特殊二阶矩阵的本征值求解

对角矩阵元相等

形如

$$H = \left( \begin{array}{cc} a & b\\\\ b & c \end{array}\right)$$

与以下自旋问题类比：

在 $x-z$ 平面内任意方向加磁场 $\vec{a} = (a_1, 0, a_3)$ 求解能量本征值，Hamiltonian写为

$$H = a_0 + \vec{\sigma}\cdot\vec{a} = \left(\begin{array}{cc} a_0+a_3 & a_1\\\\ a_1 & a_0-a_3 \end{array}\right)$$

沿 $y$ 轴转动坐标系，将 $z$ 轴转到磁场的方向，由物理意义直接解得能量本征值为

$$E = a_0 \pm \sqrt{a_1^2 +a_3^2}$$

所以原问题的本征值可直接写出为

$$\lambda = \frac{a+c}{2} \pm \sqrt{b^2 +\frac{(a - c)^2}{4}}$$