像的重要性. 现在学习的图像都很抽象, 之前似乎陷在数学之中了. 以后要非常重视清晰的物理图像.

Reference

Ashcroft, Mermin, Solid State Physics

https://en.wikipedia.org/wiki/Drude_model

BCS-BEC Crossover

2019-10-15T00:00:00+08:00

System

Fremi gas, interaction described by s-wave scattering length $a$ .

Two-Body Collisions

s- wave scattering amplitude

$$\begin{align} f_0(k) = - \frac{1}{\frac{1}{a} - \frac{k^2}{2}r_{\mathrm{eff}} + \mathrm{i}k} \end{align}$$

if $|ka|\ll 1$ , 那么 $f_0(k)=-a$ 是一个常数. $a$ 的大小可以表示相互作用的强弱.
if $|ka|\gg 1$ , $k|r_{\mathrm{eff}}|\ll 1$ , 那么 $f_0(k)=\mathrm{i}/k$ , 这叫 universal law . 散射振幅只与 $k$ 有关, 与相互作用以及其它任何参数都无关, 这叫 unitary regime.
$a>0$ 可以看作是一个排斥势. 要满足: 1). $ka\ll 1$ , 并且只考虑低能散射态. 2). 束缚态足够 deep, 可以 safely 忽略掉.

Physics

BCS

BEC

Unitary

Critial Temperature

Pseudo Gap

对于无相互作用或者弱排斥的费米子(没有发生配对, 没有超流), 它的色散关系大概是一个抛物线型

$$\begin{align} \varepsilon(\vec{k})= \frac{k^2}{2m} - \mu \end{align}$$

在 $k=\mu$ 附近的激发是 gapless 的. 在费米面附近, 从 $k$ 以下一个无穷小的动量, 激发到上面一个很小的动量, 这是一个 gapless 的激发. 只要动量转移足够小, 激发能就可以足够小.

如果看单粒子的 density of state , 三维的话是 $\sqrt{E}$ 的形式.

$$\begin{align} D(E) = \int \mathrm{d}\vec{k} \cdot \delta (E - \varepsilon(\vec{k})) \end{align}$$

费米面以下的态都是填满的.

如图..

picture code

激发谱在配对的时候(如果存在超流), 那么它的准粒子激发就是这样

它会打开一个 gap, 这个 gap 就是 $\Delta$ , 因为这个时候它的激发谱变成了

$$\begin{align} \varepsilon(\vec{k}) = \sqrt{(\varepsilon_k - \mu)^2 + \Delta^2} \end{align}$$

where $\Delta = \langle \psi_{\downarrow} \psi_{\uparrow}(\vec{r})\rangle$ 这个是 BSC 平均场 Hamiltonian 做 Boguliubov 变换, 应该是求出这样一个单粒子的色散关系.

这个 gap 反应在态密度上如图

picture code

pseudo gap 最早的定义是说, 态密度在费米面附近有一个 deep. 这个 deep, 不同的体系, 产生的原因是不一样的. 如果激发谱在这里存在一个 gap, 它可以在这样导致一个 deep . 如果是零温下, 这里有一个 gap , 原则上它可以降到零. 在费米面这个地方, 打开一个 gap, 它这个地方就会掉到零. 其它一些原因, 有可能使得, 它可能没有掉到零, 但是它呢会有一个 deep , 把这种情况叫做一个 psudo gap. 如果掉到零了, 它就是一个真的 gap.

对于 BCS-BEC crossover, 在弱吸引的这一边, 基本上, 比如说 $T$ 从 $0$ , 逐渐增高, 达到 $T_{C}$ 的时候, 那么 $T$ 接近 $T_{C}$ 以后呢, 一方面它的超流序参量变成零了 $\Delta = 0$ , 另一方面, 这个 deep 同时也消失了, 也就是说在 $T_C$ 的时候, 超流也消失了, 态密度就回复到一个接近无相互作用的费米子气体, 同时激发谱里也没有 gap. 但是比如说在幺正区, 或者说在偏 BEC 那边, 在 $T$ 接近 $T_{C}$ 的时候呢, 序能量仍然要接近于零, 因为这是超流到正常相的一个判据. 但是激发谱仍然是有 gap 的, 同时呢, 这里仍然有一个 deep , 但是这个 deep 这个时候通常, 比如说 $T_{C}$ 以上, 它是不会掉到零的, 但它还有一个 deep, 这个里面它叫做一个 pseudo gap.

Paring Gap

它指的序参量 . $\Delta = \langle \psi_{\downarrow} \psi_{\uparrow}(\vec{r})\rangle$ .均匀系统的话, 它是和空间无关的量. 这个平均值只要在 $T_{C}$ 或是 $T_{C}$ 以上, 这个肯定是零的, 因为它是一个反常的格林函数, 是两个消灭算符.

Method

Mean Field

NSR

Reference

Ran Qi

Stinati

Pitaevskii

NSR Calaulate III

2019-10-09T00:00:00+08:00

整体思路

$$\begin{align} \frac{\Delta F}{NE_n} = \left[ \tilde{\tilde{\Omega}}_{\mathrm{int}} - \tilde{\Omega}_{0}^{\mathrm{M}} + \tilde{\mu} \right]\left( \frac{n_{\varepsilon}}{n} \right)^{2/3} \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{n}{n_{\varepsilon}} =& - \frac{\partial}{\partial\tilde{\mu}}\left[ \tilde{\tilde{\Omega}}_{\mathrm{int}} + \tilde{\Omega}_{0}^{\mathrm{B}} \right] \end{align}$$ $$\begin{align} \tilde{\tilde{\Omega}}_{\mathrm{int}} = \int \mathrm{d}\tilde{q}\cdot \tilde{q}^2 \int_0^{\pi}\sin\theta_q\mathrm{d}\theta_q \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}\tilde{\omega} \cdot \frac{3}{2\pi}\cdot \frac{1}{e^{\tilde{\beta}\tilde{\omega}}-1} \delta^p(\vec{q},z) \end{align}$$ $$\begin{align} \tilde{\Omega}_0^{\mathrm{B}} = \frac{3}{\tilde{\beta}} \int_0^{\infty} \mathrm{d} \tilde{k} \cdot \tilde{k}^2 \ln \left[1 - e^{- \tilde{\beta} \tilde{\xi}_k}\right] \end{align}$$ $$\begin{align} \delta^p(\vec{q}, z) =& \mathrm{Arg}\left[ \frac{1}{4\pi}\cdot \frac{2R}{k_{\varepsilon}^2 v} + \tilde{z}\cdot\frac{1}{4\pi} + \frac{2 R}{M k_{\varepsilon}^2}\Pi_r(\vec{q},z + \mathrm{i}0^+) \right] \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{2 R}{M k_{\varepsilon}^2}\Pi_r(\vec{q},z) =& \frac{2}{\pi^2} \cdot k_{\varepsilon}R\cdot \int \mathrm{d}\tilde{k}\\ & \left\{ \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi_k \int_{0}^{\pi} \sin\theta \mathrm{d}\theta_k \cdot \cos^2 \theta_k \left[ 1+n(\xi_{\vec{k}+\vec{q}/2}) + n(\xi_{-\vec{k}+\vec{q}/2}) \right]\frac{3}{4\pi}\frac{\tilde{k}^4} {2\tilde{k}^2 - \tilde{z}} -\frac{1}{2}\tilde{k}^2 - \frac{1}{4}\tilde{z} \right\} \end{align}$$

而

$$\begin{align} n(\xi_{\vec{k}+\vec{q}/2}) = \frac{1}{e^{\beta(\tilde{k}^2 + \tilde{q}^2/4 + \tilde{k} \tilde{q} x-2\mu)} -1} \end{align}$$

其中

$$\begin{align} x = \cos\theta_{kq} =& \sin\theta_k \cos \phi_k \sin \theta_q \cos \phi_q + \sin \theta_k \sin\phi_k \sin \theta_q \sin \phi_q + \cos \theta_k \cos \theta_q \\ =& \sin\theta_k \sin \theta_q \cos(\phi_k-\phi_q) + \cos \theta_k \cos \theta_q \end{align}$$

带 tilde 的都是以 $\varepsilon$ 或 $k_{\varepsilon}$ 为单位的无量纲量.

最终画的是 $(1)$ 式. $(1)$ 式左边以 $E_n$ 为单位, 右边乘上 $\left( \frac{n_{\varepsilon}}{n} \right)^{2/3}$ 进行单位转换.

将 $(2)~(5)$ 式依次代入可得结果

还有一些关系: $\tilde{\xi} = \tilde{k}^2 - \tilde{\mu} ,\quad n(\xi) = \frac{1}{e^{\tilde{\beta} \tilde{\xi}}-1}, \quad \tilde{z} = \tilde{\omega} - \frac{\tilde{q}^2}{2} + 2 \tilde{\mu}$

Fig

file:./2019-10-09-physics-NSRcalv3/numGiven.png

file:./2019-10-09-physics-NSRcalv3/TcAll-ana.png

file:./2019-10-09-physics-NSRcalv3/fig3-p-wave.png

file:./2019-10-09-physics-NSRcalv3/fig4-pwave.png

file:./2019-10-09-physics-NSRcalv3/fig5-a.png

file:./2019-10-09-physics-NSRcalv3/fig5-b.png

fig3-p-nc file:./2019-10-09-physics-NSRcalv3/fig3-p-nc.png

file:./2019-10-09-physics-NSRcalv3/Tc-nc.png

几种数值积分方法

2019-10-07T00:00:00+08:00

Gaussian Quadrature

适用于积分区间内平滑的积分.

Computes the sample points and weights for Gauss-Legendre quadrature. The sample points are the roots of the n-th degree Legendre polynomial . These sample points and weights correctly integrate polynomials of degree or less over the interval with weight function .

$$\begin{align} \int_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x = \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \end{align}$$

其中 $x_i$ 是 $n$ 阶 Legendre 多项式的根. $x_i$ 和权重 $w_i$ 可以由 scipy.special.roots_ legendre 生成:

Computes the sample points and weights for Gauss-Legendre quadrature. The sample points are the roots of the n-th degree Legendre polynomial . These sample points and weights correctly integrate polynomials of degree or less over the interval with weight function .

积分区间不在 $[-1, 1]$ , 可以通过换换元来转换

$$\begin{align} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 f(\frac{b-a}{2}t + \frac{b+a}{2})\mathrm{d}t \end{align}$$

  from scipy.special import roots_legendre as leg
  def gauquad(f, a, b, n=50):
      '''
      定义 Gaussian quadrature 积分
      函数 f 的积分区间为 [a,b]
      取 n 个 Legendre 的根
      def Gaussian quadrature integration
      integrate function f from a to b
      take n Legendre roots
      '''
      ft = lambda t: f( (b-a)*t/2 +(a+b)/2 ) * (b-a)/2
      x, w = leg(n)
      I = 0
      for i in range(n):
          I = I + w[i]*ft(x[i])
      err = 0                     # 为了与 scipy.integrate 中积分函数的输出一致, 多一个 err 参数.
      return I,err

Cauchy Principal Value (CPV) Gaussian Quadrature

CPV 用 Gaussian quadrature 时不能给出正确的结果. 这时可以将函数的积部分和偶部分分开算.

计算积分

$$\begin{align} \mathcal{P}\int_{-a}^af(x) \mathrm{d}x = \lim_{r\to 0^+}\left[ \int_{-a}^{-r} f(x)\mathrm{d}x +\int_{r}^af(x)\mathrm{d}x \right] \end{align}$$

其中 $0$ 为奇点.

关于奇点的 Odd 部分

$$\begin{align} g(x) = \frac{1}{2}\left[ f(x)-f(-x) \right] \end{align}$$

Even 部分

$$\begin{align} h(x) = \frac{1}{2}\left[ f(x) + f(-x)\right] \end{align}$$

总的积分

$$\begin{align} \mathcal{P}\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}x = \lim_{r\to 0^+} \int_r^a \left[ f(x) + f(-x)\right] \mathrm{d}x \end{align}$$

如果奇点不是 $0$ , 也可以通过换元转化成上式的形式.

code

from scipy import integrate
from scipy.integrate import fixed_quad
def sgq(f, a, b, sp, n=10):
    """带有主值积分的积分.
    Singular Gaussian quadrature."""
    diffa = sp - a
    diffb = b - sp
    def ff(t):
        ff = f(t+sp) + f(-t+sp)
        return ff
    if diffa<diffb:
        sgq1, err = gauquad(ff, 0, sp-a, n=rootNum)
        sgq2, err = gauquad(f, 2*sp-a, b, n=rootNum)
    else:
        sgq1, err = gauquad(ff, 0, b-sp, n=rootNum)
        sgq2, err = gauquad(f, a, 2*sp-b, n=rootNum)
    sgq = sgq1 + sgq2
    return sgq, err

Tanh-Sinh Quadrature

对于端点发散的情况, 可以用 Tanh-Sinh quadrature (Double Exponential) 方法. 对于积分

$$\begin{align} \int_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x \end{align}$$

通过换元

$$\begin{align} x = \tanh \left( \frac{1}{2}\pi \sinh t \right) \end{align}$$

将积分区间 $x\in [-1, 1]$ 换为 $t\in (-\infty, +\infty)$ .

$$\begin{align} \int_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty}f[x(t)] w(t)\mathrm{d}t \end{align}$$

其中

$$\begin{align} w(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x(t) =\frac{ \frac{1}{2}\pi \cosh t}{\cosh^2\left( \frac{1}{2}\pi \sinh t \right)} \end{align}$$

权重 $w(t)$ 是一个以原点为中心的钟形函数, 因此可以抵消原来在端点的发散.

然后将积分离散化, 将积分区间作适当截断, 做数值计算.

def ts(f, a, b, n=51):
    """Tanh-sinh quadrature 方法.
    适用于端点发散的情况."""
    up = 4
    h = 2*up / (n-1)
    t = np.linspace(-up, up, n, endpoint=True)
    x = np.tanh(1/2*np.pi*np.sinh(t))
    w = 1/2*h*np.pi*np.cosh(t)
    w = w/(np.cosh(1/2*np.pi*np.sinh(t))**2)
    gc = 0
    for i in range(n):
        p = (x[i]*(b-a) + a + b)/2
        gc = gc + f(p)*w[i]
    err = 0
    gc = gc * (b-a)/2
    return gc, err

Reference

https://www.win.tue.nl/casa/meetings/seminar/previous/_abstract021106_files/Improper_integral1.pdf

NSR Calculate II

2019-09-08T00:00:00+08:00

整体思路

$$\begin{align} \frac{\Delta F}{NE_n} = \left[ \tilde{\tilde{\Omega}}_{\mathrm{int}} - \tilde{\Omega}_{0}^{\mathrm{M}} + \tilde{\mu} \right]\left( \frac{n_{\varepsilon}}{n} \right)^{2/3} \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{n}{n_{\varepsilon}} =& - \frac{\partial}{\partial\tilde{\mu}}\left[ \tilde{\tilde{\Omega}}_{\mathrm{int}} + \tilde{\Omega}_{0}^{\mathrm{B}} \right] \end{align}$$ $$\begin{align} \tilde{\tilde{\Omega}}_{\mathrm{int}} = \int \mathrm{d}\tilde{q}\cdot \tilde{q}^2 \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}\tilde{\omega} \cdot \frac{3}{\pi}\cdot \frac{1}{e^{\tilde{\beta}\tilde{\omega}}-1} \delta^p(\vec{q},z) \end{align}$$ $$\begin{align} \tilde{\Omega}_0^{\mathrm{B}} = \frac{3}{\tilde{\beta}} \int_0^{\infty} \mathrm{d} \tilde{k} \cdot \tilde{k}^2 \ln \left[1 - e^{- \tilde{\beta} \tilde{\xi}_k}\right] \end{align}$$ $$\begin{align} \delta^p(\vec{q}, z) =& \mathrm{Arg}\left[ \frac{1}{4\pi}\cdot \frac{2R}{k_{\varepsilon}^2 v} + \tilde{z}\cdot\frac{1}{4\pi} + \frac{2 R}{M k_{\varepsilon}^2}\Pi_r(\vec{q},z + \mathrm{i}0^+) \right] \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{2 R}{M k_{\varepsilon}^2}\Pi_r(\vec{q},z) =& \frac{2}{\pi^2} \cdot k_{\varepsilon}R\cdot \int \mathrm{d}\tilde{k} \left\{ \int_{-1}^1 \mathrm{d}x \cdot x^2\left[ 1+n(\xi_{\vec{k}+\vec{q}/2}) + n(\xi_{-\vec{k}+\vec{q}/2}) \right]\frac{3}{2}\frac{\tilde{k}^4} {2\tilde{k}^2 - \tilde{z}} -\frac{1}{2}\tilde{k}^2 - \frac{1}{4}\tilde{z} \right\} \end{align}$$

带 tilde 的都是以 $\varepsilon$ 或 $k_{\varepsilon}$ 为单位的无量纲量.

最终画的是 $(1)$ 式. $(1)$ 式左边以 $E_n$ 为单位, 右边乘上 $\left( \frac{n_{\varepsilon}}{n} \right)^{2/3}$ 进行单位转换.

将 $(2)~(5)$ 式依次代入可得结果

还有一些关系: $\tilde{\xi} = \tilde{k}^2 - \tilde{\mu} ,\quad n(\xi) = \frac{1}{e^{\tilde{\beta} \tilde{\xi}}-1}, \quad \tilde{z} = \tilde{\omega} - \frac{\tilde{q}^2}{2} + 2 \tilde{\mu}$

$\delta^p(\vec{q}, z)$ 的近似的解析表达式

$\delta^p(\vec{q}, z)$ 的近似的解析表达式为

$$\begin{align} -\pi \theta(\omega - a) \end{align}$$

其中

$$\begin{align} a = \frac{\tilde{q}^2}{2} - 2 \tilde{\mu} - \frac{2R}{k_{\varepsilon}^2 v} \end{align}$$

以 $\tilde{q}$ 和 $\tilde{\omega}$ 为变量, 数值上画出的 $\delta^p(\vec{q}, z)$ 的二维图为

file:./2019-09-08-physics-NSRcalv2/2Dfig.png

是一个阶跃函数. 其边界和近似的解析表达式对比

file:./2019-09-08-physics-NSRcalv2/stepLine.png

计算 density I

$$\begin{align} \frac{n}{n_{\varepsilon}} =& - \frac{\partial}{\partial\tilde{\mu}}\left[ \tilde{\tilde{\Omega}}_{\mathrm{int}} + \tilde{\Omega}_{0}^{\mathrm{B}} \right] \end{align}$$

density $\frac{n}{n_{\varepsilon}}$ 与温度 $\tilde{\beta}$ , $k_{\varepsilon}R$ , $\frac{2R}{k_{\varepsilon}^2 v}$ , 化学势 $\tilde{\mu}$ 有关.

将温度 $\tilde{\beta}1$ 和 $k_{\varepsilon}R1/30$ 固定, 以 $\frac{2R}{k_{\varepsilon}^2 v}$ 为横坐标, 画出不同化学势 $\tilde{\mu}$ 时积分部分的多条曲线.

取 $\frac{2R}{k_{\varepsilon}^2 v}\in [-2, 2]$ , $\mu \in [-2, -.0.1]$

计算 density II

用 $\delta^p(\vec{q}, z)$ 的近似的解析表达式求 density 的解析表达式

$$\begin{align} \frac{n}{n_{\varepsilon}} =& - \frac{\partial}{\partial\tilde{\mu}}\left[ \tilde{\tilde{\Omega}}_{\mathrm{int}} + \tilde{\Omega}_{0}^{\mathrm{B}} \right] \\ =& \int_0^{\infty}\mathrm{d}\tilde{q}\cdot 3 \tilde{q}^2\left[ \frac{2}{e^{\tilde{\beta}a}-1} + \frac{1}{e^{\tilde{\beta}(\tilde{q}^2 - \tilde{\mu})}-1} \right] \end{align}$$

最终结果

将结果与原文中的结果对比

file:./2019-09-08-physics-NSRcalv2/co-result.png

蓝线: 原文结果
num 数值结果.
ana1 只把 $\delta^p$ 的边界的边界用数值解代替(analytically calculate $\delta^p$ ).
ana2 直到积分的结果都是解析的, 微分是数值微分(analytically calculate the integral F).
ana3 对 $\mu$ 的微分也用解析结果(analytically calculate $\mu$ ).

计算 $T_C$

weak coupling

算出 $\mu = 0$ 时的 density .

对应的纵坐标为

$$\begin{align} \frac{k_BT_C}{E_n} = \frac{1}{\beta E_n} = \frac{1}{\varepsilon \beta} \frac{\varepsilon}{E_n} = \frac{1}{\tilde{\beta}} \cdot \left(\frac{n_{\varepsilon}}{n}\right)^{2/3} \end{align}$$

横坐标为

$$\begin{align} \frac{2 R_p}{k_n^2v_p} = \frac{2 \tilde{R_p}}{k_{\varepsilon}^2 \tilde{v_p}}\cdot \left( \frac{n_{\varepsilon}}{n}\right)^{2/3} \end{align}$$

file:./2019-09-08-physics-NSRcalv2/Tc.png

file:./2019-09-08-physics-NSRcalv2/TcNum.png

NSR Calculate

2019-07-03T00:00:00+08:00

Free Energy vs. Renormalize Paramaters

p-wave

cal

$$\begin{align} \delta^p(\vec{q}, z) =& \mathrm{Arg}\left[ \frac{Mk_{n^2}}{2}\frac{1}{R} \left( \frac{1}{4\pi}\cdot \frac{2R}{k_n^2 v} + \tilde{z}\cdot\frac{1}{4\pi} + \frac{2 R}{M k_n^2}\Pi_r(\vec{q},z) \right) \right] \\ =& \mathrm{Arg}\left[ \frac{1}{4\pi}\cdot \frac{2R}{k_n^2 v} + \tilde{z}\cdot\frac{1}{4\pi} + \frac{2 R}{M k_n^2}\Pi_r(\vec{q},z + \mathrm{i}0^+) \right] \end{align}$$

其中 $\tilde{z}=z/E_n$ , $E_n = k_n^2/(2M)$ , $k_n^3 = 6\pi^2n$ , $n = N/V$

$$\begin{align} \frac{2 R}{M k_n^2}\Pi_r(\vec{q},z) =& (k_n R)\cdot\Pi_r \cdot \frac{2}{Mk_n^3}\\ =& \tilde{R}\left[ \frac{2}{Mk_n^3}\left( -\frac{M}{V} \right)\sum_{\vec{k}}1 - \tilde{z}E_n \frac{M^2}{V}\frac{2}{Mk_n^3}\sum_{\vec{k}}\frac{1}{k^2} + \frac{2}{Mk_n^3}\Pi^{l=1}(\vec{q},z) \right] \\ =& \tilde{R}\left[ -\frac{1}{\pi^2}\int \mathrm{d}\tilde{k}\cdot \tilde{k}^2 -\tilde{z} \frac{1}{2\pi^2}\int \mathrm{d}\tilde{k} +\tilde{\Pi}^{l=1} \right] \end{align}$$

其中 $\tilde{R} = k_nR$ , $\tilde{k} = k/k_n$

$$\begin{align} \tilde{\Pi}^{l=1} = &\frac{2}{Mk_n^3}\Pi^{l=1}(\vec{q},\omega) \\ =& \frac{2}{Mk_n^3}\frac{1}{V}\frac{V}{(2\pi)^3}\int \mathrm{d}\tilde{k} \left[ k^2 \cdot 4\pi |Y_{lm}(\hat{k})|^2 \frac{1+n(\xi_{\vec{k}+\vec{q}/2}) + n(\xi_{-\vec{k}+\vec{q}/2})} {\xi_{\vec{k}+\vec{q}/2} + \xi_{-\vec{k}+\vec{q}/2} - \omega} \right] \\ =& \frac{2}{\pi^2}\int \mathrm{d}\tilde{k}\cdot\tilde{k}^4\left[ \frac{1+n(\xi_{\vec{k}+\vec{q}/2}) + n(\xi_{-\vec{k}+\vec{q}/2})} {\tilde{\xi}_{\vec{k}+\vec{q}/2} + \tilde{\xi}_{-\vec{k}+\vec{q}/2} - \tilde{\omega}} \right] \end{align}$$

其中 $\tilde{\xi} = \xi/E_n$ , $\tilde{\omega} = \omega/E_n$ , $n(\xi) = \frac{1}{e^{\beta \xi}-1}$

最终

$$\begin{align} \frac{\tilde{\Omega}}{N E_n} =& \frac{1}{N E_n} \frac{V}{(2\pi^3)}\int \mathrm{d}^3\vec{q} \cdot \int \frac{\mathrm{d}\omega}{\pi}\cdot \frac{1}{e^{\beta\omega}-1} \delta^p \\ =& \frac{3}{\pi} \int \mathrm{d}\tilde{q}\cdot \tilde{q}^2 \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}\tilde{\omega} \cdot \frac{1}{e^{\tilde{\beta}\tilde{\omega}}-1} \tilde{\delta}^p(\vec{q},z) \end{align}$$

其中 $\tilde{\beta} = \beta E_n$ . 得自由能

$$\begin{align} \frac{F}{NE_n} = \frac{\tilde{\Omega}}{N E_n} -\frac{\mu}{E_n} \end{align}$$

即

$$\begin{align} f(\tilde{\mu}, \tilde{R}) = \tilde{\Omega}'(\tilde{\mu}, \tilde{R})-\tilde{\mu} \end{align}$$

其中 $\tilde{\mu} = \mu/E_n$.

$\mu$ 由

$$\begin{align} N = - \frac{\partial\Omega}{\partial \mu} \end{align}$$

决定.

以 $\varepsilon$ 为单位

若以某一能量 $\varepsilon$ 为单位, 对应的长度单位 $k_{\varepsilon} = \sqrt{2M\varepsilon}$ , 密度单位 $n_{\varepsilon} = k_{\varepsilon}^3/(6\pi^2)$ , 那么

$$\begin{align} \frac{\Omega}{N \varepsilon} = & \frac{n_{\varepsilon}}{n}\int \mathrm{d}\tilde{q}\cdot \tilde{q}^2 \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}\tilde{\omega} \cdot\frac{3}{\pi}\cdot \frac{1}{e^{\tilde{\beta}\tilde{\omega}}-1} \tilde{\delta}^p(\vec{q},z) \\ = & \frac{n_{\varepsilon}}{n}\int \mathrm{d}\tilde{q}\cdot \tilde{q}^2 \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}\tilde{\omega} \cdot f(\tilde{q}, \tilde{\omega}, \tilde{\mu}, \tilde{\beta}) \end{align}$$

其中

$$\begin{align} f(\tilde{q}, \tilde{\omega}, \tilde{\mu}, \tilde{\beta}) = \frac{3}{\pi}\cdot \frac{1}{e^{\tilde{\beta}\tilde{\omega}}-1} \tilde{\delta}^p(\vec{q},z) \end{align}$$

而

$$\begin{align} \frac{n}{n_{\varepsilon}} =& - \frac{1}{n_{\varepsilon}V} \frac{\partial\Omega}{\partial\mu} =- \frac{1}{n_{\varepsilon}V} \frac{\partial\Omega/\mu}{\partial\tilde{\mu}}\\ =& - \frac{1}{n_{\varepsilon}V} \frac{\partial}{\partial\tilde{\mu}}\left[ V n_{\varepsilon} \int \mathrm{d}\tilde{q}\cdot \tilde{q}^2 \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}\tilde{\omega} \cdot f(\tilde{q}, \tilde{\omega}, \tilde{\mu}, \tilde{\beta}) \right] \\ =& - \frac{\partial}{\partial\tilde{\mu}}\left[ \int \mathrm{d}\tilde{q}\cdot \tilde{q}^2 \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}\tilde{\omega} \cdot f(\tilde{q}, \tilde{\omega}, \tilde{\mu}, \tilde{\beta}) \right] \end{align}$$

所以最终要求的为

$$\begin{align} \frac{\Delta F}{NE_n} =& \frac{\Omega}{NE_n} + \frac{\mu}{E_n} \\ =&\frac{\Omega}{N\varepsilon}\left( \frac{\varepsilon}{E_n} \right) + \tilde{\mu} \left( \frac{\varepsilon}{E_n} \right) \\ =& \left( \frac{n_{\varepsilon}}{n} \right)^{5/3} \int\mathrm{d}\tilde{q}\cdot \tilde{q}^2 \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}\tilde{\omega} \cdot f(\tilde{q}, \tilde{\omega}, \tilde{\mu}, \tilde{\beta}) + \tilde{\mu} \left( \frac{n_{\varepsilon}}{n} \right)^{2/3} \\ \end{align}$$

