Feynman Path Integral Note

Table of Contents

1. Propagators

1.1. Heisenberg 表象中的态的内积

Propagator 可以看作是 Heisenberg 表象中的态的内积, 即

\begin{align} \langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle = [\langle x_N | U(t_N, 0)] \cdot[ U(0,t_0)| x_0 \rangle] \end{align}

1.2. 演化算符的矩阵元

Propagator 可以看作是演化算符的矩阵元, 即

\begin{align} \langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle = \langle x_N | U(t_N, t_0) | x_0 \rangle \end{align}

物理意义解释为: \(t_0\) 时刻处于 \(|x_0\rangle\) , 然后演化到 \(t_N\) 时刻, 这时在态 \(| x_N\rangle\) 上的投影, 即在态 \(| x_N\rangle\) 上的概率振幅, 就是 Propagator .

2. Feynman's Path Interal

2.1. 核心思路

算得了 Propagator , 就知道了体系的演化, 问题就得到了解决. 所以是目标就 是计算 Propagator .

一个基本的假设是

\begin{align} \langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle \quad \mathrm{corresponds\quad to } \quad e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S(0,N)} \end{align}

其中 \(S\) 是作用量

\begin{align} S(N,0) = \int_{t_0}^{t_N}\mathrm{d}t \cdot L(x, \dot{x}) \end{align}

\(L\) 是经典的拉氏量. 但是 \(L\) 是 \(x\) 和 \(\dot{x}\) 的函数. 所以只有选定 一个路径后, \(S(N,0)\) 才有明确定义. 怎么办呢?

解决方法是, 插入完备基. 在 Heisenberg 表象中, 每个时刻的位置的本征态都 可以看作是一组完备基. 即

\begin{align} \int \mathrm{d}^3 x\cdot |\vec{x},t\rangle \langle \vec{x},t | = 1 \end{align}

在 \(t_0\) 和 \(t_N\) 之间插入无穷多组完备基, 也就是

\begin{align*} &\langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle \\ =& \int\mathrm{d}^3 x_{N-1}\cdots \int\mathrm{d}^3 x_1 \cdot \langle x_N, t_N |\vec{x}_{N-1},t_{N-1}\rangle \langle \vec{x}_{N-1},t_{N-1} | \cdots |\vec{x}_1, t_1\rangle \langle \vec{x}_1, t_1 | x_0 , t_0 \rangle \end{align*}

其中 \(N\to \infty\) . 这样相当于对于所有的路径都作了计算, 也就是

\begin{align} \langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle \quad \sim \quad \sum_{\mathrm{all\,paths}} e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S(N,0)} \end{align}

对于无穷短间隔内的 Propagator , 将其假设为

\begin{align} \langle x +\Delta x , t + \Delta t |x , t \rangle = \frac{1}{\omega(\Delta t)} e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S} \end{align}

其中 \(\omega(\Delta t)\) 是只与 \(\Delta t\) 的大小有关的一个归一化系数.

这样, 就得到了 Feynman 的 Path Integral 的表达式

\begin{align*} &\langle x_N, t_N | x_0 , t_0 \rangle \\ =& \lim_{N\to \infty}\frac{1}{[\omega(\Delta t)]^{N-1}}\cdot \int\mathrm{d}^3 x_{N-1}\cdots \int\mathrm{d}^3 x_1 \cdot e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S(N,0)}\\ =&\int_{x_1}^{x_N}\mathcal{D}[x(t)] \cdot e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S(N,0)}\\ \end{align*}

第二个等号采用了新的记号

\begin{align} \int_{x_1}^{x_N} \mathcal{D}[x(t)]\equiv \lim_{N\to \infty}\frac{1}{[\omega(\Delta t)]^{N-1}}\cdot \int\mathrm{d}^3 x_{N-1}\cdots \int\mathrm{d}^3 x_1 \end{align}

2.2. 归一化系数

下面来求归一化因子 \(\omega(\Delta t)\) (假设它与势无关), 可以用自由粒子 的拉氏量. 然后, 利用完备基的正交归一性

\begin{align} \lim_{\Delta t\to 0} \langle x +\Delta x , t + \Delta t |x , t \rangle = \delta (\Delta x) \end{align}

那么

\begin{align} \lim_{\Delta t\to 0}\frac{1}{\omega(\Delta t)} e^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S} = \delta (\Delta x) \end{align}

下面先把 \(S\) 算出来

\begin{align} S = \int_t^{t+\Delta t} \mathrm{d} t' \cdot \left[ \frac{m}{2}\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2 \right] = \frac{m (\Delta x) ^2}{2\Delta t} \end{align}

