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批作业会用到
第二章 几何光学 (Geometrical Optics)
几何光学精确的, 基本的规律
反射定律与折射定律与全反射
从波来理解几何光学: 惠更斯作图法
费马原理 (Fermat’s Principle) 与物像等光程与虚光程
Light traverses the route having the smallest optical path length
教材 38 页. 为了把物像之间的等光程性原理推广到虚物或虚像的情形, 需要引入 "虚光程" 的概念.
光程正负号的规定: 与虚物或虚像相联系的与实际光线的延长线对应的光程称为虚光程，规定其符号取负值. (实际光线没有走到虚物或虚像的位置, 所以要减去)
折射率的规定: 虚光程部分的折射率由与之对应的实际光线的折射率决定. (光按照实际光线那边的折射率才能走到虚像或虚物的位置, 所以折射率按实际光线那边算)
傍轴近似下的成像
球面折射
可以通过折射定律或费马原理在傍轴近似下得到下式: $$ \frac{n'}{s'} + \frac{n}{s} = \frac{n'-n}{r} $$
按入射光线从左到右, 式中符号规定如下:
- 物在顶点左侧, $s>0$ , 实物
- 像在顶点右侧, $s'>0$ , 实像
- 球心在顶点右侧, $r>0$
球面反射
可理解为一种特殊的 "折射" , $n'=-n$ , 就可以由球面折射得到球面反射.
球面焦距
由球面折射可以得到焦距的表达式 $$ \begin{align} s'\to&\infty \ s\to& f = n\cdot\frac{r}{n'-n} \end{align} $$
$$ \begin{align} s\to&\infty \ s'\to& f' = n' \cdot \frac{r}{n'-n} \end{align} $$
那么用焦距来表达球面折射 $$ \frac{f'}{s'} + \frac{f}{s} = 1 $$ 这也叫高斯物像公式.
横向放大率
根据教材图 2-9 , 对于折射, 一定有 $y'<0$ , 在傍轴近似下, 根据折射定律 $$ V = \frac{y'}{y} = \frac{(-i') s'}{i s} = -\frac{ns'}{n's} = -\frac{fs'}{f's} $$
薄透镜成像
薄透镜的假设是两个球面的顶点几乎重合, 那么就可以认为 $s_1'=-s_2$ , 那么用两次球面折射公式可以得到 $$ \frac{n'}{s'} + \frac{n}{s} = \frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2} $$
由上式将 $s$ 或者 $s'$ 取为 $\infty$ 可以得到焦距公式 $$ \begin{align} s'\to&\infty \ s\to& f = \frac{n}{\frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}} \end{align} $$
$$ \begin{align} s\to&\infty \ s'\to& f' = \frac{n'}{\frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}} \end{align} $$
取 $n'=n=1$ 可得磨镜者公式 $$ f = f' = \frac{1}{(n_L - 1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})} $$
薄透镜的成像仍然满足高斯公式. 若透镜两边折射率相等, 那么 $f=f'$ , 便得到最常见的薄透镜成像公式 $$ \frac{1}{s'}+\frac{1}{s} = \frac{1}{f} $$ 这个公式的条件是: 傍轴, 薄透镜, 透镜两边折射率相等. 此时过光心的光线方向不变, 横向放大率也变为 $$ V = - \frac{s'}{s} $$
理想光具组成像
理想光具组公式
理想光具组可以用高斯公式.
按入射光线从左到右. $s$ 为物到物方面的距离, 在左为正. $s'$ 为像到像方主面的距离, 在右为正. (教材57页) $f, f'$ 与 $s, s'$ 有相同的符号规则.
两个光具组合在一起 $$ \begin{align} f =& -\frac{f_1 f_2}{\Delta} \ f' =& -\frac{f_1' f_2'}{\Delta} \ X_H = & H_1H = f_1 \frac{d}{\Delta}\ X_H' =&H_2'H = f_2' \frac{d}{\Delta} \end{align} $$
其中按照入射光线从左往右, $\Delta$ 是第一个光具组的像方焦点与第二个光具组的物方焦点的距离, $d$ 是对应的主面的距离.
