\(SU(2)\) locally isomorphic to \(SO(3)\)
在牛津高阶中, iso- 与 morph 的解释为
iso-: equal
morph: to change smoothly from one image to another using computer action to change, or make sb/sth change into sth different
那么 isomorphic 的意思就是 equal change, 相同的变换, 也就是同构. 选 traceless hermitean 的 Pauli 矩阵 \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) 做为 \(SU(2)\) 群的基底, 对于 一个 \(SO(3)\) 的自然表示基底中的一个 vector \(\vec{V} = (x, y, z)\) , 它们是对应的
| SO(2) | SU(2) | |
| basis | \((\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z)\) | \((\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)\) |
| 三维空间中的 vector: \(\vec{V}=(x, y, z)\) | 任意 traceless hermitean \(2\times 2\) matrix: \(X = \left(\begin{array}{cc} z&x-\mathrm{i}y \\ x+ \mathrm{i}y & -z \end{array}\right)\) | |
| transformation | \(\vec{V}' = R \vec{V}\) | \(X' = U^{\dagger} XU\) |
| element | \(R\) | \(U\) |
| invariant | \(V = x^2 + y^2 + z^2\) | \(\det X = -(x^2 + y^2 + z^2)\) |
上表在说明 \(SU(2)\) 和 \(SO(3)\) isomorphic. 而 locally 是说并不是真的 isomorphic , 因为 \(SU(2)\) 中元素 \(U\) 和 \(-U\) 对应 \(SO(3)\) 中的同一个 \(R\) . 因此 \(SU(2)\) covers \(SO(3)\) twice.
Lie algebra of \(SU(2)\)
群元 \(U=e^{\mathrm{i}H}\) . \(U^{\dagger}U = 1\) 要求 \(H\) 是 hermitean 的. \(\det U = 1\) 要求 \(H\) 是 traceless 的. 对于 \(SU(2)\) , 一个 \(2\times 2\) 的 traceless hermitean 的 矩阵有 \(N^2 - 1 = 3\) (去掉 \(1\) 个 trace)个独立的变量. 对于 \(SU(2)\) 来说, 就是由 \(3\) 个 Pauli matrix 来线性组合成任意 \(2\times 2\) traceless hermitean 的 \(H\)
Exercise:
对于 \(SO(N)\) 来说, 需要的 \(\frac{1}{2}N(N-1)\) . 如何得出这个结论.
Example:
\(SU(2)\) 的参数个数是 \(2^2 - 1 = 3\) 个. \(SO(3)\) 的参数个数是 \(\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot(3 - 1) = 3\) 个. 它们的参数个数是相同的.
Pauli 矩阵的所有性质都包含在下式中
\begin{align} \sigma_a\sigma_b = \delta_{ab} + \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c, \quad \mathrm{where}\quad a, b, c= 1, 2, 3 \end{align}Example:
当 \(b = a\) 时, 可得 \((\sigma_{a})^2 = I\)
Example:
当 \(b\neq a\) 时, 可得 \(\sigma_a\sigma_b = \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c\) , 也就是 \(\sigma_1\sigma_2 = \mathrm{i}\sigma_3\) 以及类似结果
Example: 通过交换 \(a, b\) 可得以下两式
\begin{align} \sigma_a\sigma_b = \delta_{ab} + \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c \sigma_b\sigma_a = \delta_{ab} - \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c \end{align}两式相差可得 Pauli 矩阵的对易关系
\begin{align} [\sigma_a, \sigma_b] = 2 \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c \end{align}两式相加可得 Pauli 矩阵的反对易关系
\begin{align} \{ \sigma_a, \sigma_b \} = 2 \delta_{ab} \end{align}
\(SU(N)\) 群的李代数可以由 \([T^a, T^b] = \mathrm{i}f^{abc}T^c\) 给出, 那么根据上面的关 系, 就可以得到 \(SU(2)\) 群的李代数
\begin{align} \left[ \frac{\sigma_a}{2}, \frac{\sigma_b}{2} \right] = \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\frac{\sigma_c}{2} \end{align}也就是说 \(SU(2)\) 的 generators \(T^a\) 由 \(\frac{\sigma_a}{2}\) , \(SU(2)\) 的 structure constant 就是反对称张量 \(f^{abc} = \varepsilon^{abc}\) . 可以看出, 它和 \(SO(3)\) 李代数是相同的.
