问题
圆柱体积恒定,求表面积最大值。
也就是说,在 $V = \pi r^2h$ 的约束下,求函数 $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ 的最小值。
求解
约束 $V = \pi r^2h$ 在变量 $r-h$ 构成的直角坐标下,是一条线。
所求的量 $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ 在$r-h$ 构成的平面内,当 $A$ 取不同的值时,对应不同的线,所以它就对应一簇线,每一条线上的所有的点都对应 $A$ 取相同的值。
线 $V = \pi r^2h$ 与很多条 $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ 相交
要做的就是在 $V = \pi r^2h$ 这条线上找一个点,这个点是和某一条 $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ 的交点,而且再也找不到另一个点与另一条更大的 $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ 相交。
所以这时两条线应该相切,也就是它们的垂线是平行的,也就是
可得
一般形式
求二维函数 $f(x,y)=0$ 在约束 $g(x,y)=0$ 下的极值. 那么, $f(x,y)$ 的等高线与约束相切的点就是极值. 如图
高维可以做类似的推广.
后续补充
画图
例题
一般形式