理想光具作图
节点(冗余的条件): 角放大率为 $1$
光学仪器: 眼镜
近视镜应该让佩戴者看清无穷远的物, 也就是使无穷远处的物成像于佩戴者的远点处.
远视镜应该让佩戴者看清明视距离 ( $25\mathrm{cm}$ ) 处的物, 也就是使明视距离处的物成像于佩戴者近点处.
眼镜的度为 $$ P = 100\mathrm{m}/f $$ 近视眼佩戴凹透镜, 度数为负. 远视眼佩戴凸透镜, 度数为正.
几何光学总结
$$ \begin{align} \left{\begin{array}{c}惠更斯原理\费马原理\end{array}\right} \overset{精确}{\Rightarrow} \left{\begin{array}{c}折射定律\反射定律\end{array}\right} \overset{傍轴近似}{\Rightarrow} \left{\begin{array}{c}球面折射公式\球面反射公式\end{array}\right} \overset{薄透镜近似}{\Rightarrow} 薄透镜高斯物像公式 \end{align} $$
第三章 干涉
杨氏双缝
在傍轴近似下有 $$ \frac{\delta}{d} = \frac{x}{D} $$
双缝间距为 $d$ , 距离孔 $D$ 处的屏上, $x$ 的距离对应 $\delta$ 的光程差.
等厚干涉
牛顿环, 由于半波损, 中心为暗点.
等倾干涉
上下表面反射的相同倾角的两束光在无穷远处形成干涉条纹. 无近似, $i$ 为介质内的入射反射角(教材3-35) $$ \Delta L = 2 n h \cos i $$
F-P 干涉仪条纹的半高全宽 $\varepsilon$ 与反射率 $R$ 之间的关系 $$ \varepsilon = \frac{2(1 - R)}{\sqrt{R}} $$
第四章 衍射
用矢量图解法叠加振幅
教材图 4-15
菲涅耳半波带片的焦距公式
好像以前那种老式的手电筒上就是用的这种衍射的会聚透镜. $$ f = \frac{\rho_1^2}{\lambda} = \frac{\rho_k^2}{k\lambda} $$
夫琅禾费衍射
单缝
$$ \frac{I}{I_0} = \left(\frac{\sin \alpha} {\alpha}\right)^2 \quad, \mathrm{where} \quad \alpha = \frac{a \pi}{\lambda}\sin \theta $$
多缝
$$ \frac{I}{I_0} = \left(\frac{\sin \alpha}{\alpha}\right)^2 \left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2 \quad, \mathrm{where} \quad\alpha = \frac{a \pi}{\lambda}\sin \theta, \quad\beta = \frac{d \pi}{\lambda}\sin \theta $$
当 $\beta = k\pi$ 时, 多缝因子为 $N^2$ 为主极大. 当 $\beta = (k + m/N)\pi,m/N\notin \mathbb{Z}$ 时, 强度为零.
半角宽度, 是 $k$ 级主极大到相邻暗纹的距离 $$ \begin{align} \Delta \theta_k =& (\theta_k+\Delta\theta_k) - \theta_k = \arcsin\left[\left( k + \frac{1}N \right) \frac{\lambda}{d}\right] - \arcsin\left( \frac{k\lambda}{d}\right) = \frac{\lambda}{Nd\cos\theta_k} + \mathcal{O}\left( \frac{1}{N^2} \right) \ \approx& \frac{\lambda}{Nd\cos\theta_k}
\end{align}{} $$
光栅
"光栅的衍射场鲜明地表现出'多光束干涉'的基本特征". 光栅性能的主要标志为色散本领和色分辨本领.