横坐标为

$$\begin{align} \frac{2R}{k_n^2v} = \frac{2R}{k_{\varepsilon v}}\cdot \left( \frac{n_{\varepsilon}}{n} \right)^{2/3} \end{align}$$

result

file:./2019-07-03-physics-NSRcal/gaussianQuadrature.png

file:./2019-07-03-physics-NSRcal/large.png

file:./2019-07-03-physics-NSRcal/densityResult.png

file:./2019-07-03-physics-NSRcal/integralResult.png

file:./2019-07-03-physics-NSRcal/densityResult2.png

file:./2019-07-03-physics-NSRcal/integralResult2.png

file:./2019-07-03-physics-NSRcal/p-wave.png

file:./2019-07-03-physics-NSRcal/weakCoupling.png

file:./2019-07-03-physics-NSRcal/strongCoupling.png

file:./2019-07-03-physics-NSRcal/Tmatrix.png

code

计算 $\Delta F$

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import integrate
#from scipy.misc import derivative
from scipy.integrate import fixed_quad
import time

start = time.process_time()

nn = 10

beta = 1
er = 1e-6
R = 1/30
epsabs = 1e-1

def xi(k, mu):
    return k**2 - mu
def n(k, mu):
    x = xi(k,mu)
#    print(x)
    n =  1 / (np.exp(beta*x) - 1)
    return n
    
def z(omega, q, mu):
    return omega - q**2/2 + 2*mu

def pi(omega, q, k, mu):
    pi = 1 + n(k+q/2, mu) + n(-k+q/2, mu)
    pi = pi / (xi(k+q/2, mu) + xi(-k+q/2, mu) -omega)
    pi = pi * k**4
    pi = pi -k**2/2 - z(omega, q, mu)/4
    pi = pi*2 / np.pi**2
    return pi

def PI(omega, q, mu):
    zz = z(omega, q, mu)
    if zz<0:
        PI, err = fixed_quad(lambda x: pi(omega, q, x, mu), er, 10,
                             n=nn) 
    else:
        a = np.sqrt(zz/2)
        PI1, err = fixed_quad(lambda x: pi(omega, q, x, mu), er, a-er,
                              n=nn) 
        PI2, err = fixed_quad(lambda x: pi(omega, q, x, mu), a+er,
                              10, n=nn)
        PI = PI1 + PI2
    PI = PI * R
    return PI

def delta(omega, q, rkv, mu):
    zz = z(omega, q, mu)
    if zz<0:
        img = 0
    else:
        k = np.sqrt(zz/2)
        img = 1 + n(k+q/2, mu) + n(-k+q/2, mu)
        img = img * R/(2*np.pi)
        img = img * k**3
    rel = PI(omega, q, mu)
    rel = rel + rkv/(4*np.pi)
    rel = rel +zz/(4*np.pi)
    delta = np.angle(rel + 1j*img) - np.pi
    return delta
def f(omega, q, rkv, mu):
    f = 1 / (np.exp(beta*omega) - 1)
    f = f * delta(omega, q, rkv, mu)
    f = 3 * f /np.pi
    return f

def F(rkv, mu):
    ff = lambda y, x: f(y, x, rkv, mu)
    F, err = integrate.dblquad(ff, er, 3, lambda x:er, lambda x:10, epsabs
                               = epsabs)
    return F


M = 1000
N = 10
x = np.linspace(0, 2, M)
y = np.zeros(M*N)
y.shape = (M, N)

mu = np.linspace(-2.1, -1.2, N)

for j in range(N):
    for i in range(M):
        y[i, j] = F(x[i], mu[j])
        print('mu_', j, 'y_', i, '=', y[i, j])

np.savetxt('y.txt', y)
print(y)

density = np.zeros(M*(N-2))
density.shape = (M, N-2)
dd = mu[1] - mu[0]

for j in range(N-2):
    for i in range(M):
        density[i, j] = y[i, j+2] - y[i, j]
        density[i, j] = - density[i, j] / (2*dd)
        print('mu_', j, 'density_', i, '=', density[i, j])

np.savetxt('density.txt', density)
print(density)

for i in range(N):
    plt.plot(x, y[:, i], label=r'$\mu/\epsilon$=%.2f' %mu[i])
plt.legend()

end = time.process_time()
print('time=', end-start, 'seconds')
plt.show()

计算 $T_{C}$

N = 100
rkv = np.linspace(-10, -.1, N)

f0 = np.zeros(N)
f1 = np.zeros(N)
density = np.zeros(N)

for i in range(N):
    print('rkv_', i, '=', rkv[i])
    f0[i] = F(rkv[i], -1e-3)
    print('f0_', i, '=', f0[i])
    f1[i] = F(rkv[i], -.1)
    print('f1_', i, '=', f1[i])
    density[i] = - (f0[i] - f1[i]) / .1
    print('density_', i, '=', density[i])
    
np.savetxt('f0.txt', f0)
np.savetxt('f1.txt', f1)
np.savetxt('density.txt', density)

x = np.zeros(N)
y = np.zeros(N)
for i in range(N):
    x[i] = rkv[i]/(density[i]**(2/3))
    y[i] = 1/(density[i]**(2/3))
plt.plot(x, y)

end = time.process_time()
print('time=', end-start, 'seconds')
plt.xlabel(r'$2R/(k_n^2 v)$')
plt.ylabel(r'$k_BT_C/E_n$')
plt.show()

def tm(omega, q, rkv, mu):
    zz = z(omega, q, mu)
    rel = PI(omega, q, mu)
    rel = rel + rkv/(4*np.pi)
    rel = rel +zz/(4*np.pi)
    return rel
N = 1000
M = 20
mu = np.linspace(-80, -1e-2, N)
y = np.zeros(N)
rkv = np.linspace(2, 100, M)
muRoot = np.zeros(M)
for j in range(M):
    c = 0
    for i in range(N):
        y[i] = tm(0, 0, rkv[j], mu[i])
        if np.abs(y[i])<np.abs(y[c]):
            c = i
    print('y_', c, '=', y[c])
    muRoot[j] = mu[c]

    plt.plot(mu, y, label=r'$2R/(k_{\epsilon}^2v)=%.1f$'%rkv[j])
plt.legend()
plt.xlabel(r'$\mu/\epsilon$')
plt.ylabel(r'$T^{-1}$')
print(muRoot)
plt.show()

Tc = np.zeros(M)
Rn = np.zeros(M)

dens = np.zeros(M)
for i in range(M):
    print(i)
    dd = np.abs(muRoot[i]) * .1
    print('dd=', dd)
    f1 = F(rkv[i], muRoot[i]+dd)
    print('f1=', f1)
    f2 = F(rkv[i], muRoot[i]-dd)
    print('f2=', f2)
    nnn = - (f1 - f2) / (2*dd)
    print('nnn=', nnn)
    Tc[i] = 1 / (nnn**2/3)
    print('Tc=', Tc[i])
    Rn[i] = rkv[i] / (nnn**2/3)
    print('Rn=', Rn[i])
    dens[i] = nnn
    print('dens=', dens[i])
end = time.process_time()
print('time is', end-start, 'secends')
np.savetxt('density.txt', dens)
plt.plot(Rn, Tc)
plt.xlabel(r'$2R/(k_n^2 v)$')
plt.ylabel(r'$k_BT_C/E_n$')

plt.show()

费米液体(冷原子作业)

2019-07-02T00:00:00+08:00

自由费米子

基态

对于无相互作用的费米气体, 每个粒子的本征态是动量为 $\vec{k}$ 的平面波态. 多体态可以由每个平面波的占据数 $n(\vec{k})$ 来标记.

对于多体自由费米系统, 它的基态为, 对于 $k < k_F$ , $n_0(\vec{k}) = 1$ , 对于 $k > k_F$ , $n_0(\vec{k}) = 0$ .

它的激发可以由偏离分布 $n_0(\vec{k})$ 的程度来测量. 那么它的总能量就是

$$\begin{align} \delta E = \sum_{\vec{k}} \left( \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m} - \mu \right) \delta n(\vec{k}) \end{align}$$

其中 $\mu = \hbar^2 k_F^2/2m$ , $\delta E$ 总是正的.

$E_F$ 的估计

自由费米气体，假设处在体积为 $V$ 的正方体中, 采用周期性边界条件, 总共有 $N$ 个费米子. 那么粒子数密度为:

$$\begin{align*} n = \frac{N}{V} \end{align*}$$

总的粒子数 $N$ 在动量空间中可以表示成:

$$\begin{align*} N = 2 \cdot\frac{\frac{4\pi}{3}k_F^3}{\Delta k} \end{align*}$$

$2$ 表示一个态上可以占据自旋相反的两个电子. 分子为费米球的体积. $\Delta k$ 为动量空间中的体积元,为:

$$\begin{align*} \Delta k = \frac{(2 \pi )^3}{V} \end{align*}$$

所以最终的结果为:

$$\begin{align*} n = 2 \cdot \frac{1}{V}\frac{\frac{4\pi}{3}k_F^3}{\frac{(2 \pi )^3}{V}} = \frac{k_{F}^3}{3 \pi^2} \end{align*}$$

费米能量为:

$$\begin{align*} \varepsilon_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m} \end{align*}$$

所以对于费米气体 $n, k_F, \varepsilon _F$ 具有相同的信息, 三者并不独立.

有限温

在有限温, 也就是非零温下, 假设同时有简谐势 $V(\vec{r})$ 存在. 可以证明, 当总的粒子数 $N$ 非常大时, 可以放心地考虑半经典近似, 粒子数的分布为

$$\begin{align} f(\vec{r}, \vec{k}) = \frac{1}{e^{\beta \left( \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m} + V (\vec{r}) - \mu \right)} + 1} \end{align}$$

其中 $\beta = 1/(k_B T)$ . 局域粒子数密度为

$$\begin{align} n(\vec{r}) = \int \mathrm{d}^3 \vec{k} \cdot f(\vec{r}, \vec{k}) \end{align}$$

这就是局域密度近似 ( local density approximation, LDA ) . 化学势 $\mu$ 可以由下式决定

$$\begin{align} N = \int \mathrm{d} \vec{r} n (\vec{r}) \end{align}$$

费米液体理论

费米液体的基本假设的参数

朗道费米液体理论将自由费米气体进行了拓展, 拓展到了相互作用的费米气体. 有如下假设: 准粒子仍然是有良好动量定义的费米子. 这时, 费米面的定义为基态动量分布不连续的地方. $n_0(\vec{k})$ 的不连续的大小叫做准粒子的 residual $Z$ , 并且对于费米液体来说 $0 < Z <1$ .

如果我们将 $n_0(\vec{k})$ 改变 $\delta n(\vec{k})$ , 总能量的改变展开到 $\delta n (\vec{k})$ 的一阶为

$$\begin{align} \delta E = \sum_{\vec{k}} \epsilon(\vec{k})\delta_n(\vec{k}) \end{align}$$

其中 $\epsilon (\vec{k}) = \delta E / \delta n (\vec{k})$ , 是动量为 $\vec{k}$ 的准粒子能量.

同样, 对于各向同性的相互作用费米子系统, 可以定义准粒子速度

$$\begin{align} v_k = \frac{1}{\hbar}\frac{\partial \varepsilon_{\vec{k}}} {\partial k} \end{align}$$

进而定义有效质量 ( effective mas ) $m^{*}$ 为

$$\begin{align} v_k = \frac{\hbar k}{m^{*}} \end{align}$$

对于有相互作用的系统, $\epsilon_{\vec{k}}$ 通常都不是一个抛物线型的函数, 因此 $m^{*}$ 应该依赖于 $k$ 的取值. 在有限密度时, 最通常最关心的是 $m^{}$ 在费米动量附近的取值. 如果系统是各向异性的, $m^{}$ 通常是一个张量. 有效质量 $m^{*}$ 和 residual $Z$ 是描述费米液体的两个最基本的参数, 叫做费米液体参数. $m^{*}$ 发散, 或者 $Z$ 消失都是费米液体理论失效的表现, 也就是说从费米液体到非费米液体的转变.

将 $\delta E$ 展开到 $\delta n(\vec{k})$ 的下一阶, 得到

$$\begin{align} \delta E = \sum_{\vec{k}}\delta n (\vec{k}) + \frac{1}{2} \sum_{\vec{k} \vec{k}'} f(\vec{k}, \vec{k}') \delta n(\vec{k}) \delta n (\vec{k}') \end{align}$$

其中第二项解释为准粒子之间的相互作用. 还有一些其它的费米液体参数来描述准粒子的相互作用, 在此不仔细展开.

费米液体与自由费米气体的对比

下图 (a) 是自由费米气体, 下图 (b) 是费米液体, 并且标注出了 residual $Z$ .

费米液体参数的测量

费米面附近的态密度可以由下式计算

$$\begin{align} D(E_F) = \frac{V k_F m^{*}}{2\pi^2\hbar^2} \end{align}$$

进而得到比热的低温展开

$$\begin{align} C_V = \frac{k_B^2 k_F T m^{*}}{3\hbar^2} \end{align}$$

因此, 测量低温比热就可以直接得到有效质量 $m^{*}$ . 而 residual $Z$ 可以通过 RF 谱 ( radio-frequency spectroscopy ) 测量.

费米极化子

现在考虑一个费米液体的例子. 首先考虑考虑所有粒子的自旋都被极化到向上 $|\uparrow\rangle$ 的无相互作用的费米气体, 考虑在热力学极限下, 费米动量记为 $k_F$ . 并且只考虑费米子之间的 s 波相互作用. 由于费米子总的波函数要满足交换反对称性, 因此相同自旋的费米子之间不存在相互作用. 所以这一个无相互作用的费米气体.

然后在这个完全极化为 $|\uparrow\rangle$ 的系统中加入一个, 或者极少的自旋向下 $|\downarrow \rangle$ 的费米子, 这个自旋向下 $|\downarrow \rangle$ 的费米子会和费米海中其它自旋向上 $|\uparrow\rangle$ 的费米子发生 s 波相互作用, 并且会形成一个 dressed state. 如下图所示, (a) 为在自旋向上 $|\uparrow\rangle$ 的费米海 ( 红色 ) 中加入一个自旋向下 $|\downarrow \rangle$ 的费米子 (蓝色) , (b) 为形成一个 dressed state .

然而, 当相互作用变强时, 就会形成束缚态, 如上图 (c) 所示.

总结

无相互作用费米气体的基态为所有粒子填充到费米球内.

有相互作用的费米子多体系统可以唯像地由朗道费米液体理论来描述, 它假设相互作产生新的准粒子仍然是有良好动量定义的费米子, 并且从基态的动量分布中定义了费米液体理论的重要参数, 准粒子 residual . 同样对粒子的分布做一微扰, 通过能量的变化定义另一个费米液体的重要参数, 有效质量.

当在很多的自旋 $| \uparrow\rangle$ 的只考虑 s 相互费米子中加入少量自旋 $|\downarrow\rangle$ 的费米子时, 在吸引相互作用较弱时, 会有极化子激发. 当吸引相互作用变强, 达到临界值时, 两个自旋相反的费米子就会耦合成分子, 变成等效的玻色子. 在排斥相互作用时, 存在一个大于零的解, 由于与基态的波函数交叠较小, 所以假如一开始就制备在这样的态上, 它也会稳定存在很长时间而不会跃迁到基态上, 它是一个亚稳态.

实验上通过 Feshbach 共振调节原子不同超精细态之间的相互作用强弱, 通过 RF 谱的方法测量体系在不同相互作用强度区域内的各种性质. 借助于冷原子系统中可调相互作用强度的实验优势, 研究费米子的各种性质, 可以促进对其它物理领域的中的物理现象的理解.

参考资料

[1] S. Nascimbène et al, PRL 103, 170402 (2009)

[2] André Schirotzek et al, PRL 102, 230402 (2009)

[3] S. Nascimbène et al, Nature volume 463, pages 1057–1060 (25 February 2010)

[4] C. Kohstall et al, Nature volume 485, pages 615–618 (31 May 2012)

[5] Marco Koschorreck et al, Nature volume 485, pages 619–622 (31 May 2012)

Partial Wave Expansion

2019-06-05T00:00:00+08:00

Radical Potential

Schrodinger EQ

$$\begin{align} \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(r) -E\right]\psi = 0 \end{align}$$

变形为

$$\begin{align} \nabla^2 \psi = \left[ \frac{2m}{\hbar^2} V(r) - k^2 \right]\psi \end{align}$$

其中 $k^2 = E/\frac{\hbar^2}{2m}$ . 写出 $\nabla^2$ 在球坐标系中的形式, 方程变为

$$\begin{align} \left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2 \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r^2\sin^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \right] \psi = \left[ \frac{2m}{\hbar^2} V(r) - k^2 \right]\psi \end{align}$$

Separation of variables

分离变量, 令

$$\begin{align} \psi(r,\theta,\phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \end{align}$$

代回方程, 并且两边同时除以 $R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)$ 可得

$$\begin{align} \frac{1}{R}\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}r^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} R+ \frac{1}{\Theta}\frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\sin \theta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\Theta +\frac{1}{\Phi} \frac{1}{r^2\sin^2 \theta}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\phi^2}\Phi = \frac{2m}{\hbar^2} V(r) - k^2 \end{align}$$

所有含有 $\phi$ 的项都在方程左边第三项, 与 $r,\theta$ 没有耦合, 所以它一定是一个常数. 因为其它的项中都与 $\theta$ 无关, $\theta$ 改变时其它项保持不变. 记这个常数为 $-m^2$ 即

$$\begin{align} \frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\phi^2}\Phi = -m^2 \end{align}$$

它的解为

$$\begin{align} \Phi (\phi) = e^{\mathrm{i}m\phi} \end{align}$$

将它代回原方程, 原方程变为

$$\begin{align} \frac{1}{R}\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}r^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} R+ \frac{1}{\Theta}\frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\sin \theta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\Theta - \frac{m^2}{r^2\sin^2 \theta} = \frac{2m}{\hbar^2} V(r) - k^2 \end{align}$$

$\theta$ 和 $r$ 也没有耦合, 同理可以把与 $\theta$ 有关的项单拎出来, 是一个常数, 记为 $-\lambda$ ,即

$$\begin{align} \frac{1}{\Theta}\frac{1}{ \sin \theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\sin \theta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\Theta - \frac{m^2}{\sin^2 \theta} = -\lambda \end{align}$$

上述关于 $\theta$ 的方程的解是连带 Legendre 多项式 $P_l^m(\cos\theta)$, 本征值 $\lambda$ 只能取值为 $l(l+1)$ , $l$ 是个整数. 剩下的只有 $r$ 的方程为

$$\begin{align} \frac{1}{R}\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}r^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} R = \frac{2m}{\hbar^2} V(r) - k^2 +\frac{l(l + 1)}{r^2} \end{align}$$

即

$$\begin{align} \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}r^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} R -\left[ \frac{2m}{\hbar^2} V(r) - k^2 +\frac{l(l + 1)}{r^2}\right]R =0 \end{align}$$

若 $V(r) = 0$ 它的一般解的形式是球 Bessel 函数

$$\begin{align} R_l(kr) = a_{lm}j_l(kr) + b_{lm}y_l(kr) \end{align}$$

Final Results

$\Theta$ 和 $\Phi$ 的解合在一起, 添加归一化条件为 Spherical harmonics $Y_l^m(\theta,\phi)$ ,所以对于 $V(r) = 0$ 的自由粒子, 总的解就是

$$\begin{align} \psi(r,\theta,\phi) = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^l \left[ a_{lm}j_l(kr) + b_{lm}y_l(kr) \right] Y_l^m(\theta,\phi) \end{align}$$

Partial Wave Expansion

Free Particle

自由粒子只有动能项, Hamiltonian 与角动量 $\vec{L}$ 和角动量 $z$ 分量 $L_z$ 都对易, 所以它们有共同的本征态, 记为 $|E,l,m\rangle$ , 它在动量和坐标表象下的矩阵元分别为

$$\begin{align} \langle \vec{k}|E,l,m\rangle =& \frac{\hbar}{\sqrt{mk}} \delta \left( E - \frac{\hbar^2k^2}{2m} \right) Y_l^m(\hat{k})\\ \langle \vec{r}|E,l,m\rangle =& \frac{\mathrm{i}^l}{\hbar} \sqrt{\frac{2mk}{\pi}}j_l(kr) Y_l^m(\hat{r}) \end{align}$$

Rayleigh equation

$$\begin{align} e^{\mathrm{i}\vec{k}\vec{r}} = \sum _{l=0}^{\infty}(2l+1)P_l(\cos \theta) j_l(kr) \end{align}$$

它等价于

$$\begin{align} e^{\mathrm{i}\vec{k}\vec{r}} = 4\pi \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^l \mathrm{i}^l Y_l^m(\hat{r})\left[ Y_l^m (\hat{k}) \right]^{*}j_l(kr) \end{align}$$

Integral representation for $j_l(kr)$

$$\begin{align} j_l(kr) = \frac{1}{2\mathrm{i}^l}\int_{-1}^1 e^{\mathrm{i}kr\cos \theta}P_l(\cos\theta)\mathrm{d}(\cos\theta) \end{align}$$

Summary

Summary of A Free Partical in Spherical Coordinate

自由粒子的 Schrodinger equation 是一个 Helmholtz 方程

$$\begin{align} \left(\nabla^2 \psi + k^2 \right)\psi = 0 \end{align}$$

在球坐标系中可以分离变量

$$\begin{align} \psi(r,\theta,\phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \end{align}$$

代回原式得

Schrodinger equation 化为三个方程, 分别是

关于 $\phi$ 的方程

$$\begin{align} \frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\phi^2}\Phi = -m^2 \end{align}$$

解为

$$\begin{align} \Phi (\phi) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{\mathrm{i}m\phi} \end{align}$$

关于 $\theta$ 的方程 ( $x = \cos \theta$ )( associated Legendre equation )

$$\begin{align} (1-x^2)\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\Theta - 2x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \Theta+\left[ l(l + 1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] \Theta = 0 \end{align}$$

解为 associated Legendre function

$$\begin{align} \Theta = \sum_{l=|m|}^{\infty}P_l^m(\cos\theta) \end{align}$$

关于 $r$ 的方程 ( spherical Bessel equation )

$$\begin{align} r^2 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}R +2r \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}R +\left[ k^2r^2 - l(l + 1 ) \right]R = 0 \end{align}$$

解为 spherical Bessel function

$$\begin{align} R = \sum_{l=|m|}^{\infty} a_{lm} j_l(kr) + b_{lm} y_l(kr) \end{align}$$

总的解为 ( 能量为 $E = \frac{\hbar^2k^2}{2m}$ 的一个本征态 ) (已舍去在原点发散的 $y_l(kr)$ ) ( 归一化为 $\delta_{ll'} \delta_{mm'} \delta(E-E')$ )

$$\begin{align} \psi_k(r,\theta,\phi) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m = -l}^l \frac{\mathrm{i}^l}{\hbar}\sqrt{\frac{2mk}{\pi}} j_l(kr)Y_l^m(\theta,\phi) \end{align}$$

其中 $Y_l^m(\theta,\phi)$ 为 spherical harmonics

$$\begin{align} Y_l^m (\theta,\phi) \equiv \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta)e^{\mathrm{i}m\phi} \end{align}$$

Summary of Some Useful Equations

Closure Relation for spherical Bessel functions

$$\begin{align} \int_0^{\infty} r^2 j_l(k_1r)j_l(k_2r) \mathrm{d}r = \frac{\pi}{2k_1^2}\delta(k_1-k_2) \end{align}$$

Orthogonality of spherical harmonics

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi \int_0^{\pi}\sin \theta \mathrm{d}\theta \left[ Y_{l_1}^{m_1} (\theta,\phi) \right]^{*} Y_{l_2}^{m_2} (\theta,\phi) =\delta_{l_1l_2} \delta_{m_1m_2} \end{align}$$

Orthogonality of Legendre Functions

$$\begin{align} \int_{-1}^{1} P_l(x)P_m(x) \cdot \mathrm{d}x = \frac{2 \delta_{lm}}{2l+1} \end{align}$$

$x \to \infty$ asymptotic behavior of spherical functions

$$\begin{align} j_n(x) =& \frac{1}{x}\sin (x - \frac{n\pi}{2}) \\ y_n(x) =& - \frac{1}{x}\cos (x - \frac{n\pi}{2}) \end{align}$$

Reference

梁昆淼编, 刘法,缪国庆修订, 数学物理方法(第四版)

11.5 球贝塞尔方程

Arfken, Weber, Harris, Mathematical Methods for Physicists 7ed:

Chap 7.5 Series Solutions-Frobenius' Methods
Example 8.3.1 Legendre Equation
Chap 14 Bessel Functions
Chap 15.1 Legendre Polynomials

J. J Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics 2ed:

Chap 6.4 Phase Shifts and Partial Waves

R. Mehrem, arXiv:0909.0494v4: https://arxiv.org/pdf/0909.0494.pdf

Special Functions

2019-06-03T00:00:00+08:00

Legendre Polynomials

Legendre Equation

Equation

\begin{align} (1-x^2) P''(x) - 2xP'(x) + \lambda P(x) = 0 \label{eq:leq} \end{align}

Boundary conditons

$$\mathrm{Nonsingularity at} x = \pm 1$$

Frobenius' Methods

尝试级数解

$$\begin{align} P(x) =& x^{s} (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots) \\ =& \sum_{j=0}^{\infty}a_j x^{s+j}, \quad a_0 \neq 0 \end{align}$$

代回原始方程 \eqref{eq:leq} , 得

$$\begin{align} \sum_{j=0}^{\infty}\left[ a_j (s+j) (s+j-1) x^{s+j-2} - a_j (s+j) (s+j-1) x^{s+j} - 2(s+j)a_j x^{s+j} + \lambda a_j x^{s+j} \right] = 0 \end{align}$$

$j=0$ 时, 得 $x$ 的最低阶即 $x-2$ ,对应的系数方程为

$$\begin{align} a_0 s (s-1) = 0 \end{align}$$

$j=1$ 时

$$\begin{align} a_1 (s+1)s = 0 \end{align}$$

并且 $a_0\neq 0$ , 所以

$$\begin{align} s(s-1) = 0 \quad \quad \mathrm{(indical\quad equation)} \end{align}$$

即 $s0$ 或 $s1$

$s=0$

此时得 recurrence relation 为

$$\begin{align} a_{j+2} = \frac{j(j+1)-\lambda}{(j+1)(j+2)}a_j \end{align}$$

假设 $a_1 = 0$ . 那么所有的奇数项都为 $0$ . 当 $j\to \infty$ 时, 级数解 $P(x = \pm 1)$ 不收敛, 不满足边界条件. 使其收敛, $\lambda$ 必须取

$$\begin{align} \lambda = l(l+1) \end{align}$$

其中 $l$ 是偶数. 这样的话, 级数解就在 $l$ 阶截断了.

$s=1$

此时得 recurrence relation 为

$$\begin{align} a_{j+2} = \frac{(j+1)(j+2) -\lambda}{(j+2)(j+3)} a_j \end{align}$$

而且必须有 $a_1=0$ 那么此时所有的奇数项都为 $0$ . 此时截断的条件为

$$\begin{align} \lambda = (l+1)(l+2) \end{align}$$

其中 $l$ 是偶数.

合并

$s=0, a_1 = 0$ 时, 对应的级数解, 都是 $x$ 的偶数次幂. $s = 1$ 时, 对应的级数解, 都是 $x$ 的奇数次幂, 其实对应于 $s=0, a_1 \neq 0$ 时解. 两种 $s$ 的取值, 对应的截断条件也可以合并为

$$\begin{align} \lambda = l(l+1) \end{align}$$

其中 $l$ 是整数. 合并的 recurrence relation 为

$$\begin{align} a_{j+2} = \frac{j(j+1)-\lambda}{(j+1)(j+2)}a_j \end{align}$$

有 $a_1, a_2$ 两个待定的系数, 这恰好是一个二阶微分方程所需要的!

Legendre Polynomials

下面是画前七阶 Legendre Polynomials 的图像

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
def P(N,x):
    l = N*(N+1)
    a = np.zeros(N+1)
    k = N//2

    if N > 0:
        if N%2 == 0:
            a[0] = (-1)**k
            a[1] = 0
        if N%2 == 1:
            a[0] = 0
            a[1] = (-1)**k

        for j in range(N-1):
            a[j+2] = j*(j+1) - l 
            a[j+2] = a[j+2] * a[j]
            a[j+2] = a[j+2] / (j+1)
            a[j+2] = a[j+2] / (j+2)
        a = a/a.sum()
        s = 0
        for i in range(N+1):
            s = s + a[i]*x**i
    else:
        s =1 
    return s
n = 1000
nn = 8
x = np.linspace(-1,1,n)
y = np.zeros(n)
plt.figure(figsize=(6.0,10.0))    # must before plt.plot(x,y)
for i in range(nn):
    for j in range(n):
        y[j] = P(i,x[j])
    t = "$P_ { %s }(x)$"%i
    plt.plot(x,y,label=t)
plt.xlabel(r"$x$")
plt.ylabel(r"$P_ { l }(x)$")
plt.title("Legendre Polynomials")
plt.legend()
plt.savefig("./2019-06-03-physics-PartialWaveExpansion/LegenderPolynomials.jpg"\
    ,writer='imageffmagick', dpi=100)

#+RESULTS: : None

下面是用 sympy 输出前七阶 Legendre Polynomials

from sympy import Rational as R
from sympy import Symbol
from sympy import factor
from sympy import latex

def P(N):
    l = N*(N+1)
    a = []
    k = N//2
    if N%2 == 0:
        a.append((-1)**k)
        a.append(0)
    if N%2 == 1:
        a.append(0)
        a.append((-1)**k) 
    for j in range(N-1):
        a.append(j*(j+1) - l )
        a[j+2] = a[j+2] * a[j]
        a[j+2] = R( a[j+2] , (j+1) )
        a[j+2] = R( a[j+2] , (j+2) )
        
    c = 0
    for i in range(N+1):
        c = c + a[i]

    P = 0
    x = Symbol('x')
    for i in range(N+1):
        a[i] = R(a[i], c) * x**i
        P = P + a[i]
    P = latex(P)
    return P

for i in range(8):
    print(r'P_%d(x)=&'%i,P(i),"\\\\")

#+RESULTS: : P_0(x)=& 1 \\ : P_1(x)=& x \\ : P_2(x)=& \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \\ : P_3(x)=& \frac{5 x^{3}}{2} - \frac{3 x}{2} \\ : P_4(x)=& \frac{35 x^{4}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{3}{8} \\ : P_5(x)=& \frac{63 x^{5}}{8} - \frac{35 x^{3}}{4} + \frac{15 x}{8} \\ : P_6(x)=& \frac{231 x^{6}}{16} - \frac{315 x^{4}}{16} + \frac{105 x^{2}}{16} - \frac{5}{16} \\ : P_7(x)=& \frac{429 x^{7}}{16} - \frac{693 x^{5}}{16} + \frac{315 x^{3}}{16} - \frac{35 x}{16} \\ 结果

$$\begin{align*} : P_0(x)=& 1 \\ : P_1(x)=& x \\ : P_2(x)=& \frac{3 x^{2} - 1}{2} \\ : P_3(x)=& \frac{x \left(5 x^{2} - 3\right)}{2} \\ : P_4(x)=& \frac{35 x^{4} - 30 x^{2} + 3}{8} \\ : P_5(x)=& \frac{x \left(63 x^{4} - 70 x^{2} + 15\right)}{8} \\ : P_6(x)=& \frac{231 x^{6} - 315 x^{4} + 105 x^{2} - 5}{16} \\ : P_7(x)=& \frac{x \left(429 x^{6} - 693 x^{4} + 315 x^{2} - 35\right)}{16} \\ \end{align*}$$

其中 $a_1$ 和 $a_0$ r 取为, 满足 $P_l(1) = 1$ , 并且 $x$ 的最高次幂的系数为正的值.

