Intro
History and Background
1950s, pairing gap 的谱学观察, 是超导的重大实验进展.
gap 的测量, 为 investigating 配对粒子的性质提供了 key , 这些配对粒子是金属在低温 下无摩擦 current 的原因.
开创性的 BCS 理论, 在同时期也发展了起来, 它表明在简并费米海中的两个电子, 可以通 过有效的吸引相互作用 couple 在一起, 形成 delocalized 的, 具有 Bosonic 性质的复合 粒子.
BCS Theory 预测低温下的 gap $\propto T_C$ , 这与实验一致.
(推导这个预测, 找到实验文章)
In general, 超流, 超导物理早已超出了 BCS 理论的 weakcoupling limit .
strong coupling 极限下, Fermion 形成 localized Boson, 可以发生 BEC .
BCS limit 和 BEC limit 由一个 smooth crossover 连接, 三十多年来, 吸引了无数理论 研究.
配对的形成在 Fermi 系统超流中, 起了关键作用. 而 gap energy 又是 characterize paring regime 的 central quantity.
Exp review
超冷 degenerate Fermi gases 实验的迅速进展, 开启了独特的 testing ground. testing ground 用来研究低密度(比 condense matter 系统中低很多)下的配对超流现象.
cold atom 实验中, Feshbach resonances 为 control 2-body coupling strength (in gas) 提供了一个 powerful tool.
有了这样的 resonance, 强相互作用 degenerate Fermi gas 最近实现了.
又有一个重大突破! 都是因为有了 Fermion 组成的 molecular dimers 形成 BEC 的 creation. 突破是 strong coupling 极限下的 BEC 超流.
接下来, 调节 coupling strength, 探索 crossover 到 BCS-type system. 这 BEC-BCS crossover 和之前 predict 的共振超流有很大的联系, 也和 resonant interaction 的 Fermi gas 的 "universal behavior" 有联系.
(可以看看引用的 resonance superfluidity 文章)
观察到 atom pair 的 condensation, 以及测量到的 collective oscillations, support 了我们的期望, 什么期望呢, 在有 resonant interactions 的 fermi gases 中, 在目前可 得的温度下的实验超流. (那时还有没有观察到直流?)
Exp Setup
将 Li-6 制备在两个最低的两个态上. 然后 laser cooling and trapping evaporative cooling. 磁场从 650G 调到 950 G 的宽共振, 中心在 $B_0\approx 830\mathrm{G}$.
在 $B < B_0$ 的区域, $|1\rangle , |2\rangle$ 之间的散射长度是正的. 这里, 两体物理 supports 一个 weakly bound molecular 态, binding energy 是 $E_b=\hbar^2/(m a^2)$ . 形成的这些 molecules 可以 BEC .
$B=B_0$ 时, 2-body 相互作用共振, $a\to\infty$ , molecular 态的 binding energy 消 失.
Beyond the resonance , $B>B_0$ , 散射长度变负, 导致一个 effective 吸引. 在这个区 域, 2-body 的物理不 support 一个 weakly bound molecular level, 这里的配对只能是 由于 many-body effects.
This Exp
Exp process
实验可以控制 quantum gas 的温度, Fermi energy, 相互作用强度. 实验一开始有 $4\times 10^5$ 个 paired atoms (BEC 态)!
通过调 evaporation ramp 的 laser power, 可以调温度.
通过 recompression 来调 $T_\mathrm{F}$ . recompression performed by 升高 trap laser power after cooling process.
通过调磁场来调 interaction strength.
在 evaporative cooling 后进行 entropy 不变的绝热 change.
没有直接测量 deeply degenerate, strongly interacting Fermi gas 的比较好的方法, 只能测量等熵地变化到 BEC limit 之后的温度 $T'$ .
对于 deeply degenerate Fermi gas, 它真正的温度要比 $T'$ 低很多, 但现在还没有一个 general 的理论.
