BCS Theory 课堂笔记整理

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Review

有相互作用的费米系统, 一般有以下三类, 前两类比较常见.

Fermi Liquid

一类非常像无相互作用的费米系统的系统. 它的特征:

  • 费米面, 是系统 gapless 的地方, 所有的低能激发主要集中在费米面附近, 对费米面附 近的态, 最主要的描述就是 \(Z\) , qusi-particle residual 和 effective mass 这两个 参数, 它们都可以通过自能得到. 所以要了解一个 Fermi liquid, 最主要的就是要想办 法知道它的自能函数长什么样子, 知道了自能函数, 就知道了这个 Fermi liquid 的低能 行为. 这类系统通常有一个费米面. 费米面的定义就是, 粒子数动量分布在动量空间有一 个跳变, 这个跳变的位置就是费米面的位置.
  • 它的激发都是费米型的, 而且都是 gapless 的, 也就是说, 在费米面上, 激发是无能隙 的.

Ordered State

  • BCS, Fermion 有 pairing 这样的 order, 费米子要配对.
  • Anti-Ferromagnetic
  • Charged-Density wave

费米子有 order 的 state, 它和 Fermi liquid 不一样, 这些系统通常没有费米面, 没有 费米面的结构. 这些系统中, 它的激发在很多时候都是 gaped 的, 也就是有能隙的.

Non-Fermi Liquid

前两者在现有的多体理论框架中是了解的比较清楚的, 而 Non-Fermi Liquid 还了解的不是 很清楚的. Non-Fermi Liquid 并不是指除了 Fermi liquid 以外的, 比如 上面的 ordered state. 一般指除了 Fermi liquid 和 ordered-stated 以外的有相互作用的费米系统的态.

Introduction

BCS 理论, 是 ordered state 的典型代表. BCS 理论的发现是为了解决超导问题. 超导和 超流是上世纪低温物理最重要的两个实验发现, 对我们理解多体物理, 起到非常重要的作用.

He-4 的超流, 可以由有相互作用的 BEC 来理解. Landau 判据, 有相互作用的 Boso 体系 中, 会出现临界速度.

超导是费米子体系, 它不会发生 BEC.

BCS 理论的提出, 已经是在超导发现几十年之后了, 所以对超导机理的研究, 是上个世纪上 半叶的一个物理学中一个很重要的问题. 直到 BCS 理论的提出, 才解决了这个问题.

Cooper Problem (a 2-Body Problem)

理解一个问题, 通常把一个问题简化到一个简单的问题. 虽然超导是一个复杂的多体问题, 但是呢, 它最核心的 insight 来自到 Cooper problem 这样一个两体问题. 其实, 虽然我 们讲, 凝聚态物理, 多体系统, 通常都是一些复杂的多体问题. 但是在这些多体问题中, 有 很多例子, 它对于多体物理最核心的理解, 是来自于一些简化的少体问题, Cooper problem 就是一个典型的例子. 还有一个典型的例子, 就是在分数量子 Hall effect 时候, Robert Laughlin 提出了对于 fractional quantum Hall effect 的理解, 就是 Laughlin 波函数, 后来奠定了很多强关联理论的基础. 其实 Laughlin, 如果你去看 Laughlin 当年理解 fractional quantum Hall effect 的文章, 它的文章最主要的工作是解了一个三体问题, 解了一个在磁场中有 Coulumb 相互作用电子运动的三体问题, 通过这个三体问题的解, 他 猜出了 Laughlin 波函数, 这样一个多体波函数.

Cooper 问题也是这样. Cooper 问题看起来是一个两体问题. 但是从 Cooper 问题的解上面, B. C. S. 就提出了 BCS 理论.

