前言
Zee 的这本书看了好久了, 也没整理过笔记. 看到哪里都不记得了… 今天整理一下, 下次 再看就知道从哪看了(虽然不知道下次什么时候看 (- _ -) ).
IV.1 Tensor and Representations of Rotation Groups \(SO(N)\)
Representing the rotation groups
\(SO(N)\) 群定义为, 满足如下关系的, \(N\times N\) 维矩阵 \(R\) , 组成的群
\begin{align} R^TR = I \\ \det R = 1 \end{align}vector 的定义, 由它在转动下的关系定义
\begin{align} v^i \to V'^{i} = R^{ij} V^j \quad \quad \mathrm{with} i, j = 1, 2, \cdots,N \end{align}由一个 vector 生成 \(SO(N)\) 群的一个 \(N\) 维 irreducible representations.
Several questions and some flying guesses
Constructing the irreducible representations of \(SO(N)\)
这里给出了 tensor 的一个例子. 想像一下, 在 \(N\) 维空间里, 一个数学的东西, 它长着 两个指标, 如果它在旋转下按如下方式变换
\begin{align} T^{ij} \to T'^{ij} = R^{ik} R^{jl} T^{kl} \end{align}那 \(T\) 就像一个 tensor 一样变换, 它就是一个 tensor.
Fear of tensors
Representation Theory
tensor \(T\) 的每个指标都独立地变换
\begin{align} T^{ij} \to T'^{ij} = R^{ik} R^{jl} T^{kl} \end{align}tensor \(T\) 生成 \(SO(3)\) 群的一个九维表示 \(D(R)D(R)\) .
Reducible or irreducible?
有九个量 \(T^{ij}\) 在变换下会变成另外九个. 但是它是否存在一个子集, 能够独立地变换? 有的.
antisymmetric 的 \(A^{ij}\equiv T^{ij} - T^{ji}\) , 具有反对称的性质 \(A^{ij} = -A^{ji}\) . 它如下变换
\begin{align} A^{ij} \to A'^{ij} \equiv T'^{ij} - T'^{ji} = R^{ik}R^{jl}T^{kl} - R^{jk}R^{il}T^{kl} = R^{ik}R^{jl}T^{kl} - R^{jl}R^{ik}T^{lk} = R^{ik}R^{jl}(T^{kl} - T^{lk}) = R^{ik}R^{jl} A^{kl} \end{align}所以 \(A^{ji}\) 也是一个 tensor. 反对称的特性在变换下不变. \(A^{ji}\) 共有 \(\frac{1}{2}N(N-1)\) 个, 例如此时 \(N=3\) 共有 \(3\) 个.
还有 symmetric \(S^{ij}\equiv T^{ij} + T^{ji}\) , 同样可以证明它是一个 tensor. 然而它 还可以约化, 它的 trace \(S^{ii} = S^{11} + S^{22} + \cdots\) 也是一个 tensor.
因此 tensor \(T^{ij}\) 生成 \(SO(3)\) 的一个 \(9\) 维表示, 它可以约化为 \(3\oplus 5\oplus 1\) , 分 别是 \(\frac{1}{2}N(N-1)\) 维的反对称张量 \(A^{ij}\) , \(\frac{1}{2}N(N+1)-1\) 维的无迹 对称张量 \(\tilde{S}^{ij} = S^{ij} - \delta^{ij}\frac{S^{kk}}{N}\) 和 \(1\) 维的迹 \(S^{ii}\) .
将 \(T^{ij}\) 约化成三个表示, 也就是将 \(T^{ij}\) 生成的表示分块对角化的过程.
An advanced tidbit(花絮)
Invariant symbols
SO(3) 的 Orthogonal
\begin{align} R^TR =& I \\ (R^{T})^{ij}R^{jk} =& R^{ji} R^{jk} = \delta^{ik} \\ \delta^{ij} R^{ik}R^{jl} =& \delta^{kl} \end{align}SO(3) 的 Special
\begin{align} \det R =& 1 \\ \varepsilon^{ijk\cdots n}R^{ip}R^{jq}R^{kr}\cdots R^{ns} =& \varepsilon^{pqr\cdots s} \end{align}从上面的式子可以看出, \(\delta^{ij}, \varepsilon^{ijk\cdots n}\) 在旋转下是不变的, 是 invariant symbols.
Dual tensors
定义一个新的 tensor \(B^{k\cdots n} = \varepsilon^{ijk\cdots n}A^{ij}\) , 它有 \(N-2\) 个指标( 再复习的时候, 可以验证它按张量的方式旋转做练习哦 ). \(A\) 和 \(B\) 叫做 dual to each other.
