Intro
Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. (Princeton University Press, 2010). I.7 Feynman Diagrams 书中 23 页 \((23)\) 式中的 symmetry factor \(\frac{1}{2}\) , 自己算出的却是 \(\frac{3}{2}\) , 引发了 2021.4.9-2021.4.10 一天 半的计算. 还联系请教了本科毕业就没再联系的小浪底同学.
期间忙于科研和组会, 直到今日才得空整理!
Symmetry Factor
其实本来是很简单的问题. 但是要确信, 或者说保证计算的 symmetry factor 一定是对的, 那就只有把所有的 \(J^4, \lambda^2\) (二阶四点格林函数)阶的所有的图都画出来, 才能保证不重不漏. 因为总的图的个数是确定的, 因为根据 wick 定理, \(8\) 个算符 contract, 总共有 \(11!!\) 种 contraction, 也就是有 \(11!!\) 个图. 把这些图分类, 再计算每一类在 \(11!!\) 中占的比 重, 就能不重不漏, 准确无误地确定 symmetry factor 了.
下图就是一步一步地连, 每连一步, 都验证图的总个数是 \(11!!\) . 最终的结果都归为第二 张图中 a-n 中的某一类. 而 a-n 中些类是一样的, 所以最终结果就是第三张图中 a-l 十 一类.
手工做好分类, 可以用一个程序来保证复杂数值计算的正确性, 最终 a-n 每一类中图的个 数为
('a_', 180) |
并验证总的个数为 \(11!! = 10395\) . 至此分类完成!
最终 a-n 归类到 a-l 的结果为(第一列有点乱了,仅参考, 重要的结果是第二, 三列)
a-n | a-l | number |
h, j, n | a | 1728 |
2c/3, k, p | b | 2304 |
f, g | c | 864 |
c/3, d | d | 1728 |
i, m | e | 1728 |
12*148, l | f | 1152 |
72, 72 | g | 144 |
27 | h | 27 |
12*6 | i | 72 |
a, 12*3 | j | 216 |
i(编号时把 i 给漏了…) | ||
e, 3*72 | l | 432 |
sum | 10395 |
所以 a 图的 symmetry factor 为 \(\frac{1728}{2! (4!)^2} = \frac{3}{2}\) . 但应该是 \(\frac{1}{2}\) . 这可能是由于需要给固定入射的两个粒子? 或许看到后面会明白吧!
Code
import numpy as np |
Reference
- Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. (Princeton University Press, 2010). I.7 Feynman Diagrams
- https://physics.stackexchange.com/questions/73382/symmetry-factor-of-a-second-order-four-point-function-term-of-the-phi4-theor