问题

从 Dirac delta 函数的定义:

  • 对于任意函数 $f(x)$ 都有 \begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \delta(x) \mathrm{d}x = f(0) \end{align*} 则 $\delta(x)$ 为Dirac dleta 函数.

出发,证明对于任意的函数 $g(x)$ , Dirac delta 函数都有如下性质:

  • 对于任意函数 $g(x)$ ,和任意不包含 $0$ 的区间 $[a,b]$ , Dirac delta 函数 $\delta(x)$ 都有: \begin{align*} \int_a^b g(x)\delta(x) \mathrm{d}x = 0 \end{align*}

证明

构造函数: \begin{align*} h(x) = \left\{ \begin{aligned} A \quad &,x \in [a,b] \\ 0 \quad&,x \notin [a,b] \end{aligned} \right. \end{align*} 其中 $A$ 是非零常数, 则有 \begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)h(x) \delta(x) \mathrm{d}x & g(0)h(0) 0 \\ & \int_a^bAg(x) \delta(x) \mathrm{d}x A \int_a^b g(x)\delta(x) \mathrm{d}x \end{align*} $A$ 不为零,所以 \begin{align*} \int_a^b g(x)\delta(x) \mathrm{d}x = 0 \end{align*} 得证.

总结

所以Dirac delta 函数只需要一条定义足以. 其它的性质都可以由定义推出.

致谢

感谢导师 Ran Qi 的解答.