首先, 它是 spin- \(1/2\) Fermion, 它的 Hamiltonian (这不是 Cooper 在电子系统中讲的 问题, 但是问题其实是一样的), 考虑两分量的费米气体, 考虑 spin up 和 spin down 之 间的相互作用

\begin{align} H = \sum_{\vec{k,\sigma}}(\epsilon_{\vec{k}} - \mu) c^{\dagger}_{\vec{k}\sigma}c_{\vec{k}\sigma} + \frac{g}{V}\sum_{\vec{k}, \vec{k}', \vec{q}} c^{\dagger}_{\vec{k}+\vec{q}/2\uparrow}c^{\dagger}_{-\vec{k}+\vec{q}/2\downarrow} c_{-\vec{k}' + \vec{q}/2\downarrow}c_{\vec{k}'+\vec{q}/2\uparrow} \end{align}

\(g\) 的量纲是 \([E\cdot V]\) .

intro: 2-body in vacuum

首先, 如果我们考虑第一种情况, 如果系统中总共只有两个 particle. 这不是一个多体问 题, 纯粹是一个两体问题. 这样的体系没有 Fermi surface, 所以它的化学势 \(\mu=0\) .

怎么解呢?

两个粒子, 就写一个两体波波函数. 因为总共只有两个粒子, 所以肯定可以取它的质心坐标 系, 在质心系里面就把质心的动量设成 \(0\) . 这时候, 如果一个粒子的动量是 \(\vec{k}\) , 那么另外一个粒子的动量就一定是 \(-\vec{k}\) . 如果一个 spin up 的动量是 \(\vec{k}\) , spin down 的动量呢, 就是 \(-\vec{k}\) , 所以, 不失一般性地, 就可以把它 的波波函数写成(为了简洁起见, 记 \(k\equiv (\vec{k}, \uparrow), -k\equiv (-\vec{k}, \downarrow)\) 但是要特别注意 \(k=-k\) 是永远不会成立的, 因为自旋相反嘛!)

\begin{align} |\Phi \rangle = \sum_{k} \phi_{k} c_k^{\dagger}c_{-k}^{\dagger}|0\rangle \end{align}

相应地, Hamiltonian 变为

\begin{align} H = \sum_{\vec{k,\sigma}}\epsilon_{\vec{k}} c^{\dagger}_{\vec{k}\sigma}c_{\vec{k}\sigma} + \frac{g}{V}\sum_{\vec{k}, \vec{k}', \vec{q}} c^{\dagger}_{\vec{k}\uparrow}c^{\dagger}_{-\vec{k}\downarrow} c_{-\vec{k}'\downarrow}c_{\vec{k}'\uparrow} \end{align}

如果用这个波函数去解 Schrodinger 方程, 那么我们会得到系数 \(\phi_k\) 所满足的方程

\begin{align} 2 \epsilon_{\vec{k}} \phi_{\vec{k}} + \frac{g}{V}\sum_{\vec{k}'}\phi_{\vec{k}'} = E \phi_{\vec{k}} \end{align}

第一项, 是它的动能项, 一个粒子在 \(\vec{k}\) , 一个粒子在 \(-\vec{k}\) , 所以它的能 量就是 \(2 \epsilon_{\vec{k}}\) . 第一项, 可以在不同的 \(\vec{k}\) 和 \(-\vec{k}\) 之 间散射, 就是把所有的不同的 \(\vec{k}\) 和 \(-\vec{k}\) 相互之间耦合起来. 相当于说, 如果在这组波函数下面去写 Schrodinger 方程, 相当于在这组基下面对角化一个矩阵, 每 个基的指标就是 \(\vec{k}\) , 所以就会看到能量项是对角项, 而第二项是把所有的不同的 \(\vec{k}\) 的态耦合起来, 这些项就是非对角项. 从这个方程, 可以得到

\begin{align} \phi_{\vec{k}} = \frac{\frac{g}{V}\sum_{\vec{k}'}\phi_{\vec{k}'}}{E - 2\epsilon_{\vec{k}}} \end{align}

这个方程怎么求解? 两边对 \(\vec{k}\) 求和

\begin{align} \sum_{\vec{k}}\phi_{\vec{k}} = \sum_{\vec{k}}\frac{\frac{g}{V}\sum_{\vec{k}'}\phi_{\vec{k}'}}{E - 2\epsilon_{\vec{k}}} \end{align}

