整体思路
带 tilde 的都是以 \(\varepsilon\) 或 \(k_{\varepsilon}\) 为单位的无量纲量.
最终画的是 \((1)\) 式. \((1)\) 式左边以 \(E_n\) 为单位, 右边乘上 \(\left( \frac{n_{\varepsilon}}{n} \right)^{2/3}\) 进行单位转换.
将 \((2)~(5)\) 式依次代入可得结果
还有一些关系: \(\tilde{\xi} = \tilde{k}^2 - \tilde{\mu} ,\quad n(\xi) = \frac{1}{e^{\tilde{\beta} \tilde{\xi}}-1}, \quad \tilde{z} = \tilde{\omega} - \frac{\tilde{q}^2}{2} + 2 \tilde{\mu}\)
\(\delta^p(\vec{q}, z)\) 的近似的解析表达式
\(\delta^p(\vec{q}, z)\) 的近似的解析表达式为
\begin{align} -\pi \theta(\omega - a) \end{align}其中
\begin{align} a = \frac{\tilde{q}^2}{2} - 2 \tilde{\mu} - \frac{2R}{k_{\varepsilon}^2 v} \end{align}以 \(\tilde{q}\) 和 \(\tilde{\omega}\) 为变量, 数值上画出的 \(\delta^p(\vec{q}, z)\) 的二维图为
是一个阶跃函数. 其边界和近似的解析表达式对比
计算 density I
density \(\frac{n}{n_{\varepsilon}}\) 与温度 \(\tilde{\beta}\) , \(k_{\varepsilon}R\) , \(\frac{2R}{k_{\varepsilon}^2 v}\) , 化学势 \(\tilde{\mu}\) 有关.
将温度 \(\tilde{\beta}=1\) 和 \(k_{\varepsilon}R=1/30\) 固定, 以 \(\frac{2R}{k_{\varepsilon}^2 v}\) 为横坐标, 画出不同化学势 \(\tilde{\mu}\) 时积分部分的多条曲线.
取 \(\frac{2R}{k_{\varepsilon}^2 v}\in [-2, 2]\) , \(\mu \in [-2, -.0.1]\)
计算 density II
用 \(\delta^p(\vec{q}, z)\) 的近似的解析表达式求 density 的解析表达式
\begin{align} \frac{n}{n_{\varepsilon}} =& - \frac{\partial}{\partial\tilde{\mu}}\left[ \tilde{\tilde{\Omega}}_{\mathrm{int}} + \tilde{\Omega}_{0}^{\mathrm{B}} \right] \\ =& \int_0^{\infty}\mathrm{d}\tilde{q}\cdot 3 \tilde{q}^2\left[ \frac{2}{e^{\tilde{\beta}a}-1} + \frac{1}{e^{\tilde{\beta}(\tilde{q}^2 - \tilde{\mu})}-1} \right] \end{align}最终结果
将结果与原文中的结果对比
- 蓝线: 原文结果
- num 数值结果.
- ana1 只把 \(\delta^p\) 的边界的边界用数值解代替(analytically calculate \(\delta^p\) ).
- ana2 直到积分的结果都是解析的, 微分是数值微分(analytically calculate the integral F).
- ana3 对 \(\mu\) 的微分也用解析结果(analytically calculate \(\mu\) ).
计算 \(T_C\)
weak coupling
算出 \(\mu = 0\) 时的 density .
对应的纵坐标为
\begin{align} \frac{k_BT_C}{E_n} = \frac{1}{\beta E_n} = \frac{1}{\varepsilon \beta} \frac{\varepsilon}{E_n} = \frac{1}{\tilde{\beta}} \cdot \left(\frac{n_{\varepsilon}}{n}\right)^{2/3} \end{align}横坐标为
\begin{align} \frac{2 R_p}{k_n^2v_p} = \frac{2 \tilde{R_p}}{k_{\varepsilon}^2 \tilde{v_p}}\cdot \left( \frac{n_{\varepsilon}}{n}\right)^{2/3} \end{align}