上式中由于是自由粒子, 所以粒子是直线运动, 速度为 \(\Delta x/\Delta t\) . 将算出来的 \(S\) 代回原式并对 \(\Delta x\) 在全空间积分得

\begin{align} \frac{1}{\omega(\Delta t)} \cdot\int \mathrm{d}\Delta x \cdot e^{\frac{\mathrm{im (\Delta x)^2}}{2 \hbar \Delta t}} =\frac{1}{\omega(\Delta t)} \sqrt{\pi\frac{2\hbar \Delta t}{m}} =1 \end{align}

即求得归一化系数为

\begin{align} \frac{1}{\omega (\Delta t)} = \sqrt{\frac{m}{2\pi \hbar\Delta t}} \end{align}

3. Classical Limit

当 \(\hbar \to 0\) 时, 只有经典轨道有贡献. 所谓经典轨道, 即满足 Hamilton 原理的路径

\begin{align} \delta S = 0 \end{align}

. 这是因为, 不满足 Hamilton 原理的作用量 \(\delta S \neq 0\) , 而 \(\hbar \to 0\) , 所以作用量即使有很小的改变, 它对应的相位也会有很大的改变, 那么它在对 所有路径求和时, 相位会相干相消. 而只有满足 Hamilton 原理的路径, 它有微 小的改变时, 它的相位不会相消. 作用量在 \([-\hbar \pi, \hbar\pi]\) 内都会 有贡献.

一个周期内的相位都会相消, 只有作用量取平稳值的时候没有其它相位与它相消.

4. Equivalence to Schrodinger's Wave Mechanics

考虑从 Propagator 对时间的微分入手, 将从 \(t_0, x_0\) 到任意时刻 \(t, x\) 的 Propagator 在 \(t-\Delta t\) 处展开

\begin{align} \langle x, t| x_0, t_0 \rangle = \langle x, t-\Delta t | x_0 ,t_0 \rangle + \Delta t \frac{\partial}{\partial t} \langle x, t-\Delta t | x_0 ,t_0 \rangle + \mathcal{O}[(\Delta t)^2] \end{align}

同时, 也可以用 Path Integral 的方法计算 Propagator 然后再对应 \(\Delta t\) 的一阶项. 这样就用 Path Integral 求得 Propagator 对时间的一阶导数.

可以考虑在离 \(|x, t\rangle\) 无穷近的地方插入一组完备基

\begin{align} \langle x, t| x_0, t_0 \rangle = \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}\Delta x \cdot e^{-\lambda (\Delta x)^2 } \cdot e^{-\frac{\mathrm{i} V \Delta t}{\hbar}} \cdot \langle x- \Delta x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle \end{align}

其中拉氏量已代为 \(L = \frac{m}{2}\left( \frac{\Delta x}{ \Delta t} \right)^2 - V\) , 为了简便记 \(\lambda = \frac{m}{2\mathrm{i}\hbar \Delta t}\sim \frac{1}{\Delta t}\) . 将上式最后一项在 \(\langle x, t- \Delta t |\) 附近展开

\begin{align*} \langle x- \Delta x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle =& \langle x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle + \mathrm{Linear\, term}\\ &+ \frac{(\Delta x)^2}{2}\cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2} \langle x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle + \mathcal{O}[(\Delta x)^3] \end{align*}

上式中的线性项及其它奇数次幂项由于是奇函数, 积分后都为零, 所以不加考虑.

代回积分式中, 并将 \(e^{-\frac{\mathrm{i} V\Delta t}{\hbar}}\) 也按 \(\Delta t\) 进行 Taylor 展开, 可得

\begin{align*} \langle x, t| x_0, t_0 \rangle = \langle x, t-\Delta t | x_0 ,t_0 \rangle + \left[\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \cdot \frac{1}{2}\frac{1}{\lambda} -\frac{\mathrm{i}}{\hbar}V \Delta t\right] \langle x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle + \mathcal{O}[(\Delta t)^3] \end{align*}

注意式其中 \(\frac{1}{\lambda}\sim t\) . 其中利用了积分公式

\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d} x\cdot e^{-\lambda x^2} =& \sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \\ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d} x\cdot x^2e^{-\lambda x^2} =& -\frac{\partial}{\partial \lambda}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}} \end{align}

比较两种展开的一阶项可得

\begin{align} \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t}\langle x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle =\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +V\right]\langle x, t- \Delta t| x_0, t_0 \rangle \end{align}

此即 Schrodinger Equation !

5. Reference

J. J Sakurai, Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics 2ed:

  • Chap 2.6 Propagators and Feynman Path Integral

R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics 2ed:

  • Chap 8 The Path Integral Formulation of Quantum Theory

Date: 2019-04-24 Wed 00:00

Created: 2022-04-18 Mon 20:39

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