About RF spectroscopy
RF 谱作为研究 ultra cold Fermi gases 的相互作用的强力工具引入!
用 RF 谱测了 K-40 的 molecular binding energies, 那么就有用它观察 paring gap energy 的可能性.
用 RF 研究 Li-6 系统中的 interaction effects (up to 750 G).
强相互作用下没有了 mean-field shifts. 这种 effect 可能是由于在那个磁场范围内 Li-6 的三个态之间的散射过程同时被 unitarity-limited 了!
mean-field shift 指的是, $|1\rangle , |2\rangle$ 如果没有相互作用, $I(\nu)$ 应该 是在 $\nu=0$ 处有一个 peak. 如果 $|1\rangle , |2\rangle$ 之间有一个小的相互作用, 那么 $|2\rangle$ 的能量会被 shift 比如 $g_{12}n_1 n_2$, 这个能量就是 mean-field shift.
Li-6 的这个性质非常好, 因为它 suppresses 了 mean-field 的 bordening 和 shifts!
Loss of $|2\rangle$
我们在 ~80 MHz 时 drove 从 $|2\rangle$ 到空的 $|3\rangle$ 上的 RF transitions. 并在 weak excitation by 1-s RF pulse 之后 monitored $|2\rangle$ 上 原子的 loss.
实验经过优化, 得到分辨率为 100 Hz, 对应于 5nK 的 INTERACTION EFFECTS (比 $T_{\mathrm{F}}$ 低两个数量级还多) .
Results: Fig 1
Fig 1
在 $T$ 和 $a$ 不同的区域进行了测量.
在 720 G 实现了 molecular. 在共振区, 选了两个磁场, 因为并不知道精确的 $B_0$ 的位 置, 可以认为分别高于和低于 $B_0$ , 为 820 G 和 837 G .
$a\ll 0$ 的区域也研究了, 是 $B=$875 G , $a\approx -600 nm$ .
在 $T\approx 6T_{\mathrm{F}} (T_{\mathrm{F}}=15 \mathrm{\mu K})$ 的时候, 谱 take in 一个 "hot" thermal sample , 表示 narrow atomic transition line . 就把这个峰的 位置当作参考位置. 选裸的原子跃迁频率作为参照.
Inhomogeneity
理论上了研究了谱信号(给了一些参考文献, 可以读).
pairing 过程是清晰双峰结构. 这是因为 paired 和 unpaired 原子共存.
paired 原子的峰的频率变化比 unpaired 峰频率高, 因为 pair breaking 需要能量.
为了理解谱, pair 信号的 homogeneous line shape, 以及 inhomogeneous line 展宽(由 于在 harmonic trap 中的 density 分布) 都需要考虑.
算的是一个 uniform 的系统. 但实际的系统在 trap 里, 只要 $a_s$ 是有限的, 在 trap 边界上 $density \to 0$ , 对应的 $k_{\mathrm{F}}\to 0$ ,中间 density 高, $k_{\mathrm{F}}$ 可能趋于无穷大. 测的结果是做了 trap average 以后的结果, 这个会 brodening 这些.
作为一种 inhomogeneity 效应, 由于多体而导致的费米子配对, 占据了中的高密度, 而 unpaired atoms 几乎都在 trap 的低密度边缘 region.
如果 $a_s$ 是一个负的有限的值, 显然外面是弱相互作用区, 里面可能是强相互作用区. 相互作用越强, gap 越大. 比如在 BCS 极限下, $e^{-\pi/2k_{\mathrm{F}}|a|}$ , 在 trap 中心, 如果 $k_{\mathrm{F}}a~1$ , 属于强相互作用区. 到外面, $k_{\mathrm{F}}\to 0$ , 所以外面就变成 gap 非常小. 如果有限温度的话, 外面可能是 正常相, 因为它的 $T_{\mathrm{C}}$ 非常小. 这就是为什么大家都相做 box potential. 因为它是真正 uniform 的系统.
