费米液体(冷原子作业)

自由费米子

基态

对于无相互作用的费米气体, 每个粒子的本征态是动量为 \(\vec{k}\) 的平面波态. 多体态可以由每个平面波的占据数 \(n(\vec{k})\) 来标记.

对于多体自由费米系统, 它的基态为, 对于 \(k < k_F\) , \(n_0(\vec{k}) = 1\) , 对于 \(k > k_F\) , \(n_0(\vec{k}) = 0\) .

它的激发可以由偏离分布 \(n_0(\vec{k})\) 的程度来测量. 那么它的总能量就是

\begin{align} \delta E = \sum_{\vec{k}} \left( \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m} - \mu \right) \delta n(\vec{k}) \end{align}

其中 \(\mu = \hbar^2 k_F^2/2m\) , \(\delta E\) 总是正的.

\(E_F\) 的估计

自由费米气体，假设处在体积为 \(V\) 的正方体中, 采用周期性边界条件, 总共有 \(N\) 个费米子. 那么粒子数密度为:

\begin{align*} n = \frac{N}{V} \end{align*}

总的粒子数 \(N\) 在动量空间中可以表示成:

\begin{align*} N = 2 \cdot\frac{\frac{4\pi}{3}k_F^3}{\Delta k} \end{align*}

\(2\) 表示一个态上可以占据自旋相反的两个电子. 分子为费米球的体积. \(\Delta k\) 为动量空间中的体积元,为:

\begin{align*} \Delta k = \frac{(2 \pi )^3}{V} \end{align*}

所以最终的结果为:

\begin{align*} n = 2 \cdot \frac{1}{V}\frac{\frac{4\pi}{3}k_F^3}{\frac{(2 \pi )^3}{V}} = \frac{k_{F}^3}{3 \pi^2} \end{align*}

费米能量为:

\begin{align*} \varepsilon_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m} \end{align*}

所以对于费米气体 \(n, k_F, \varepsilon _F\) 具有相同的信息, 三者并不独立.

有限温

在有限温, 也就是非零温下, 假设同时有简谐势 \(V(\vec{r})\) 存在. 可以证明, 当总的粒子数 \(N\) 非常大时, 可以放心地考虑半经典近似, 粒子数的分布为

\begin{align} f(\vec{r}, \vec{k}) = \frac{1}{e^{\beta \left( \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m} + V (\vec{r}) - \mu \right)} + 1} \end{align}

其中 \(\beta = 1/(k_B T)\) . 局域粒子数密度为

\begin{align} n(\vec{r}) = \int \mathrm{d}^3 \vec{k} \cdot f(\vec{r}, \vec{k}) \end{align}

这就是局域密度近似 ( local density approximation, LDA ) . 化学势 \(\mu\) 可以由下式决定

\begin{align} N = \int \mathrm{d} \vec{r} n (\vec{r}) \end{align}

费米液体理论

费米液体的基本假设的参数

朗道费米液体理论将自由费米气体进行了拓展, 拓展到了相互作用的费米气体. 有如下假设: 准粒子仍然是有良好动量定义的费米子. 这时, 费米面的定义为基态动量分布不连续的地方. \(n_0(\vec{k})\) 的不连续的大小叫做准粒子的 residual \(Z\) , 并且对于费米液体来说 \(0 < Z <1\) .="" <="" p="">

如果我们将 \(n_0(\vec{k})\) 改变 \(\delta n(\vec{k})\) , 总能量的改变展开到 \(\delta n (\vec{k})\) 的一阶为

\begin{align} \delta E = \sum_{\vec{k}} \epsilon(\vec{k})\delta_n(\vec{k}) \end{align}

其中 \(\epsilon (\vec{k}) = \delta E / \delta n (\vec{k})\) , 是动量为 \(\vec{k}\) 的准粒子能量.

同样, 对于各向同性的相互作用费米子系统, 可以定义准粒子速度

\begin{align} v_k = \frac{1}{\hbar}\frac{\partial \varepsilon_{\vec{k}}} {\partial k} \end{align}

进而定义有效质量 ( effective mas ) \(m^{*}\) 为

\begin{align} v_k = \frac{\hbar k}{m^{*}} \end{align}

对于有相互作用的系统, \(\epsilon_{\vec{k}}\) 通常都不是一个抛物线型的函数, 因此 \(m^{*}\) 应该依赖于 \(k\) 的取值. 在有限密度时, 最通常最关心的是 \(m^{*}\) 在费米动量附近的取值. 如果系统是各向异性的, \(m^{*}\) 通常是一个张量. 有效质量 \(m^{*}\) 和 residual \(Z\) 是描述费米液体的两个最基本的参数, 叫做费米液体参数. \(m^{*}\) 发散, 或者 \(Z\) 消失都是费米液体理论失效的表现, 也就是说从费米液体到非费米液体的转变.