Orthogonality

Legendre Polynomials 的正交归一性为

$$\begin{align} \int_{-1}^{1} P_l(x)P_m(x) \cdot \mathrm{d}x = \frac{2 \delta_{lm}}{2l+1} \end{align}$$

Associated Legendre Functions

Associated Legendre Equation

$$\begin{align} (1-x^2) P''(x) -2x P'(x) + \left[ \lambda - \frac{m^2}{1-x^2} \right]P(x) = 0 \end{align}$$

分母中的 $1-x^2$ 是个问题, 尝试通过做变换把它从分母中去掉. 令

$$\begin{align} P(x) = (1-x^2)^p \mathcal{P}(x) \end{align}$$

原式变为

$$\begin{align} \mathcal{P}(1-x^2)^{p-1}\left[ -2p(1+x^2) + 4p^2 x^2 +4px^2 +\lambda(1-x^2) -m^2 \right]\\ -2x \mathcal{P}'(1-x^2)^p(2p + 1) + \mathcal{P}''(1-x^2)^{p+1} = 0 \end{align}$$

这和原来的 Legendre equation 有些类似. $\mathcal{P}$ 的系数中有 $\lambda(1-x^2)$ 而且如果我们能提取出一个 $1-x^2$ 话, 它和 Legendre equation 就更像了. 我们还有 $p$ 是可调的, 可以令常数项和 $x^{2}$ 项前面的系数差一负号, 就可以提出啦! 即

$$\begin{align} -2p+4p^2+4p = -(-2p-m^2) \end{align}$$

得 $p = \frac{m}{2}$ .将它代回, 就可以得到

$$\begin{align} (1-x^2)\mathcal{P}''- 2x(m+1)\mathcal{P}' + \left[ \lambda - m(m+1) \right]\mathcal{P} = 0 \end{align}$$

Frobenius' Methods

这个变换后的方程就可以由 Frobenius' Methods 得到级数解

尝试级数解

$$\begin{align} P(x) =& x^{s} (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots) \\ =& \sum_{j=0}^{\infty}a_j x^{s+j}, \quad a_0 \neq 0 \end{align}$$

代回原始方程 \eqref{eq:leq} , 得

$$\begin{align} \sum_{j=0}^{\infty} \left[ (s+j)(s+j-1)a_jx^{s+j-2} -(s+j)(s+j-1)a_jx^{s+j} \\ -2a_j(m+1)(s+j)x^{s+j} + a_j(\lambda -m(m+1))x^{s+j} \right] = 0 \end{align}$$

$j=0$ 时, 得 $x$ 的最低阶即 $x-2$ ,对应的系数方程为

$$\begin{align} a_0 s (s-1) = 0 \end{align}$$

$j=1$ 时

$$\begin{align} a_1 (s+1)s = 0 \end{align}$$

并且 $a_0\neq 0$ , 所以得到了和 Legendre equation 一样的 indical equation

$$\begin{align} s(s-1) = 0 \quad \quad \mathrm{(indical\quad equation)} \end{align}$$

即 $s0$ 或 $s1$

当 $s=0$时, recurrence relation 为

$$\begin{align} a_{j+2} = \frac{(j+m)(j+m+1)-\lambda}{(j+1)(j+2)}a_j \end{align}$$

假设 $a_1 = 0$ . 那么所有的奇数项都为 $0$ . 当 $j\to \infty$ 时, 级数解 $P(x = \pm 1)$ 不收敛, 不满足边界条件. 使其收敛, $\lambda$ 必须取

$$\begin{align} \lambda = (j+m)(j+m+1) \end{align}$$

其中 $l$ 是偶数. 这样的话, 级数解就在 $l$ 阶截断了. 与 Legendre equation 类似, $s=1$ 时得到的结果是对应的奇数项, 所以 $l$ 取整数就是最后的结果.

$\lambda = l(l+1)$

在实际问题中, 一般 $\lambda = l(l+1)$ , 此时截断为

$$\begin{align} j = l - m \end{align}$$

也就是说只有在 $m\le l$ 时才有收敛的解.

Bessel Functions

Bessel ODE

\begin{align} x^2 J_{\nu}'' +x J_{\nu}' + (x^2 - \nu^2)J_{\nu} = 0 \end{align}

Frobenius' Methods and Bessel Functions of the First Kind

尝试级数解

$$\begin{align} J_{\nu}(x) =& x^{s} (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots) \\ =& \sum_{j=0}^{\infty}a_j x^{s+j}, \quad a_0 \neq 0 \end{align}$$

代回 Bessel ODE , 得

$$\begin{align} \sum_{j = 0}^{\infty} \left[ (s+j)(s+j-1) + (s+j) -\nu^2 \right] a_j x^j + a_{j}x^{j+2} = 0 \end{align}$$

$j=0$ 时, 得 $x$ 的最低阶即 $x$ ,对应的系数方程为

$$\begin{align} ( s^2 - \nu^2 ) a_0 = 0 \end{align}$$

并且 $a_0\neq 0$ , 所以

$$\begin{align} (s+\nu)(s-\nu) = 0 \quad \quad \mathrm{(indical\quad equation)} \end{align}$$

得

$$\begin{align} s = \pm \nu \end{align}$$

$j=1$ 时

$$\begin{align} (s+1+\nu)(s+1-\nu)a_1 = 0 \end{align}$$

由于 $s = \pm \nu$ , 所以 $a_1 = 0$

以下先讨论 $\nu = n$ 是整数的情况

$s = n$

此时得 recurrence relation 为

$$\begin{align} a_{j+2} = - \frac{1}{(j+2)(2n +j + 2)} a_j \end{align}$$

任意系数为

$$\begin{align} a_{2p} = (-1)^p \frac{a_0 n!}{2^{2p}p! (n+p)!} \end{align}$$

Bessel ODE 的解为

$$\begin{align} J_n(x) = \sum_{s=0}^{\infty} \frac{(-1)^s}{s!(n+s)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{n+2s} \end{align}$$

上式中按习惯取 $a_0 = \frac{1}{2^n n!}$ .

$s = -n$

此时得 recurrence relation 为

$$\begin{align} a_{j+2} = \frac{1}{(j+2)(2n -j - 2)} a_j \end{align}$$

当 $j = 2n-2$ 时上式发散, 并且不满足级数是从 $x^{-n}$ 开始的假设. 因此 $s = -n$ 不给出解.

$\nu = n$ 是整数的情况给出了 Bessel 的一个解, 称为 Bessel function of first kink. 且有以下性质

$$\begin{align} J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x) \end{align}$$

code

下面是画前3阶 Bessel functions of the first kind 的图像

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import time

start = time.process_time()

def J(n,x,up=10):
    J = 0
    for s in range(up):
        js = (-1)**s
        js = js/(np.math.factorial(s))
        js = js/(np.math.factorial(s+n))
        js = js*(x/2)**(n+2*s)
        J = J + js
    return J


N = 1000
x = np.linspace(1e-8,30,N)
up =100
def pltj(J,n,x,N):
    j = np.zeros(N)
    for i in range(N):
        j[i] = J(n,x[i],up = up)
    return j

for i in range(4):
    l = r"$J _ { %d } (x)$" %i
    plt.plot( x, pltj(J,i,x,N), label = l)

plt.plot(x, 1/np.sqrt(x),label=r"$x^{-1/2}$") 

plt.ylim(-.5,1.)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel(r"$J_n(x)$")
plt.legend()
plt.title("Bessel Functions")

end = time.process_time()
print('time is',end-start)
plt.savefig("./2019-06-03-physics-PartialWaveExpansion/BFF.jpg"\
    ,writer='imageffmagick', dpi=100)

#+RESULTS: : time is 0.765683398

可以看出它在 $x=0$ 处没有发散.

the Bessel Functions of the Second Kind

Definition

Bessel ODE 是一个二阶微分方程, 它应该有两个独立的解. 上面 $\nu$ 取整数的时候只给出了一个解. 它的另一个解由 Neumann functions 给出, 定义如下

$$\begin{align} Y_{\nu}(x) = \frac{\cos (\nu\pi) J_{\nu}(x)-J_{-\nu(x)}}{\sin(\nu\pi)} \end{align}$$

当 $\nu$ 不整数的时候, 上式就是 Bessel functions of the first kind 的线性组合. 当 $\nu = n$ 取整数的时候, 它应取极限

$$\begin{align} Y_n(x) = \lim_{\nu\to n}Y_{\nu}(x) \end{align}$$

它在 $x = 0$ 处是发散的. 它就是 Bessel Functions 的第二个解, Bessel functions of the second kind . 这里不详细讨论它.

Hankel Functions

Hankel Functions 曾经也常被叫做 Bessel functions of the third kind . 它由 Bessel functions of the first kind and the second kind 的线性组合定义

$$\begin{align} H_{\nu}^{(1)} = J_{\nu}(x) + \mathrm{i}Y_{\nu}(x) \\ H_{\nu}^{(2)} = J_{\nu}(x) - \mathrm{i}Y_{\nu}(x) \end{align}$$

Modified Bessel Functions

MOdified Bessel equation

$$\begin{align} \rho^2 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\rho^2}P_{\nu}(k\rho) + \rho \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}P_{\nu}(k\rho) - (k^2\rho^2 + \nu^2) P_{\nu} P_{\nu}(k\rho) = 0 \end{align}$$

它与 Bessel ODE

$$\begin{align} x^2 J_{\nu}'' +x J_{\nu}' + (x^2 - \nu^2)J_{\nu} = 0 \end{align}$$

相比, 在于 $k^2\rho^2$ 前面的符号变了.

Modified Bessel Functions of the First Kind

它的解只须做代换 $k\to \mathrm{i}k$ 即可得到, 即 modified Bessel functions of the first kind

$$\begin{align} I_{\nu}(x) = \mathrm{i}^{-\nu}J_{\nu}(\mathrm{i}x) = \sum_{s=0}^{\infty} \frac{1}{s!\Gamma(s+\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{\nu+2s} \end{align}$$

它的系数都是正的, 没有振荡. 它有

$$\begin{align} I_n(x) = I_{-n}(x) \end{align}$$

Code

下面是画前3阶 modified Bessel functions of the first kind 的图像

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import time

start = time.process_time()

def J(n,x,up=10):
    J = 0
    for s in range(up):
        js = 1/(np.math.factorial(s))
        js = js/(np.math.factorial(s+n))
        js = js*(x/2)**(n+2*s)
        J = J + js
    return J


N = 1000
x = np.linspace(1e-8,3,N)
up =100
def pltj(J,n,x,N):
    j = np.zeros(N)
    for i in range(N):
        j[i] = J(n,x[i],up = up)
    return j

for i in range(4):
    l = r"$I _ { %d } (x)$" %i
    plt.plot( x, pltj(J,i,x,N), label = l)


plt.xlabel("x")
plt.ylabel(r"$I_n(x)$")
plt.legend()
plt.title("Modified Bessel Functions")

end = time.process_time()
print('time is',end-start)
plt.savefig("./2019-06-03-physics-PartialWaveExpansion/MBFF.jpg"\
    ,writer='imageffmagick', dpi=100)

#+RESULTS: : time is 0.721994943

Modified Bessel Functions of the Second Kind

modified Bessel functions of the second kind 有时也叫做 Whittaker functions , 定义如下

$$\begin{align} K_{\nu}(x) = \frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)} \end{align}$$

moddified Bessel function 对于 Bessel function 的关系, 就像 $\sinh$ 对于 $\sin$ 的关系, 所以有时它们也叫做 hyperbolic Bessel functions .

Spherical Bessel Functions

对于球对称的问题, 经常会遇到径向方程

$$\begin{align} r^2 \frac{\mathrm{d}^2 R}{\mathrm{d}r^2} + 2r \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r} +[k^2r^2 - l(l + 1)]R = 0 \end{align}$$

这个方程和 Bessel ODE 很像, 区别在于 $l(l+1)$ , 而不是一个数的平方. 但是只要做如下变量代换

$$\begin{align} R(kr) = \frac{Z(kr)}{\sqrt{kr}} \end{align}$$

就可以化为 Bessel ODE 的形式

$$\begin{align} r^2 \frac{\mathrm{d}^2 Z}{\mathrm{d}r^2} + r \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}r} +\left[ k^2r^2 -\left( l + \frac{1}{2} \right) \right]Z = 0 \end{align}$$

那么它的解就可以写出

$$\begin{align} R(kr) = \frac{C}{\sqrt{kr}}J_{l+1/2}(kr) \end{align}$$

它就是 Spherical Functions . $C$ 是一个任意常数, 因为方程是齐次的

Definition

取定常数 $C$ , Spherical Functions 定义如下

$$\begin{align} j_n(x) =& \sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{n+1/2}(x) \\ y_n(x) =& \sqrt{\frac{\pi}{2x}}Y_{n+1/2}(x) \\ h_n^{(1)}(x) =& j_n(x) +\mathrm{i}y_n(x) \\ h_n^{(2)}(x) =& j_n(x) -\mathrm{i}y_n(x) \\ \end{align}$$

Some Examples

$$\begin{align} j_0(x) =& \quad\frac{1}{x}\sin x \\ y_0(x) = & - \frac{1}{x}\cos x \end{align}$$ $$\begin{align} j_1(x) =&\quad \frac{1}{x^2}\sin x - \frac{1}{x}\cos x \\ y_1(x) =&-\frac{1}{x^2}\cos x -\frac{1}{x}\sin x \end{align}$$ $$\begin{align} j_2(x) = & \quad\left( \frac{3}{x^3} - \frac{1}{x} \right)\sin x -\frac{3}{x^2}\cos x \\ y_2(x) = & -\left( \frac{3}{x^3} -\frac{1}{x} \right)\cos x - \frac{3}{x^2}\sin x \end{align}$$ $$\begin{align} j_3(x) = &\quad \left( \frac{15}{x^4} - \frac{6}{x^2} \right)\sin x +\left( - \frac{15}{x^3} + \frac{1}{x} \right) \cos x \\ y_3(x) = & -\left( \frac{15}{x^4} -\frac{6}{x^2} \right) \cos x +\left( -\frac{15}{x^3} + \frac{1}{x} \right) \sin x \end{align}$$

Asymptotic Forms

as $x \to \infty$

$$\begin{align} j_n(x) =& \frac{1}{x}\sin (x - \frac{n\pi}{2}) \\ y_n(x) =& - \frac{1}{x}\cos (x - \frac{n\pi}{2}) \end{align}$$

Closure Relation

Closure Relation for spherical Bessel functions

$$\begin{align} \int_0^{\infty} r^2 j_l(k_1r)j_l(k_2r) \mathrm{d}r = \frac{\pi}{2k_1^2}\delta(k_1-k_2) \end{align}$$

Spherical Harmonics

Associated Legendre Functions

$$\begin{align} P_l^m(x) = (-1)^m \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m}P_l(x) \end{align}$$

Spherical Harmonics

$$\begin{align} Y_l^m (\theta,\phi) \equiv \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta)e^{\mathrm{i}m\phi} \end{align}$$

它们在整个球面上是正交归一的

Summary

Legendre equation and its orthogonality

$$\begin{align} (1-x^2) P''(x) - 2xP'(x) + \lambda P(x) = 0 \end{align}$$ $$\begin{align} \int_{-1}^{1} P_l(x)P_m(x) \cdot \mathrm{d}x = \frac{2 \delta_{lm}}{2l+1} \end{align}$$

associated Legendre equation

$$\begin{align} (1-x^2) P''(x) -2x P'(x) + \left[ \lambda - \frac{m^2}{1-x^2} \right]P(x) = 0 \end{align}$$

解为

$$\begin{align} P_l^m(x) = (-1)^m \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m}P_l(x) \end{align}$$

Spherical Harmonics

$$\begin{align} Y_l^m (\theta,\phi) \equiv \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta)e^{\mathrm{i}m\phi} \end{align}$$

orthogonality

Bessel ODE

$$\begin{align} x^2 J_{\nu}'' +x J_{\nu}' + (x^2 - \nu^2)J_{\nu} = 0 \end{align}$$

the Bessel functions of the first kind

$$\begin{align} J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x) \end{align}$$

Neumann functions ( the Bessel functions of the second kind )

$$\begin{align} Y_{\nu}(x) = \frac{\cos (\nu\pi) J_{\nu}(x)-J_{-\nu(x)}}{\sin(\nu\pi)} \end{align}$$ $$\begin{align} Y_n(x) = \lim_{\nu\to n}Y_{\nu}(x) \end{align}$$

Hankel Functions, 曾经也常被叫做 Bessel functions of the third kind . 它由 Bessel functions of the first kind and the second kind 的线性组合定义

$$\begin{align} H_{\nu}^{(1)} = J_{\nu}(x) + \mathrm{i}Y_{\nu}(x) \\ H_{\nu}^{(2)} = J_{\nu}(x) - \mathrm{i}Y_{\nu}(x) \end{align}$$

MOdified Bessel equation

$$\begin{align} \rho^2 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\rho^2}P_{\nu}(k\rho) + \rho \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}P_{\nu}(k\rho) - (k^2\rho^2 + \nu^2) P_{\nu} P_{\nu}(k\rho) = 0 \end{align}$$

$k^2\rho^2$ 前面的符号变了 Modified Bessel Functions of the First Kind

$$\begin{align} I_n(x) = I_{-n}(x) \end{align}$$

它没有振荡. 它的另一个解为 Modified Bessel Functions of the Second Kind

$$\begin{align} K_{\nu}(x) = \frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)} \end{align}$$

Spherical Bessel Functions

$$\begin{align} r^2 \frac{\mathrm{d}^2 R}{\mathrm{d}r^2} + 2r \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r} +[k^2r^2 - l(l + 1)]R = 0 \end{align}$$ $$\begin{align} j_n(x) =& \sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{n+1/2}(x) \\ y_n(x) =& \sqrt{\frac{\pi}{2x}}Y_{n+1/2}(x) \\ h_n^{(1)}(x) =& j_n(x) +\mathrm{i}y_n(x) \\ h_n^{(2)}(x) =& j_n(x) -\mathrm{i}y_n(x) \\ \end{align}$$

asymptotic as $x\to\infty$

$$\begin{align} j_n(x) =& \frac{1}{x}\sin (x - \frac{n\pi}{2}) \\ y_n(x) =& - \frac{1}{x}\cos (x - \frac{n\pi}{2}) \end{align}$$

Closure Relation for spherical Bessel functions

$$\begin{align} \int_0^{\infty} r^2 j_l(k_1r)j_l(k_2r) \mathrm{d}r = \frac{\pi}{2k_1^2}\delta(k_1-k_2) \end{align}$$

Reference

梁昆淼编, 刘法,缪国庆修订, 数学物理方法(第四版)

11.5 球贝塞尔方程

Arfken, Weber, Harris, Mathematical Methods for Physicists 7ed:

Chap 7.5 Series Solutions-Frobenius' Methods
Example 8.3.1 Legendre Equation
Chap 14 Bessel Functions
Chap 15.1 Legendre Polynomials

J. J Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics 2ed:

Chap 6.4 Phase Shifts and Partial Waves

R. Mehrem, arXiv:0909.0494v4: https://arxiv.org/pdf/0909.0494.pdf

Some Integrals

2019-05-31T00:00:00+08:00

List of Ingtegrals

For $a,b \in \mathbb{R}$ and $a>0 , b>0$

$$\begin{align} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\lambda k^2}}{a+b k^2}\mathrm{d}k = \frac{e^{\frac{a\lambda}{b}}\pi}{2\sqrt{ab}}\mathrm{Erfc} \left(\sqrt{\frac{a\lambda}{b}} \right) \end{align}$$ $$\begin{align} \mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-k^2}}{1-k} \mathrm{d}k = \frac{\pi}{e}\mathrm{erfi}(1) = \frac{\pi}{e}\cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^1 e^{u^2}\mathrm{d}u \end{align}$$

Integral I

推导下面的积分 ( $\Omega < 0$ )

$$\begin{align} \frac{1}{2\pi^2}\int_0^{\infty}\frac{ k^2e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2} } {\Omega-\frac{k^2}{M} } \mathrm{d}k = -\frac{M \bar{\Lambda}_s}{4\pi\sqrt{2\pi}} +\frac{M\sqrt{-M\Omega}}{4\pi} e^{-M\Omega \frac{2}{ \bar{\Lambda}_s^2}} \mathrm{Erfc}\left(\frac{\sqrt{-2M\Omega}}{\bar{\Lambda}_s}\right) \end{align}$$

去掉分子

利用

$$\begin{align} \frac{ k^2 } {\Omega-\frac{k^2}{M} } = -M(1-\frac{\Omega}{\Omega - \frac{k^2}{M}}) \end{align}$$

第一项高斯积分可以积出

$$\begin{align} &\frac{1}{2\pi^2}\int_0^{\infty}\mathcal{P}\frac{ k^2e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2} } {\Omega-\frac{k^2}{M} } \mathrm{d}k \\ = & -\frac{M \bar{\Lambda}_s}{4\pi\sqrt{2\pi}} +\frac{M\Omega}{4\pi^2} \int_{-\infty}^{ +\infty} \mathrm{d}k\cdot \frac{ k^2e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2} } {\Omega-\frac{k^2}{M} } \end{align}$$

第二项

第二项利用

$$\begin{align} \frac{1}{\Omega - \frac{k^2}{M}} = - \int_0^{\infty}e^{(\Omega - k^2/M)t}\mathrm{d}t \end{align}$$

之后关于 $k$ 的积分是高斯积分, 可以积掉, 所以原积分第二项化为

$$\begin{align} -\frac{M\Omega}{4\pi^2}\int_0^{\infty} \mathrm{d}t\cdot \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{ \frac{2}{ \bar{\Lambda}_s^2} +\frac{t}{M}}}e^{\Omega t} \end{align}$$

化为 Error Function

第二项做换元

$$\begin{align} u = \sqrt{-M\Omega} \sqrt{\frac{2}{ \bar{\Lambda}_s^2} +\frac{t}{M}} \end{align}$$

第二项积分化为

$$\begin{align} \frac{M\sqrt{-M\Omega}}{2\pi\sqrt{\pi}} e^{-M\Omega \frac{2}{\bar{\Lambda}_s^2}} \int_{\sqrt{-\frac{2M\Omega}{\bar{\Lambda}_s^2} }}^{\infty} e^{-t^2}\cdot\mathrm{d}t \end{align}$$

Error Function

利用 Error Function 的定义, 原积分化为

其中

$$\begin{align} \mathrm{Erfc}(x) = 1 - \mathrm{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\mathrm{d}t \end{align}$$

Integral...

推导下面的积分 ( $\Omega < 0$ )

去掉分子

利用

$$\begin{align} \frac{ k^2 } {\Omega-\frac{k^2}{M} } = -M(1-\frac{\Omega}{\Omega - \frac{k^2}{M}}) \end{align}$$

第一项高斯积分可以积出

第二项

第二项利用

$$\begin{align} \frac{1}{\Omega - \frac{k^2}{M}} = - \int_0^{\infty}e^{(\Omega - k^2/M)t}\mathrm{d}t \end{align}$$

之后关于 $k$ 的积分是高斯积分, 可以积掉, 所以原积分第二项化为

$$\begin{align} -\frac{M\Omega}{4\pi^2}\int_0^{\infty} \mathrm{d}t\cdot \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{ \frac{2}{ \bar{\Lambda}_s^2} +\frac{t}{M}}}e^{\Omega t} \end{align}$$

化为 Error Function

第二项做换元

$$\begin{align} u = \sqrt{-M\Omega} \sqrt{\frac{2}{ \bar{\Lambda}_s^2} +\frac{t}{M}} \end{align}$$

第二项积分化为

$$\begin{align} \frac{M\sqrt{-M\Omega}}{2\pi\sqrt{\pi}} e^{-M\Omega \frac{2}{\bar{\Lambda}_s^2}} \int_{\sqrt{-\frac{2M\Omega}{\bar{\Lambda}_s^2} }}^{\infty} e^{-t^2}\cdot\mathrm{d}t \end{align}$$

Error Function

利用 Error Function 的定义, 原积分化为

其中

$$\begin{align} \mathrm{Erfc}(x) = 1 - \mathrm{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\mathrm{d}t \end{align}$$

与 Mathematica 的结果一致

其中

$$\begin{align} \mathrm{Erfc}(x) = 1 - \mathrm{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\mathrm{d}t \end{align}$$ $$\begin{align} \mathrm{Erfi}(z) = -\mathrm{i}\cdot\mathrm{Erf}(\mathrm{i}z) \end{align}$$

Supplementary

Error function , Dawnson Function

Hilbert Transformation

Reference and Acknowledge

Math StackExchange

James Stewart, Calculus 8th ed

9.5 Linear Equations

同济大学数学系, 高等数学上册, 第六版

7.4 一阶线性微分方程

Ran Qi 老师的超冷原子物理课

PRA 99

2019-05-15T00:00:00+08:00

Model

Lagrangian

$$\begin{align} \mathcal{L} =&\sum_{\vec{k}}\psi_{\vec{k}}^{\dagger} \left( \mathrm{i}\partial_t - \frac{k^2}{2M} \right) \psi_{\vec{k}} + \sum_{\vec{q}}\frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2} d_{\vec{q}}^{\dagger}d_{\vec{q}} + \sum_{\vec{q}}\frac{1}{\bar{g}_s}\phi_{\vec{q}}^{\dagger} \phi_{\vec{q}} \\ & -\sum_{\vec{k},\vec{q}} \left[ \frac{\sqrt{2\pi}k^2Y_{20}(\hat{k}) e^{-k^2/ \bar{\Lambda}_d^2}}{\sqrt{V}} d^{\dagger}_{\vec{q}} \psi_{\vec{q}/2+ \vec{k}} \psi_{\vec{q}/2- \vec{k}} + \mathrm{H.c.}\right]\\ & - \sum_{\vec{k},\vec{q}}\left[ \frac{e^{-k^2/ \bar{\Lambda}_s^2}}{\sqrt{V}} \phi^{\dagger}_{\vec{q}} \psi_{\vec{q}/2 +\vec{k}}\psi_{\vec{q}/2-\vec{k}} + \mathrm{H.c.} \right] \end{align} $$

s-wave

s 波部分的 Hamiltonian

$$\begin{align} H =&\sum_{\vec{k}} \frac{k^2}{2M}\psi_{\vec{k}}^{\dagger}\psi_{\vec{k}} - \sum_{\vec{q}}\frac{1}{\bar{g}_s}\phi_{\vec{q}}^{\dagger}\phi_{\vec{q}} + \sum_{\vec{k},\vec{q}}\left[ \frac{e^{-k^2/ \bar{\Lambda}_s^2}}{\sqrt{V}} \phi^{\dagger}_{\vec{q}} \psi_{\vec{q}/2 +\vec{k}}\psi_{\vec{q}/2-\vec{k}} + \mathrm{H.c.} \right] \end{align}$$

首先计算最后一项的 s 波相互作用 T-matrix , T-matrix 与格林函数有如下联系

$$\begin{align} T_s(k \hat{k},k \hat{k}', E = \frac{k^2}{M}) = - \frac{4 e^{-2k^2/ \bar{\Lambda}_s^2}}{V} D_s(\vec{q}=0 , E = \frac{k^2}{M}) \end{align}$$

由上面的 Feynman 图对应的 Dyson 方程为 $D = D_0 + D_0 \Sigma D$ , 化简为

$$\begin{align} \frac{1}{D} = \frac{1}{D_0} - \Sigma \end{align}$$

其中 $D_0$ 是自由格林函数, 对于 s 波为

$$\begin{align} \frac{1}{D_0(\vec{q},E=\frac{k^2}{M})} = \frac{1}{\bar{g}_s} \end{align}$$

计算自能 $\Sigma$ . 先算用松原频率求和算非零温情况

$$\begin{align} \Sigma (\vec{q}, \mathrm{i}\Omega_m ) =& \frac{1}{\beta}\sum_{n,\vec{k}}\frac{1}{\mathrm{i}\omega_n - E_{\frac{\vec{q}}{2}-\vec{k}}} \frac{1}{\mathrm{i}\Omega_m - \mathrm{i}\omega_n - E_{\frac{\vec{q}}{2}+\vec{k}}} \cdot \frac{e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2}}{V}\\ =& \sum_{\vec{k}} \frac{1 +f(\frac{\vec{q}}{2} +\vec{k}) -f(\frac{\vec{q}}{2}-\vec{k})} {\mathrm{i}\Omega_m - E_{\frac{\vec{q}}{2}-\vec{k}} - E_{\frac{\vec{q}}{2} +\vec{k}} } \cdot \frac{e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2}}{V} \\ =& \sum_{\vec{k}} \frac{1} {\mathrm{i}\Omega_m - E_{\frac{\vec{q}}{2}-\vec{k}} - E_{\frac{\vec{q}}{2} +\vec{k}} } \cdot \frac{e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2}}{V} \\ \end{align}$$

上式最后一个等号取令 $f(\frac{\vec{q}}{2} + \vec{k}) f(\frac{\vec{q}}{2}-\vec{k})0$ .

做解析延拓 $\mathrm{i}\Omega_m\to E+\mathrm{i}0^+$ ,得到到零温自能

$$\begin{align} \Sigma (\vec{q}, E) =& \sum_{\vec{k}} \frac{1} {E - E_{\frac{\vec{q}}{2}-\vec{k}} - E_{\frac{\vec{q}}{2} +\vec{k}} +\mathrm{i}0^ +} \cdot \frac{e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2}}{V} \\ =& \sum_{\vec{k}} \frac{1} {E - \frac{q^2}{4M}-\frac{k^2}{M} + \mathrm{i}0^ +} \cdot \frac{e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2}}{V}\\ =& \sum_{\vec{k}} \frac{1} {\Omega-\frac{k^2}{M} + \mathrm{i}0^ +} \cdot \frac{e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2}}{V} \end{align}$$

上式最后一个第二个等号取 $E_{\frac{\vec{q}}{2}\mp\vec{k}} = \frac{1}{2M}\left( \frac{\vec{q}}{2}\mp\vec{k} \right)^2$ . 第三个等号记 $\Omega = E -\frac{q^2}{4M}$ .

