读书笔记: IV.4 Tensors and Representations of Special Unitary Groups

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\(SO(N)\) 与 \(SU(N)\) 的对比

在这里, 要对 \(SU(N)\) 群做与 \(SO(N)\) 群相同的事. 它们的区别如下

  \(SO(N)\) \(SU(N)\)
  实 复
  只有上标 有上标, 有下标
Special \(O^T O=1\) \(U^{\dagger} U = 1\)
  \(O(N)\to SO(N)\) \(U(N) \to SU(N)\)
  \(\det O=\pm 1\to \det O = 1\) \(\det U = e^{\mathrm{i}\alpha} \to \det U = 1\)
     

\(SU(3)\) 群的表示

全对称张量 \(\phi^{ijk}\) 生成 \(SU(3)\) 的一个 \(10\) 维不可约表示.

\begin{align} \phi^{333}, \phi^{331}, \phi^{332}, \phi^{322}, \phi^{321}, \phi^{311}, \phi^{222}, \phi^{221}, \phi^{111}, \phi^{112} \end{align}

\(SU(N)\) 群的下标

从 \(SO(N)\) 群的 \(O^T O=1\) 到 \(SU(N)\) 群的 \(U^{\dagger} U = 1\) 就引出了下标

\begin{align} \psi_i \equiv \psi^{i*} \end{align}

因此

\begin{align} \zeta^{\dagger}\psi = \zeta^{j*}\psi^j = \zeta_j\psi^j \end{align}

把 \(U^{ij}\) 也写成 \(U^i_{\,j}\) 的形式, 来保证上标只和下标求和, 下标只和上标求和, 所以 tensor 之间的变换就写为

\begin{align} \psi^i \to& \psi'^i = U^i_{\,j} \psi^j \\ \psi_i \to& \psi'_i = \psi_j (U^{\dagger})^j_{\,i} \end{align}

总的来说就是: 上标由 \(U\) 变换, 下标由 \(U^{\dagger}\) 变换.

Example:

\begin{align} \phi^{ij}_k \to \phi'^{ij}_k = U^i_{\,l} U^j_{\,m} \phi^{lm}_n (U^{\dagger})^n_{\,k} \end{align}

在此记法下, 它们的 trace 为一个上标和一个下标的求和

\begin{align} \delta^k_{\,j} \phi^{ij}_k \equiv \phi^{ij}_j \end{align}

Exercise:

\begin{align} \phi^{ij}_j \to U^i_{\,l}U^j_{\,m} \phi^{lm}_n(U^{\dagger})^n_{\,j} =& U^i_{\,l}\delta ^n_{\,m} \phi^{lm}_n = U^i_{\,l} \phi^{ln}_n \end{align}

\(SO(N)\) 群的不可约表示

因为上标和下标按不同的方式变换, 所以它们各自有独立的对称性.

书上说

Thus, in summary, the irreducible representations of \(SU(N)\) are realized by traceless tensors with definite symmetry properties under permutation of indices.

Convince yourself that for \(SU(N)\) , the dimensions of the representations defined by the following tensors \(\phi^i\) , \(\phi^{ij}\) (antisymmetric), \(\phi^{ij}\) (symmetric), \(\phi^i_{\,j}\) , and \(\phi^{ij}_k\) (antisymmetric in the upper indices) are, respectively, \(N , N (N − 1)/2, N (N + 1)/2, N^2 − 1\) and \(\frac{1}{2} N (N − 2)(N + 1)\).

Example:

symmetric traceless representation \(S^{ij}_k = S^{ji}_k\) 是 \(\frac{1}{2}N(N+1)N-N =\frac{1}{2}N(N-1)(N+2)\) 维的.

先不考虑下标, 目标的对称表示共有 \(\frac{1}{2}N(N+1)\) 种, 下标还有 \(N\) 种可能, 再 减去 \(N\) 个迹. 这 \(N\) 个迹 \(S^{ij}_i\) 对应 \(N\) 个不同的 \(j\) .

Exercise: 说明 antisymmetric traceless representation \(A^{ij}_k = - A^{ji}_k\) 是 \(\frac{1}{2}N(N-1)N - N = \frac{1}{2}N(N+1)(N-2)\) 维的.

\(SU(N)\) 群的不可约表示是由具有确定对称性的无迹张量生成的. (不知道第二句话的意思 是否是说所有的 \(SU(N)\) 群的不可约表示都只有这几个维度, 这里貌似是不加证明地给出 了这个结论) .

Example:

\(SU(5)\) 有 \(5, 10, 15, 24, 45\) 维的不可约表示.

上下标之间的移动

前面用到了 \(SU(N)\) 的 unitary \(U^{\dagger}U = 1\) . 它可以如下表示

\begin{align} \varepsilon_{i_1i_2\cdots i_N} U^{i_1}_{\,j_1}U^{i_2}_{\,j_2} \cdots U^{i_N}_{\,j_N} = \varepsilon_{j_1j_2\cdots j_N} \end{align}

两边同时乘 \((U^{\dagger})^{j_N}_{p_N}\) 并对 \(j_N\) 求和有

\begin{align} \varepsilon_{i_1i_2\cdots i_N} U^{i_1}_{\,j_1}U^{i_2}_{\,j_2} \cdots U^{i_N}_{\,j_N}(U^{\dagger})^{j_N}_{p_N} =& \varepsilon_{j_1j_2\cdots j_N}(U^{\dagger})^{j_N}_{p_N} \\ \Downarrow& \\ \varepsilon_{i_1i_2\cdots p_N} U^{i_1}_{\,j_1}U^{i_2}_{\,j_2} \cdots U^{i_{N-1}}_{\,j_{N-1}} =& \varepsilon_{j_1j_2\cdots j_N}(U^{\dagger})^{j_N}_{p_N} \end{align}

重复上述过程可以把 \(U\) 换成 \(U^{\dagger}\) .

Example:

定义

\begin{align} \phi_{kpq} \equiv \epsilon_{ijpq} \phi^{ij}_k \end{align}

那么它的变换

\begin{align} \varepsilon_{ijpq} \phi^{ij}_k \to \varepsilon_{ijpq} U^i_{\,l}U^j_{\,m} \phi^{ij}_k (U^{\dagger})^n_{\,k} = (U^{\dagger})^s_{\,p}(U^{\dagger})^t_{\,q}(U^{\dagger})^n_{\,k} \phi_{nst} \end{align}

总结一下, 用两个反对称符号, 就可以将 \(SU(N)\) 群张量的上下标上下移动.

Reference