any

$r > r_0$ 时, $V(r) = 0$ , 径向 Schrodinger 方程为

$\label{eq:sq} -\chi'' + \frac{l(l+1)}{r^2}\chi = k^2 \chi$

将 $\chi$ 在 $k=0$ 处做低能展开

$\chi(r) = \phi(r) + k^2 f(r) +k^4 g(r) + \mathcal{O}(k^6)$

将展开代回到 $(\ref{eq:sq})$ , 对比 $k$ 的系数得到:

零能时, 也就是 $\phi$ 满足的方程为

$\label{eq:phi} - \phi '' + \frac{l(l+1)}{r^2}\phi = 0$

$f$ 满足的方程为

$\label{eq:f} - f '' + \frac{l(l+1)}{r^2}f = \phi$

$g$ 满足的方程为

$\label{eq:g} - g'' + \frac{l(l+1)}{r^2}g = f$

s-wave

$l = 0$ 代入 $(\ref{eq:phi})$ 零能解为

$\phi \propto \sharp_1 + \sharp_2 r$

舍去一个归一化因子, 相对系数可定义散射长度

$\label{eq:phi_s} \phi = 1 - \frac{r}{a}$ $\psi(r)|_{k=0} = \frac{\chi(r)}{r} \propto \frac{1}{r} - \frac{1}{a}$

$(\ref{eq:phi_s})$ 代入 $(\ref{eq:f})$ 解得

$f = -\frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{6a} + C_1 + C_2 r$

重新定义 $f \to f - C_1\phi$ (这总是可以做到的, 因为相当于直接在展开的时候令 $\chi = \phi + k^2 (f-C_1\phi) + k^4 g$ , $f - C_1 \phi$ 也可以做一到是任意函数 ) ,并用系数定义 effective range

$\label{eq:f_s} f = -\frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{6a} + \frac{r_s}{2} r$

$(\ref{eq:f_s})$ 代入 $(\ref{eq:f})$ ,并做类似地处理 ( $g\to g - \cdots$ , 定义 $r_s’$ ) 得到 ( $r_s’$ 的系数why?1/24?? )

$g = \frac{r^4}{24} - \frac{r^5}{120a} - \frac{r_s}{12}r^3 +\frac{r_s'}{24}r$

s-wave 非零能的径向方程实际是严格可解的, 舍去一个归一化系数, 另一个系数定义相移( 是 $k$ 的函数 ), 形式为

$\psi(r) = \frac{\sin (k r + \delta_k)}{r\sin\delta_k}$

$\psi(r)$ 也做低能 $k\to 0$ 的展开

$\psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} = \cot\delta_k \sin(kr)\frac{1}{r} + \cos(kr)\frac{1}{r} = \frac{1}{r} + k\cot\delta_k + \mathcal{O}(r^2)$

$k\cot\delta_k$ 为 $r^0$ 的系数, 因此得到 $k\cot\delta_k$ 低能展开

$k\cot \delta_k = -\frac{1}{a} + k^2\frac{r_s}{2} + k^4 \frac{r_s'}{24} + \mathcal{O}(k^6)$

p-wave

$l = 1$ 代入 $(\ref{eq:phi})$ 零能解为零能时

$-\phi'' + \frac{1\times(1+1)}{r^2}\phi = 0$

解为

$\phi(r) \propto \sharp_1 r^2 + \sharp_2 \frac{1}{r}$

舍去一个归一化因子, 相对系数可定义 $v$

$\label{eq:phi_p} \phi(r) = \frac{1}{r} - \frac{r^2}{3v}$

$(\ref{eq:phi_p})$ 代入 $(\ref{eq:f})$ 解得

$f = \frac{r}{2} + \frac{r^4}{30v} + \sharp_1 r^2 +\sharp_2 \frac{1}{r}$

与 s-wave 类似的处理, 用系数定义 $R$ , 重新定义后的 $f$ 为

$f = \frac{r}{2} + \frac{r^4}{30v} - \frac{r^2}{3R}$

所以

$\psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} = \left( \frac{1}{r^2} - \frac{r}{3v} \right) + k^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{r}{3R} + \frac{r^3}{30v} \right) + \mathcal{O}(k^4)$