上式求和化积分, 乘上因子 $\frac{V}{(2\pi)^3}$ , 积分对角度积分为 $4\pi$ , 只剩下对 $k$ 的积分

$$\begin{align} \Sigma (\vec{q}, \Omega) =& \frac{1}{2\pi^2}\int_0^{\infty}\left[\mathcal{P}\frac{ k^2e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2} } {\Omega-\frac{k^2}{M} } - k^2e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2} \cdot \mathrm{i}\pi \delta(\Omega -\frac{k^2}{M}) \right]\mathrm{d}k \\ =& \left[\frac{1}{2\pi^2}\int_0^{\infty}\mathcal{P}\frac{ k^2e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2} } {\Omega-\frac{k^2}{M} } \mathrm{d}k\right] -\mathrm{i} \frac{M\sqrt{M\Omega}}{4\pi}e^{-2M\Omega / \bar{\Lambda}_s^2} \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \frac{1}{2\pi^2}\int_0^{\infty}\mathcal{P}\frac{ k^2e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2} } {\Omega-\frac{k^2}{M} } \mathrm{d}k = -\frac{M \bar{\Lambda}_s}{4\pi\sqrt{2\pi}} +\frac{M\sqrt{M\Omega}}{4\pi} e^{-2M\Omega / \bar{\Lambda}_s^2} \mathrm{Erfi}\left(\frac{\sqrt{2M\Omega}}{\bar{\Lambda}_s}\right) \end{align}$$

将以上求得的自能 $\Sigma$ 代回到 T-matrix 的表达式

令 $\vec{q}=0$ , 则 $\Omega = E - 0 = \frac{k^2}{M}$ , 上式化为

$$\begin{align} &\frac{1}{T_s(k \hat{k},k \hat{k}', E = \frac{k^2}{M})} \\ =& - \frac{V}{4 e^{-2k^2/ \bar{\Lambda}_s^2}} \left[\frac{1}{\bar{g}_s} +\frac{M \bar{\Lambda}_s}{4\pi\sqrt{2\pi}} -\frac{M\sqrt{M\Omega}}{4\pi} e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_s^2} \mathrm{Erfi}\left(\frac{\sqrt{2M\Omega}}{\bar{\Lambda}_s}\right) + \mathrm{i}\frac{M\sqrt{M\Omega}}{4\pi}e^{-2Mk^2 / \bar{\Lambda}_s^2}\right] \\ =&- \frac{V}{4 e^{-2k^2/ \bar{\Lambda}_s^2}} \cdot \left[ \frac{1}{\bar{g}_s} +\frac{M \bar{\Lambda}_s}{4\pi\sqrt{2\pi}}\right] +\frac{MVk}{16\pi} \mathrm{Erfi}\left(\frac{\sqrt{2}k}{\bar{\Lambda}_s}\right) - \mathrm{i}\frac{MVk}{16\pi} \end{align}$$

上式实部取到 $k$ 的零阶项

$$\begin{align} &\mathrm{Re}\left[\frac{1}{T_s(k \hat{k},k \hat{k}', E = \frac{k^2}{M})}\right] \\ =& -\frac{1}{4\bar{g}_s} -\frac{M V\bar{\Lambda}_s}{16\pi\sqrt{2\pi}} \end{align}$$

已知的 s -wave phase shift (实部取了 $k$ 的零阶近似) 为

$$\begin{align} \frac{1}{T_s(k \hat{k},k \hat{k}', E = \frac{k^2}{M})} =& -\frac{VM}{8\pi}\left(-\frac{1}{a_s} - \mathrm{i}k \right) \\ =& \frac{VM}{8\pi}\frac{1}{a_s} + \mathrm{i}k\frac{VM}{8\pi} \end{align}$$

对比以上三式, 虚部差一因子 $-2$ , 手动添上, 得到重整化关系

$$\begin{align} \frac{1}{\bar{g}_s} =& \frac{M}{4\pi a_s} -\frac{M \bar{\Lambda}_s}{4\pi\sqrt{2\pi}} = \frac{M}{4\pi a_s} -\frac{M }{2\pi^2} \int_0^{\infty}\mathrm{d}k \cdot e^{-2k^2/ \bar{\Lambda}_s^2} \end{align}$$

将重整化关系代回 $D_s^{-1}$ 的表达式得

$$\begin{align} &\frac{1}{D_s(\vec{q},E = \Omega +\frac{q^2}{4M})}\\ =&\frac{1}{\bar{g}_s} +\frac{M \bar{\Lambda}_s}{4\pi\sqrt{2\pi}} -\frac{M\sqrt{M\Omega}}{4\pi} e^{-2M\Omega /\bar{\Lambda}_s^2} \mathrm{Erfi}\left(\frac{\sqrt{2M\Omega}}{\bar{\Lambda}_s}\right) + \mathrm{i}\frac{M\sqrt{M\Omega}}{4\pi}e^{-2M\Omega / \bar{\Lambda}_s^2} \\ =& \frac{M}{4\pi a_s} -\frac{M\sqrt{M\Omega}}{4\pi} e^{-2M\Omega / \bar{\Lambda}_s^2} \mathrm{Erfi}\left(\frac{\sqrt{2M\Omega}}{\bar{\Lambda}_s}\right) + \mathrm{i}\frac{M\sqrt{M\Omega}}{4\pi}e^{-2M\Omega / \bar{\Lambda}_s^2}\\ =& \frac{M}{4\pi a_s} + \frac{M\sqrt{-M\Omega}}{4\pi} \left[ 1 + \mathrm{Erf}\left( \frac{\sqrt{-2M\Omega}}{ \bar{\Lambda}_s} \right) \right] e^{- \frac{2M\Omega }{ \bar{\Lambda}_s^2}} \end{align}$$

其中

file:./2019-05-15-physics-PAR99/dawson.png

d-wave

s 波部分的 Hamiltonian

$$\begin{align} H =&\sum_{\vec{k}}\frac{k^2}{2M}\psi_{\vec{k}}^{\dagger}\psi_{\vec{k}} - \sum_{\vec{q}}\frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2} d_{\vec{q}}^{\dagger}d_{\vec{q}} +\sum_{\vec{k},\vec{q}} \left[ \frac{\sqrt{2\pi}k^2Y_{20}(\hat{k}) e^{-k^2/ \bar{\Lambda}_d^2}}{\sqrt{V}} d^{\dagger}_{\vec{q}} \psi_{\vec{q}/2+ \vec{k}} \psi_{\vec{q}/2- \vec{k}} + \mathrm{H.c.}\right] \end{align}$$

与 s 波类似

$$\begin{align} \frac{1}{D} = \frac{1}{D_0} - \Sigma = \frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2}- \Sigma \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \Sigma (\vec{q}, E)= &\sum_{\vec{k}} \frac{1}{\Omega-\frac{k^2}{M} + \mathrm{i}0^ +} \cdot \frac{2\pi k^4 [Y_{20}]^2 e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_d^2}}{V}\\ =& \frac{5}{8\pi^2}\int_0^{\infty}\mathrm{d}k\cdot \frac{k^6 e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_d^2}} {\Omega-\frac{k^2}{M} + \mathrm{i}0^ +} \cdot\int_{-1}^1 \mathrm{d}x\cdot \left( \frac{3}{2}x^2 -\frac{1}{2} \right)^2 \\ =&\frac{1}{2\pi^2}\int_0^{\infty}\mathrm{d}k\cdot \frac{k^6 e^{-2k^2 / \bar{\Lambda}_d^2}} {\Omega-\frac{k^2}{M} + \mathrm{i}0^ +} \\ =& -\frac{\sqrt{2\pi}M \bar{\Lambda}_d[ 16(M\Omega)^2 +4M\Omega\bar{\Lambda}_d^2 + 3\bar{\Lambda}_d^4 ]}{128\pi^2} + \frac{e^{-\frac{2M\Omega}{\bar{\Lambda}_d^2}} M(M\Omega)^{5/2} \left[ -\mathrm{i} +\mathrm{Erfi}\left( \frac{\sqrt{2M\Omega}}{\bar{\Lambda}_d}\right) \right]} {4\pi}\\ =& -\frac{\sqrt{2\pi}M \bar{\Lambda}_d[ 16(M\Omega)^2 +4M\Omega\bar{\Lambda}_d^2 + 3\bar{\Lambda}_d^4 ]}{128\pi^2} + \frac{e^{-\frac{2M\Omega}{\bar{\Lambda}_d^2}} M(-M\Omega)^{5/2} \left[ -1- \mathrm{Erf}\left( \frac{\sqrt{-2M\Omega}}{\bar{\Lambda}_d}\right) \right]} {4\pi} \end{align} $$

第二个等号取 $Y_{20}(\hat{k}) = \sqrt{\frac{5}{4\pi}}\left( \frac{3}{2}\cos^2\theta -\frac{1}{2} \right)$ .

file:./2019-05-15-physics-PAR99/dWaveInt.png

所以

$$\begin{align} \frac{1}{D_d(\vec{q},E)} =& \frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2} +\frac{\sqrt{2\pi}M \bar{\Lambda}_d[ 16(M\Omega)^2 +4M\Omega\bar{\Lambda}_d^2 + 3\bar{\Lambda}_d^4 ]}{128\pi^2} - \frac{e^{-\frac{2M\Omega}{\bar{\Lambda}_d^2}} M(M\Omega)^{5/2} \left[ -\mathrm{i} +\mathrm{Erfi}\left( \frac{\sqrt{2M\Omega}}{\bar{\Lambda}_d}\right) \right]} {4\pi}\\ =& \frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2} +\frac{\sqrt{2\pi}M \bar{\Lambda}_d[ 16(M\Omega)^2 +4M\Omega\bar{\Lambda}_d^2 + 3\bar{\Lambda}_d^4 ]}{128\pi^2} - \frac{e^{-\frac{2M\Omega}{\bar{\Lambda}_d^2}} M(-M\Omega)^{5/2} \left[ -1- \mathrm{Erf}\left( \frac{\sqrt{-2M\Omega}}{\bar{\Lambda}_d}\right) \right]} {4\pi} \end{align}$$

已知的 $T_d$

$$\begin{align} T_d =& -\frac{32\pi^2}{MV}Y_{20}(\hat{k})Y_{20}(\hat{k'})\frac{k^4} {k^5 \cot \delta_d(k) - \mathrm{i}k^5} \\ \sim & -\frac{32\pi^2}{MV}Y_{20}(\hat{k})Y_{20}(\hat{k'})\frac{k^4} {-\frac{1}{D} -\frac{k^2}{v} -\frac{k^4}{R} - \mathrm{i}k^5} \end{align}$$

用算得的 $D_d$ 得到的 $T_d$

$$\begin{align} T_d =& -\frac{8\pi k^4 Y_{20}(\hat{k})Y_{20} e^{-2k^2/ \bar{\Lambda}_d^2}}{V}D_d (\vec{q}=0, E = \frac{k^2}{M}) \\ \sim &-\frac{32\pi^2}{MV}Y_{20}(\hat{k})Y_{20}(\hat{k'})\frac{k^4} { \left[\frac{4\pi}{M}\frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2} + \frac{\bar{\Lambda}_d}{16\sqrt{2\pi}} \left( 16k^4 + 4\bar{\Lambda}_d^2k^2 +3 \bar{\Lambda}_d^4 \right) \right] \left[ 1 + \frac{2}{\bar{\Lambda}_d^2}k^2 + \frac{2}{\bar{\Lambda}_d^4}k^4\right] + \mathrm{i}k^5 } \\ \sim &-\frac{32\pi^2}{MV}Y_{20}(\hat{k})Y_{20}(\hat{k'})\frac{k^4} { \left[\frac{4\pi}{M}\frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2} + \frac{3}{16\sqrt{2\pi}} \bar{\Lambda}_d^5 + k^2\left( \frac{8\pi}{M \bar{\Lambda}_d^2}\frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2} + \frac{5}{8\sqrt{2\pi}} \bar{\Lambda}_d^3 \right) + k^4\left( \frac{8\pi}{M \bar{\Lambda}_d^4}\frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2} + \frac{15}{8\sqrt{2\pi}} \bar{\Lambda}_d \right) \right] + \mathrm{i}k^5 } \end{align}$$

对比以上两式可得重整化关系 (差一负号)

$$\begin{align} \frac{1}{D} & =\frac{4\pi}{M}\frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2} + \frac{3}{16\sqrt{2\pi}} \bar{\Lambda}_d^5 \\ \frac{1}{v} & =\frac{8\pi}{M \bar{\Lambda}_d^2}\frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2} + \frac{5}{8\sqrt{2\pi}} \bar{\Lambda}_d^3 \\ \frac{1}{R} & =\frac{8\pi}{M \bar{\Lambda}_d^4}\frac{\bar{\nu}}{\bar{g}_d^2} + \frac{15}{8\sqrt{2\pi}} \bar{\Lambda}_d \end{align}$$

Acknowledge

StackExchange:

https://math.stackexchange.com/questions/3231991/an-integration-about-error-function

Reference

PRA 99, 012701(2019)

Feynman Path Integral Note

2019-04-24T00:00:00+08:00

Propagators

Heisenberg 表象中的态的内积

Propagator 可以看作是 Heisenberg 表象中的态的内积, 即

$$\begin{align} \langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle = [\langle x_N | U(t_N, 0)] \cdot[ U(0,t_0)| x_0 \rangle] \end{align}$$

演化算符的矩阵元

Propagator 可以看作是演化算符的矩阵元, 即

$$\begin{align} \langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle = \langle x_N | U(t_N, t_0) | x_0 \rangle \end{align}$$

物理意义解释为: $t_0$ 时刻处于 $|x_0\rangle$ , 然后演化到 $t_N$ 时刻, 这时在态 $| x_N\rangle$ 上的投影, 即在态 $| x_N\rangle$ 上的概率振幅, 就是 Propagator .

Feynman's Path Interal

核心思路

算得了 Propagator , 就知道了体系的演化, 问题就得到了解决. 所以是目标就是计算 Propagator .

一个基本的假设是

$$\begin{align} \langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle \quad \mathrm{corresponds\quad to } \quad e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S(0,N)} \end{align}$$

其中 $S$ 是作用量

$$\begin{align} S(N,0) = \int_{t_0}^{t_N}\mathrm{d}t \cdot L(x, \dot{x}) \end{align}$$

$L$ 是经典的拉氏量. 但是 $L$ 是 $x$ 和 $\dot{x}$ 的函数. 所以只有选定一个路径后, $S(N,0)$ 才有明确定义. 怎么办呢?

解决方法是, 插入完备基. 在 Heisenberg 表象中, 每个时刻的位置的本征态都可以看作是一组完备基. 即

$$\begin{align} \int \mathrm{d}^3 x\cdot |\vec{x},t\rangle \langle \vec{x},t | = 1 \end{align}$$

在 $t_0$ 和 $t_N$ 之间插入无穷多组完备基, 也就是

$$\begin{align*} &\langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle \\ =& \int\mathrm{d}^3 x_{N-1}\cdots \int\mathrm{d}^3 x_1 \cdot \langle x_N, t_N |\vec{x}_{N-1},t_{N-1}\rangle \langle \vec{x}_{N-1},t_{N-1} | \cdots |\vec{x}_1, t_1\rangle \langle \vec{x}_1, t_1 | x_0 , t_0 \rangle \end{align*}$$

其中 $N\to \infty$ . 这样相当于对于所有的路径都作了计算, 也就是

$$\begin{align} \langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle \quad \sim \quad \sum_{\mathrm{all\,paths}} e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S(N,0)} \end{align}$$

对于无穷短间隔内的 Propagator , 将其假设为

$$\begin{align} \langle x +\Delta x , t + \Delta t |x , t \rangle = \frac{1}{\omega(\Delta t)} e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S} \end{align}$$

其中 $\omega(\Delta t)$ 是只与 $\Delta t$ 的大小有关的一个归一化系数.

这样, 就得到了 Feynman 的 Path Integral 的表达式

$$\begin{align*} &\langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle \\ =& \lim_{N\to \infty}\frac{1}{[\omega(\Delta t)]^{N-1}}\cdot \int\mathrm{d}^3 x_{N-1}\cdots \int\mathrm{d}^3 x_1 \cdot e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S(N,0)}\\ =&\int_{x_1}^{x_N}\mathcal{D}[x(t)] \cdot e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S(N,0)}\\ \end{align*}$$

第二个等号采用了新的记号

$$\begin{align} \int_{x_1}^{x_N} \mathcal{D}[x(t)]\equiv \lim_{N\to \infty}\frac{1}{[\omega(\Delta t)]^{N-1}}\cdot \int\mathrm{d}^3 x_{N-1}\cdots \int\mathrm{d}^3 x_1 \end{align}$$

归一化系数

下面来求归一化因子 $\omega(\Delta t)$ (假设它与势无关), 可以用自由粒子的拉氏量. 然后, 利用完备基的正交归一性

$$\begin{align} \lim_{\Delta t\to 0} \langle x +\Delta x , t + \Delta t |x , t \rangle = \delta (\Delta x) \end{align}$$

那么

$$\begin{align} \lim_{\Delta t\to 0}\frac{1}{\omega(\Delta t)} e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S} = \delta (\Delta x) \end{align}$$

下面先把 $S$ 算出来

$$\begin{align} S = \int_t^{t+\Delta t} \mathrm{d} t' \cdot \left[ \frac{m}{2}\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2 \right] = \frac{m (\Delta x) ^2}{2\Delta t} \end{align}$$

上式中由于是自由粒子, 所以粒子是直线运动, 速度为 $\Delta x/\Delta t$ . 将算出来的 $S$ 代回原式并对 $\Delta x$ 在全空间积分得

$$\begin{align} \frac{1}{\omega(\Delta t)} \cdot\int \mathrm{d}\Delta x \cdot e^{\frac{\mathrm{im (\Delta x)^2}}{2 \hbar \Delta t}} =\frac{1}{\omega(\Delta t)} \sqrt{\pi\frac{2\hbar \Delta t}{m}} =1 \end{align}$$

即求得归一化系数为

$$\begin{align} \frac{1}{\omega (\Delta t)} = \sqrt{\frac{m}{2\pi \hbar\Delta t}} \end{align}$$

Classical Limit

当 $\hbar \to 0$ 时, 只有经典轨道有贡献. 所谓经典轨道, 即满足 Hamilton 原理的路径

$$\begin{align} \delta S = 0 \end{align}$$

. 这是因为, 不满足 Hamilton 原理的作用量 $\delta S \neq 0$ , 而 $\hbar \to 0$ , 所以作用量即使有很小的改变, 它对应的相位也会有很大的改变, 那么它在对所有路径求和时, 相位会相干相消. 而只有满足 Hamilton 原理的路径, 它有微小的改变时, 它的相位不会相消. 作用量在 $[-\hbar \pi, \hbar\pi]$ 内都会有贡献.

一个周期内的相位都会相消, 只有作用量取平稳值的时候没有其它相位与它相消.

Equivalence to Schrodinger's Wave Mechanics

考虑从 Propagator 对时间的微分入手, 将从 $t_0, x_0$ 到任意时刻 $t, x$ 的 Propagator 在 $t-\Delta t$ 处展开

$$\begin{align} \langle x, t| x_0, t_0 \rangle = \langle x, t-\Delta t | x_0 ,t_0 \rangle + \Delta t \frac{\partial}{\partial t} \langle x, t-\Delta t | x_0 ,t_0 \rangle + \mathcal{O}[(\Delta t)^2] \end{align}$$

同时, 也可以用 Path Integral 的方法计算 Propagator 然后再对应 $\Delta t$ 的一阶项. 这样就用 Path Integral 求得 Propagator 对时间的一阶导数.

可以考虑在离 $|x, t\rangle$ 无穷近的地方插入一组完备基

$$\begin{align} \langle x, t| x_0, t_0 \rangle = \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}\Delta x \cdot e^{-\lambda (\Delta x)^2 } \cdot e^{-\frac{\mathrm{i} V \Delta t}{\hbar}} \cdot \langle x- \Delta x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle \end{align}$$

其中拉氏量已代为 $L = \frac{m}{2}\left( \frac{\Delta x}{ \Delta t} \right)^2 - V$ , 为了简便记 $\lambda = \frac{m}{2\mathrm{i}\hbar \Delta t}\sim \frac{1}{\Delta t}$ . 将上式最后一项在 $\langle x, t- \Delta t |$ 附近展开

$$\begin{align*} \langle x- \Delta x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle =& \langle x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle + \mathrm{Linear\, term}\\ &+ \frac{(\Delta x)^2}{2}\cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2} \langle x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle + \mathcal{O}[(\Delta x)^3] \end{align*}$$

上式中的线性项及其它奇数次幂项由于是奇函数, 积分后都为零, 所以不加考虑.

代回积分式中, 并将 $e^{-\frac{\mathrm{i} V\Delta t}{\hbar}}$ 也按 $\Delta t$ 进行 Taylor 展开, 可得

$$\begin{align*} \langle x, t| x_0, t_0 \rangle = \langle x, t-\Delta t | x_0 ,t_0 \rangle + \left[\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \cdot \frac{1}{2}\frac{1}{\lambda} -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}V \Delta t\right] \langle x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle + \mathcal{O}[(\Delta t)^3] \end{align*}$$

注意式其中 $\frac{1}{\lambda}\sim t$ . 其中利用了积分公式

$$\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d} x\cdot e^{-\lambda x^2} =& \sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \\ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d} x\cdot x^2e^{-\lambda x^2} =& -\frac{\partial}{\partial \lambda}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}} \end{align}$$

比较两种展开的一阶项可得

$$\begin{align} \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t}\langle x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle =\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +V\right]\langle x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle \end{align}$$

此即 Schrodinger Equation !

Reference

J. J Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics 2ed:

Chap 2.6 Propagators and Feynman Path Integral

R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics 2ed:

Chap 8 The Path Integral Formulation of Quantum Theory

Cold Atom Physics Note: Spin Dependent Interaction

2019-04-17T00:00:00+08:00

问题

两个全同 Boson , 它们的自旋都是 $1$ , 即 $f_1 1, f_2 1$. 它们的总自旋可以是 $F = 0, 1, 2$. 如果它们之间的相互作用是一个李黄杨 Pseudopotential, 那么当 $F = 1$ 时它们的自旋波函数是反对称的 (Supplementary 中有证明), 那么它们的轨道波函数就必须是反对称的. 这意味着当两个原子相碰的时候波函数必须为零. 那这个接触相互作用就对它没有作用了. 所以它们之间的相互作用可以在不同的 $F$ 子空间分别写出. 不同的子空间对应着不同的散射长度. 即

$$\begin{align} V = \frac{2\pi\hbar^2}{m}\delta^3(\vec{r}) \frac{\partial}{\partial r} r \sum_{F= 0,2}a_F \mathcal{P}_{F} \end{align}$$

其中 $F=0$ 的求和项由前面的分析可以知道是 $0$ .

投影算符

下面要求的是投影算符 $\mathcal{P}$ 的具体形式. 它可以用算符 $f_1\cdot f_2$ 来表示. 对于 $f_1 = f_2 = 1$ 的情况有

$$\begin{align*} \vec{f}_1 \cdot \vec{f}_2 =& \frac{1}{2} \left[ (\vec{f}_1 + \vec{f}_2)^2 -\vec{f}_1^2 -\vec{f}^2 \right]\\ =& \frac{F(F+1)}{2} - f(f+1) \end{align*}$$

当 $F = 0$ 时 $\vec{f}_1 \cdot \vec{f}_2 = -2$ , 当 $F=2$ 时 $\vec{f}_1 \cdot \vec{f}_2 =1$ , 即

$$\begin{align} \vec{f}_1 \cdot \vec{f}_2 = -2 \mathcal{P}_0 + \mathcal{P}_2 \end{align}$$

又有

$$\begin{align} \mathcal{P}_0 + \mathcal{P}_2 = 1 \end{align}$$

其中 $1$ 表示单位算符. 联立以上二式可得

$$\begin{align*} \mathcal{P}_0 =& \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\vec{f}_1 \cdot \vec{f}_2 \\ \mathcal{P}_2 =& \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\vec{f}_1 \cdot \vec{f}_2 \end{align*}$$

密度密度相互作用和自旋交换相互作用

用以上结果可以重写李黄杨 Pseudopotential

$$\begin{align*} V =& \frac{2\pi\hbar^2}{m}\delta^3(\vec{r}) \frac{\partial}{\partial r} r \sum_{F= 0,2} (a_0 \mathcal{P}_0 + a_2 \mathcal{P}_2) \\ =& \frac{2\pi\hbar^2}{m}\delta^3(\vec{r}) \frac{\partial}{\partial r} r \sum_{F= 0,2} \left( \frac{a_0+a_2}{3} + \frac{a_2-a_0}{3} \vec{f}_1 \cdot \vec{f}_2 \right) \\ =& \frac{2\pi\hbar^2}{m}\delta^3(\vec{r}) \frac{\partial}{\partial r} r \sum_{F= 0,2} \left( a_n + a_s \vec{f}_1 \cdot \vec{f}_2 \right) \end{align*}$$

$a_n$ 代表密度密度相互作用, $a_s$ 代表自旋交换相互作用.

Supplementary

两个自旋为 $1$ 的角动量偶合. 它们各自的态用 $| f,f_z\rangle$ 来标记, 偶合后构成一个新的 9 维 Hilbert 空间, 即

$$\begin{align} \mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 = \{ |1\rangle ,|0\rangle , |-1 \rangle \} \otimes \{ |1\rangle ,|0\rangle , |-1 \rangle \} \end{align}$$

在新的 Hilbert 空间中, 好量子数是 $F, F_z$ .因此, 在旧的直积基底下写出算符 $\vec{F}^2, F_z$ 的一个 $9\times 9$ 的矩阵, 然后将其对角化, 即可得到偶合后的本征态, 而且是在直积基底下写出的, 可以方便地观察交换两个粒子的自旋是对称还是反对称的. 算符 $\vec{F}^2$ 可以如下写出

$$\begin{align*} \vec{F}^2 =& (\vec{f}_1+ \vec{f}_2)^2 \\ =& \vec{f}_1^2 +\vec{f}_2^2 + 2 \vec{f}_1\cdot \vec{f}_2 \\ =& \vec{f}_1^2 +\vec{f}_2^2 + 2 f_{1z}f_{2z} +f_1^ + f_2^- +f_1^ - f_2^ + \end{align*}$$

幸运的是, $F_z$ 是好量子数, 所以新的本征态只会偶合 $F_z$ 相等的态. 所以可以分别对角化 $F_z = -2,-1,0,1,2$ 对应的子空间的矩阵. 下面以 $F_z=0$ 为例, 求出新的本征态.

在直积空间的子空间 $|1,-1 \rangle , |-1,1 \rangle |0,0 \rangle$ 中, $\vec{F}^2$ 的矩阵为

$$\begin{align} \vec{F}^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$

对角化后的本征值和本征向量为

$$\begin{align*} F(F+1) =& 6 , \quad |F=2,F_z=0\rangle =1\cdot |1,-1 \rangle +1\cdot |-1,1 \rangle + 2\cdot|0,0 \rangle \\ F(F+1) =& 2 , \quad |F=1,F_z=0\rangle =-1\cdot |1,-1 \rangle +1\cdot |-1,1 \rangle + 0\cdot|0,0 \rangle \\ F(F+1) =& 0 , \quad |F=0,F_z=0\rangle =-1\cdot |1,-1 \rangle -1\cdot |-1,1 \rangle + 1\cdot|0,0 \rangle \end{align*}$$

可以看出, $F0,2$ 的两个本征态是交换对称的, 而 $F1$ 的本征态是交换反对称的.

Cold Atom Physics Note: Zero-Range Models (update 4/Aug/2020)

2019-04-14T00:00:00+08:00

问题

找一个 zero-range effective model 来重复出低能散射的性质, 比如低能散射态的相移和 shallow bounded state .

Pseudopotential

Intro

这个 pseudopotential 应该形式简单. 最先考虑的是 Dirac delta function .

它应该能够得到如下波函数

$$\begin{align} \psi(r\to 0) \sim \frac{\sin(kr + \delta_{k} )}{r} \end{align}$$

Dirac Delta Function

Equation

取 pseudopotential 为

$$\begin{align} V_{\mathrm{ps}}(\vec{r}) = g \delta^3(\vec{r}) \end{align}$$

代入 Schrodinger eq

$$\begin{align} \left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 +V_{\mathrm{ps}(\vec{r})} \right] \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}) \end{align}$$

Dirac Delta Function 的性质体现在积分中, 所以对上式在无穷接近零点的无穷小体积内积分

$$\begin{align} -\frac{\hbar^2}{2\mu}\int_{r < \varepsilon}\nabla^2\psi \cdot \mathrm{d}\vec{r}^3 + g \psi(r=0) = E \int_{r < \varepsilon}\psi(\vec{r})\cdot\mathrm{d}^3\vec{r} \end{align}$$

左边第一项

方程左边第一项可以用 Gauss 定理 ( 散度定理, 即, 对一个矢量场的面积分等于对其散度的体积分), 得到

$$\begin{align} \int \nabla \cdot (\nabla\psi) \mathrm{d} \vec{r}^3 = \int \nabla \psi \cdot \mathrm{d}\vec{S} \end{align}$$

下面计算 $\nabla\psi$ . 要求的是在 $r\to 0$ 时的结果, 所以可以对 $\psi$ 在 $r\to 0$ 展开, 分析 leading order

$$\begin{align*} \psi \sim& \frac{\sin kr \cos \delta_k + \cos kr \sin \delta_k}{r} \\ = & k\cos\delta_k - \frac{k^3\cos\delta_k}{3!}r^2 +\sin\delta_k\frac{1}{r} - \frac{k^2\sin\delta_k}{2}r + \mathcal{O}(r^3) \end{align*}$$

对第一项常数项的散度是 $0$ .所以

$$\begin{align} \nabla\psi \sim -\frac{k^3\cos\delta_k}{3!}\cdot 2 \vec{r} -\sin\delta_k\cdot \frac{\vec{r}}{r^3} - \frac{k^2\sin\delta_k}{2}\cdot \frac{\vec{r}}{r} \end{align}$$

对面积积分

$$\begin{align*} \int_{r < \varepsilon} \nabla \psi \cdot \mathrm{d}\vec{S} =& -\frac{k^3\cos\delta_k}{3!}\cdot 2\cdot \varepsilon \cdot 4\pi \varepsilon^{2} \\ &- \sin \delta_k \cdot \frac{4\pi\varepsilon^2}{\varepsilon^{2}} \\ &- \frac{k^2\sin\delta_k}{2}\cdot 4\pi\varepsilon^2 \end{align*}$$

可以看出, 当 $\varepsilon\to 0$ 时, 第一项和第三项都以 $\varepsilon^{2}$ 的速度 $\to 0$ , 只有第二项存在, 所以

$$\begin{align} \int \nabla \cdot (\nabla\psi) \mathrm{d} \vec{r}^3 \sim -4\pi\sin\delta_k \end{align}$$

左边第二项

方程左边第项是常数项

右边第一项

当 $r\to 0$ 时, 波函数是一个有限的值. 对一个有限的值在无穷小体积内积分, 结果是 $0$

结论

所以积分完得到

$$\begin{align} \frac{\hbar^2}{2\mu}\cdot 4 \pi \cdot \sin \delta_k + g \frac{\sin(kr + \delta_k)}{r}|_{r=0} = 0 \end{align}$$

可以看出, 只要 $\delta_k$ 是有限的值, 第二项就是发散的. 所以, 如果用 Dirac Delta Function 做 pseudopotential 的话, 只允许散射相移是 $0$ .