约掉 \(\sum_{\vec{k}}\phi_{\vec{k}}\)

\begin{align} \frac{V}{g} = \sum_{\vec{k}}\frac{1}{E - 2\epsilon_{\vec{k}}} \end{align}

出现了求各发散的问题. 这个问题也是来自于 \(\vec{k}\) 是没有截断的, \(\vec{k}\) 可以 取到任意高能. 而且不同的 \(\vec{k}\) 之间的散射系数, 在取 \(\delta\) function 近似的 条件下, 它是一个常数. 所以同样要用重整化关系

\begin{align} \frac{m}{4\pi\hbar^2a_s} = \frac{1}{g} + \frac{1}{V}\sum_{\vec{k}}\frac{1}{\hbar^2\vec{k}^2/m} \end{align}

得

\begin{align} \frac{m}{4\pi\hbar^2a_s} = \frac{1}{V}\left( \sum_{\vec{k}}\frac{1}{E - 2\epsilon_{\vec{k}}} + \sum_{\vec{k}}\frac{1}{2\epsilon_{\vec{k}}}\right) \end{align}

用完重整化关系, 得到一个收敛的结果. 把这个结果画出来, right hand side 作为 \(E\) 的函数, 当 \(E=0\) 时它取 \(0\) , 它大体上就是 \(\propto\sqrt{-E}\) , 而方程在左边

picture code

当 \(a_s>0\) 的时候, 方程左边是一条在上边的横线, 与 r.h.s. 有一个交点, 这个交点就 是 2-body energy 的解, 这个交点就是

\begin{align} E = -\frac{\hbar^2}{ma_s^2} \end{align}

在散射长度大于零的时候, 系统有一个 2-body bound state. 而且 \(a_s\) 越大, 2-body bound state 越靠近零, bound state 越浅. 如果 \(a_s < 0\) , 横线在下面, 这个方程没有 解. 之所以可以用重整化的模型, 来表达多体物理的基本的模型, 就是因为可以准确地重复 系统的低能物理, 这就是一个例子.

Cooper Problem

Cooper Problem 是 2-body problem with a Fermi sea. Fermi sea 的定义

\begin{align} |FS\rangle = \prod_{|\vec{k}| < k_{\mathrm{F}}} c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{\vec{k}, \downarrow} |0 \rangle \end{align}

一样多的 spin up 和 spin down 的粒子各自形成一一样多的 Fermi surface . 要在费米 面上产生激发, 要放入粒子, 那只能放在费米海外面, 或者在费米海里面拿走粒子, 不管怎 么样, cost 的 energy 都是非负的, 所以激发能是

\begin{align} |\epsilon_{\vec{k}} - \mu| \end{align}

这个时候有化学势, 本来就有粒子填充了, 化学势就是费米能.

Cooper 问题是再在这个 Fermi sea 上放两个粒子, 这时候它的激发能是什么样子的. 如果 激发能仍然是正的, 说明 Fermi surface 还是稳定的解, 如果激发能是负的, 就说明假设 的有问题. Cooper 问题 addres 的是 Fermi surface stability 的问题.

当我们谈一个多体态是不是稳定的, 就拿一个粒子来测试它, 看放入两个 particle 的能量 是不是总是正的.

在 Fermi sruface 上面加两个 particle

\begin{align} |\Phi \rangle = \sum_{|\vec{k}| > k_{\mathrm{F}}} \phi_{\vec{k}} c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} |FS\rangle \end{align}

相应地, 得到

\begin{align} \frac{m}{4\pi\hbar^2a_s} = \frac{1}{V}\left( \sum_{|\vec{k}|> k_{\mathrm{F}}}\frac{1}{E - 2(\epsilon_{\vec{k}} - \mu)} + \sum_{\vec{k}}\frac{1}{2\epsilon_{\vec{k}}}\right) \end{align}

这里的 r.h.s 在 \(E\to 0\) 的时候, 是往负无穷发散的.

picture code

为什么会有这样一个区别? 是因为两体问题的时候, 两个粒子是加在色散关系底部的. 它的 态密度是 \(\sqrt{E}\) 的关系. 两体问题是加在趋于 \(0\) 的地方, 而 Cooper 问题是加在 \(\sqrt{E_{\mathrm{F}}}\) 上的. 它们所处的态密度不一样.

