Thomas-Fermi Theory

Sommerfeld Model

Sommerfeld Model 是考虑自由全同电子气体. 那么它的密度是与位置无关的

$$\begin{align} n_0(\varepsilon_F) = \frac{k_F^3}{3\pi^2} \end{align}$$

如果在 Sommerfeld Model 的基础上考虑在原点有一个固定不动的电荷, 那么它的密度就会与位置有关.

一个在离原点不远的 $\vec{r}$ 处的试探电荷, 感受到在原点的电荷给它的势能为

$$\begin{align} E_{\mathrm{pot}}(\vec{r}) = (-e) \phi(\vec{r}) \end{align}$$

Thomas-Fermi Model 的假设就是, 单粒子的能量修正假设为

$$\begin{align} E(\vec{k}) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - e\phi(\vec{r}) \end{align}$$

由于不确定关系, 等式左边给定了动量, 右边给定了位置, 两边是矛盾的. 因此, 只有在 $\phi(\vec{r})$ 在位置不确定关系的范围内基本不变可以看作常量时, 上式才有意义.

Ashcroft, Mermin, Solid State Physics

Wolfgang Nolting, Fundamentals of Many-body Physics