解释

Pseudopotential 模拟有限深方势阱的散射长度

最初的问题是用一个 pseudopotential 来模拟重复出低能散射的的性质, 比如散射长度. 如果我们用一个 Dirac 势来模拟一个有限深方势阱的散射长度, 也就是让一个 Driac 势得到和有限深方势阱的散射长度 $a_s$ . 这样, 应该让 $r_0$ 变小, 同时 $V_0$ 变大, 来使它变得像一个 Dirac 势, 同时使得散射长度 $a_s$ 保持不变. 在两体散射中, 已经求得了低能条件下的散射长度 $a_s$ 和势阱深度 $V_0$ 之间的定量关系

$$\begin{align} \frac{a_s}{r_0} = 1 - \frac{\tan(\sqrt{\tilde{V}_0})}{\sqrt{\tilde{V}_0}} \end{align}$$

其中 $\tilde{V}_0 = \frac{V_0}{\hbar^2/(2\mu r_0^2)}$ 对于 Dirac 势来说, $r\to 0$ , 若要保持 $a_s$ 固定不变,那么等式左边的 $\frac{a_s}{r_0}$ 就要变成一个发散的值. 这恰好对应散射共振所对应的势阱深度. 散射共振时势阱深满足

$$\begin{align} \tilde{V}_0 = \frac{V_0}{\hbar^2/(2\mu r_0^2)} = \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \end{align}$$

上式可以看出, 对于 $r\to 0$ 的 Dirac 势来说, $V_0$ 应该以 $r_0^2$ 的速度 $\to\infty$ , 才能保持 $a_s$ 是一个有限的值.

矛盾之处

以上所做的, 就是用一个 $g\delta^3(\vec{r})$ 代替了

$$\begin{align*} V(r) = \left\{ \begin{aligned} 0 & , r > r_0 \\ -V_0 & , r < r_0 \end{aligned} \right. \end{align*}$$

如果二者是等价的的, 那么对它们在全空间的积分应该是相等的, 即

$$\begin{align} g\int\delta^3(\vec{r}) \cdot \mathrm{d}^3\vec{r} = \int V(r) \cdot \mathrm{d}^3\vec{r} \end{align}$$

结果为

$$\begin{align} g = V_0\cdot \frac{4\pi r_0^3}{3} \end{align}$$

$g$ 是一个有限的常数, 那么 $V_0$ 应当以 $r_0^{3}$ 的速度 $\to \infty$ .

而前面的结论是 $V_0$ 应该以 $r_0^2$ 的速度 $\to\infty$ , 才能保持 $a_s$ 是一个有限的值. 也就是说, Dirac 势的 $V_0 \to \infty$ 的速度过快.

有限深方势阱的结论和前面 general 的讨论结论是一致的: pseudopotential $g\delta^3(\vec{r})$ 不能重复出低能散射的性质.

李黄杨 Pseudopotential

思路

式

$$\begin{align} \frac{\hbar^2}{2\mu}\cdot 4 \pi \cdot \sin \delta_k + g \frac{\sin(kr + \delta_k)}{r}|_{r=0} = 0 \end{align}$$

中, 发散出现在左边第二项中, 如果把 $g$ 换成一个常数加一个算符, 发散就可以消除.

李黄杨 Pseudopotential

李黄杨 Pseudopotential 将 $g\delta^3 (\vec{r}) \to g \delta^3 (\vec{r})\frac{\partial}{\partial r}r$ ,式子变为

$$\begin{align} \frac{\hbar^2}{2\mu}\cdot 4 \pi \cdot \sin \delta_k + g k\cos \delta_k = 0 \end{align}$$

那么

$$\begin{align} g = -\frac{\tan \delta_k}{k}\cdot\frac{2\pi\hbar^2}{\mu} = \frac{2\pi\hbar^2a_s}{\mu} \end{align}$$

Renomalizable Contact Potential

问题

李黄杨 Pseudopotential 在解少体问题时是方便的, 但是也有很多情况下, 用李黄杨 Pseudopotential 是不方便的. 比如, 研究 Many-Body Physics , 一般在热力学极限, 即, 粒子数 $N\to \infty$ , 体积 $V \to \infty$ , 密度 $n \to \mathrm{const.}$ 的情况下, 在实空间用一次量子化的形式是很难处理地. 在多体中通常是写一个二次量子化的 Hamiltonian . 但是李黄杨 Pseudopotential 中奇怪的算符处理起来会很麻烦. 所以还是会用一个简单地 $g\delta^3(\vec{r})$ . 发散会通过重整化来进行处理.

Hamiltonian

$$\begin{align*} \hat{H} =& \int d^3\vec{r} \cdot\left[ \psi^{\dagger}(\vec{r}) \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \right)\psi(\vec{r}) \right] + \frac{1}{2}\int \mathrm{d}^3\vec{r} \int \mathrm{d}^3\vec{r}'\cdot \psi^{\dagger}(\vec{r})\psi^{\dagger}(\vec{r}') \cdot g \delta^3(\vec{r} - \vec{r}') \cdot \psi(\vec{r}')\psi(\vec{r}) \\ =& \int d^3\vec{r} \cdot\left[ \psi^{\dagger}(\vec{r}) \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \right)\psi(\vec{r}) \right] + \frac{1}{2}g\int \mathrm{d}^3\vec{r} \cdot \psi^{\dagger}(\vec{r})\psi^{\dagger}(\vec{r}) \cdot \psi(\vec{r})\psi(\vec{r}) \end{align*}$$

T-matrix

处理方法一: 将散射问题作为含时微扰, 求质心系相对运动的 T-matrix

T-matrix 的表达式( Supplementary 中有推导 )为

$$\begin{align} T = V + V \frac{1}{E_i-H_0 +\mathrm{i}0^{ +}} T \end{align}$$

$E_i$ 是入射能量. 它对应的物理图像是单粒子把势 $V$ 作为含时微扰. 如果写出 T-matrix 在 $\vec{k}$ 空间中的表达式的话, 只有 on-shell 的 T 是有意义的.

本问题是一个两体问题, 但是可以在质心系中只考虑相对运动, 所以上式适用于本问题. 下面计算它在 $\vec{k}$ 空间中的表达式

$$\begin{align} \langle \vec{k} |T |\vec{k}'\rangle = \langle \vec{k} |V |\vec{k}'\rangle + \langle \vec{k} |V \frac{1}{E_{\vec{k}'}-H_0 + \mathrm{i}0^+} T|\vec{k}'\rangle \end{align}$$

上式中的 $T, V$ 都是算符. 下面分别计算各项.

第一项

已经知道了算符 $V$ 在坐标表象是对角的, 也就是

$$\begin{align} V | \vec{r} \rangle = g \delta^3(\vec{r}) | \vec{r}\rangle \end{align}$$

那么就可以插一组坐标表象的完备基

$$\begin{align*} \langle \vec{k} |V |\vec{k}'\rangle =& \int \mathrm{d}^3\vec{r} \cdot\langle \vec{k} | V | \vec{r}\rangle \langle \vec{r}|\vec{k}'\rangle \\ = & g \int \mathrm{d}^3\vec{r}\cdot\delta^3(\vec{r}) \cdot \frac{1}{v} e^{\mathrm{i}(\vec{k}'-\vec{k})\cdot \vec{r}} \\ = & \frac{g}{v} \end{align*}$$

这里 $\vec{k}$ 空间的本征态取箱归一化, 即 $\langle \vec{r} | \vec{k} \rangle = \frac{1}{\sqrt{v}}e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{r}}$ , $v$ 代表体积.

第二项

算符 $V$ 在 $\vec{k}$ 空间的形式前面已经求出, 且 $|\vec{k}\rangle$ 也是 $H_0$ 的本征态, 所以考虑插入一组 $\vec{k}$ 空间的完备基

$$\begin{align*} &\langle \vec{k} |V \frac{1}{E_{\vec{k}'}-H_0 + \mathrm{i}0^+} T|\vec{k}'\rangle\\ = & \sum_{\vec{k}''}\langle \vec{k} |V| \vec{k}'' \rangle \langle \vec{k}'' | \frac{1}{E_{\vec{k}'}-H_0 + \mathrm{i}0^+} T|\vec{k}'\rangle \\ = & \sum_{\vec{k}''} \frac{g}{v} \frac{1}{E_{\vec{k}'}-\frac{\hbar^2k''^2}{2\mu} + \mathrm{i}0^+}\langle \vec{k}'' | T|\vec{k}'\rangle \end{align*}$$

结果

将上面的计算结果代入原式

$$\begin{align} \langle \vec{k} |T |\vec{k}'\rangle = \frac{g}{v} + \frac{g}{v}\sum_{\vec{k}''} \frac{1}{E_{\vec{k}'}-\frac{\hbar^2k''^2}{2\mu} + \mathrm{i}0^+}\langle \vec{k}'' | T|\vec{k}'\rangle \end{align}$$

从上式可以看出, $\langle \vec{k} |T |\vec{k}'\rangle$ 的取值与 $\vec{k}$ 的取值无关, 因为等式右边没有出现 $\vec{k}$ . 将 $E_{\vec{k}'}$ 简记为 $E$ , 则 $\langle \vec{k} |T |\vec{k}'\rangle$ 的取值只与 $E$ 有关. 所以上式可以写为

$$\begin{align} T(E) = \frac{g}{v} + \frac{g}{v}\sum_{\vec{k}} \frac{1}{E-\frac{\hbar^2k^2}{m} + \mathrm{i}0^+} T(E) \end{align}$$

其中将约化质量化回了粒子的质量 $\mu = m/2$ .

移项就得到了最终的表达式

$$\begin{align*} T(E) = \frac{1}{\frac{v}{g}- \sum_{\vec{k}}\frac{1}{E - \frac{\hbar^2k^2}{m}+\mathrm{i}0^+}} \end{align*}$$

处理方法二: 通过 Feynman 图方法求解 T-matrix

T-matrix 可以看作是有效相互作用, 上图对应为

$$\begin{align} -v_{\mathrm{eff}} = -v + (-v) \frac{1}{\beta}\sum_{\vec{k}} \sum_{\omega'} \left(-G(\omega', \vec{k})\right) \left(-G(\omega-\omega', -\vec{k})\right) \left(-v_{\mathrm{eff}}\right) \end{align}$$

中间格林函数部分可以求得

$$\begin{align} &\sum_{\vec{k}}\sum_{\omega'} \frac{1}{\mathrm{i} \omega' - \frac{k^2}{2m}} \frac{1}{\mathrm{i}\omega -\mathrm{i} \omega' - \frac{k^2}{2m}} \\ =&\sum_{\vec{k}}\sum_{\omega'} \left[\frac{1}{\mathrm{i} \omega' - \frac{k^2}{2m}} +\frac{1}{\mathrm{i}\omega -\mathrm{i} \omega') - \frac{k^2}{2m}}\right] \frac{1}{\mathrm{i}\omega - \frac{k^2}{m}}\\ =& \sum_{\vec{k}} \frac{-\beta n(\frac{k^2}{2m}) -\beta\left[ n(\frac{k^2}{2m}) + 1\right]} {\mathrm{i}\omega - \frac{k^2}{m}} \end{align}$$

当 $T\to 0$ 时, $n(\frac{k^2}{2m}) \to 0$ , 所以就有

$$\begin{align} v_{\mathrm{eff}} = v + v \sum_{\vec{k}} \frac{ 1}{\mathrm{i}\omega - \frac{k^2}{m}} v_{\mathrm{eff}} \end{align}$$

Renormalization

Diverge

下面计算 T-matrix 的具体结果. 计算求和, 可求和化积分

$$\begin{align*} &\sum_{\vec{k}}\frac{1}{E -\frac{\hbar^2k^2}{m}+\mathrm{i}0^+}\\ \approx & \frac{v}{(2\pi)^3}\cdot \int_0^{ + \infty } \mathrm{d}k\cdot 4\pi k^2 \frac{1}{E -\frac{\hbar^2k^2}{m}+\mathrm{i}0^+} \end{align*}$$

被积函数当 $k\to \infty$ 时 $\to \infty$ , 积分线性地发散发散, 此时 $T(E) \to 0$ . 而 T-matrix 与散射振幅, 微分截面之间的关系为( Supplementary 中有推导 )

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \left( \frac{\mu v}{2\pi\hbar^2} \right)^2 |T|^2 = |f(\vec{k}',\vec{k}) |^2 \end{align}$$

两体散射中得到 s 波散射振幅为

$$\begin{align} f_s(\theta) = -\frac{1}{1/a_s +\mathrm{i}k} \end{align}$$

所以散射截面和散射振幅也 $\to 0$ , 也就是没有散射.

Renormalization

没有散射了, 那算了半天不白算了. 不过, 这也是意料之路的发散, 因为之前在 Pseudopotential 一节中就已经得出过结论, 一个简单的 $g\delta^3(\vec{r})$ 形式的势是没法给出低能散射的性质的.

所以, 要对上面的结果进行处理, 方法就是 Renormalization .具体如下.

可以加上一项抵消掉发散, 把发散单独拿出来, 然后对比令发散为一个已知的物理常数. 即

$$\begin{align*} T(E) = \frac{1}{\frac{v}{g}+ \sum_{\vec{k}} \frac{1}{\hbar^2k^2/m}- \sum_{\vec{k}}\left( \frac{1}{E - \frac{\hbar^2k^2}{m}+\mathrm{i}0^+} +\frac{1}{\hbar^2k^2/m} \right)} \end{align*}$$

此时, 求和就不再发散, 可以如下求出

$$\begin{align*} & \sum_{\vec{k}}\left( \frac{1}{E - \frac{\hbar^2k^2}{m}+\mathrm{i}0^+} +\frac{1}{\hbar^2k^2/m} \right) \\ \approx& \frac{v}{(2\pi)^3}\int_0^{ + \infty} \mathrm{d}k \cdot 4\pi k^2\cdot\left( \frac{1}{E - \frac{\hbar^2k^2}{m}+\mathrm{i}0^+} +\frac{1}{\hbar^2k^2/m} \right) \\ = & \frac{v}{(2\pi)^3}\int_0^{ + \infty} \mathrm{d}k \cdot 4\pi \cdot\left(\mathcal{P} \frac{k^2}{E - \frac{\hbar^2k^2}{m}} +\frac{k^2}{\hbar^2k^2/m} \right) -\mathrm{i}\pi k^2 \delta\left( E- \frac{\hbar^2 k^2}{m} \right) \end{align*}$$

先算主值部分( $E > 0$ )

$$\begin{align*} &\int_0^{ + \infty} \mathrm{d}k \cdot \left(\mathcal{P} \frac{k^2}{E - \frac{\hbar^2k^2}{m}} +\frac{k^2}{\hbar^2k^2/m} \right) \\ = & \mathcal{P} \int_0^{ + \infty} \mathrm{d}k \cdot \frac{E}{\hbar^2/m} \cdot(-1) \cdot\left( \frac{1}{\hbar k/\sqrt{m} +\sqrt{E}} +\frac{-1}{\hbar k/\sqrt{m} -\sqrt{E}} \right) \cdot \frac{1}{-2\sqrt{E}} \\ \end{align*}$$

括号中积分为

$$\begin{align*} &\mathcal{P} \int_0^{ + \infty} \mathrm{d}k \cdot\left( \frac{1}{\hbar k/\sqrt{m} +\sqrt{E}} - \frac{1}{\hbar k/\sqrt{m} -\sqrt{E}} \right) \\ =& \ln \left| \hbar k/\sqrt{m} +\sqrt{E} \right|_{k=0}^{k= + \infty} - \ln \left| \hbar k/\sqrt{m} -\sqrt{E} \right|_{k=0}^{k= + \infty} \\ =&0 \end{align*}$$

所以主值部分为 $0$ . 再看虚部的 Dirac Delta 函数. 根据公式

$$\begin{align} \delta[f(x)] = \sum_{x_i} \frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|} \end{align}$$

其中 $x_i$ 为 $f(x)$ 的零点, 即 $f(x_i)=0$ . 可得

$$\begin{align*} \delta(E - \frac{\hbar^2 k^2}{m}) = \frac{\delta (k - \sqrt{\frac{mE}{\hbar^2}}) + \delta (k + \sqrt{\frac{mE}{\hbar^2}}) }{2\hbar \sqrt{E/m}} \end{align*}$$

所以最终有

$$\begin{align*} &\frac{v}{(2\pi)^3}\int_0^{ + \infty} \mathrm{d}k \cdot 4\pi \cdot\left(\mathcal{P} \frac{k^2}{E - \frac{\hbar^2k^2}{m}} +\frac{k^2}{\hbar^2k^2/m} \right) -\mathrm{i}\pi k^2 \delta\left( E- \frac{\hbar^2 k^2}{m} \right) \\ = & -\mathrm{i}\frac{v}{4\pi \hbar^3}m\sqrt{mE} = -\mathrm{i}\frac{vmk}{4\pi\hbar^2} \end{align*}$$

最后一个等号利用了 $k = \sqrt{2\mu E/\hbar^2} =\sqrt{m E/\hbar^2}$ .将以上结果代入 $T(E)$ 的表达式得

$$\begin{align*} T(E) = \frac{1}{\frac{v}{g}+ \sum_{\vec{k}}\frac{1}{\hbar^2k^2/m}+ \mathrm{i}\frac{vmk}{4\pi\hbar^2}} \end{align*}$$

又有

$$\begin{align} \left( \frac{mv}{4\pi\hbar^2} \right)^2 |T|^2 = |f(\vec{k}',\vec{k}) |^2 = \left| -\frac{1}{1/a_s +\mathrm{i}k} \right|^2 \end{align}$$

式其中代入了 $\mu =m/2$. 所以若令

$$\begin{align} \frac{m}{4\pi \hbar^2 a_s} = \frac{1}{g} + \frac{1}{v}\sum_{\vec{k}} \frac{1}{\hbar^2k^2/m} \end{align}$$

那么通过一个 $g\delta^3(\vec{r})$ 形式的势, 就能够给出低能 s 波散射的微分截面和散射振幅.

Supplementary

The Derivative of T-matrix

Intro

现根据将散射问题作为含时微扰的方法推导 T-matirx 的表达式

$$\begin{align} T = V + V \frac{1}{E_i-H_0 +\mathrm{i}0^{ +}} T \end{align}$$

Transition Amplitude

考虑单个粒子在势场 $V(\vec{r})$ 中的运动, Hamiltonian 为

$$\begin{align} H = H_0 + V(\vec{r}) = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} + V(\vec{r}) \end{align}$$

在 Dirac 表象中, 从 $t_0$ 到 $t$ 时刻的演化为

$$\begin{align} |\psi(t)_D\rangle = U_D(t,t_0) | \psi(t_0)_D\rangle \end{align}$$

演化算符由以下运动方程决定

$$\begin{align} \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} U_D(t,t_0) = V_D(t) U_D (t,t_0) \end{align}$$

形式上有迭代解

$$\begin{align} U_D(t,t_0) = 1 + \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_{t_0}^t V_D(t') U_D(t',t_0) \cdot\mathrm{d}t' \end{align}$$

T-matrix 的定义与 Transition Amplitude 有关. Transition Amplitude 就是 Dirac 演化算符在 $H_0$ 的本征态构成的 Hilbert 空间中的矩阵元, 即

$$\begin{align} \langle n |U_D(t,t_0) |i\rangle = \delta_{ni} +\frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \sum_m \langle n | V |m \rangle \int_{t_0}^t e^{\mathrm{i}\omega_{nm}t'} \langle m | U_D(t',t_0)|i \rangle \cdot \mathrm{d} t' \end{align}$$

其中 $|n\rangle, |i\rangle, |m\rangle$ 都是 $H_0$ 的本征态, 对应本征能量为 $E_n, E_i, E_m$ . 同时用了记号 $\omega_{nm} =(E_n-E_m)/\hbar$ . 在第二项中插入了一组 $H_0$ 的一组完备基.

如果将积分中的 $\langle m| U_D(t',t_0)| i \rangle$ 只近似取到首阶, 也就是取 $\langle m| U_D(t',t_0)| i \rangle = \delta_{mi}$ , 那么 Transition Amplitude 就近似为

$$\begin{align} \langle n |U_D(t,t_0) |i\rangle \approx \delta_{ni} +\frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \langle n | V |i \rangle \int_{t_0}^t e^{\mathrm{i}\omega_{ni}t'} \cdot \mathrm{d} t' \end{align}$$

Definition of T-matrix

T-matrix 的定义就是, 如果将上式中的 $\langle n|V| i\rangle$ 换为 T-matrix $\langle n |T |i\rangle$ , 等式就变为严格相等, 也就是说 T-matrix 由下式定义

$$\begin{align} \langle n |U_D(t,t_0) |i\rangle = \delta_{ni} +\frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \langle n | T |i \rangle \int_{t_0}^t e^{\mathrm{i}(\omega_{ni} -\mathrm{i}0^{ + })t'} \cdot \mathrm{d} t' \end{align}$$

加入了收敛因子 $\mathrm{i}0^+$ , 它保证 $t\to \infty$ 时被积函数 $\to 1$ , 而 $t_0\to -\infty$ 时被积函数 $\to 0$ , 关于 $\mathrm{i}0^+$ 更加详细的讨论可以参考另一篇博客 "多体物理读书会：格林函数分母中无穷小的来源" . 以下采用简单记法, 记 $T_{ni} = \langle n | T |i \rangle$

上式中, 当 $t\to \infty, t_0\to -\infty$ 时, Transition Amplitude 就定义为 S-matrix , 即

$$\begin{align} S_{ni} = \langle n| S |i\rangle = \delta_{ni} +\frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \langle n | T |i \rangle \delta(\omega_{ni}) = \delta_{ni} - 2\pi \mathrm{i} \delta(E_n-E_i) T_{ni} \end{align}$$

这样也得了的 S-matrix 和 T-matrix 的关系. 同时, 由于第二项中的 Dirac Delta 函数的存, 只有 $E_n = E_i$ 的 T-matrix 才有实际物理意义. 对于 $E_n = E_i$ 的 T-matrix 称为是 on-shell 的, 因为如果是在 $\vec{k}$ 空间, 能量相同的 $\vec{k}$ 对应于一个球壳.

T-matrix and Cross Section

Physical Meaning of Transition Amplitude

如果问, 假设一个系统在 $t_0$ 时处于某个本征态 $| a \rangle$ , 问在 $t$ 时刻对其进行测量, 处于本征态 $| b \rangle$ 的概率是多少? 答案将是

$$\begin{align} |\langle b | U(t,t_0) | a \rangle|^2 \end{align}$$

如果把 $U$ 换成是 $U_D$ , 结果是一样的, 即

$$\begin{align} |\langle b | U_D(t,t_0) | a \rangle|^2 = \left| e^{\mathrm{i}(E_bt-E_at_0)/\hbar} \langle b| U(t,t_0)|a\rangle \right|^2 = |\langle b | U(t,t_0) | a \rangle|^2 \end{align}$$

所以 Transition Amplitude 的模方就是: 一个系统在 $t_0$ 时处于某个本征态 $| a \rangle$ , 问在 $t$ 时刻对其进行测量, 处于本征态 $| b \rangle$ 的概率.

Transition Rate

Transition rate 定义为

$$\begin{align} \omega(i\to n) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\langle n | U_D(t,-\infty) | i \rangle|^2 \end{align}$$

也就是单位时间的跃迁概率. 当 $i\neq n$ 时, 将 $\langle n | U_D (t,-\infty)| i \rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} T_{ni} \int_{-\infty}^t e^{\mathrm{i}(\omega_{ni} -\mathrm{i}0^{ + })t'} \cdot \mathrm{d} t'$ 代入上式可得

$$\begin{align*} \omega(i\to n) =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{\hbar^2}|T_{ni}|^2 \left|\frac{e^{\mathrm{i}(\omega_{ni}-\mathrm{i}0 ^+ )t}}{\mathrm{i}\omega_{ni} + 0^+} \right|^2 \right]\\ =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{\hbar^2}|T_{ni}|^2 \frac{e^{2\cdot 0^+t}}{\omega_{ni}^2 + 0^{+2}} \right]\\ =& \frac{1}{\hbar^2}|T_{ni}|^2 \frac{2\cdot 0^+e^{2\cdot 0^+t}}{\omega_{ni}^2 + 0^{+2}}\\ = & \frac{2\pi}{\hbar} |T_{ni}|^2 \delta(E_n-E_i) \end{align*}$$

Differential Cross Section

Differential Cross Section 微分截面 $\mathrm{d}\sigma(\theta,\phi)/\mathrm{d}\Omega$ 定义为

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}\sigma(\theta,\phi)}{\mathrm{d}\Omega}\mathrm{d}\Omega = \frac{\mathrm{number \,\,of\, \,particles\, \,scattered\, \,into\,\, d}\Omega /\mathrm{sec} }{\mathrm{number \,\, incident / sec/area \,\,in \,\,the\,\, } \vec{\rho}\,\,\mathrm{plane}} \end{align}$$

其中 $\vec{\rho}$ plane 表示与入射方向垂直的平面. 也就是单位时间出射到 $\mathrm{d}\Omega$ 内的粒子数, 除以, 单位时间单位面积入射的粒子数. 单位时间单位面积入射的粒子数就是流密度.

考虑量子力学中的情形, 粒子数由概率表征, 粒子流密度也对应地用概率流密度.

Number of particles scattered into $\mathrm{d}\Omega$ /sec

接下来考虑 $\vec{k}$ 空间的情形. 三维自由粒子的能量简并的, 同一能量本征值 $E_n$ 可以对应多个 $|\vec{k}\rangle$ .

现在求从 $\vec{k}$ 到 $\vec{k}'$ 的 Transition Rate , 其中 $\vec{k}'$ 的方向限制在了某个立体角 $\mathrm{d}\Omega$ 内, 即

$$\begin{align*} \sum_{\vec{k}'\in \mathrm{d}\Omega}\omega(\vec{k}\to \vec{k}') =& \frac{2\pi}{\hbar}\sum_{\vec{k}'\in \mathrm{d}\Omega} |T_{E_{\vec{k}},E_{\vec{k}'}}|^2 \delta(E_{\vec{k}'}-E_{\vec{k}}) \\ =&\frac{2\pi}{\hbar} |T(E)|^2 \sum_{\vec{k}'\in \mathrm{d}\Omega} \delta(E_{\vec{k}'}-E_{\vec{k}}) \end{align*}$$

其中 $E = \frac{\hbar^2k^2}{2m} = \frac{\hbar^2k'}{2m}$ . 求和如果取遍所有的 $\vec{k}$ , 那么它就是 Density of States 了.

自由粒子的态密度 $\sum_{\vec{k}'}\delta(E_{\vec{k}'}-E_{\vec{k}})$ 可以如下计算. 其物理意义为在 $\vec{k}$ 空间中能量为 $E + \mathrm{d} E$ 的态的个数 $\mathrm{d} N$ 除以 $\mathrm{d} E$ ,即

$$\begin{align*} &\sum_{\vec{k}'}\delta(E_{\vec{k}'}-E_{\vec{k}}) = \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}E}\\ =& \frac{4\pi k^2\mathrm{d}k/(\frac{2\pi}{L})^{3}}{\mathrm{d}E} \\ =& \frac{4\pi k^2\mathrm{d}k/(\frac{2\pi}{L})^3}{\frac{\hbar^2}{2m}\cdot 2k\mathrm{d}k} \\ =& \left(\frac{L}{2\pi}\right)^3 \frac{mk}{\hbar^2}\cdot 4\pi \end{align*}$$

上式中的 $4\pi$ 来自于对 $\vec{k}$ 空间中的一个等能量球面的角度的积分. 计算 Differential Cross Section 只需要得到 $\vec{d}\Omega$ 角度内的概率, 只需要将 $4\pi$ 换成 $\vec{d}\Omega$ 即可.

所以

$$\begin{align*} &\mathrm{number \,\,of\, \,particles\, \,scattered\, \,into\,\, d}\Omega /\mathrm{sec} \\ =& \sum_{\vec{k}'\in \mathrm{d}\Omega}\omega(\vec{k}\to \vec{k}') \\ =& \frac{2\pi}{\hbar} |T(E)|^2\cdot\left(\frac{L}{2\pi}\right)^3 \frac{mk}{\hbar^2} \cdot \mathrm{d}\Omega \end{align*}$$

Number incident /sec/area in the $\vec{\rho}$ plane

接着计算入射的概率流密度

$$\begin{align} \vec{\jmath}(\vec{x},t) = \frac{\hbar}{m} \mathrm{Im} (\psi^{*}\nabla \psi) \end{align}$$

而对于自由平面波有

$$\begin{align} \psi = \frac{1}{L^{3/2}} e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{x} -\mathrm{i}Et/\hbar} \end{align}$$

所以有

$$\begin{align} \mathrm{number \,\, incident / sec/area \,\,in \,\,the\,\, } \vec{\rho}\,\,\mathrm{plane}= j(\vec{k},t) = \frac{\hbar k}{m}\frac{1}{L^3} \end{align}$$

上式中概率流密度的方向已经选定, 只考虑 $\vec{j}(\vec{k},t)$ 其大小即可.