The group elements of \(SU(2)\)
\(SU(2)\) 的任何元素都可以写为
\begin{align} U = e^{\mathrm{i} \phi_a \frac{\sigma_a}{2}} = \cos \frac{\phi}{2}\,I + \mathrm{i}\hat{\phi}\cdot\vec{\sigma}\sin \frac{\phi}{2} \end{align}现在看 \(U^{\dagger} X U\) 是如何作用的. 不失一般性地, 取 \(\phi\) 的方向沿 \(\sigma_3\) , 也就是说 绕 \(z\) 轴旋转.
\begin{align} U^{\dagger} X U =& \left[ \cos \frac{\phi}{2}\,I - \mathrm{i}\sigma_3\sin \frac{\phi}{2} \right] (x\sigma_1 + y\sigma_2 + z\sigma_3) \left[ \cos \frac{\phi}{2}\,I + \mathrm{i}\sigma_3\sin \frac{\phi}{2} \right] \\ =&\left( \begin{array}{ccc} \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi & -\sin\phi&0 \\ \sin\phi&\cos\phi&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) \end{align}Exercise:
计算 \(U^{\dagger} X U\) .
\begin{align} U^{\dagger} \sigma_1 U = \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_1 + \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_3\sigma_1\sigma_3 + \mathrm{i}\sin \frac{\phi}{2}\cos \frac{\phi}{2}[\sigma_1, \sigma_3] \end{align}而 \(\sigma_3\sigma_1\sigma_3 = \sigma_3\{\sigma_1\sigma_3\} - \sigma_3\sigma_3\sigma_1 =2 \sigma_3 \delta_{13} - \sigma_1 = -\sigma_1\) , \([\sigma_1, \sigma_3] = 2\mathrm{i}\epsilon_{132}\sigma_2 = -2\mathrm{i}\sigma_2\) 所以
\begin{align} U^{\dagger} \sigma_1 U =& \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_1 - \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_1 +2\sin \frac{\phi}{2} \cos \frac{\phi}{2} \sigma_2 \\ &= \cos \phi \,\sigma_1 + \sin \phi\, \sigma_2 \end{align}同样的
\begin{align} U^{\dagger} \sigma_2 U =& \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_2 - \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_2 -2\sin \frac{\phi}{2}\cos \frac{\phi}{2} \sigma_1 \\ = & \cos \phi \, \sigma_2 - \sin \phi \, \sigma_1 \end{align}对于 \(U^{\dagger} \sigma_3 U\) , \(\sigma_3\sigma_3\sigma_3 = \sigma_3\) , \([\sigma_3, \sigma_3] = 0\) 所以
\begin{align} U^{\dagger} \sigma_3 U = \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_3 + \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_3 = \sigma_3 \end{align}将以上三个结果合在一起为
\begin{align} U^{\dagger} X U =&U^{\dagger} \left( \begin{array}{ccc} \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) U \\ =&\left( \begin{array}{ccc} \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi & -\sin\phi&0 \\ \sin\phi&\cos\phi&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) \end{align}
注意, 以上并没有用到 Pauli 算符的具体形式. 这样我们就找出了 \(U = e^{\mathrm{i}\phi_a \frac{\sigma_a}{2}}\) 所对应的 \(SO(3)\) 群中的群元, 它就对应 \(SO(3)\) 中 对应的角度 \(\vec{\phi}\) 的转动.
如果把 Pauli 矩阵代入, 会有下面的矩阵
\begin{align} \left( \begin{array}{cc} z & x - \mathrm{i}y \\ x + \mathrm{i}y & -z \end{array} \right) \end{align}和下式对比
\begin{align} U = e^{\mathrm{i} \phi_a \frac{\sigma_a}{2}} = \cos \frac{\phi}{2}\,I + \mathrm{i}\hat{\phi}\cdot\vec{\sigma}\sin \frac{\phi}{2} \end{align}注意区分上面两个式子, 第一个式子是 tarceless hermitean 的. 而第二个式子是满足 \(U^{\dagger}U = 1, \det U = 1\) , 但并不是 tarceless hermitean 的. 所以只有第二个式子是 \(SU(2)\) 的一个表示
如果我们再次不失一般性地取 \(\vec{\phi}\) 沿 \(\sigma_3\) 方向, 那么
\begin{align} U(\phi) = \left( \begin{array}{cc} e^{\mathrm{i}\frac{\phi}{2}} &0 \\ 0 & e^{-\mathrm{i}\frac{\phi}{2}} \end{array} \right) \end{align}上式是 \(SU(2)\) , 可以看出, 对于 \(\phi\in[0, 2\pi)\) 和 \(\phi\in[2\pi, 4\pi)\) ,它对应不同的群元, 但是它对应的 \(SO(3)\) 转动却是相同的, 从这个意义上来说, 它不构成 \(SO(3)\) 的一个通常意义上的表示, 它有时被叫做又会表示( a double-valued representation of \(SO(3)\) ) .
Reference
- A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, 2016, Princeton University Press