For all \(a_s\) 都有一个 \(E < 0\) 的 solution.

这就是一个真空中的两体问题和一个费米面上的两体问题的区别. 真空中的两体问题, bound state 的 energy 只是出现在 \(a_s < 0\) 的一侧. 而在多体系统中, 一个费米面附 近的两体问题, 不管 \(a_s\) 有多负, 总有一个解在负能的地方, 只不过 \(a_s\) 越小, \(|E|\) 越来越小, 但它总是存在的. 当然, 另外一方面就是如果, 回到 \(a_s > 0\) 一边, 两条线是逐渐靠近的. 也就是说, 当 \(a_s > 0\) 的时候, 如果 binding energy 足够大, 不管是真空中的两体问题, 还是有费米面的两体问题, 结果是趋于一致的. 这个事情怎么理 解? 就是说 binding energy 的绝对值越大, 说明这两个粒子形成 bound state , 靠得足 够近. 这个体系, spin up 和 spin down 形成一个 bound state , binding energy 越大, 它的 bound state size 越小(束缚得越紧, 靠得越近). 如果在真空中放两个 particle, 它的 size 就 \(a_s\) 那么大, 但是如果在多体的环境中放这两个 particle, 如果 bound state size 要远远小于粒子间平均距离( \(1/k_\mathrm{F}\) ) , 这个 bound state 就不 大受多体环境的影响, 这个时候, 是真空中的束缚态, 还是多体环境中的束缚态, 其实差别 不大, 这就是在这个极限下, 为什么这两种解会趋于一致. 但是最主要的事情是, 这两个解 的差别, 在真空中, 如果散射长度是负的, 这时候是没有 bound state 的, 但是在多体环 境中, 它永远是存在一个 bound state 的. 这就是 Cooper problem 最主要的意思. 这个 计算说明, 有吸引相互作用的时候, Fermi surface 是不稳定的, 说明它不可能是一个 Fermi liquid , 所以要 reconstruct 一个多体态, 使得这个状态是一个稳定的状态. 但是 Cooper problem 一方面说明 Fermi surface 是不稳定的, 另一方面也给如何 reconstruct 这样一个态提供了一些 hit . 这个不稳定不是 single particle 的不稳定, 是一个 2-body 的不稳定, 所谓的 pairing 的事情. 问题是, 如何把这样一个 pairing 这样一个 事情, 写到多体的波函数的里面去. 这里要先讲一下 Self-Consistent Mean Field Theory.

Self-Consistent Mean Field Theory

一般性的, 对于一个多体系统, 怎么做一个平均场, 特别是这个平均场我们强调它是 self-consistent , 这话什么意思. 这个方法, 在很多模型里面都会用到, 所以我们先撇开 具体模型, 讲一个最一般性的事情. 假设有

\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} \end{align}

\(g\) 是相互作用参数, \(\hat{A}\) 是一个算符, 可以是一个单体, 也可以是一个两体算符, 是任意一个算符都行. 首先

\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} = \langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} + \hat{A}^{\dagger} \langle g \hat{A}\rangle + \left(g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} -\langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} - \hat{A} \langle g \hat{A}^{\dagger} \rangle\right) \end{align}

这是一个等式, 什么都没干! 然后呢, 要 approximation 了! 上式中, 前两项相当于是对 \(\hat{A}^{\dagger}\) 做平均, 再对 \(\hat{A}\) 做平均, 然后把残余项(小括号中的)减掉 了, 小括号小的三项, 相当于某种 fluctuation. 然后呢, 把 fluctuation 做平均.即