~~p-wave 非零能的径向方程的严格解是求 Bessel 函数, 舍去一个归一化系数, 另一个系数定义相移( 是 $k$ 的函数 ), 在 $r\to\infty$ 的渐近形式为~~

$\begin{align} \psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} \sim& \frac{1}{r\sin\delta_k}\sin\left(kr - \frac{1}{2}\pi + \delta_k \right) \\ =& -\frac{1}{r}\cot \delta_k + k + r\frac{k^2}{2}\cot\delta_k+\mathcal{O}(r^2)\quad, \quad \mathrm{as}\, r \to\infty \end{align}$

将严格解也在低能展开 ( 此式的来源??? )

$\psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} \propto \cot\delta_k j_1(kr) - y_1(kr) = \frac{1}{k^2 r^2} + \frac{1}{2} + \frac{r}{3}k \cot\delta_k + \mathcal{O}(r^2)$

对比 $\frac{1}{r^2}$ 及 $r$ 的系数可得

$\cot \delta_k = -\frac{1}{v k^3} - \frac{1}{kR} + \mathcal{O}(k)$

d-wave

$l = 2$ 代入 $(\ref{eq:phi})$ 零能解为零能时

$-\phi'' + \frac{2(2+1)}{r^2}\phi = 0$

解为

$\phi(r) = \sharp_1 r^3 + \sharp_2 \frac{1}{r^2}$

舍去一个归一化因子, 相对系数可定义 $D$

$\label{eq:phi_d} \phi(r) = \frac{1}{r^2} - \frac{r^3}{45 D}$

$(\ref{eq:phi_d})$ 代入 $(\ref{eq:f})$ 解得

$f = \frac{1}{6} + \frac{r^5}{630 D} + \sharp_1 r^3 + \frac{\sharp_2}{r^2}$

与 s-wave 类似的处理, 用系数定义 $v$ , 重新定义后的 $f$ 为

$\label{eq:f_d} f = \frac{1}{6} + \frac{r^5}{630 D} - \frac{r^3}{45v}$

$(\ref{eq:f_d})$ 代入 $(\ref{eq:g})$ ,并做类似地处理 ( $g\to g - \cdots$ , 定义 $r_s’$ ) 得到

$\begin{align} g =& \frac{r^5}{630 v} + \frac{r^2}{24} - \frac{r^7}{22680 D} + \sharp_1 r^3 + \frac{\sharp_2}{r^2} \\ \Rightarrow g =& \frac{r^5}{630 v} + \frac{r^2}{24} - \frac{r^7}{22680 D} -\frac{r^3}{45R} \end{align}$

所以

$\begin{align} \psi(r) =& \frac{\chi(r)}{r} = \frac{\phi(r) + k^2 f(r) +k^4 g(r) + \mathcal{O}(k^6)}{r} \\ =& \left(\frac{1}{r^3} - \frac{r^2}{45 D} \right) +k^2\left( \frac{1}{6} + \frac{r^5}{630 D} - \frac{r^3}{45v} \right) +k^4\left( \frac{r^5}{630 v} + \frac{r^2}{24} - \frac{r^7}{22680 D} -\frac{r^3}{45R} \right) \end{align}$

将严格解也在低能展开

$\psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} \propto \cot\delta_k j_2(kr) - y_2(kr) = \frac{3}{k^3 r^3} + \frac{1}{2kr} + \frac{kr}{8} + \frac{r^2}{15}k^2 \cot\delta_k + \mathcal{O}(r^3)$

对比系数得

$\cot \delta_k = - \frac{1}{Dk^5} - \frac{1}{vk^3} - \frac{1}{kR} + \mathcal{O}(k)$