(为什么 pair 占中心)
对应于 pairs 的谱分量, shows 一个很大的 inhomogeneous 展宽, 这个展宽是在 homogeneous width 的 pair-breaking 信号的基础上展宽.
对于未配对的原子, homogeneous line 很窄, inhomogeneity 都可以忽略.
(这里重点理解)
这些理论解释了为什么一般 RF 谱都是一个 unpaired atoms 的 sharp peak 和 pairs 的 boredr peak.
Double peaks
在 $T/T_{\mathrm{F}}0.5$ 的时候, 观察到了清晰的双峰结构. 在 $B720 G$ 的分子区,
sharp 原子峰也从 broad dissociation 信号中分离出来, 这 show 了 molecular binding
energy.
在 $B\to B_0$ 的时候, peaks 开始 overlap. 在共振区仍然观察到了相对较窄的 atomic peak, 它和 pair signal 在一起.
对于远离共振的磁场, 在 900 G 就分辨不出双峰了.
Disappearance of the Narrow Atomic Peak
在 $T'/T_{\mathrm{F}}$ 时, RF 谱中的 narrow atomic peak 消失了. 这说明几乎所有原 子都配对了.
在 BEC 侧, dissociation line shape 与更高温度和 $E_{\mathrm{F}}$ 的 trap 下的完 全相同.
这里, localizd 的 pairs 是 molecules , 大小比粒子平均间距小很多, 所以 dissociation signal 与 density 无关.
在共振区, pairing 信号与 density 的依赖很明显. 在远离共振区(875 G) 时更明显. 我 们把这归因于 pair 的大小变得与粒子间距可比或大很多.
另外, 右下的窄 pair signal 表明一个在动量空间中 $k_{\mathrm{F}}$ 以下的 pair localization, 因此 pair size 比粒子间距大了.
在 BEC 那边, molecular 的尺寸就是 $a$ 的大小. 从 2-body 的 bound state 的 wave function $A e^{-r/a}$ 可以看出, 衰减长度为散射长度. 所以它的 size 就是 a. 所以如 果它的 size 要是比粒子间平均距离小很多的话, 它的分子分子这间就没有 overlap, 它就 是一个 well define 的分子. 但是这两个是可比, 或者说 molecular 的 size 比粒子子间平 均距离还大, 那这实际上并不是 well define 的. 它说的 localization 是说在一个分子里, 这两个原子是不是 loaclize 的. 分子大了以后, 分子和分子之间都是 overlap 在一起的, 它不是一些 well define, isolated 的 molecular. 最左边的图, 类似于分子和原子的一个 mixture, 分子就是分子, 原子就是原子, 它们只的 mix 在一起. 但是到了中间区域, 所有的分子全都 overlap 在一起, 它不能再看成是一些 well define 的分子, 所以它就没有一个很 shap 的 threshold.
分子寿命越长, threshold 就越 shap. 理想情况, 如果分子寿命无穷长, 它就是突然起来. 如果分子寿命是个有限寿命的激发, 它就比较平缓. 同样的, 左边这个峰, 它的峰的宽度就跟单粒子激发的寿命有关, 相互作用越弱, 单粒子激 发越 well define 的一个激发.
Results Fig 2
Fig 2
为了定量研究从 2-body molecular 到 Fermionic many-body 区域的 crossover, 我们测 量了 pairing energy (从 720 到 905 G).
pairing gap $\Delta \nu$ 定义为 pair-signal 的最大值和 bare atomic 共振之差.
在 BEC limit, effective pairing gap 简单地反映出了 molecular 的 binding energy.
磁场增大, 在 BEC-BCS crossover 中, $\Delta \nu$ 与 low-density molecular limit 的差距越来越大, 并且 smoothly 进入了一个 $h\Delta \nu< E_{\mathrm{F}}$ 的 density-dependent 的 many-body regime.