对于 \(N=3\) 的情况, \(B^k=\varepsilon^{ijk}A^{ij}\) , 有一个指标, 就是一个 vector. 所以我们从 \(9\) 维表示中约化出来的 \(3\) 维表示就是之前定义 \(SO(3)\) 时的 vector.
Constructing larger irreducible representations of \(SO(N)\)
用这种张量的方法, 可以构造出许多 \(SO(N)\) 群的表示.
Contraction indices
\(S^{ii}\) 是 contracted indices 的一种特殊情况, 它只有两个指标, 把它们收缩了之后, 就按照 \(0\) 个指标的张量旋转, 也就是一个 trivial 的表示.
Why SO(3) is special
在前面的 Dual tensors 部分提到, 对于 \(N=3\) 的 \(SO(3)\) 的情况, 对于一个全反对称的 张量 \(A^{ij}\) , 它的 dual tensor 有 \(N-2 = 3 - 2 = 1\) 个指标. \(N =3\) 说明 \(\varepsilon_{ijk}\) 只有 \(3\) 个指标, \(2\) 是说 \(A^{ij}\) 有两个指标.
下面说明对于 \(SO(3)\) , 高阶的张量表示 \(T^{i_1\cdots i_j}\) , 对它们进行分解, 只有全对称 张量会给出新的不可约表示.
Example:
对于二阶张量, 前面已经详细讨论了, 分解后给出的不可约表示是 \(3 \oplus 5 \oplus 1\) , 其中 \(1\) 是 trivial 的表示, \(3\) 等价于一阶张量, 也就是 vector 给出的表示, 只有二阶全 对称无迹张量会给出 \(SO(3)\) 群一个新的不可约表示
Example:
对于三阶张量, 可以构造部分对称和反对称的张量 \(T^{\{ij\}k} \equiv (T^{ijk} + T^{jik})\) , \(T^{[ij]k} \equiv (T^{ijk} - T^{jik})\)
对于 \(T^{[ij]k}\) , 因为可以构造一个二阶张量 \(B^{lk} \equiv \varepsilon^{ijl}T^{[ij]k}\) 所以它生成的表示在二阶张量中就已经存在了
对于 \(T^{\{ij\}k}\) , 可以将它分解成全对称和部分反对称的部分, 也就是 \(3T^{\{ij\}k} = (T^{\{ij\}k} + T^{\{jk\}i} + T^{\{ki\}j}) + (T^{\{ij\}k} - T^{\{jk\}i}) + (T^{\{ij\}k} - T^{\{ki\}j})\) 第一个小括号中是全对称的, 后两个小括号分别是关于 \(ik, jk\) 反对称的. 对于反对称的 部分, 它们生成的表示同样可以在更低阶的张量中找到. 所以三阶张量只有全对称部分才会 生成 \(SO(3)\) 群新的表示.
对于更高阶的张量, 比如四阶张量 \(T^{ijkl}\) , 可以做类似的分解, 最终也只有全对称部 分中会有新的表示.
Dimension of the irreducible representations of \(SO(3)\)
通过上面的分析, 得出的结论就是, 一个新的更高维的张量, 只有全对称的部分会给出新的 表示, 所以通过考虑各阶的全对称张量, 会给出 \(SO(3)\) 群的许多不可约表示, 下面求它 们的维度是多少.
考虑 \(j\) 阶全对称张量 \(S^{i_1i_2\cdots i_j}\) , 它总共有
\begin{align} \sum_{k=0}^j(k+1) = \frac{1}{2}( j + 1)(j + 2) \end{align}\(SO(3)\) 群的指标只有三种可能的值, 假设第一个指标有 \(j - k\) 个, 那么剩下的两指标总共有 \(k\) 个. 这 \(k\) 个指标, 有 \(k+1\) 种分配可能.
然后去掉它们的 trace \(\delta^{i_1i_2}S^{i_1i_2\cdots i_j}\) , 这个 trace 是个 \(j - 2\) 阶全对称 张量, 因此根据上面的讨论有 \(\frac{1}{2}(j - 2 + 1)(j - 2 + 2) = \frac{1}{2}j(j - 1)\) 个迹. 所以 \(j\) 阶张量给出的 \(SO(3)\) 的新的不可约表示的维度是
\begin{align} \frac{1}{2}(j + 1)(j + 2) - \frac{1}{2}j(j - 1) = 2j + 1 \end{align}The tensors of \(SO(2)\)
Polar decomposition
Roations in higher-dimensional space
Self-dual and antiself-dual
Restriction to a subgroup
The adjoint representation and the Jacobi identity
The adjoint of \(SO(N)\)
Reference
- A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, 2016, Princeton University Press