线性响应理论笔记

问题

已知 $H=H_0 +V_t$，其中 $V_t = \hat{B} F_t$ ，为一外场 $F_t$ 对原有系统造成的微扰，$\hat{B}$ 是系统中与外场 $F_t$ 相耦合的力学量。求某力学量 $\hat{A}$ 在 $t$ 时刻系综平均值 $\langle A \rangle_t$ 与 $0$ 时刻的系综平均值 $\langle A \rangle_0$ 系综平均值 $\langle A \rangle_t -\langle A \rangle_0 $ 差的近似结果。

现取一特例，假设外场 $F_t$ 就是磁场 $\vec{B_t}$ ，那么系统中与外场 $\vec{B_t}$ 相耦合的力学量就是系统的总磁矩 $\vec{m}$ ，总磁矩 $\vec{m}$ 对应的微观量是系统中单个电子的自旋 $\vec{S_i}$ ，下标 $i$ 代表第 $i$ 个电子。其关系为：

$$\vec{m} = \sum_i \vec{m_i} = \frac{g_J \mu_B}{\hbar} \sum_i \vec{S_i}$$

假设测量量为磁化强度 $\vec{M} = \vec{m}/V$

所以对应关系为：

$$\hat{B} \longleftrightarrow \vec{m}$$ $$F_t \longleftrightarrow \vec{B}$$ $$\hat{A} \longleftrightarrow \vec{M}$$

初步路线

写出详细表达式进行具体计算：

$$\langle \vec{M} \rangle_t -\langle\vec{ M} \rangle_0 = \mathrm{Tr} [(\rho_t - \rho_0)\hat{M}] = \frac{1}{V}\cdot \frac{g_J \mu_B}{\hbar}\sum_i \mathrm{Tr} [(\rho_t - \rho_0)\vec{S_i}]$$

接下来求 $\rho_t - \rho_0$ 。

求 $t$ 时刻密度矩阵的近似值

Dirac表象中密度矩阵的运动方程：

$$\dot{\rho_t^D} = \frac{1}{i\hbar} [V_t^D, \rho_t^D]$$

假设初值条件为：

$$\lim_{t\rightarrow -\infty}\rho_t^D(t) =\lim_{t\rightarrow -\infty}\rho_t = \rho_0 = \frac{e^{-\beta H_0}}{\mathrm{Tr}(e^{-\beta H_0})}$$

Dirac表象选取 $t_0=0$ 为时间基点，也就是 $U(t,t_0)=e^{\frac{1}{i\hbar}(t-t_0)H_0}=e^{\frac{1}{i\hbar}H_0 t} = U(t)$

所以 $t$ 时刻密度矩阵可迭代求解：

$$\rho_t^D = \rho_0 +\frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' [V_{t'}^D, \rho_{t'}^D] =\rho_0 +\frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' [V_{t'}^D, \rho_0] +\cdots$$

做近似，只取线性项得：

$$\rho_t^D \approx \rho_0 +\frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' [V_{t'}^D, \rho_0]$$

换到薛定谔表象：

$$\rho_t \approx \rho_0 +\frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' U(t)[V_{t'}^D, \rho_0]U^{\dagger}(t)$$

求解结果

将 $t$ 时刻密度矩阵的近似结果

$$\rho_t - \rho_0 \approx \frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' U(t)[V_{t'}^D, \rho_0]U^{\dagger}(t)$$

代入到详细表达式进行具体计算：

$$\mathrm{Tr} [(\rho_t - \rho_0)\vec{S_i}] = \frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' \mathrm{Tr} \left( U(t)[V_{t'}^D, \rho_0]U^{\dagger}(t) \vec{S_i}\right)$$

而

$$V_{t'} = -\vec{m}\cdot \vec{B_{t'}} = -\sum_{\alpha = x,y,z} m^{\alpha} B_{t'}^{\alpha} = -\sum_{\alpha = x,y,z} \sum_i \frac{g_J\mu_B}{\hbar} S_i^{\alpha} B_{t'}^{\alpha}$$

所以

$$\mathrm{Tr} \left( U(t)[V_{t'}^D, \rho_0]U^{\dagger}(t) \vec{S_i}\right) = \mathrm{Tr} \left( [V_{t'}^D, \rho_0] \vec{S_i}(t)\right) = -\sum_{\alpha = x,y,z} \sum_i \frac{g_J\mu_B}{\hbar} \mathrm{Tr}\left( [S_i^{\alpha}(t'),\rho_0] \vec{S_i}(t) \right)B_{t'}^{\alpha}$$

而

$$\mathrm{Tr}\left( [S_i^{\alpha}(t'),\rho_0] \vec{S_i}(t) \right) = \mathrm{Tr}\left( \rho_0 [\vec{S_i}(t),S_i^{\alpha}(t')] \right) = \langle [\vec{S_i}(t),S_i^{\alpha}(t')]\rangle_0$$

所以

$$\mathrm{Tr} [(\rho_t - \rho_0)\vec{S_i}] = -\sum_{\alpha = x,y,z} \sum_i \frac{g_J\mu_B}{\hbar} \frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' B_{t'}^{\alpha} \langle [\vec{S_i}(t),S_i^{\alpha}(t')]\rangle_0$$ $$\langle M \rangle_t -\langle M \rangle_0 = \mathrm{Tr} [(\rho_t - \rho_0)\hat{M}] = -\frac{1}{V}\cdot \frac{g_J \mu_B}{\hbar}\sum_{\alpha = x,y,z} \sum_i \frac{g_J\mu_B}{\hbar} \sum_i \frac{1}{i\hbar} \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' B_{t'}^{\alpha}\langle [\vec{S_i}(t),S_i^{\alpha}(t')]\rangle_0$$

注

Wolfgang Nolting, Fundamentals of Many-body Physics, 3.1节笔记

易混淆的量

• magnetetic susceptibility 磁化率： $\chi$
• magnetic moment 总磁矩：$\vec{m}$
• magnetisation 磁化强度：$\vec{M}$