Comparison
对不同 $E_{\mathrm{F}}$ 下的 pairing energy 的比较, 可以得到更多关于 pairs 的 nature 的信息.
在 BEC limit, $\Delta \nu$ 单由 $E_b$ 决定, 与 $E_{\mathrm{F}}$ 无关.
在共振幺正区, $E_{\mathrm{F}}$ 是唯一的 energy scale, 我们实际上观察到 effective pairing gap 随 $E_{\mathrm{F}}$ 线性上升 $h\Delta\nu\approx 0.2E_{\mathrm{F}}$ . 在共振区以外, 我们希望系统从一个共振区变到一个 BCS-type 的行为.
发现 $\Delta \nu$ 更加依赖于 $E_{\mathrm{F}}$, gap ratio 变得更大. 我们将其解释 为 pairing 的 BCS 特性上升. 期望是一个指数依赖 $h \Delta \nu/E_{\mathrm{F}}\propto e^{-\pi/2k_{\mathrm{F}}|a|}$ .
插图相当于是在零温下取不同 density . 它的结论就是, 在左边的话它的 threshold 接近 于 binding energy, 而 binding energy 是一个 2-body 的量, 它只与散射长度有关, 与 density 无关. 如果是幺正极限下, 它的散射长度是 diverge 的. 这个时候 pairing gap 就完全 sacle as 它的 $k_{\mathrm{F}}$ 的某个幂次, 所以它就要依赖于 density.
蒸发冷却了时候调原子总数 $\to$ 调密度.
在幺正区的时候, 两个峰的间距变小了.
Results: Fig 3
Fig 3
在更进一步的测量中, 我们用了 heating method 来研究 gap 对温度的依赖. 用这种方法, 允许我们保持其它参数是常数.
(这种方法也有待学习)
在用通常的方法产生 pure molecular BEC 后, 我们绝热地改变条件到 $B=837 \mathrm{G}, T_{\mathrm{F}}=1.2 \mathrm{\mu K}$ .
然后提升 trap laser 的 power.
对于 fast ramps, 这个 recompression 是非绝热的, 熵会增大. 通过改变 ramp time, 我 们探索了从最低温到 $T/T_{\mathrm{F}}=0.8$.
从 RF 谱中可以清楚地看到随温度降低出现了 gap. 随着温度降低, $\Delta \nu$ 明显地 增加 (为什么). 这与理论对 pairing gap energy 的预期符合地很好.
fast ramp 就是把磁场一下从某一个点扫到另一个点. ramp 就是扫场.
Conclusion
Part I
我们的实验条件是对两体共振相互作用的理论分析.
算出的 RF 谱与我们的实验相符. 这演示了当气体冷却到 $T/T_{\mathrm{F}}\approx 0.5$ 以下时, 双峰如何出现, 以及进一步降温后, atom peak 如何消失.
特别是, 我们弄清了 pseudo gap regime. 在这个 regime 中, 超流形成前就先形成 pair.
根据计算的谱, 在 $T 随着对有限温 BCS-BEC crossover 的研究 predict 了到超流的相变温度, 在共振时, 比
pair 形成的温度低了 30% . 我们早在 moderate evaporative cooling 之后就观察到了 Fermionic pairing. 进一步降温后, unpaired atom 信号从我们的谱中消失. 这个观察表明, pairing 甚至占据了 trapped gas 的边缘, 边缘的 density 和
$E_{\mathrm{F}}$ 很小. 因此, 我们的实验强烈地表明, 共振的超流是在 trap 中心形成. 结合共振 condensation of Fermionic pairs 和 集体激发的衰减, 我们对 pairing gap
的观察为实验上 resonantly interacting Fermi gas 的超流提供了一个 strong case. 多去验证. 比如, 文中说图中两条线的比值是多少, 那不要直接接受, 而是云图中估计一下.Part II
总结
Reference