\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} -\langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} - \hat{A} \langle g \hat{A}^{\dagger} \rangle \approx \langle g\hat{A}^{\dagger} \hat{A} -\langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} - \hat{A} \langle g \hat{A}^{\dagger} \rangle \rangle \end{align}

把 \(g \hat{A}^{\dagger} A\) 做平均

\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} =\frac{(g \hat{A}^{\dagger})(g\hat{A})}{g} \approx \frac{g\langle \hat{A}^{\dagger}\rangle g\langle\hat{A}\rangle}{g} \end{align}

后面两项也平均. 做完平均后, 三项加在一起的结果为

\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} -\langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} - \hat{A} \langle g \hat{A}^{\dagger} \rangle \approx - \frac{g\langle \hat{A}^{\dagger}\rangle g\langle\hat{A}\rangle}{g} \end{align}

代回去, 有

\begin{align} g \hat{A}^{\dagger} \hat{A} = \langle g \hat{A}^{\dagger}\rangle \hat{A} + \hat{A}^{\dagger} \langle g \hat{A}\rangle - \frac{g\langle \hat{A}^{\dagger}\rangle g\langle\hat{A}\rangle}{g} \end{align}

通常定义

\begin{align} \Delta \equiv \langle g \hat{A} \rangle \end{align}

这样的东西我们称之为 order parameter , OK?

\begin{align} \Delta^{*} \equiv \langle g \hat{A}^{\dagger} \rangle \end{align}

所以, 这前说费米系统很多可能的时候, 体系处于一个 ordered state, 就是说 \(\Delta \neq 0\) . 但是没有 specify \(\hat{A}\) , \(\hat{A}\) 就是说对什么样的项做平均场. 要 把 Hamiltonian 或者其中的某一部分写成这样的形式, 做平均场. 但是拿哪一部分出来, 就是选了不同的 \(\hat{A}\) OK? 这样的话 \(\hat{A}\) 的意义不一样, 就代表了体系有不同 的 order. 这接下来的例子中, \(\hat{A}\) 就是一个 pairing 的 order . 之前说了, 从 Cooper 问题中得到的启示, 就是每两个粒子要配对. \(\hat{A}\) 怎么选? \(\hat{A}\) 的选 法是人定的, 根据自己对物理体系的理解, 你的物理的 intuition, insight 来决定, 把 Hamiltonian 里面的什么东西写成这个形式, 拿什么算符来做平均场. BCS 就是根据 Cooper 问题的启发, 决定选 pairing operator 来做平均场, 最后得到的基态, 就是所谓 BCS 波函数. 当然也可以选别的算符来作平均场(如, Hubbard Model 中 自旋, spin density wave, 反铁磁, 或者是 charge density wave, 这些态的区别是什么? 为什么叫这 些名字? 就是因为用来做平均场的 \(\hat{A}\) 算符不同). 如果 \(\hat{A}\) 算符是 spin operator , 得出来 \(\Delta\neq 0\) , 就说明这个体系有 spin order. 如果选的算符代表 费米子密度, 如果得出来 \(\Delta\neq 0\) , 就说明这个体系有 charge order, 有一个密 度的序. 如何选择 \(\hat{A}\) , 对于 ground state 来讲, 就是能量低. 这就是对于 order state , 最重要的就是, 选一个什么样的 order. 就像对于 Fermi liquid 自能很重 要.