Result

最终得到了 Differential Cross Section

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}\sigma(\theta,\phi)}{\mathrm{d}\Omega} =& \frac{\mathrm{number \,\,of\, \,particles\, \,scattered\, \,into\,\, d}\Omega /\mathrm{sec} }{\mathrm{number \,\, incident / sec/area \,\,in \,\,the\,\, } \vec{\rho}\,\,\mathrm{plane}} \cdot\frac{1}{\mathrm{d}\Omega} \\ =& \frac{\frac{2\pi}{\hbar} |T(E)|^2\cdot\left(\frac{L}{2\pi}\right)^3 \frac{mk}{\hbar^2} \cdot \mathrm{d}\Omega}{\frac{\hbar k}{m}\frac{1}{L^3}} \cdot\frac{1}{\mathrm{d}\Omega} \\ =& \left( \frac{mL^3}{2\pi \hbar^2} \right)^2 |T(E)|^2 \end{align*}$$

Solving for the T-matrix

Intro

前面已知

$$\begin{align} \langle n |U_D(t,-\infty) |i\rangle = \delta_{ni} +\frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \sum_m V_{nm} \int_{-\infty}^t e^{\mathrm{i}\omega_{nm}t'} \langle m | U_D(t',t_0)|i \rangle \cdot \mathrm{d} t' \end{align}$$

上式是一个迭代形式的, 如果进行一次迭代, 并且进行迭代时, $\langle m | U_D(t',t_0)|i \rangle$ 一项用前面的 T-matrix 的形式, 而不是上式本身, 即将下式代入上式

$$\begin{align*} \langle m |U_D(t',-\infty) |i\rangle = & \delta_{mi} + \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} T_{mi} \int_{-\infty}^{t'} e^{\mathrm{i}(\omega_{mi} - \mathrm{i}0 ^+)t''} \cdot \mathrm{d} t'' \\ =& \delta_{mi} + \frac{1}{\hbar} T_{mi} \frac{e^{\mathrm{i}\omega_{mi}t'}}{-\omega_{mi}+ \mathrm{i} 0^+} \end{align*}$$

得到

$$\begin{align*} \langle n |U_D(t,-\infty) |i\rangle =& \delta_{ni} + \frac{1}{\mathrm{i}\hbar} V_{ni} \int_{-\infty}^{t } e^{\mathrm{i}(\omega_{ni} - \mathrm{i}0 ^+)t'} \cdot \mathrm{d} t' \\ &+\frac{1}{\hbar}\frac{1}{\mathrm{i}\hbar} \sum_m V_{nm} \frac{T_{mi}}{-\omega_{mi} + \mathrm{i}0^+} \int_{-\infty}^{t } e^{\mathrm{i}(\omega_{ni}-\mathrm{i} 0 ^+)t'} \cdot \mathrm{d} t' \\ =&\delta_{ni} + \left( V_{ni} + \frac{1}{\hbar} \sum_m V_{nm} \frac{T_{mi}}{-\omega_{mi} + \mathrm{i}0^+} \right) \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_{-\infty}^{t } e^{\mathrm{i}(\omega_{ni} - \mathrm{i}0 ^+)t'} \cdot \mathrm{d} t' \\ \end{align*}$$

对比前面两式可得

$$\begin{align*} T_{ni} = &V_{ni} + \frac{1}{\hbar} \sum_m V_{nm} \frac{T_{mi}}{-\omega_{mi} + \mathrm{i}0^+} \\ =& V_{ni} + \sum_m V_{nm} \frac{T_{mi}}{E_i-E_m + \mathrm{i}0^+} \end{align*}$$

Lippmann-Schwinger Equation

上面的式子可以看成是一个方程组, $T_{ni}$ 可以由已知的矩阵元 $V_{nm}$ 的线性组合得出. 即

$$\begin{align} T_{ni} = \sum_m V_{nm} C_m \end{align}$$

接下来用系数 $C_m$ 构造一个态 $|\psi^+\rangle$ . 选取 $H_0$ 的本征态为基底, 即

$$\begin{align} |\psi^+\rangle = \sum_m C_m |m\rangle \end{align}$$

那么

$$\begin{align} C_m = \langle m | \psi^+\rangle \end{align}$$

将上式代入 $T_{ni}$ 的解得

$$\begin{align} T_{ni} = \sum_m \langle n | V | m \rangle \langle m | \psi^+ \rangle = \langle n | V |\psi^+ \rangle \end{align}$$

可以看出, $|\psi^+ \rangle$ 和 $i$ 有关, 即与入射态有关. 将上式代入前面得到的 T-matrix 的迭代方程, 可得

$$\begin{align} \langle n | V |\psi^+ \rangle = \langle n |V|i\rangle + \sum_m \langle n |V|m\rangle \frac{\langle m | V |\psi^+ \rangle} {E_i-E_m + \mathrm{i}0^+} \end{align}$$

上式对于所有的 $\langle n |$ 都成立, 所以 $\langle n |V$ 可以去掉, 得到

$$\begin{align} |\psi^+ \rangle = |i\rangle + \sum_m |m\rangle \frac{\langle m | V |\psi^+ \rangle} {E_i-E_m + \mathrm{i}0^+} \end{align}$$

$E_m$ 是 $H_0$ 对应本征态 $|m\rangle$ 的本征值, 所以

$$\begin{align} |\psi^+ \rangle =& |i\rangle + \sum_m \frac{1} {E_i-H_0 + \mathrm{i}0^+}|m\rangle\langle m | V |\psi^+ \rangle \\ =& |i\rangle + \frac{1} {E_i-H_0 + \mathrm{i}0^+} V |\psi^+ \rangle \end{align}$$

上式即为 Lippmann-Schwinger Equation .

Another Definition of T-matrix

由于

$$\begin{align} \langle n |T | i \rangle= T_{ni} = \langle n | V |\psi^+ \rangle \end{align}$$

而 $| \psi^+ \rangle$ 可以用 Lippmann-Schwinger Equation 定义, 所以 T-matrxi 也可以用 $| \psi^+ \rangle$ 来定义, 即

$$\begin{align} T|i\rangle = V |\psi^+\rangle \end{align}$$

将 $V$ 从左边作用在 Lippmann-Schwinger Eqaution 可得

$$\begin{align} T = V + V \frac{1}{E_i-H_0 +\mathrm{i} 0^{ + }} T \end{align}$$

上式已经将右边的 $|i\rangle$ 省略. 这样就得到了 T-matrix 的一个简单明了的迭代方程.

The Scattering Amplitude

将　Lippmann-Schwinger Equation 投影到坐标表象. 考虑到 $H_0$ 在能量的本征表象对角, $V$ 是 local 的, 所以插入两组能量表象的完备基和一组坐标表象完备基, 就变成

$$\begin{align} \langle \vec{r}_1|\psi^+ \rangle = \langle \vec{r}_1 |i\rangle + \int \mathrm{d}^3 \vec{r}_2 \sum_{\vec{q}_1 \vec{q}_2}\langle \vec{r}_1 |\vec{q}_1 \rangle \langle \vec{q}_1 | \frac{1} {E_i-H_0 + \mathrm{i}0^+} |\vec{q}_2\rangle \langle \vec{q}_2 | \vec{r}_2\rangle \langle \vec{r}_2 | V |\psi^+ \rangle \end{align}$$

能量的本征波函数 $\langle \vec{r} |\vec{k}\rangle = \psi_{\vec{k}}(\vec{r}) = e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{r}}$ 代入上式得

$$\begin{align} \langle \vec{r}_1|\psi^+ \rangle = \langle \vec{r}_1 |i\rangle + \frac{2m}{\hbar^2} \int \mathrm{d}^3 \vec{r}_2 \sum_{\vec{q}} \frac{e^{\mathrm{i}\vec{q}\cdot(\vec{r}_1-\vec{r}_2)}}{k^2-q_2 + \mathrm{i} 0^+} \cdot \langle \vec{r}_2 | V |\psi^+ \rangle \end{align}$$

求和的部分即为 Green's Function , 可以由留数定理得出

$$\begin{align} G_+(\vec{r}_1, \vec{r}_2) = \sum_{\vec{q}} \frac{e^{\mathrm{i}\vec{q}\cdot(\vec{r}_1-\vec{r}_2)}}{k^2-q_2 + \mathrm{i} 0^+} = -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{\mathrm{i}q r_{12}}}{r_{12}} \end{align}$$

其中 $r_{12} = |\vec{r}_1- \vec{r}_2|$ . 代回前一式

$$\begin{align} \langle \vec{r}_1|\psi^+ \rangle = \langle \vec{r}_1 |i\rangle - \frac{1}{4\pi} \frac{2m}{\hbar^2} \int \mathrm{d}^3 \vec{r}_2 \frac{e^{\mathrm{i}q r_{12}}}{r_{12}} \cdot V(\vec{r}_2) \langle \vec{r}_2 |\psi^+ \rangle \end{align}$$

在离散射中心很远的地方, 即 $|\vec{r}_1| \gg |\vec{r}_2|$ 时, 可做小量近似

$$\begin{align} r_{12} = \sqrt{ r_1^2 +r_2^2 -2 \vec{r}_1\cdot \vec{r}_2 } \approx r_1 - \frac{\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2}{r_1} \end{align}$$

所以

$$\begin{align} e^{\mathrm{i}q r_{12}} \sim e^{\mathrm{i}q r_1} \cdot e^{-\mathrm{i}\vec{q}\cdot \vec{r}_2} \end{align}$$

其中 $\vec{q}$ 的方向与 $\vec{r}_2$ 方向相同.

所以

$$\begin{align} \langle \vec{r}_1|\psi^+ \rangle \sim & \langle \vec{r}_1 |i\rangle - \frac{1}{4\pi} \frac{2m}{\hbar^2} \int \mathrm{d}^3 \vec{r}_2 \frac{e^{\mathrm{i}q r_{1}}}{r_{12}}\cdot e^{-\mathrm{i}\vec{q}\cdot \vec{r}_2} \cdot V(\vec{r}_2) \langle \vec{r}_2 |\psi^+ \rangle \\ =& \frac{1}{L^{3/2}} \left[ e^{\mathrm{i} \vec{k} \vec{r}_1} + \frac{e^{\mathrm{i}q r_{1}}}{r_{12}} \cdot f(\vec{q},\vec{k}) \right] \end{align}$$

其中

$$\begin{align} f(\vec{q}, \vec{k}) = -\frac{1}{4\pi}\frac{2m}{\hbar^2} L^3 \langle \vec{q} | V | \psi ^+ \rangle \end{align}$$

而

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}\sigma(\theta,\phi)}{\mathrm{d}\Omega} =& \left( \frac{mL^3}{2\pi \hbar^2} \right)^2 |T(E)|^2\\ =& \left( \frac{mL^3}{2\pi \hbar^2} \right)^2 |\langle n | V| \psi^+ \rangle|^2 \end{align*}$$

对比以上两式可得

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = |f(\vec{q},\vec{k})|^2 \end{align}$$

Reference

所有内容基于 Ran Qi 老师上课的笔记

J. J Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics 2ed:

Chap 2.2 The Schrodinger Versus Heisenberg Picture - Base Kets and Transition Amplitudes
Chap 5.7 Time-Dependent Perturbation Theory
Chap 6.1 Scattering as a Time-Dependent Perturbation
Chap 6.2 the Scattering Amplitude

R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics 2ed:

Chap 19.2 Recapitulation of One-Dimensional Scattering and Overview
Chap 19.4 Born Again (The Time-Independent Description)

前置技能

主值积分
Dirac 表象

两体散射

2019-04-03T00:00:00+08:00

Scattering Length

Schrodinger EQ

Equation

两体运动的相对运动的 Schrodinger 方程为

$$\begin{align} \left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 + V(r) -E\right]\psi = 0 \end{align}$$

变形为

$$\begin{align} \nabla^2 \psi = \left[ \frac{2\mu}{\hbar^2} V(r) - k^2 \right]\psi \end{align}$$

其中 $k^2 = E/\frac{\hbar^2}{2\mu}$ . 写出 $\nabla^2$ 在球坐标系中的形式, 方程变为

$$\begin{align} \left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2 \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r^2\sin^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \right] \psi = \left[ \frac{2\mu}{\hbar^2} V(r) - k^2 \right]\psi \end{align}$$

分离变量

分离变量, 令

$$\begin{align} \psi(r,\theta,\phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \end{align}$$

代回方程, 并且两边同时除以 $R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$ 可得

$$\begin{align} \frac{1}{R}\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}r^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} R+ \frac{1}{\Theta}\frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\sin \theta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\Theta +\frac{1}{\Phi} \frac{1}{r^2\sin^2 \theta}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\varphi^2}\Phi = \frac{2\mu}{\hbar^2} V(r) - k^2 \end{align}$$

所有含有 $\varphi$ 的项都在方程左边第三项, 与 $r,\theta$ 没有耦合, 所以它一定是一个常数. 因为其它的项中都与 $\theta$ 无关, $\theta$ 改变时其它项保持不变. 记这个常数为 $-m^2$ 即

$$\begin{align} \frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\varphi^2}\Phi = -m^2 \end{align}$$

将它代回原方程, 原方程变为

$$\begin{align} \frac{1}{R}\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}r^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} R+ \frac{1}{\Theta}\frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\sin \theta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\Theta - \frac{m^2}{r^2\sin^2 \theta} = \frac{2\mu}{\hbar^2} V(r) - k^2 \end{align}$$

$\theta$ 和 $r$ 也没有耦合, 同理可以把与 $\theta$ 有关的项单拎出来, 是一个常数, 记为 $-\lambda$ ,即

$$\begin{align} \frac{1}{\Theta}\frac{1}{ \sin \theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\sin \theta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\Theta - \frac{m^2}{\sin^2 \theta} = -\lambda \end{align}$$

上述关于 $\theta$ 的方程的解是连带 Legendre 多项式 $P_l^m(\cos\theta)$, 本征值 $\lambda$ 只能取值为 $l(l+1)$ , $l$ 是个整数. 如果 $m=0$ ,解则是一个 Legendre 多项式. Supplementary 中用 Frobenius 方法(即级数解法) 求解 $m= 0$ 的情况.

剩下的只有 $r$ 的方程为

$$\begin{align} \frac{1}{R}\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}r^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} R = \frac{2\mu}{\hbar^2} V(r) - k^2 +\frac{l(l + 1)}{r^2} \end{align}$$

即

$$\begin{align} \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}r^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} R -\left[ \frac{2\mu}{\hbar^2} V(r) - k^2 +\frac{l(l + 1)}{r^2}\right]R =0 \end{align}$$

它的一般解的形式是球 Bessel 函数.

$m`0$ and $l`0$

由于散射势 $V(r)$ 是球对称的, 那么其波函数应该沿入射方向是轴对称的. 选取入射方程是 $z$ 方向, 那么角动量在 $z$ 方向上动量为 $0$ (可与经典散射类比). 也就是说 $m 0$ . 在　$m0$ 的情况下，　本征波函数的形式为

$$\begin{align} \psi = R_{kl}(r) P_l(\cos \theta) \end{align}$$

对于径向关于　$r$ 方程可以做变量代换

$$\begin{align} R_{kl}(r) = \frac{\chi_{kl}(r)}{kr} \end{align}$$

设入射波函数为 $\Psi$ ,它可以是不同分波的本征波函数的任意叠加, 即

$$\begin{align} \Psi = \sum_{l = 0}^{+\infty} \frac{\chi_{kl}(r)}{kr}P_l(\cos\theta) \end{align}$$

径向方程为

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}\chi -\left[ \frac{2\mu}{\hbar^2} V(r) - k^2 +\frac{l(l + 1)}{r^2}\right]\chi =0 \end{align}$$

以下只关心 s 波散射, 也就是 $l=0$ ,方程化为

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}\chi =\left[ \frac{2\mu}{\hbar^2} V(r) - k^2 \right]\chi \end{align}$$

Scattering Length

考虑有限力程的散射, 也就是 $V(r>r_0)=0$ .因此, 对于力程之外, 方程化为

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}\chi =- k^2 \chi \end{align}$$

其中 $k^2 = E/\frac{\hbar^2}{2\mu}$ ,很明显, $E>0$ , 是一个散射态. 容易解得

$$\begin{align} \chi_k(r>r_0) = A \sin (kr +\delta_{k}) \end{align}$$

在 $r=r_0$ 处的 $r$ 连接条件为

$$\begin{align} \left.\frac{\chi'(r>r_0)}{\chi(r>r_0)}\right|_{r=r_0} = \frac{k\cos(kr_0 +\delta_k)}{\sin(kr_0\delta_{k})} = \left.\frac{\chi'(r < r_0)}{\chi(r < r_0)}\right|_{r=r_0} \end{align}$$

低能散射下, $kr_0\approx 0$ ,取 $kr_0$ 的 Leading order,

$$\begin{align} \left.\frac{\chi'(r>r_0)}{\chi(r>r_0)}\right|_{r=r_0} \approx \frac{k}{\tan \delta_k} \end{align}$$

用以下极限定义散射长度 $a_s$

$$\begin{align} \lim_{k\to 0}\frac{k}{\tan \delta_k} = -\frac{1}{a_s} \end{align}$$

取极限时, 相当于极限的分子分母的 Leading order 系数之比. 如果取到更高阶, 第二阶为 effective range $r_{\mathrm{eff}}$

$$\begin{align} \frac{k}{\tan \delta_k} = -\frac{1}{a_s} + \frac{1}{2} ** r_{\mathrm{eff}}k^2 \end{align}$$

低能散射时, 如果波函数也只取到 $k$ 的 Leading order

$$\begin{align} \chi(r>r_0) \propto& \sin(kr+\delta_k) \approx \sin \delta_k + kr\cos \delta_k \\ &\propto 1+ \frac{k}{\tan\delta_k}r = 1-\frac{r}{a_s} \end{align}$$

Square Well and Shallow Bound State

求有限深球方势阱的散射长度随势阱深度的变化, 以及束缚态能量.

球方势阱

$$\begin{align*} V(r) = \left\{ \begin{aligned} 0 & , r > r_0 \\ -V_0 & , r < r_0 \end{aligned} \right. \end{align*}$$

定态 Schrodinger 方程解的形式为

$$\begin{align*} \psi(r,\theta,\varphi) = \frac{\chi _l(r)}{r}Y_l^m(\theta,\varphi) \end{align*}$$

对于 $l=0$ 的 s 分波, 其径向波函数满足

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}\chi_r = -\frac{2\mu}{\hbar^2}[E-V(r)]\chi(r) \end{align*}$$

对于 $E>0$ 的散射态, 当 $r > r_0$ 时的径向解为

$$\begin{align*} \chi(r>r_0)\propto \sin(k r + \delta_k) \end{align*}$$

其中 $k = \frac{\sqrt{2\mu E}}{\hbar}$ . 当 $r < r_0$ 时

$$\begin{align*} \chi(r < r_0) \propto \sin(\kappa r) \end{align*}$$

其中 $\kappa = \frac{\sqrt{2\mu(E+V_0)}}{\hbar}$ . 在 $r=r_0$ 处的连接条件为

$$\begin{align*} \left.\frac{\chi'(r>r_0)}{\chi(r > r_0)}\right|_{r=r_0} = k \frac{\cos(kr_0+\delta_k)}{\sin(kr_0+\delta_k)} = \left.\frac{\chi'(r < r_0)}{\chi(r < r_0)}\right|_{r=r_0} = \frac{\kappa}{\tan(\kappa r_0)} \end{align*}$$

由上式可解得

$$\begin{align*} \frac{\tan(\delta_k)}{k} = \frac{k \tan(\kappa r_0)\cos(kr_0)-\kappa \sin(kr_0)} {\kappa k + k \tan(\kappa r_0)\sin(kr_0)} \end{align*}$$

由散射长度的定义可得

$$\begin{align*} -\frac{1}{a_s} =& \lim_{k\to0} \frac{k}{\tan(\delta_k)} \\ =&\lim_{k\to0}\frac{\kappa k + k \tan(\kappa r_0)\sin(kr_0)}{k \tan(\kappa r_0)\cos(kr_0)-\kappa \sin(kr_0)} \\ =&\frac{1}{\frac{\tan(\kappa_0 r_0)}{\kappa_0}-r_0} \end{align*}$$

其中 $\kappa_0 \kappa|_{k0} = \frac{\sqrt{2\mu V_0}}{\hbar}$ . 所以

$$\begin{align*} a_s = r_0 - \frac{\tan(\kappa_0r_0)}{\kappa_0} \end{align*}$$

无量纲化

$$\begin{align*} \tilde{a}_s = 1 - \frac{\tan(\sqrt{\tilde{V}_0})}{\sqrt{\tilde{V}_0}} \end{align*}$$

其中 $\tilde{a}_s = \frac{a_s}{r_0}$ , $\tilde{V}_0 = \frac{V_0}{\hbar^2/(2\mu r_0^2)}$ . 对于 $-V_0 < E_b < 0$ 的束缚态

$$\begin{align*} \begin{cases} \chi(r > r_0)\propto& e^{-k'r} \\ \chi(r < r_0)\propto& \sin (\kappa r) \end{cases} \end{align*}$$

其中 $k' = \frac{\sqrt{2\mu(-E_b)}}{\hbar}$ . 类似地, 由 $r = r_0$ 处的连接条件得

$$\begin{align*} -k' = \frac{\kappa}{\tan(\kappa r_0)} \end{align*}$$

无量纲化的结果为

$$\begin{align*} -\sqrt{-\tilde{E}_b} = \frac{\sqrt{\tilde{E}_b+\tilde{V}_0}}{\tan(\sqrt{\tilde{E}_b+\tilde{V}_0})} \end{align*}$$

其中 $\tilde{E}_b = \frac{E_b}{\hbar^2/(2\mu r_0^2)}$ . $k'$ 在 $E_b$ 很小下的行为

$$\begin{align*} k'= \frac{\sqrt{2\mu(-E_b)}}{\hbar}\sim-\frac{\kappa_0}{\tan(\kappa r_0)} = \frac{1}{a_s - r_0} \end{align*}$$

可以看出, 只有当 $a_s>0$ 时才可能有解. 且在 $a_s\gg r_0$ 时有

$$\begin{align*} E_b \sim -\frac{\hbar^2}{2\mu a_s^2} \end{align*}$$

无量纲化的结果为

$$\begin{align*} \tilde{E}_b \sim -\frac{1}{\tilde{a}_s^2} \end{align*}$$

散射长度随势阱深度的变化, 以及低能束缚态在 $a_s\gg r_0$ 时的渐进行为如图所示

file:./2019-04-03-physics-两体散射/Figure_1.eps

file:./2019-04-03-physics-两体散射/scatterlength.py

Partial-Wave Expansion

Expansion of plane waves in spherical harmonics

为讨论分波展开做准备, 先讨论将平面波用 Legendre 函数展开.

考虑沿 $\vec{k}$ 方向传播的平面波, 其波函数为(未归一的) $e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{r}} = e^{\mathrm{i}kr\cos\theta}$ . 其中 $r = |\vec{r}|$ .如果选取平面波的传播方向为 $z$ 方向, 即 $\vec{k} = k \hat{z}$ , 那么平面波就可以写为 $e^{\mathrm{i}kz}$ .

前面已经讨论过, 对于有心力场的 Schrodinger 方程, 其角向的解是连带 Legendre 函数. 我们考虑的平面波取了传播方向为 $z$ 方向, 那么角动量的 $z$ 分量就是零, 这时, 连带 Legendre 函数中 $m=0$ ,角向解就变为 Legendre 方程.

Legendre 多项 $P_l(\cos\theta)$ 式在 $\cos\theta\in [-1,1]$ 上构成一组完备正交基, 正交完备关系如下

$$\begin{align} \int_{-1}^1 P_l(\cos\theta) P_{l'}(\cos\theta) \cdot \mathrm{d}\cos\theta = \delta_{l,l'}\cdot\frac{2}{2l+1} \end{align}$$

将平面波用 Legendre 多项式展开

$$\begin{align} e^{\mathrm{i}kr\cos\theta} = \sum_{l=0}^{\infty} C_l\cdot P_l(\cos\theta) \end{align}$$

将等式两边乘上 $P_{l'}(\cos\theta)$ 再积分, 利用正交归一性可求得展开系数 $C_l$

$$\begin{align} C_l = \frac{2l+1}{2}\int_{-1}^1 e^{\mathrm{i}kr\cos\theta} P_l(\cos\theta) \cdot \mathrm{d}\cos\theta \end{align}$$

我们需要的是在 $r\to\infty$ 时的结果, 因此只需要展开系数 $C_l$ 在 $r\to\infty$ 时的渐进结果, 也就是只保留 Leading order . 对上式中的积分用分部积分法

$$\begin{align*} & \int_{-1}^1 e^{\mathrm{i}krt} P_l(t) \cdot \mathrm{d}t \\ =&\frac{1}{\mathrm{i}kr} \int_{-1}^1 P_l(t) \cdot \mathrm{d}e^{\mathrm{i}krt} \\ =& \left.\frac{1}{\mathrm{i}kr}e^{\mathrm{i}krt} P_l(t)\right|_{-1}^1 -\frac{1}{\mathrm{i}kr}\int_{-1}^1 e^{\mathrm{i}krt} P'_l(t) \cdot \mathrm{d}t \\ =& \left.\frac{1}{\mathrm{i}kr}e^{\mathrm{i}krt} P_l(t)\right|_{-1}^1 +\frac{1}{(kr)^2}\left[ \left.e^{\mathrm{i}krt} P'_l(t)\right|_{-1}^1 -\int_{-1}^1 e^{\mathrm{i}krt} P''_l(t) \cdot \mathrm{d}t \right]\\ =& \frac{1}{\mathrm{i}kr}\left( e^{\mathrm{i}kr}-e^{-\mathrm{i}kr} e^{\mathrm{i}\pi l} \right) + \mathcal{O}\left(\frac{1}{(kr)^2}\right) \\ =& \frac{2\mathrm{i}^l}{kr}\sin(kr-\frac{1}{2}\pi l) + \mathcal{O}\left(\frac{1}{(kr)^2}\right) \end{align*}$$

其中利用了 $P_l(1)1$ 和 $P_l(-1)(-1)^l =e^{\mathrm{i}\pi l}$. 所以展开系数为

$$\begin{align} C_l \sim \frac{(2l+1)\mathrm{i}^l}{kr}\sin(kr-\frac{1}{2}\pi l) P_l(\cos\theta) \quad \quad \mathrm{as} \quad r \to \infty \end{align}$$

那么就求得了平面波展开

$$\begin{align} e^{\mathrm{i}kr\cos\theta} \sim& \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(2l+1)\mathrm{i}^l}{kr}\sin(kr-\frac{1}{2}\pi l) \cdot P_l(\cos\theta)\\ =& \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(2l+1)}{2\mathrm{i}kr}\left( e^{\mathrm{i}kr}-e^{-\mathrm{i}kr} e^{\mathrm{i}\pi l} \right) P_l(\cos\theta)\quad \quad \mathrm{as}\quad r \to \infty\cdot \end{align}$$

Wave Function as $r \to \infty$

设入射波函数为 $\Psi$ ,它可以是不同分波的本征波函数的任意叠加, 即

$$\begin{align} \Psi = \sum_{l = 0}^{+\infty} \frac{\chi_{kl}(r)}{kr}P_l(\cos\theta) \end{align}$$

径向方程为

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}\chi -\left[ \frac{2\mu}{\hbar^2} V(r) - k^2 +\frac{l(l + 1)}{r^2}\right]\chi =0 \end{align}$$

它在 $r\to\infty$ 时的解为

$$\begin{align} \Psi \sim& \sum_{l = 0}^{ + \infty} A_{l}\frac{1}{kr}\sin(kr-l\pi/2 + \delta_l)P_l(\cos\theta) \\ =& \sum_{l = 0}^{ + \infty} A_{l}\frac{1}{2\mathrm{i}kr} \left[ e^{\mathrm{i}(kr-\pi l/2 +\delta_{l})} -e^{-\mathrm{i}(kr-\pi l/2 +\delta_{l})} \right]P_l(\cos\theta) \end{align}$$

同时, 当 $r\to\infty$ 时, 波函数可以写成入射平面波和散射波叠加的形式

$$\begin{align} \Psi \sim e^{\mathrm{i}kz} +f(\theta)\frac{e^{\mathrm{i}kr}}{r} \quad \quad \mathrm{as}\quad r\to \infty \end{align}$$

将前面平面波的展开式代入上式得

$$\begin{align} \Psi \sim \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(2l+1)}{2\mathrm{i}kr}\left( e^{\mathrm{i}kr}-e^{-\mathrm{i}kr} e^{\mathrm{i}\pi l} \right) P_l(\cos\theta) +f(\theta)\frac{e^{\mathrm{i}kr}}{r} \end{align}$$

Partial-Wave Expansion

比较下列两式

$$\begin{align} \Psi \sim& \sum_{l = 0}^{ + \infty} A_{l}\frac{1}{2\mathrm{i}kr} \left[ e^{\mathrm{i}(kr-\pi l/2 +\delta_{l})} -e^{-\mathrm{i}(kr-\pi l/2 +\delta_{l})} \right]P_l(\cos\theta)\\ \Psi \sim& \sum_{l=0}^{\infty}\left[ \frac{(2l+1)}{2\mathrm{i}kr}\left( e^{\mathrm{i}kr}-e^{-\mathrm{i}kr} e^{\mathrm{i}\pi l} \right) P_l(\cos\theta)\right] +f(\theta)\frac{e^{\mathrm{i}kr}}{r} \end{align}$$

对比 $e^{-\mathrm{i}kr}$ 的系数

$$\begin{align} \sum_{l = 0}^{ + \infty} A_{l}\frac{1}{2\mathrm{i}kr} e^{-\mathrm{i}(kr-\pi l/2 +\delta_{l})}P_l(\cos\theta) =\sum_{l=0}^{\infty} \frac{(2l+1)}{2\mathrm{i}kr}e^{-\mathrm{i}kr} e^{\mathrm{i}\pi l} P_l(\cos\theta) \end{align}$$

