Drude Model and the Sommerfeld Theory of Metals

Table of Contents

1. Drude Model

1.1. 物理图像

金属元素的原子聚在一起形成金属时, 价电子分离出来, 并且在金属中自由的游荡, 而金属 离子保持完好, 扮演着不动的正电荷粒子的角色. 一个原子总共有 \(Z_{\alpha}\) 个电子. 总电量是 \(-Z_{\alpha}e\) (取 \(e\) 是正数). 价电子有 \(Z\) 个. \(Z_{\alpha}-Z\) 个电子 相对紧地束缚在原子核周围, 称为 core electrons.

Drude Model 的几个基本假设:

  1. 在碰撞之间, 电子与其它电子以及离子实的相互作用都被忽略(也就是忽略了长程库伦相 互作用). 前者为 independent electron approximation, 后者为 free electron approximation.
  2. 碰撞是瞬时的, 突然地改变电子的速度. 碰撞为电子与离子实的碰撞. 两次碰撞的平均 时间间隔为 \(\tau\) , 它有 relaxation time, collision time, mean free time 几种 不同的叫法. 那么电子发生碰撞的概率是 \(\frac{1}{\tau}\) .
  3. 电子只通过碰撞来达到与环境的热平衡. 电子在碰撞后, 速度与碰撞前的速度完全无关, 而时随机地得到一个与碰撞周围的温度相匹配的温度.

1.2. 主要结论

1.2.1. current density \(\vec{j}\) 和电场强度 \(\vec{E}\) 之间的线性关系

Ohm's 定律

\begin{align*} V =& I \cdot R \\ &\Downarrow \\ \vec{E} =& \rho \cdot \vec{j} \end{align*}

为什么要从第一式变到第二式. 因为 \(R\) 与导体的形状有关系. 而 \(\rho\) 只与导体的成 份有关系, 更加普适. 这是很重要的思想. 给导体加上电场在导体中, 能产生多大的电流, 就是 \(\rho\) 的意义, 用来描述导体的导电性的大小.

从更加微观的意义上考虑 current density

\begin{align} \vec{j} = -ne \vec{v} \end{align}

\(\vec{j}\) 从量纲上考虑是单位面积单位时间的电荷量. 电子的速度 \(\vec{v}\) 是长度比 上时间. \(n\) 是单位体积. 三者相乘就单位面积单位时间的电量.

\(\vec{v}\) 是一个平均速度. 通过假设推导 \(\vec{v}\) . \(\vec{v}\) 的产生原因是 \(\vec{E}\) 的存在. 因为无电场时, 没有电流, 即 \(\vec{v}=0\) .

考虑 \(\vec{E}\) 对 \(\vec{v}\) 的影响. 受到的力产生的加速度为

\begin{align} \vec{a} = -\frac{e \vec{E}}{m} \end{align}

考虑电子两次碰撞之间的时间 \(\tau\) 内产生的加速后的平均速度为

\begin{align} \vec{v}_{\mbox{avg}} = 0 - \frac{e \vec{E}\tau}{m} \end{align}

所以

\begin{align} \vec{j} = \frac{ne^2\tau}{m}\vec{E} \end{align}

微观量就可以由宏观可测的量推出

\begin{align} \tau = \frac{m}{\rho ne^2} \end{align}

1.2.2. 电子的运动方程

假设电子在 \(t\) 时刻的平均动量为 \(\vec{p}(t)\) , 外场给电子的力为 \(\vec{f}(t)\) .

在 \(\Delta t\) 时间内没有发生碰撞的电子, 对平均动量的贡献为

\begin{align} \vec{p}(t) + \int_t^{t+ \Delta t}\vec{f}(t)\mathrm{d}t \end{align}

将第二项展开到 \(\Delta t\) 的二阶(假设 \(\vec{f}(t)\) 的原函数为 \(\vec{F}(t)\) )

\begin{align} \int_t^{t+ \Delta t}\vec{f}(t)\mathrm{d}t =& \vec{F}(t+ \Delta t) - \vec{F}(t) \\ =& \vec{F}(t) + \vec{F}'(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 - \vec{F}(t)\\ =& \vec{f}(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \end{align}

所以

\begin{align} \vec{p}(t) + \int_t^{t+ \Delta t}\vec{f}(t)\mathrm{d}t = \vec{p}(t) + \vec{f}(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \end{align}

在 \(\Delta t\) 时间内发生碰撞的电子. 根据假设, 碰撞后, 它的平均动量为 \(\vec{0}\) . 所以它的经过不路 \(\Delta t\) 时间的受力后, 平均动量的量级为(可见碰撞后的电子速 度取为碰撞周围达到热平衡的条件是很重要的)

\begin{align} \vec{f}(t)\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \end{align}

那么在 \(\Delta t\) 时间后, 它的平均动量变为

\begin{align} \vec{p}(t + \Delta t) = \left( 1 - \frac{\Delta t}{\tau} \right) \left[ \vec{p}(t) + \vec{f}(t)\delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \right] + \frac{\Delta t}{\tau}\left[ \vec{f}(t)\delta t + \mathcal{O}(\Delta t)^2 \right] \end{align}

舍去 \(\mathcal{O}(\Delta t)^2\) , 取 \(\Delta t \to 0\) 后, 得到电子的运动 方程

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec{p}(t) = - \frac{\vec{p}(t)}{\tau} + \vec{f}(t) \end{align}

2. The Sommerfeld Theory of Metals

与 Drude Model 的主要区别在于将电子作为全同费米子来处理, 考虑 Fermi-Dirac 分布.

又名 Free Electron Model ,Drude-Sommerfeld Model.

3. 总结

随着学习的不断加深, 越来越要重视清晰的物理图像. 中学的物理由于物理图像都是日常生 活中的图像, 与经验相符, 所以已经自然而然地存在于经验当中, 所以重点在于学习用数学 来描述物理图像.

本科的学习不够深入, 只知道物理图像是必要的, 也没有体会到物理图像的重要性. 现在学 习的图像都很抽象, 之前似乎陷在数学之中了. 以后要非常重视清晰的物理图像.

4. Reference

Ashcroft, Mermin, Solid State Physics

https://en.wikipedia.org/wiki/Drude_model

Date: 2019-10-16 Wed 00:00

Created: 2022-04-18 Mon 20:39

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