BCS Mean Field Hamiltonian

BCS

\begin{align} H = \sum_{\vec{k,\sigma}}(\epsilon_{\vec{k}} - \mu) c^{\dagger}_{\vec{k}\sigma}c_{\vec{k}\sigma} + \frac{g}{V}\sum_{\vec{k}, \vec{k}', \vec{q}} c^{\dagger}_{\vec{k}+\vec{q}/2\uparrow}c^{\dagger}_{-\vec{k}+\vec{q}/2\downarrow} c_{-\vec{k}' + \vec{q}/2\downarrow}c_{\vec{k}'+\vec{q}/2\uparrow} \end{align}

怎么用这个方法? 首先, 只关心 \(\vec{k}\) 和 \(-\vec{k}\) 的 pairing . 就看那些质心动 量为 \(0\) 的散射, 也就是 \(\vec{q} = 0\) . 这就已经是一个挑选了, 在相互作用有很多项, 但是不去考虑质心动量不为 \(0\) 的项. 在这些质心动量为 \(0\) 的项里面, 将 Hamiltonian 重新写一下

\begin{align} H = \sum_{\vec{k,\sigma}}(\epsilon_{\vec{k}} - \mu) c^{\dagger}_{\vec{k}\sigma}c_{\vec{k}\sigma} + \frac{g}{V}\left(\sum_{\vec{k}} c^{\dagger}_{\vec{k}\uparrow}c^{\dagger}_{-\vec{k}\downarrow}\right) \left(\sum_{\vec{k}'}c_{-\vec{k}'\downarrow}c_{\vec{k}'\uparrow} \right) \end{align}

在这里, 取 \(\hat{A}\) 为

\begin{align} \hat{A} = \sum_{\vec{k}'}c_{-\vec{k}'\downarrow}c_{\vec{k}'\uparrow} \end{align}

序参量为

\begin{align} \Delta = \langle \frac{g}{V} \sum_{\vec{k}'}c_{-\vec{k}'\downarrow}c_{\vec{k}'\uparrow} \rangle \end{align}

按照前面的叙述, 做平均场后

\begin{align} H_{\mathrm{MF}} = \sum_{\vec{k,\sigma}}(\epsilon_{\vec{k}} - \mu) c^{\dagger}_{\vec{k}\sigma}c_{\vec{k}\sigma} +\Delta^{*} \sum_{\vec{k}}\hat{c}_{-\vec{k},\downarrow} \hat{c}_{\vec{k}, \uparrow} +\Delta \sum_{\vec{k}}\hat{c}^{\dagger}_{\vec{k},\uparrow} \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} - \frac{V}{g}|\Delta|^2 \end{align}

平均场做成这样有什么好处? 这是一个二次型的 Hamiltonian , 是可以对角化的. 它可以 写成一个矩阵的形式

\begin{align} H_{\mathrm{MF}} = \sum_{\vec{k}}\left\{ \left(\hat{c}^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow}\quad \hat{c}_{-\vec{k}, \downarrow}\right) \left(\begin{array}{cc} \epsilon_{\vec{k}} - \mu & \Delta\\ \Delta^{*} & -(\epsilon_{\vec{k}} - \mu) \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} \hat{c}_{\vec{k}, \uparrow} \\ \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \end{array} \right) + (\epsilon_{\vec{k}} - \mu) \right\} - \frac{V}{g}|\Delta|^2 \end{align}

Boguliubov 激发不能够简单地通过 Unitary 变换来对角化, 原因是玻色子的 partical 和 hole 的算符经过组合以后, 它不再是一个玻色算符. 而费米子是可以的. 插入一个幺正变 换后, 可得 (过程见于 《厄米矩阵及其幺正对角化》 )

\begin{align} H_{MF} = \sum_{\vec{k}} \left[ E_{\vec{k}} (\alpha_{\vec{k}}^{\dagger}\alpha_{\vec{k}} + \beta_{\vec{k}}^{\dagger}\beta_{\vec{k}}) + (\epsilon_{\vec{k}} - \mu -E_{\vec{k}} ) \right] - \frac{V}{g}|\Delta|^2 \end{align}

where

\begin{align} \left(\begin{array}{c} \alpha_{\vec{k}}\\ \beta_{\vec{k}}^{\dagger} \end{array}\right) = U^{\dagger} \left( \begin{array}{c} \hat{c}_k \\ \hat{c}^{\dagger}_{-k} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} u_{\vec{k}} & -v_{\vec{k}} \\ v_{\vec{k}} & u_{\vec{k}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \hat{c}_{\vec{k}, \uparrow} \\ \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \end{array} \right) \end{align} \begin{align} u_{\vec{k}}^2 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{\epsilon_{\vec{k}} - \mu}{E_{\vec{k}}} \right) \\ v_{\vec{k}}^2 = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{\epsilon_{\vec{k}} - \mu}{E_{\vec{k}}} \right) \end{align}