可得

$$\begin{align} A_l = \mathrm{i}^l (2l+1)e^{\mathrm{i}\delta_l} \end{align}$$

对比 $e^{\mathrm{i}kr}$ 的系数

$$\begin{align} \sum_{l = 0}^{ + \infty} A_{l}\frac{1}{2\mathrm{i}kr} e^{\mathrm{i}(kr-\pi l/2 +\delta_{l})} P_l(\cos\theta) = \sum_{l=0}^{\infty}\left[ \frac{(2l+1)}{2\mathrm{i}kr} e^{\mathrm{i}kr} P_l(\cos\theta)\right] +f(\theta)\frac{e^{\mathrm{i}kr}}{r} \end{align}$$

可得

$$\begin{align} f(\theta) = \sum_{l = 0}^{ + \infty} \frac{2l+1}{2\mathrm{i}k} \left(e^{\mathrm{i}\cdot2\delta_{l}} -1\right) P_l(\cos\theta) \end{align}$$

$l=0$

当 $l=0$ 时

$$\begin{align} f_s(\theta) = \frac{e^{2\mathrm{i}\delta_l}-1}{2\mathrm{i}k} = -\frac{1}{\mathrm{i}k-k/\tan\delta} = -\frac{1}{1/a_s +\mathrm{i}k} \end{align}$$

Supplementary

Reference

Arfken, Weber, Harris, Mathematical Methods for Physicists 7ed:

Chap 7.5 Series Solutions-Frobenius' Methods
Example 8.3.1 Legendre Equation
Chap 9.4 Separation of Variables, Spherical Polar Coordinates
Chap 15.2 Orthogonality (Legendre Functions)

C. J. Pethick, H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases

Chap 5.2 Basic Scattering Theory

http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph215/PlaneWaveExpansion.pdf

积分练习

2019-03-18T00:00:00+08:00

问题

做积分

$$\begin{align*} A =& \int_{-1}^1 \mathrm{d}x \int_0^1 \mathrm{d}p \cdot \delta (\omega-\delta+\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}q^{2}-pqx)p^2 \\ =& \int_{-1}^1 \mathrm{d}x \int_0^1 \mathrm{d}p \cdot \delta (\frac{1}{2}p^2-pqx+g)p^2 \end{align*}$$ $$\begin{align*} B =& \int_{-1}^1 \mathrm{d}x \int_0^1 \mathrm{d}p \cdot \mathcal{P} \frac{p^2}{\omega-\delta+\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}q^{2}-pqx}\\ =& \int_{-1}^1 \mathrm{d}x \int_0^1 \mathrm{d}p \cdot \mathcal{P} \frac{p^2}{\frac{1}{2}p^2-pqx+g}\\ \end{align*}$$

其中 $g= \omega-\delta+\frac{1}{2}q^2$

结果

Dirac Delta 部分

$$\begin{align*} A = \int_{-1}^1\mathrm{d}x \cdot \frac{1}{|r_1-r_2|}\left\{ \theta(-g)\theta(\frac{1+2g}{2q}-x)r_1^2 +\theta(g)\theta(x-\frac{\sqrt{2g}}{q})\theta(x)\left[ \theta( \frac{1+2g}{2q}-x) r_1^2 +r_2^2\right] \right\} \end{align*}$$

其中

$$\begin{align*} r_1 =& qx + \sqrt{(qx)^2-2g}\\ r_2 =& qx - \sqrt{(qx)^2-2g} \end{align*}$$

Cauchy Principal Value 部分

化简主值部分

$$\begin{align*} \frac{p^2}{\frac{1}{2}p^2-pqx+g} =2 + \frac{-2g}{\frac{1}{2}p^2-pqx+g} + 2qx \frac{p}{\frac{1}{2}p^2-pqx+g} \end{align*}$$

则

$$\begin{align*} B =&\int_{-1}^1 \mathrm{d}x \cdot \left\{ 2 + \left[ \theta(g)\theta(\frac{\sqrt{2g}}{q}-x)\left( \frac{-4g}{2g-(qx)^2} \arctan t|_{\frac{-qx}{\sqrt{2g-(qx)^2}}} ^{\frac{1-qx}{\sqrt{2g-(qx)^2}}} + 2qx\ln\left[ \frac{1}{2}p^2-qxp + g \right]_{p=0}^{p=1} \right)\right]\right. \\ &\left. + \left[ \theta(-g) +\theta(g)\theta(x-\frac{\sqrt{2g}}{q}) \right]\cdot \left\{ \frac{-2g}{r_1-r_2}\ln \left|\frac{r_2(1-r_1)}{r_1(1-r_2)}\right| +\frac{2qx}{r_1-r_2}\left( r_1\ln\left|\frac{1-r_1}{r_1}\right|-r_2\ln\left|\frac{1-r_2}{r_2} \right| \right)\right\} \right\} \end{align*}$$

特例

$$\begin{align*} \int_{-1}^1 \mathrm{d}x \int_0^1\mathrm{d}p \cdot \mathcal{P} \frac{p}{p^2-x^2} =\ln 4 \end{align*}$$

Rabi's Formula (update 15/Apr/2020)

2019-03-06T00:00:00+08:00

Statement of the Problem

二能级系统的 Hamiltonian

$$\begin{align*} H = H_0 + V \end{align*}$$

$H_0$ 的两个本征态为 $|1\rangle ,\,|2\rangle$ . 在这两个本征态组成的 Hilbert 空间写出 Hamiltonian 的矩阵形式

$$\begin{align*} H = \pmatrix{E_1 & 0 \\0 & E_2} + \pmatrix{0 & V_{12} \\ V_{21} & 0} \end{align*}$$

其中 $V_{12}=V_{21}^{*} = \gamma e^{\mathrm{i}\omega t}$ 在 Dirac Representation 中, $t$ 时刻处于态 $|\psi(t) \rangle_D = c_1(t) |1\rangle +c_2(t)|2\rangle$ ,且 $c_1(0) = 1, \quad c_2(0) = 0$

其中$|\psi(t) \rangle_D = e^{-\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}H_0t}|\psi(t)\rangle$ , 求 $c_1(t),\quad c_2(t)$

Dirac Representation

$$\begin{align*} \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}c_1(t) &= \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle 1 |\psi(t)\rangle_D \\ &= \langle 1|\cdot\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle_D \end{align*}$$

而 Dirac Representation 中的运动方程

$$\begin{align*} \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle _D = V_D |\psi(t)\rangle_D \end{align*}$$

所以

$$\begin{align*} \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}c_1(t) &= \langle 1 |V_D |\psi(t)\rangle_D \end{align*}$$

插入一组完备基

$$\begin{align*} \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}c_1(t) =& \langle 1 |V_D \cdot \left( |1 \rangle\langle 1| + |2\rangle\langle 2| \right) \cdot |\psi(t)\rangle_D \\ =&e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(E_1-E_1)t}V_{11} c_1(t) +e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(E_1-E_2)t}V_{12} c_2(t) \end{align*}$$

其中

$$\begin{align*} V_{11}=& \langle 1| V_D |1\rangle \\ V_{12}=& \langle 1 |V_D | 2\rangle \end{align*}$$

同理可得 $c_2(t)$ 的微分方程

若记 $(E_n-E_m)/\hbar =\omega_{nm}$ , 则最终得到一个微分方程组

$$\begin{align*} \mathrm{i}\hbar\dot{c}_1 = V_{11} c_1 + e^{\mathrm{i}\omega_{12}t}V_{12} c_2 \\ \mathrm{i}\hbar \dot{c}_2 =e^{\mathrm{i}\omega_{21}t} V_{21} c_1 + V_{22} c_2 \end{align*}$$

求解微分方程组

化简

对于这个问题, $V_{11} = V_{22} 0$ , $V_{12}V_{21}^{*} = \gamma e^{\mathrm{i}\omega t}$ ,所以

$$\begin{align*} \mathrm{i}\hbar\dot{c}_1 = e^{\mathrm{i}\omega_{12}t}V_{12} c_2 \\ \mathrm{i}\hbar\dot{c}_2 =e^{\mathrm{i}\omega_{21}t} V_{21} c_1 \end{align*}$$

即

$$\begin{align*} \mathrm{i}\hbar\dot{c}_1 =& \gamma e^{\mathrm{i}(\omega-\omega_{21})t} c_2 \tag{1}\\ \mathrm{i}\hbar\dot{c}_2 =&\gamma e^{-\mathrm{i}(\omega-\omega_{21})t} c_1\tag{2} \end{align*}$$

求解

$(2)$ 移项得

$$\begin{align*} c_1 =\frac{\mathrm{i}\hbar}{\gamma}e^{\mathrm{i}(\omega-\omega_{21})t} \dot{c}_2 \end{align*}$$

两边对 $t$ 求导

$$\begin{align*} \dot{c}_1 =\frac{\mathrm{i}\hbar}{\gamma}e^{\mathrm{i}(\omega-\omega_{21})t} [\mathrm{i}(\omega-\omega_{21})\dot{c}_2 +\ddot{c}_2] \tag{3} \end{align*}$$

将 $(1)$ 式代入 $(3)$ 式得

$$\begin{align*} \frac{\gamma}{\mathrm{i}\hbar} e^{\mathrm{i}(\omega-\omega_{21})t} c_2 =\frac{\mathrm{i}\hbar}{\gamma}e^{\mathrm{i}(\omega-\omega_{21})} [\mathrm{i}(\omega-\omega_{21})\dot{c}_2 +\ddot{c}_2] \end{align*}$$

整理成标准形式

$$\begin{align*} \ddot{c}_2 + \mathrm{i}(\omega-\omega_{21})\dot{c}_2 + \frac{\gamma^2}{\hbar^2}c_2 =0 \end{align*}$$

其解的形式为

$$\begin{align*} c_2(t) = e^{-\frac{\mathrm{i}}{2}(\omega-\omega_{21})t} \left(Ae^{\mathrm{i}\Omega t} + B e^{-\mathrm{i}\Omega t} \right) \tag{4} \end{align*}$$

其中

$$\begin{align*} \Omega = \sqrt{\frac{(\omega-\omega_{21})^2}{4}+\frac{\gamma^2}{\hbar^2}} \end{align*}$$

$(4)$ 式代入 $(2)$ 式得

$$\begin{align*} c_1(t)=\frac{\mathrm{i}\hbar}{\gamma}e^{\mathrm{i}(\omega-\omega_{21})t} \cdot e^{-\frac{\mathrm{i}}{2}(\omega-\omega_{21})t}\left[ -\frac{i}{2}(\omega-\omega_{21})\left(Ae^{\mathrm{i}\Omega t} + B e^{-\mathrm{i}\Omega t} \right) + \mathrm{i}\Omega\left(Ae^{\mathrm{i}\Omega t} - B e^{-\mathrm{i}\Omega t} \right)\right]\tag{5} \end{align*}$$

将初值条件 $c_1(0) = 1, \quad c_2(0) = 0$ 代入 $(4), (5)$ 式得

$$\begin{align*} A+B =& 0 \\ \frac{\mathrm{i}\hbar}{\gamma}\cdot \mathrm{i}\Omega(A-B) =&1 \end{align*}$$

解得

$$\begin{align*} A =& -\frac{\gamma}{2\hbar\Omega} \\ B =& \frac{\gamma}{2\hbar\Omega} \end{align*}$$

将系数 $A,\,B$ 的结果代入 $(4) ,\,(5)$ 式得

$$\begin{align*} c_2(t) =& -\frac{\mathrm{i}\gamma}{\hbar\Omega} e^{-\frac{\mathrm{i}}{2}(\omega-\omega_{21})t} \sin(\Omega t) \\ c_1(t) =&-\frac{\mathrm{i}}{2\Omega}(\omega-\omega_{21})e^{\frac{\mathrm{i}}{2}(\omega-\omega_{21})t}\sin (\Omega t) + e^{\frac{\mathrm{i}}{2}(\omega-\omega_{21})t}\cos (\Omega t) \end{align*}$$

取模方有

$$\begin{align*} |c_2(t)|^2 = \frac{1}{1+\frac{\hbar^2(\omega-\omega_{21})^2}{4\gamma^2}}\sin^2\left( \Omega t \right) \end{align*}$$

Results

code

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib import animation

N = 1000

gamma = 1

t = np.linspace(0,16,N)

def c2(omega):
    Omega = np.sqrt( (omega-1)**2/4 + gamma )
    c2 = 1/( 1+(omega-1)**2/(4*gamma**2) ) \
        *np.sin(Omega*t)**2
    ax.set_xticks([np.pi/Omega, 2*np.pi/Omega, \
                   3*np.pi/Omega, 4*np.pi/Omega, \
                   5*np.pi/Omega])
    ax.set_xlim(0,4*np.pi/Omega)
    return c2

fig, ax = plt.subplots()
line, = ax.plot(t,c2(1))

#ax3 = fig.add_axes([0.1, 0.1, 0.8, 0.8])



def init():
    line.set_ydata(c2(1))
    return line

def animata(i):
    line.set_ydata(c2(1+.01*i))
#    ax.text(1+0.1*i,1,'x')
    return line

ani = animation.FuncAnimation(fig=fig, func=animata, \
                              frames=400, interval=20)

ax.set_xlabel('$t$')
ax.set_ylabel('$|c_2(t)|^2$')
ax.set_title('Plot of $|c_2(t)|^2$ at $\omega = \omega_{21}$ to $\omega =5 \omega_{21}$')

ax.set_yticks([0,0.2,0.5,1])

ax.set_xticklabels(['$\pi/\Omega$', '$2\pi/\Omega$', \
                    '$3\pi/\Omega$', '$4\pi/\Omega$', \
                    '$5\pi/\Omega$'])
ani.save('fig.gif',writer='imagemagick')
plt.show()

figure

./2019-03-06-physics-RabiFormula/fig.mp4

总结

如果取 $\hbar = 1$ , 记 detuning $\Delta = \omega-\omega_{21}$ , 那么对于一个二能级系统的(含时) 微扰

$$\begin{align} V_{12} = \gamma e^{\mathrm{i}\omega t} \end{align}$$

在 Dirac 表象(态矢中去除了 $H_0$ 的演化)中

$$\begin{align} c_2(t) =& -\frac{\mathrm{i}\gamma}{\Omega} e^{-\frac{\mathrm{i}}{2}\Delta t} \sin(\Omega t) \end{align}$$ $$\begin{align} |c_2(t)|^2 = \left(\frac{\gamma}{\Omega}\right)^2\sin^2\left( \Omega t \right) \end{align}$$

其中 Rabi frequency $\Omega$ ( $|c_2(t)|^2$ 以 $2\Omega$ 为角频率振荡) 为

$$\begin{align} 2\Omega = \sqrt{\Delta^2+(2\gamma)^2} \end{align}$$

可以看出, detuning 越大, Rabi frequency 越大, $|c_2(t)|^2$ 振幅越小.这是当然的, 失谐大了, 耦合就弱, 因为初态取了 $c_2(0)=0$ .

Reference

http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/Quantum/node113.html

J. J. Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics 2nd

Cold Atom Physics Note: Energy Structure of Rb87 in Magnetic Field

2019-03-04T00:00:00+08:00

Hamiltonian

Nuclear Spin $I$ , orbital angular momentum $L$ , and $spin$ is

$$\begin{align*} I =& \frac{3}{2} \\ L =& 0 \\ S =& \frac{1}{2} \\ \end{align*}$$

Hamiltonian is

$$\begin{align*} H_S =& A \vec{I} \cdot \vec{J} + C J_z +D I_z \\ =& A \left[ I_z J_z + \frac{1}{2}(I_{ +}J_- +I_-J_{ +}) \right] + C J_z + D I_z \end{align*}$$ $$\begin{align*} |1\rangle =& |\frac{3}{2},\frac{1}{2}\rangle \\ |2\rangle =& |\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle \\ |3\rangle =& |-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle \\ |4\rangle =& |-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\rangle \\ |5\rangle =& |\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\rangle \\ |6\rangle =& |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle \\ |7\rangle =& |-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle \\ |8\rangle =& |-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\rangle \\ \end{align*}$$

Hamiltonian in the Hilbert space spaned by above kets is

	$\mid 1 \rangle$	$\mid 2 \rangle$	$\mid 3 \rangle$	$\mid 4 \rangle$	$\mid 5 \rangle$	$\mid 6 \rangle$	$\mid 7 \rangle$	$\mid 8 \rangle$
$\langle 1 \mid$	$\frac{3}{4}A+\frac{1}{2}C+\frac{3}{2}D$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$\langle 2 \mid$	$0$	$\frac{1}{4}A+\frac{1}{2}C+\frac{1}{2}D$	$0$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{2}A$	$0$	$0$	$0$
$\langle 3 \mid$	$0$	$0$	$-\frac{1}{4}A+\frac{1}{2}C-\frac{1}{2}D$	$0$	$0$	$A$	$0$	$0$
$\langle 4 \mid$	$0$	$0$	$0$	$-\frac{3}{4}A+\frac{1}{2}C-\frac{3}{2}D$	$0$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{2}A$	$0$
$\langle 5 \mid$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{2}A$	$0$	$0$	$-\frac{3}{4}A-\frac{1}{2}C+\frac{3}{2}D$	$0$	$0$	$0$
$\langle 6 \mid$	$0$	$0$	$A$	$0$	$0$	$-\frac{1}{4}A-\frac{1}{2}C+\frac{1}{2}D$	$0$	$0$
$\langle 7 \mid$	$0$	$0$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{2}A$	$0$	$0$	$\frac{1}{4}A-\frac{1}{2}C-\frac{1}{2}D$	$0$
$\langle 8 \mid$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$\frac{3}{4}A-\frac{1}{2}C-\frac{3}{2}D$

Numerical Results

Python code

import numpy as np
import sympy as sym
from matplotlib import pyplot as plt

# Hamiltonian is H = a*I*J + c*J_z + d*I_z
a = 4000000

def H(B):
    c = 4000*B
    d = 4*B

    H = np.zeros([8,8])      #Hamiltonian in direct production Hilbert space

    H[0,0] =  3/4*a +  1/2*c +  3/2*d
    H[7,7] =  3/4*a -  1/2*c -  3/2*d

    H[1,1] =  1/4*a +  1/2*c +  1/2*d
    H[2,2] = -3/4*a -  1/2*c +  3/2*d
    H[1,2] =  np.sqrt(3)/2*a
    H[2,1] = H[1,2]

    H[3,3] = -1/4*a +  1/2*c -  1/2*d
    H[4,4] = -1/4*a -  1/2*c +  1/2*d
    H[3,4] =  a
    H[4,3] = H[3,4]

    H[5,5] = -3/4*a +  1/2*c -  3/2*d
    H[6,6] =  1/4*a -  1/2*c -  1/2*d
    H[5,6] =  np.sqrt(3)/2*a
    H[6,5] = H[5,6]
#    np.set_printoptions(precision=1)
    [x,y] = np.linalg.eig(H)  #Diagnolization the Hamiltonian
    x = np.sort(x)
    return x

N = 2000
bmax = 5000        #the upper limit of magnetic field
b = np.linspace(0,bmax,N)
E = np.zeros([8,N])  #the eight eigenvaluses of energy , as a function of magnetic field
for i in range(8):
    for j in range(N):
        E[i,j] = H(b[j])[i]
    plt.plot(b,E[i])

plt.show()

#+RESULTS: : None

Results

Reference

C. J. Pethick, H. Smith, Bose-Einstein Codensation in Dilute Gases

Carl Bender Mathematical Physics Lecture1 Note

2019-03-03T00:00:00+08:00

Information

Vidoes: https://www.youtube.com/playlist?list=PLzcd6SoIscwjHuWRE38UXWG92uq0Sy4UF
Book: Carl M. Bender, Steven A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I Asympotic Methods and Perturbation Theory, 1999

1

微扰求解 Hard Problem 的步骤

1. 使某一项成为微扰 $\epsilon$ 2. 将无微扰的解加上修正后代回方程, 逐项对应求解 3. 将所有的项加进来.

1. Convert the original problem into a perturbation problem by introducing the small parameter $\epsilon$ . 2. Assume an expression for the answer in the form of a perturbation series and compute the coefficients of that series. 3. Recover the answer to the original problem by summing the perturbation series for the appropriate value of $\epsilon$ .

Symbols

- $\sim$ : 'is asympotic to' \begin{align*} f(x) \sim g(x) \quad (x \to x_0) \end{align*} means \begin{align*} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \end{align*}

- $\ll$ : 'is negligible compared with' \begin{align*} f(x) \ll g(x) \quad (x \to x_0) \end{align*} means \begin{align*} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \end{align*}

Method of Dominant Balance

求方程

$$\begin{align*} \epsilon x^5 +x = 1 \end{align*}$$

的解在 $\epsilon \to 0$ 时, 行为.

Neglect 1

$$\begin{align*} \epsilon x^5 \sim -x \end{align*}$$

得到

$$\begin{align*} x \sim \frac{(-1)^{1/4}}{\epsilon^{1/4}} \end{align*}$$

是复平面上四个在无穷远的解. $1$ 相比无穷大, 可以忽略, 不矛盾.

Neglect $x$

$$\begin{align*} \epsilon x^5 \sim 1 \end{align*}$$

得到

$$\begin{align*} x \sim \frac{1^{1/5}}{\epsilon^{1/5}} \end{align*}$$

这里无穷大的 $x$ 相比于 $1$ 是不可忽略的. 矛盾

Neglect $\epsilon x^5$

$$\begin{align*} x \sim 1 \end{align*}$$

那么

$$\begin{align*} \epsilon x^5 \sim \epsilon\cdot 1 \ll 1 \end{align*}$$

可以忽略.

RF谱PRA文献重复

2019-02-21T00:00:00+08:00

Model 部分

Hamiltonian 为

$$\begin{align*} H =& \sum_{k,\sigma}\varepsilon_{k,\sigma} a_{k,\sigma}^{\dagger} a_{k,\sigma} + \sum_k (\varepsilon_{k,b}+\delta)b_k^{\dagger}b_k \\ & + \frac{\lambda}{\sqrt{\Omega}} \sum_{p,q}(b_{p+q}^{\dagger}a_{p,1}a_{q,2}+\mathrm{H.c.}) \end{align*}$$

前两项是原子和分子态的能量, 最后一项是态 1, 2 和分子态之间的耦合项. 其中

$$\begin{align*} \varepsilon_{k,\sigma} =& \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - \mu_{\sigma} \\ \varepsilon_{k,b} =& \frac{\hbar^2 k^2}{4m} - \mu_1 -\mu_2 \\ \mu_1 =& \mu_3 = \mu ,\quad \mu_2 =0 \end{align*}$$

将耦合部分简记为

$$\begin{align*} \Lambda = \sum_{p,q}(b_{p+q}^{\dagger}a_{p,1}a_{q,2}+\mathrm{H.c.}) \end{align*}$$

微扰为

$$\begin{align*} V = \sum_k(a_{k,2}^{\dagger}a_{k,3} e^{-\mathrm{i} \omega't}+a_{k,3}^{\dagger}a_{k,2}e^{\mathrm{i}\omega't}) \end{align*}$$

Sum rules 部分

假设

假设系统的基态为 1 和 3 态的费米海

$$\begin{align*} |GS\rangle = |F \rangle = \prod_{k< k_F} a_{k,1}^{\dagger} a_{k,3}^{\dagger} |0\rangle \end{align*}$$

Transition rate form 3 to 2

$$\begin{align*} I(\omega) =& 2\pi \sum_f |\langle GS |V |f \rangle|^2 \delta(\omega+\mu -E_f +E_0) \\ =& 2 \sum_f |\langle GS |V |f \rangle|^2 \mathrm{Im}\frac{1}{\omega +\mu -E_f +E_0 -\mathrm{i}0^{ +}} \\ \propto &\mathrm{Im} \sum_f \langle GS |V \frac{1}{\omega +\mu -E_f +E_0 -\mathrm{i}0^{ +}} |f \rangle\langle f| V^{\dagger} |GS\rangle \\ =& \mathrm{Im} \langle GS |V \frac{1}{\omega +\mu -H +E_0 -\mathrm{i}0^{ +}} V^{\dagger} |GS\rangle \\ =& \mathrm{Im} \langle GS |V \frac{1}{\omega - \bar{H}} V^{\dagger} |GS\rangle \end{align*}$$

其中

$$\begin{align*} \bar{H} = H -E_0 -\mu \end{align*}$$

第二个等号用到了 Dirac Identity

$$\begin{align*} \frac{1}{x - x_0 \pm \mathrm{i}0^+} = \mathcal{P}\frac{1}{x-x_0} \mp \mathrm{i}\pi\delta(x-x_0) \end{align*}$$

零温公式推导

考虑中间态 $|n\rangle$ 有两种

$$\begin{align*} |q \rangle =& a_{q,2}^{\dagger} a_{q,3}| F\rangle \quad(q< k_F)\\ |p,q \rangle =& b_{p+q}^{\dagger} a_{p,1} a_{q_3}|F \rangle \quad(p,q< k_F) \end{align*}$$

耦合作用到中间态上的结果为

$$\begin{align*} \Lambda |q \rangle =& \sum_p |p,q\rangle \\ \Lambda |p,q\rangle =& |q \rangle \end{align*}$$

作用是在两种中间态之间切换, 则 $\bar{H}$ 在空间中的矩阵元为

$$\begin{align*} \langle q |\bar{H} |q \rangle =& \varepsilon_{q,2} -\varepsilon_{q,3} - \mu = 0 \\ \langle p,q|\bar{H} |p,q \rangle =& \delta + \varepsilon_{p+q,b} - \varepsilon_{p,1}-\varepsilon_{q,3}-\mu \\ \langle q| \bar{H}|p,q\rangle =& \langle p,q |\bar{H} | q\rangle = \lambda/\sqrt{\Omega} \end{align*}$$

Transition rate form 3 to 2 在上述空间中为

$$\begin{align*} I(\omega) \propto \mathrm{Im}\sum_{n,n'} \langle GS| V | n \rangle \langle n| \frac{1}{\omega-\bar{H}} | n'\rangle \langle n' V^{\dagger}|GS\rangle \end{align*}$$

将耦合 $\lambda/\sqrt{\Omega}\Lambda$ 看作小量,即 $\bar{H}= \bar{H_0}+\lambda/\sqrt{\Omega}\Lambda$ , 可做如下展开

$$\begin{align*} \frac{1}{\omega-\bar{H}} &=\frac{1}{\omega - \bar{H_0}-\lambda/\sqrt{\Omega}\Lambda}\\ =& \frac{1}{\omega - \bar{H_0}}\cdot \left( \frac{1}{1- \frac{\lambda}{\sqrt{\Omega}}\frac{1}{\omega-\bar{H_0}}\Lambda} \right) \\ =& \frac{1}{\omega - \bar{H_0}}\cdot \sum_m \left( \frac{\lambda}{\sqrt{\Omega}}\frac{1}{\omega-\bar{H_0}}\Lambda \right)^m \\ \end{align*}$$

而且将微扰 $V$ 的表达式代入有

$$\begin{align*} \langle GS| V |n\rangle = \sum_q e^{\mathrm{i}\omega't}\delta_{n,q}\\ \langle n'| V |GS\rangle = \sum_{q'} e^{-\mathrm{i}\omega't}\delta_{n',q'}\\ \end{align*}$$

所以

$$\begin{align*} I(\omega) \propto& \mathrm{Im}\sum_{q,q'} \langle q| \frac{1}{\omega-\bar{H}} | q'\rangle \\ =&\mathrm{Im}\sum_{q,q'} \langle q|\frac{1}{\omega - \bar{H_0}}\cdot \sum_m \left( \frac{\lambda}{\sqrt{\Omega}}\frac{1}{\omega-\bar{H_0}}\Lambda \right)^m | q'\rangle \\ \end{align*}$$

由前面得出的耦合 $\Lambda$ 作用在中间态上的结果可知, 耦合作用奇数次会由于正交性使结果为 $0$ ( $\bar{H_0}$ 为本征态), 所以 $m$ 只能取偶数. 而且不同的 $|q\rangle$ 也是正交的, 所以

$$\begin{align*} I(\omega) \propto& \mathrm{Im}\sum_q \langle q|\frac{1}{\omega - \bar{H_0}}\cdot \sum_m \left( \frac{\lambda}{\sqrt{\Omega}}\frac{1}{\omega-\bar{H_0}}\Lambda \right)^{2m} | q\rangle \\ =& \mathrm{Im}\sum_q \langle q|\frac{1}{\omega - \bar{H_0}}\cdot \sum_m \left( \frac{\lambda^2}{\Omega}\frac{1}{\omega-\bar{H_0}}\Lambda\frac{1}{\omega-\bar{H_0}}\Lambda \right)^m | q\rangle \\ =& \mathrm{Im}\sum_q \langle q|\frac{1}{\omega - \bar{H_0}}\cdot \frac{1}{1- \frac{\lambda^2}{\Omega}\frac{1}{\omega-\bar{H_0}}\Lambda\frac{1}{\omega-\bar{H_0}}\Lambda } | q\rangle \\ =& \mathrm{Im}\sum_q \langle q|\frac{1}{\frac{1}{\omega - \bar{H_0}}- \frac{\lambda^2}{\Omega}\Lambda\frac{1}{\omega-\bar{H_0}}\Lambda } | q\rangle \\ =& \mathrm{Im}\sum_{q< q_F}\frac{1}{\omega+ \mu +\varepsilon_{q,3}-\varepsilon_{q,2}-\lambda^2 \theta(q,\omega)} \end{align*}$$

其中

$$\begin{align*} \theta(q,\omega) = \frac{1}{\Omega} \sum_{p< k_F} \frac{1}{\omega+ \mu + \varepsilon_{q,3}+\varepsilon_{p,1} - \varepsilon_{p+q,b}-\delta} \end{align*}$$

零温数值

化简公式

$$\begin{align*} \mu + \varepsilon_{q,3} -\varepsilon_{q,2} = 0 \end{align*}$$

所以

$$\begin{align*} I(\omega) \propto & \mathrm{Im} \sum_{q< q_{F}} \frac{1}{\omega -\lambda^2 \theta(q,\omega)} \\ =& \sum_{q< k_F} \frac{\lambda^2\mathrm{Im}\theta(q,\omega)}{\left[ \omega - \lambda^2 \mathrm{Re}\theta(q,\omega) \right]^2 + \left[ \lambda^2 \mathrm{Im}\theta(q,\omega) \right]^2} \end{align*}$$

而

$$\begin{align*} \theta(q,\omega) =& \frac{1}{\Omega}\sum_{p< k_F} \frac{1}{\omega + \frac{\hbar^2}{4m}\left( p-q\right)^2-\delta} \end{align*}$$

无量纲化

对以下量进行无量纲化:

$$\begin{align*} \tilde{\omega} = \frac{\omega}{\varepsilon_F} ;\quad \tilde{\delta} = \frac{\delta}{\varepsilon_F} ;\quad \tilde{p} = \frac{p}{k_F} ;\quad \\ \tilde{q} = \frac{q}{k_F}; \quad \tilde{\lambda}^2 = \frac{\lambda^2}{\Omega \varepsilon_F^2} \end{align*}$$

原式就变为

$$\begin{align*} \theta(\tilde{q},\tilde{\omega}) =& \frac{1}{\Omega \varepsilon_F} \sum_{\tilde{p}< 1} \frac{1}{\tilde{\omega} + \frac{1}{2}(\tilde{p}-\tilde{q})^2 -\tilde{\delta} } \\ =&\frac{1}{\Omega\varepsilon_F}(B+ \mathrm{i}A) \end{align*}$$

其中

$$\begin{align*} A =& \pi \sum_{\tilde{p}< 1} \delta\left( \tilde{\omega}-\tilde{\delta} + \frac{1}{2}(\tilde{p}-\tilde{q})^2 \right) \\ B =& \sum_{\tilde{p} < 1} \mathcal{P}\frac{1}{\tilde{\omega}-\tilde{\delta} + \frac{1}{2}(\tilde{p}-\tilde{q})^2 } \end{align*}$$

Transition rate 就记为:

$$\begin{align*} \varepsilon_F I(\tilde{\omega}) =\sum_{\tilde{q}< 1} \frac{ \tilde{\lambda}^2A}{\left( \tilde{\omega} -\tilde{\lambda}^2 B\right)^2+\tilde{\lambda}^4 A^2} \end{align*}$$

数值处理

Dirac Delta 函数和主值分别用其极限形式:

$$\begin{align*} \delta(x) =& \frac{1}{\pi} \lim_{b\to 0}\frac{b}{b^2+x^2} \\ \mathcal{P}\frac{1}{x} =& \lim_{b\to 0}\frac{x}{b^2+x^2} \end{align*}$$

计算中 $b=0.0001$ .