将 \(\delta E\) 展开到 \(\delta n(\vec{k})\) 的下一阶, 得到

\begin{align} \delta E = \sum_{\vec{k}}\delta n (\vec{k}) + \frac{1}{2} \sum_{\vec{k} \vec{k}'} f(\vec{k}, \vec{k}') \delta n(\vec{k}) \delta n (\vec{k}') \end{align}

其中第二项解释为准粒子之间的相互作用. 还有一些其它的费米液体参数来描述准粒子的相互作用, 在此不仔细展开.

费米液体与自由费米气体的对比

下图 (a) 是自由费米气体, 下图 (b) 是费米液体, 并且标注出了 residual \(Z\) .

费米液体参数的测量

费米面附近的态密度可以由下式计算

\begin{align} D(E_F) = \frac{V k_F m^{*}}{2\pi^2\hbar^2} \end{align}

进而得到比热的低温展开

\begin{align} C_V = \frac{k_B^2 k_F T m^{*}}{3\hbar^2} \end{align}

因此, 测量低温比热就可以直接得到有效质量 \(m^{*}\) . 而 residual \(Z\) 可以通过 RF 谱 ( radio-frequency spectroscopy ) 测量.

费米极化子

现在考虑一个费米液体的例子. 首先考虑考虑所有粒子的自旋都被极化到向上 \(|\uparrow\rangle\) 的无相互作用的费米气体, 考虑在热力学极限下, 费米动量记为 \(k_F\) . 并且只考虑费米子之间的 s 波相互作用. 由于费米子总的波函数要满足交换反对称性, 因此相同自旋的费米子之间不存在相互作用. 所以这一个无相互作用的费米气体.

然后在这个完全极化为 \(|\uparrow\rangle\) 的系统中加入一个, 或者极少的自旋向下 \(|\downarrow \rangle\) 的费米子, 这个自旋向下 \(|\downarrow \rangle\) 的费米子会和费米海中其它自旋向上 \(|\uparrow\rangle\) 的费米子发生 s 波相互作用, 并且会形成一个 dressed state. 如下图所示, (a) 为在自旋向上 \(|\uparrow\rangle\) 的费米海 ( 红色 ) 中加入一个自旋向下 \(|\downarrow \rangle\) 的费米子 (蓝色) , (b) 为形成一个 dressed state .

然而, 当相互作用变强时, 就会形成束缚态, 如上图 (c) 所示.

总结

无相互作用费米气体的基态为所有粒子填充到费米球内.

有相互作用的费米子多体系统可以唯像地由朗道费米液体理论来描述, 它假设相互作产生新的准粒子仍然是有良好动量定义的费米子, 并且从基态的动量分布中定义了费米液体理论的重要参数, 准粒子 residual . 同样对粒子的分布做一微扰, 通过能量的变化定义另一个费米液体的重要参数, 有效质量.

当在很多的自旋 \(| \uparrow\rangle\) 的只考虑 s 相互费米子中加入少量自旋 \(|\downarrow\rangle\) 的费米子时, 在吸引相互作用较弱时, 会有极化子激发. 当吸引相互作用变强, 达到临界值时, 两个自旋相反的费米子就会耦合成分子, 变成等效的玻色子. 在排斥相互作用时, 存在一个大于零的解, 由于与基态的波函数交叠较小, 所以假如一开始就制备在这样的态上, 它也会稳定存在很长时间而不会跃迁到基态上, 它是一个亚稳态.

实验上通过 Feshbach 共振调节原子不同超精细态之间的相互作用强弱, 通过 RF 谱的方法测量体系在不同相互作用强度区域内的各种性质. 借助于冷原子系统中可调相互作用强度的实验优势, 研究费米子的各种性质, 可以促进对其它物理领域的中的物理现象的理解.

参考资料

[1] S. Nascimbène et al, PRL 103, 170402 (2009)

[2] André Schirotzek et al, PRL 102, 230402 (2009)

[3] S. Nascimbène et al, Nature volume 463, pages 1057–1060 (25 February 2010)

[4] C. Kohstall et al, Nature volume 485, pages 615–618 (31 May 2012)

[5] Marco Koschorreck et al, Nature volume 485, pages 619–622 (31 May 2012)