BCS wave function

两个新的准粒子 \(\alpha_{\vec{k}}, \beta_{\vec{k}}\) 的激发能都是正的, 就保证了 ground state 是 quasipartical 的真空. 这个 ground state \(|GS\rangle\) , 就是著名的 BCS 波函数

\begin{align} |GS \rangle = \prod_{\vec{k}}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right)|0\rangle \end{align}

可以验证这个 ground state 满足

\begin{align} \alpha_{\vec{k}} |GS \rangle =& \left( u_{\vec{k}'}\hat{c}_{\vec{k}',\uparrow} - v_{\vec{k}'} \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}',\downarrow} \right) \prod_{\vec{k}}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right)|0\rangle \\ =&\left[ \prod_{\vec{k}\neq \vec{k}'}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right) \right] \left( u_{\vec{k}'}\hat{c}_{\vec{k}',\uparrow} - v_{\vec{k}'} \hat{c}^{\dagger}_{-\vec{k}',\downarrow} \right) \left( u_{\vec{k}'} + v_{\vec{k}'}c^{\dagger}_{\vec{k}', \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}', \downarrow} \right)|0\rangle \\ =& 0 \end{align}

同样可以验证

\begin{align} \beta_{\vec{k}} |GS \rangle = 0 \end{align}

因此 \(|GS\rangle\) 确实是 quasipartical \(\alpha_{\vec{k}}, \beta_{\vec{k}}\) 的真 空. 所以它在这个理论框架下就是 ground state . \(\alpha_{\vec{k}}, \beta_{\vec{k}}\) up to quadratic 是给定动量上的本征模式. 所以这个 BCS ground state 就是选定的 quasipartical 的 vacuum. 接下来看, quasipartical 干什么, 把产生 算符作用在 \(|GS\rangle\) 上

\begin{align} \alpha_{\vec{k}'}^{\dagger} |GS\rangle =\hat{c}_{\vec{k}', \uparrow}^{\dagger} \prod_{\vec{k}\neq \vec{k}'}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right) |0\rangle \\ \beta_{\vec{k}'}^{\dagger} |GS\rangle =\hat{c}_{-\vec{k}', \downarrow}^{\dagger} \prod_{\vec{k}\neq \vec{k}'}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right) |0\rangle \end{align}

如果两个都作用上

\begin{align} \alpha_{\vec{k}'}^{\dagger}\beta_{\vec{k}'}^{\dagger}|GS\rangle = \left( -v_{\vec{k}'} + u_{\vec{k}'} \hat{c}_{\vec{k}',\uparrow}^{\dagger} \hat{c}_{-\vec{k}',\downarrow} \right) \prod_{\vec{k}\neq \vec{k}'}\left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}c^{\dagger}_{\vec{k}, \uparrow} c^{\dagger}_{-\vec{k}, \downarrow} \right) |0\rangle \\ \end{align}

也就是说, 这个态是 ground state. 这个态是两个东西的叠加, 要么是空的, 要么是双占. 准粒子的激发是激发了一个单占, 它们的能量要比 \(|GS\rangle\) 高 \(E_{\vec{k}}\) . \(\alpha_{\vec{k}'}^{\dagger}\beta_{\vec{k}'}^{\dagger}|GS\rangle\) 也是单占和双 占的叠加, 它的能量要高出两个 \(E_{\vec{k}}\) .