求和近似为从 $0$ 到 $1$ 的积分.

数值取值为

$$\begin{align*} \tilde{\lambda} = 1 \end{align*}$$

结果

code


import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import integrate

# 定义变量
l = 1 # lambd_tilde

#画图的精度
N = 1000

# 定义delta函数
def delta(x):
    b = .0001
    f = b/(b**2 + x**2)/np.pi
    return f
# 定义主值函数
def pv(x):
    b = 0.0001
    f = x/(b*2 + x**2)
    return f


# 定义最终想要得到的函数
def I(o,d):

    def I(q):#定义没有积分的结果

        def A(q):#定义theta的虚部
            def A(p):
                x = o + (p-q)**2/2 - d
                A =np.pi * delta(x)
                return A
            (fres,err) = integrate.quad(A,0,1)
            return fres

        def B(q):#定义theta的实部
            def B(p):
                x = o + (p-q)**2/2 - d
                B = pv(x)
                return B
            (fres,err) = integrate.quad(B,0,1)
            return fres

        I = l**2*A(q) / ( (o-l**2*B(q))**2 + l**4*A(q)**2 )
        return I

    (fres,err) = integrate.quad(I,0,1)#对其积分,即得到最终结果
    return(fres)



#画图的横坐标omega从-2取到2
omega = np.linspace(-2,2,N)

C = 33 # 画C根线
#求出想要的函数在横坐标取值区间内的结果
I_omega = np.linspace(0,0,N)

for j in range (C):
    d = j-(C-1)/2
    d = d/2 #间距是分母分之一
    for i in range(N):
        I_omega[i-1] = I(omega[i-1],d)
        print(d)
        print(i-1)
    plt.plot(omega,I_omega+100*j, label='d= %.2f' %(d) , color='gray')

#plt.legend()

plt.show()

fig

结果如图

[[file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/fig4a.jpeg]] 图中从上到下, $\tilde{\delta}$ 在区间 $[8,-8]$ 每间隔 $0.5$ 取一个值.

上图的峰一些尖. 如果 Dirac delta 函数中的参数 $b$ 取得更大一些, 图就会平滑一些.

下图是 $b=0.5$ 时的结果. 为了直观,线的间距也由 $100$ 改为 $10$ .

[[file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/fig4a_b=.5.jpeg]]

eps矢量图: [[file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/fig4a.eps]]

零温解析

推导回顾

原公式为:

$$\begin{align*} I(\omega) \propto \mathrm{Im}\sum_{q< q_F}\frac{1}{\omega+ \mu +\varepsilon_{q,3}-\varepsilon_{q,2}-\lambda^2 \theta(q,\omega)} \end{align*}$$

其中

$$\begin{align*} \theta(q,\omega) = \frac{1}{\Omega} \sum_{p< k_F} \frac{1}{\omega+ \mu + \varepsilon_{q,3}+\varepsilon_{p,1} - \varepsilon_{p+q,b}-\delta} \end{align*}$$

进行化简, 首先在这个系统中有如下关系

$$\begin{align*} \mu + \varepsilon_{q,3} -\varepsilon_{q,2} = 0 \end{align*}$$

所以原式可以化为:

$$\begin{align*} I(\omega) \propto \sum_{q< k_F} \frac{\lambda^2\mathrm{Im}\theta(q,\omega)}{\left[ \omega - \lambda^2 \mathrm{Re}\theta(q,\omega) \right]^2 + \left[ \lambda^2 \mathrm{Im}\theta(q,\omega) \right]^2} \end{align*}$$

其中

$$\begin{align*} \theta(q,\omega) =& \frac{1}{\Omega}\sum_{p< k_F} \frac{1}{\omega + \frac{\hbar^2}{4m}\left( p-q\right)^2-\delta} \end{align*}$$

对以下量进行无量纲化:

原式就变为

$$\begin{align} \varepsilon_F I(\tilde{\omega}) =\sum_{\tilde{q}< 1} \frac{ \tilde{\lambda}^2A}{\left( \tilde{\omega} -\tilde{\lambda}^2 B\right)^2+\tilde{\lambda}^4 A^2} \end{align}$$

其中

$$\begin{align} A =& \pi \sum_{\tilde{p}< 1} \delta\left( \tilde{\omega}-\tilde{\delta} + \frac{1}{2}(\tilde{p}-\tilde{q})^2 \right) \\ B =& \sum_{\tilde{p} < 1} \mathcal{P}\frac{1}{\tilde{\omega}-\tilde{\delta} + \frac{1}{2}(\tilde{p}-\tilde{q})^2 } \end{align}$$

解析计算

求和化积分

$$\begin{align*} A \approx& \pi \frac{Vk^3_F}{(2\pi)^3} \int_{|\tilde{p}| < 1}\mathrm{d}^3\tilde{p} \cdot \delta\left( \tilde{\omega}-\tilde{\delta} + \frac{1}{2}(\tilde{p}-\tilde{q})^2 \right) =\pi \frac{Vk^3_F}{(2\pi)^3} a\\ B \approx& \frac{Vk^3_F}{(2\pi)^3} \int_{|\tilde{p}| < 1}\mathrm{d}^3\tilde{p} \cdot\mathcal{P}\frac{1}{\tilde{\omega}-\tilde{\delta} + \frac{1}{2}(\tilde{p}-\tilde{q})^2 } = \frac{Vk^3_F}{(2\pi)^3} b \end{align*}$$

解析的计算积分 $a$ 和 $b$

$$\begin{align*} a =&2\pi \int_{-1}^{1}\mathrm{d}x \int_0^1\mathrm{d}\tilde{p} \cdot \delta\left( \tilde{\omega}-\tilde{\delta} + \frac{\tilde{p}^2}{2} +\frac{\tilde{q}^2}{2} -\tilde{p}\tilde{q}x \right) \tilde{p}^2\\ b =&2\pi\int_{-1}^{1}\mathrm{d}x \int_0^1\mathrm{d}\tilde{p} \cdot\mathcal{P}\frac{1}{\tilde{\omega}-\tilde{\delta} + \frac{\tilde{p}^2}{2} +\frac{\tilde{q}^2}{2} -\tilde{p}\tilde{q}x }\tilde{p}^2 \end{align*}$$

积分 $a$ 是一个对 $\delta$ 函数在 $[0,1]$ 区间内的积分. 所以要对 $\delta$ 函数内的部分分情况讨论.

如果 $\tilde{\omega}-\tilde{\delta} + \frac{\tilde{p}^2}{2} +\frac{\tilde{q}^2}{2} -\tilde{p}\tilde{q}x = 0$ 没有根, 那么积分 $a=0$ . 如果有根, 记两个根为 $r_1, r_2$ , 那么积分 $a$ 化为

$$\begin{align*} a =&2\pi\int_{-1}^{1}\mathrm{d}x \int_0^1\mathrm{d}\tilde{p} \cdot \delta\left[ (\tilde{p}-r_1)(\tilde{p}-r_2) \right] \tilde{p}^2 \\ =&2\pi\frac{1}{|r_1-r_2|} \int_{-1}^{1}\mathrm{d}x \int_0^1\mathrm{d}\tilde{p} \cdot \left[ \delta(\tilde{p}-r_1) +\delta(\tilde{p}-r_2) \right] \tilde{p}^2 \end{align*}$$

积分 $b$ 是一个对主值的积分,也需要分情况讨论.

如果 $\tilde{\omega}-\tilde{\delta} +\frac{\tilde{p}^2}{2} +\frac{\tilde{q}^2}{2} -\tilde{p}\tilde{q}x =0$ 没有根, 那么它就可以当做普通的积分

$$\begin{align*} b =&\int_0^1\mathrm{d}\tilde{p} \cdot \frac{1}{\tilde{\omega}-\tilde{\delta} + \frac{1}{2}(\tilde{p}-\tilde{q})^2 } \\ =&\frac{1}{\tilde{\omega}-\tilde{\delta}} \int_0^1 \mathrm{d}\tilde{p} \cdot \frac{1}{1+\left( \frac{\tilde{p}- \tilde{q}}{ \sqrt{2(\tilde{\omega} -\tilde{\delta})} } \right)^2} \\ =&\frac{1}{\tilde{\omega}-\tilde{\delta}} \cdot \left[ \arctan(t) \right]_{t==\frac{-\tilde{q}}{ \sqrt{2(\tilde{\omega} -\tilde{\delta})} }} ^{t=\frac{1-\tilde{q}}{ \sqrt{2(\tilde{\omega} -\tilde{\delta})} }} \end{align*}$$

如有两个根 $r_1, r_2$ 那么

$$\begin{align*} b =&\int_0^1\mathrm{d}\tilde{p} \cdot \mathcal{P} \frac{1}{(\tilde{p}-r_1)(\tilde{p}-r_2)} \\ =&\frac{1}{r_1-r_2}\int_0^1\mathrm{d}\tilde{p} \cdot\left[ \mathcal{P} \frac{1}{\tilde{p}-r_1}-\mathcal{P}\frac{1}{\tilde{p}-r_2}\right] \end{align*}$$

两个根 $r_1, r_2$ 是否在积分区间 $[0,1]$ 之间也会对积分 $a, b$ 的结果有影响.

根据根的情况讨论积分结果

$$\begin{align} \tilde{\omega}-\tilde{\delta} +\frac{1}{2}(\tilde{p}-\tilde{q})^2 = 0 \end{align}$$

如果有根, 记 $r_1 = \tilde{q} + \sqrt{2(\tilde{\delta}-\tilde{\omega})}, r_1 = \tilde{q} + \sqrt{2(\tilde{\delta}-\tilde{\omega})}$ . 当 $\tilde{p}, \tilde{\omega}$ 取不同的值时, 根的情况如图

file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/root.png

no root 时

$$\begin{align*} a =&0 \\ b = &\frac{1}{\tilde{\omega}-\tilde{\delta}} \cdot \left[ \arctan(t) \right]_{t==\frac{-\tilde{q}}{ \sqrt{2(\tilde{\omega} -\tilde{\delta})a} }} ^{t=\frac{1-\tilde{q}}{ \sqrt{2(\tilde{\omega} -\tilde{\delta})} }} \end{align*}$$

$r_1, r_2 \in [0,1]$ 时

$$\begin{align*} a =& \frac{1}{ \sqrt{2(\tilde{\delta}-\tilde{\omega})} } \\ b =& \frac{1}{r_1-r_2} \ln \frac{ (1-r_1)r_2 }{ (1-r_2)r_1 } \end{align*}$$

$r_1\in [0,1]$ 和 $r_2 \in [0,1]$ 时

$$\begin{align*} a =& \frac{1}{2 \sqrt{2(\tilde{\delta}-\tilde{\omega})} } \\ b =& \frac{1}{r_1-r_2} \ln \frac{ -(1-r_1)r_2 }{ (1-r_2)r_1 } \end{align*}$$

$r_1, r_2 \notin [0,1]$ 时

$$\begin{align*} a =&0 \\ b =& \frac{1}{r_1-r_2} \ln \frac{ (1-r_1)r_2 }{ (1-r_2)r_1 } \end{align*}$$

代回原式

$$\begin{align*} \varepsilon_F I(\tilde{\omega}) =&\sum_{\tilde{q}< 1} \frac{ \tilde{\lambda}^2A}{\left( \tilde{\omega} -\tilde{\lambda}^2 B\right)^2+\tilde{\lambda}^4 A^2} \\ \approx& \int_0^1 \mathrm{d}\tilde{q}\cdot \frac{ \tilde{\lambda}^2 \pi A}{\left( \frac{(2\pi)^3}{Vk_F}\tilde{\omega} -\tilde{\lambda}^2 B\right)^2+\tilde{\lambda}^4 \pi^2 A^2} \end{align*}$$

积分和结果

code

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import integrate

l = 1                           # 定义变量

def delta(x):
    b = .01
    f = b/(b**2 + x**2)/np.pi
    return f

def I(o,d):
    def I(q):
        r1 = q + np.sqrt( 2*(d-o) )
        r2 = q - np.sqrt( 2*(d-o) )

        a1 = 0                  # 无根
        b1 = 1/(o-d) * ( \
                         np.arctan( (1-q)/np.sqrt( 2*(o-d) )  ) - \
                         np.arctan( ( -q)/np.sqrt( 2*(o-d) )  ))

        a2 = 1/np.sqrt( 2*(d-o) ) # 根都在积分区间内
        b2 = 1/(r1-r2)*np.log( ( (1-r1)*r2 )/ \
                               ( (1-r2)*r1 ) )

        a3 = .5/np.sqrt( 2*(d-o) ) # 一内一外
        b3 = 1/(r1-r2)*np.log(-( (1-r1)*r2 )/ \
                               ( (1-r2)*r1 ) )

        a4 = 0                   # 都在外
        b4 = b2

        if o>d:
            A, B = a1, b1
            case = 1
        elif o>(d-q**2/2) and o>(d-(1-q)**2/2):
            A, B = a2, b2
            case = 2
        elif o>(d-q**2/2) or o>(d-(1-q)**2/2):
            A, B = a3, b3
            case = 3
        else:
            A, B = a4, b4
            case = 4

        if case == 2 or case == 3:
            I = l**2*A / ( (o-l**2*B)**2 + l**4*A**2 )
        else:
            I = delta(o - l**2*B)
        return I
    (fres, err) = integrate.quad(I, 0, 1)
    return fres




N = 1000
#画图的横坐标omega从-2取到2
omega = np.linspace(-2,2,N)

C = 33 # 画C根线
#求出想要的函数在横坐标取值区间内的结果
I_omega = np.linspace(0,0,N)

for j in range (C):
    d = j-(C-1)/2
    d = d/2 #间距是分母分之一
    for i in range(N):
        I_omega[i-1] = I(omega[i-1],d)
        print(d)
        print(i-1)
    plt.plot(omega,I_omega+j*10, label='d= %.2f' %(d) , color='gray')


plt.show()

fig

有限温公式推导

2 粒子的松原函数(有自能修正)

$$\begin{align*} G_2(k, \mathrm{i} \omega_2) =& \frac{1}{G_2^0(k,\mathrm{i}\omega_2)^{-1} -\lambda^2 \Sigma (k, \mathrm{i}\omega_2)} \\ =& \frac{1}{\mathrm{i}\omega_2 - \epsilon_{k,2} -\lambda^2 \Sigma (k, \mathrm{i}\omega_2)} \end{align*}$$

3 粒子的松原函数(无相互作用)

$$\begin{align*} G_3^0(k,\mathrm{i}\omega_3) = \frac{1}{\mathrm{i}\omega_3 - \epsilon_{k,3}} \end{align*}$$

代入总的松原函数

$$\begin{align*} R(k , \mathrm{i}\omega_n) =& \frac{1}{\beta}\sum_{\omega_2} G_3(k,\mathrm{i}(\omega_2-\omega_n)) G_2(k,\mathrm{i}\omega_2)\\ =& \frac{1}{\beta} \sum_{\omega_2} \frac{1}{\mathrm{i}(\omega_2 -\omega_n) - \epsilon_{k,3}}\cdot \frac{1}{\mathrm{i}\omega_2 - \epsilon_{k,2} -\lambda^2 \Sigma (k, \mathrm{i}\omega_2)} \\ =&\frac{1}{\beta} \sum_{\omega_2}\left( \frac{1}{\mathrm{i}(\omega_2 -\omega_n) - \epsilon_{k,3}} + \frac{-1}{\mathrm{i}\omega_2 - \epsilon_{k,2} -\lambda^2 \Sigma (k, \mathrm{i}\omega_2)} \right)\cdot \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n +\epsilon_{k,3}-\epsilon_{k,2}-\lambda^2 \Sigma (k, \mathrm{i}\omega_2)} \end{align*}$$

接下来单独计算第一项

$$\begin{align*} \frac{1}{\beta} \sum_{\omega_2} \frac{1}{\mathrm{i}(\omega_2 -\omega_n) - \epsilon_{k,3}}\cdot \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n +\epsilon_{k,3}-\epsilon_{k,2}-\lambda^2 \Sigma (k, \mathrm{i}\omega_2)} \end{align*}$$

利用环路积分计算此项. 积分

$$\begin{align*} \oint_{R\to\infty}\frac{1}{\mathrm{i}(\omega_2 -\omega_n) - \epsilon_{k,3}}\cdot \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n +\epsilon_{k,3}-\epsilon_{k,2}-\lambda^2 \Sigma (k, \mathrm{i}\omega_2)} \cdot \frac{1}{e^{\mathrm{i}\beta\omega_2} +1}\mathrm{d}\omega_2 = 0 \end{align*}$$

积分的留数为:

第三项对应的留数

$$\begin{align*} R_3 = \frac{1}{\beta} \sum_{\omega_2} \frac{1}{\mathrm{i}(\omega_2 -\omega_n) - \epsilon_{k,3}}\cdot \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n +\epsilon_{k,3}-\epsilon_{k,2}-\lambda^2 \Sigma (k, \mathrm{i}\omega_2)} \end{align*}$$

其中 $\omega_2 = (2m+1)\pi/\beta$ . 就是要求的总的松原函数 $R(k,\mathrm{i}\omega)$ .

第一项对应的留数

$$\begin{align*} R_1 =& \frac{1}{\mathrm{i}\omega_n +\epsilon_{k,3}-\epsilon_{k,2}-\lambda^2 \Sigma (k, \mathrm{i}\omega_n +\epsilon_{k,3})} \cdot \frac{1}{e^{\beta(\mathrm{i}\omega_n + \epsilon_{k,3})} +1} \\ =& \frac{ f(\epsilon_{k,3}) }{\mathrm{i}\omega_n +\epsilon_{k,3}-\epsilon_{k,2}-\lambda^2 \Sigma (k, \mathrm{i}\omega_n +\epsilon_{k,3})} \end{align*}$$

有限温及零温的最终重复结果

code

file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/T=0.py

file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/T=1.py

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import integrate
from scipy.special import roots_legendre as leg
def gauquad(f,a,b,n = 50):
    '''
    定义 Gaussian quadrature 积分
    函数 f 的积分区间为 [a,b]
    取 n 个 Legendre 的根
    def Gaussian quadrature integration
    integrate function f from a to b
    take n Legendre roots
    '''
    ft = lambda t: f( (b-a)*t/2 +(a+b)/2 ) * (b-a)/2
    x, w = leg(n)
    I = 0
    for i in range(n):
        I = I + w[i]*ft(x[i])
    err = 0
    return I,err
def twovarplt(f,ax,bx,ay,by,Nx=100,Ny=10,gap = 2):
    '''
    两变量画图
    f(x,y): 要绘制的函数
    变量 x 的取值区间为 [ax,bx], 取点的个数为 Nx 个
    变量 y 的取值区间为 [ay,by], 画 Ny 条线, 每条线对应一个 y 值
    线与线之间的间隔为 gap
    two variables plot
    plot function f(x,y)
    x takes Nx points from 'ax' to 'bx'
    each line corresponds a fixd y, y takes Ny points from 'ay' to 'by'
    the gap between lines is 'gap'
    '''
    x = np.linspace(ax,bx,Nx)
    y = np.linspace(ay,by,Ny)
    fx = np.linspace(0,0,Nx)
    for j in range(Ny):
        for i in range(Nx):
            print('第',j+1,'条线,','第',i+1,'个点,','共',Ny,'条线,','每条线',Nx,'个点.')
            fx[i] = f(x[i],y[j])
        plt.plot(x,fx+j*gap )
    #    plt.plot(x,x*0+y[j],color=(j/Ny,1-j/Ny,j/Ny))
    plt.xlabel(r'$\tilde{\omega}$')
    plt.ylabel(r'$I(\tilde{\omega})$')
    plt.yticks([])
    plt.savefig('./T = 2.jpeg',writer='imagemagick')
    plt.show()

def f(p,m,T):   # Fermi distribution function
    f = 1/(np.exp((p**2-m)/T)+1)
    return f
def theta(x):   # Heaviside theta function
    if x>=0:
        f = 1
    else:
        f = 0
    return f
def delta(x,b = 1e-2):  # Dirac delta function
    b = 1e-2
    f = b/(b**2 + x**2)/np.pi
    return f

T = 2  # Temperature
m = 1   # Chemical potential mu
up = 10 # Integration cut off of 

def A(o,d,k,p): # the unintegrated Imaginary part of self-energy
    x1 = o-d+p**2/2+k**2/2-p*k
    x2 = o-d+p**2/2+k**2/2+p*k
    if x1>0 or x2<0:
        A = 0
    else:
        A = np.pi*p/k*f(p,m,T)
    return A
def AA(o,d,k):  # the integrated Imaginary part of self-energy
    AA, err = gauquad(lambda p:A(o,d,k,p),0,up)
    return AA
def s(o,d,k,p): # the unintegrated Real part of self-energy
    s = f(p,m,T)*p/k*( np.log( np.abs(o-d + (k+p)**2/2) ) - np.log( np.abs(o-d + (k-p)**2/2) ) )
    return s
def S(o,d,k):   # the integrated Real part of self-energy
    S,err = gauquad(lambda p:s(o,d,k,p),0,up)
    return S

def I(o,d,k):   # the unintegrated spectral function
    aa = AA(o,d,k)
    bb = S(o,d,k)
    if aa == 0:
        I = k**2*f(k,m,T)*delta(o-bb,b=1)
    else:
        I = k**2*f(k,m,T)*aa/((o-bb)**2+aa**2)
    return I
def II(o,d):    # the integrated spectral function
    if d>o:
        II,err = gauquad(lambda k:I(o,d,k),0,up,n = 100)
    else:
        II, err = integrate.quad(lambda k:I(o,d,k),0,up,epsabs=1.49e-2)
    return II
    
twovarplt(II,-2,2,-8,8,Nx = 1000,Ny=33,gap=3)

#twovarplt(lambda k ,o:S(o,0,k),0,10,0.1,2,Nx = 100,Ny = 25,gap=0)

'''
def A(o,d,k,x):
    g = o-d+k**2/2
    r1 = k*x + np.sqrt( k**2*x**2 -2*g )
    r2 = k*x - np.sqrt( k**2*x**2 -2*g )
    A = theta(-g)*theta(1+2*g-2*k*x)*r1**2*f(r1,m,T)
    A = A+ theta(g)*theta(k*x-np.sqrt(2*g))*theta(x) * ( theta(1+2*g-2*k*x)*r1**2*f(r1,m,T) + r2**2*f(r2,m,T))
    A = A/(r1-r2)
    return A
def AA(o,d,k):
    AA, err = gauquad(lambda x:A(o,d,k,x),-1,1)
    AA = np.nan_to_num(AA)
    AA = np.pi*AA
    return AA
'''
'''
    n = 500
    k = np.linspace(1e-5,up,n)
    for i in range(n):
        dd = np.abs(o - S(o,d,k[i]))
    #    print(dd)
        if dd<1e-1:
            ko = k[i]
            break
        else:
            ko = 0
    II = ko**2*f(ko,m,T)
    return II
'''

结果

file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/T=0.png

file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/T=1.png

file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/T=2.png

file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/T=0.eps

file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/T=1.eps

file:./2019-02-21-physics-RF谱RPA文献重复/T=2.eps

Supplementary


import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

delta = .5
N = 100
o = np.linspace(-2, 2, N)
q = np.linspace(-2, 2, N)
fig, ax = plt.subplots()
#line = ax.plot(o,q)
#ax3 = fig.add_axes([0.1, 0.1, 0.2, 0.2])

#ax.plot(o,o*0+1)
#ax.plot(o,o*0)
ax.plot(o*0+delta,o, color = 'green')
ax.plot(o*0+delta-.5,o, color = 'gray', linestyle = '--')
ax.plot(delta - q**2/2, q, 'r', label = r'$\~\omega = \~\delta - \frac{\~q^2}{2}$')
ax.plot(delta - (q-1)**2/2, q, color = 'blue', label = r'$\~\omega = \~\delta - \frac{(\~q-1)^2}{2}$')

ax.text(-1.2, .5, r'$r_1,r_2\notin [0,1]$', {'fontsize':20})
ax.text(.05, .95, r'$r_2\in [0,1]$', {'fontsize':20})
ax.text(.07, .05, r'$r_1\in [0,1]$', {'fontsize':20})
ax.text(1, .5, r'no root', {'fontsize':20})

ax.arrow(1, .25, -.55, .25, width = .01)
ax.text(1, .25, r'$r_1,r_2\in [0,1]$', {'fontsize':20})

#ax.set_xlim(0,4*np.pi)
ax.set_xlim(-2,2)
ax.set_ylim(0,1)
ax.set_xticks([-2, delta-.5, delta, 2])
ax.set_yticks([0,1],)
ax.set_xticklabels(['$-2$', '$\~\delta-1/2$', '$\~\delta$', '$2$'],{'fontsize':20})
ax.set_yticklabels([0,1],{'fontsize':20})
ax.set_xlabel('$\~\omega$',{'fontsize':20})
ax.set_ylabel('$\~q$',{'fontsize':20})
ax.legend(fontsize = 20)
plt.show()

参考文献

Junjun Xu, Qiang Gu, and Erich J. Mueller Phys. Rev. A 88, 023604 (2013)

从冰上的水 - 专业笔记

NSR 计算 s-wave BEC-BCS crossover 的临界温度

Sokhotski-Plemelj 积分

计算积分 （源文件：nsr.py）(大概运行了37分钟)

Symmetry and Degeneration

群的不可约表示，哈密顿量，态矢

系统(哈密顿量)的对称性

群的表示与基底

一维表示

二维表示

Reference

相干态总结

Displacement operator

Reference

非马尔可夫方程的的数值方法

Reference

Question

利用虚时传播子求解定态散射问题

利用虚时传播子求解定态散射问题

传播子(propagator)

散射问题

例: 一维简谐势中接触吸引的两粒子

数值验证传播子

Reference

原子自发辐射与主方程

原子自发辐射与主方程

模型

粗粒化的时间演化 (coarse-grained rate of variation)

对热库的假设

热库很大，处于定态

热库关联时间很短

真空电磁场作为热库

对相互作用的假设

近似之后的结果

V 的一阶项为零

截断 V 的二阶项

利用 $\tau >\tau_c$ 时 $g(\tau) \to 0$，把对 $t'$ 和 $t''$ 的积分解耦

在能量本征态下写出，积掉 $t'$，做久期近似

Reference

三种统计分布的相图

Bose-Einstein distribution

Free Boson

Condensation of free Boson

Condensation of Fermi pairs

More generally dispersion cases

Fermi-Dirac distribution

Maxwell-Boltzmann distribution

Reference

一个 Hadamard finite part

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(0, z)}{ z^2}\mathrm{d}z = \frac{\pi}{\rho}F(0, 0) $$ 减去，就得到 $$ \lim_{\rho\to 0} \frac{\partial}{\partial\rho}\left[\rho \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(\rho, z)}{\rho^2 + z^2}\mathrm{d}z\right]

例

致谢

Scattering Summarize

一维方势阱

参考资料

Classical Forced Oscillator 经典受迫振动

model

solve by Fourier transform

code

Caution

Reference

开放系统读书会：非选择测量，连续测量，量子芝诺效应

直接连续测量的量子芝诺效应（The Quantum Zeno Effect）

间接连续测量的有效主方程

间接连续测量的量子芝诺效应

例子演示：二能级系统

Reference

开放系统读书会：Lindblad 主方程的微观推导

Model

Four Approximation

1. Separability

2. Born approximation

3. Markov approximation

4. Secular approximation(Not necessary for all systems)

Derivations

Reference

幂函数的割线选取 Branch cut of exponentiation

问题

原因

Reference

计算积分（源文件：nsr.py）(大概运行了37分钟)