问题
对于自旋$\frac{1}{2}$，有如下对易关系 - \begin{equation} \label{eq:1} [S^{\mp},S^{\pm}] = \mp2 \hbar S ^{z} \end{equation} - \begin{equation} \label{eq:2} [S^{\pm},S^{z}] = \mp \hbar S^{\pm} \end{equation}
数学证明
这是trival的，懒得证明啦！
物理理解
对于($\ref{eq:1}$)
首先，升降算符乘在一起是\(\mid S^{z}=\pm \frac{1}{2}\rangle\) 的本征态
$$\begin{align*} S^{+}\mid -\frac{1}{2}\rangle =& \hbar \sqrt{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1\right)}\mid -\frac{1}{2} \rangle = \hbar \mid \frac{1}{2}\rangle \\ S^{+}\mid \frac{1}{2}\rangle =& 0\\ S^{-}S^{+}\mid - \frac{1}{2}\rangle =& \hbar^{2} \mid -\frac{1}{2}\rangle\\ S^{-}S^{+}\mid \frac{1}{2} \rangle=&0 \end{align*}$$所以
$$\begin{align*} [S^{-},S^{+}] = S^{-}S^{+} - S^{+}S^{-} \end{align*}$$右边的两项中，对于\(\mid \frac{1}{2}\rangle\) 只有第二项不为零，作用结果是\(-\hbar^{2}\) 。对于\(\mid- \frac{1}{2}\rangle\) 只有第1项不为零，作用结果是\(\hbar^{2}\) 。综合看来结果就是\(-\hbar^{2}\cdot \frac{2}{\hbar} S^{z}= -2\hbar S^{z}\)