BCS Hamiltonian

\begin{align} H = \sum_{\vec{k,\sigma}}(\epsilon_{\vec{k}} - \mu) c^{\dagger}_{\vec{k}\sigma}c_{\vec{k}\sigma} + \frac{g}{V}\left(\sum_{\vec{k}} c^{\dagger}_{\vec{k}\uparrow}c^{\dagger}_{-\vec{k}\downarrow}\right) \left(\sum_{\vec{k}'}c_{-\vec{k}'\downarrow}c_{\vec{k}'\uparrow} \right) \end{align}

它是说将双占和全空的态耦合在一起, 散射只发生在 spin up 和 spin down 之间. 如果两 个态都被占据, 那它可以作为散射的初态, 或者它是空的, 可以作为散射的末态.

A Physical View

去理解一个物理, 要么是简并微扰, 要么是非简并微扰. 如果考虑费米面附近的情况, 它们 的能量都是一样的, 是一个简并微扰, 这两个态, 是一个 \(2\times 2\) 的矩阵, 它有两个 耦合, 比如

\begin{align} \left(\begin{array}{cc} \langle\mathrm{oovv}| & \langle\mathrm{vvoo} | \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 0 & \Delta \\ \Delta & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} |\mathrm{oovv}\rangle \\ |\mathrm{vvoo} \rangle \end{array}\right) \end{align}

\(|\mathrm{oova}\rangle\) 代表 \(|-\vec{k}_1\downarrow\rangle , |\vec{k}_1\uparrow \rangle, |-\vec{k}_2\downarrow\rangle , |\vec{k}_2\uparrow\rangle\) 四个态的分别是 occupied, occupied, vacuum, vacuum . \(|\mathrm{vaoo}\rangle\) 类似. 中间的矩阵表示将 \(|\mathrm{oovv}\rangle\) 和 \(|\mathrm{vvoo}\rangle\) 耦合, 而 \(|\mathrm{ovvo}\rangle\) \(|\mathrm{voov}\rangle\) 与任何其它态都没有耦合, 就不用考虑. 这个耦合使 \(|\mathrm{oovv}\rangle\) 和 \(|\mathrm{vvoo}\rangle\) 原本的能量简并解除, 出现了两个不同的新本征态, 能量分别为 \(\pm|\Delta| = \mp \Delta\) (这里还是将 \(\Delta\) 的相位取为了 \(-\pi\) , 这个相位还 是个问题) . 而新的波函数为

\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\mathrm{oovv}\rangle \pm |\mathrm{vvoo}\rangle\right) \end{align}

所以新的基态是 \(\frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\mathrm{oovv}\rangle + |\mathrm{vvoo}\rangle\right)\) , 是双占和空态的叠加, 能量降低了 \(\Delta\) 那么大. 被往上抬的态, 能量抬高了 \(\Delta\) , 也是双占和空态的 叠加.这与之前的结果相符, 因为这里考虑的是在费米面是的结果, 所以 \(E_{k=k_{\mathrm{F}}} = |\Delta|\) , \(u_{|\vec{k}|=k_{\mathrm{F}}}^2 = v_{|\vec{k}|= k_{\mathrm{F}}}^2\) .

BCS paring 是一个多体的效应, 是在动量空间里面, 自旋相反, 动量相反的两个态, 要么 全占, 分么全空. exclude 的是在动量空间中动量相反的两个态有一个被单占, 这些态上的 能量是高的, (考虑零动量上的散射, 因为体系有空间反射不变性, 零动量上的两个态能量 才一样, 如果不是零动量的, 这两个态的能量本身就不一样了) 因为它们不能作为散射的初 态, 也不能作为散射的末态, 所以它不能参与散射过程, 不能从相互作用中获得能量上的好 处. 而这些态是可以参与散射过程的, 它能够在散射过程中能够获得能量上的 benefit , 这些态经过散射后能量降低了, 这才是真正的能量上的 ground state.

Summary

通过 BCS mean field theory , 最主要的目的是 construct 一个 ground state, 这个 ground state 在这个 Hamiltonian 里面, 激发是正的. 而且有物理上的道理.

Reference

  • H. Z. 的课.