角色散本领, 是两个很接近的波长产生的两个主极大分开的角度与波长差的比值, 量纲是波长的倒数 $$ \begin{align} D_{\theta} =& \frac{\delta \theta}{\delta\lambda} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\arcsin\left( \frac{k\lambda}{d} \right) =\frac{k}{d}\frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{k\lambda}{d} \right)^2}} =\frac{k}{d}\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \ =& \frac{k}{d\cos\theta_k} \end{align} $$
线色散本领 $$ D_l = fD_{\theta} = f \frac{k}{d \cos\theta_k} $$
两个很接近的波长产生的两个主极大分开的角度, 刚好等于此波长处的半角宽度时, 根据瑞利判据, 刚好可以分辨这两条谱线, 光栅的色分辨本领 $R$ 由此定义 $$ D_{\theta} = \frac{\Delta\theta}{\delta \lambda} \Rightarrow R\equiv \frac{\lambda}{\delta\lambda} = Nk $$
色分辨本领, 是能够分辨的最小波长差
圆孔正入射
$$ I(\theta) = I_0 \left[\frac{2J_1(x)}{x}\right]^2\quad\, ,x=\frac{2\pi a}{\lambda} \sin \theta $$
口径的最小分辨角, 就是第一暗环角半径 $$ \delta \theta_{\mathrm{min}} \Delta\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D} $$
第五章 变换光学
屏函数
衍射屏的作用可以集中地用屏函数来表征 $$ \tilde{T}(x, y) = \frac{\tilde{U}\mathrm{out}(x, y)} {\tilde{U}\mathrm{in}(x, y)} $$ 它的模叫振幅变换函数, 它的相位叫做相位变换函数.
平面波和球面波的复振幅
球面波
从 $(x_0, y_0, 0)$ 发出的球面波, 在点 $(x, y, z)$ 处的复振幅为 $$ \tilde{U}(x, y ) = \frac{Ae^{\mathrm{i}\phi_0}}{r}e^{\mathrm{i}kr} $$ 其中 $r = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + z^2}$ . 在傍轴近似下, 可以在 $x = 0, y = 0 ,x_0 = 0, y_0 = 0$ . 做 Taylor 展开, 并且只保留到二阶项 $$ \begin{align} r =& |z| + \frac{1}{2}\frac{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}{|z|} + \mathcal{O}\left{\left[(x-x_0)^2 + (y - y_0)^2\right]^2\right} \ \approx& |z| + \frac{x_0^2 + y_0^2}{2|z|} + \frac{x^2 + y^2}{2|z|} - \frac{xx_0 + yy_0}{|z|} \end{align} $$ 在复振幅中, 分母中可以直接取领头项 $r\approx |z|$ . 而在指数上, 由于 $k$ 很大, 在不满足远场近似时, 需要保留二阶项. 所以傍轴近似下, 复振幅表示为 $$ \tilde{U}(x, y ) = \frac{Ae^{\mathrm{i}\phi_0}}{|z|}e^{\mathrm{i}k\left( |z| + \frac{x_0^2 + y_0^2}{2|z|} + \frac{x^2 + y^2}{2|z|} - \frac{xx_0 + yy_0}{|z|} \right)} $$ 取其复共轭, 即为会聚波.
平面波 $$ \tilde{U}(\vec{r}) = Ae^{\mathrm{i}\phi_0}e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{r}} $$
傅里叶变换
夫琅禾费积分 $$ \begin{align} \tilde{U}(x', y') =& Ae^{\mathrm{i}kz}e^{\mathrm{i}k\frac{x'^2 + y^2}{2}} \int\mathrm{d}x\int\mathrm{d}y \cdot \tilde{T}(x, y) \cdot e^{-\mathrm{i}k\frac{xx' + yy'}{z}} \ \tilde{U}(\theta_1, \theta_2) =& Ae^{\mathrm{i}\phi(\theta_1, \theta_2)} \int\mathrm{d}x\int\mathrm{d}y \cdot \tilde{T}(x, y) \cdot e^{-\mathrm{i}k(x\sin\theta_1 + y\sin\theta_2)} \ \end{align} $$ 都是傅里叶变换的形式. 衍射屏上的一点 $(x, y)$ 就对应一对频率. 衍射屏的大小是有限的, 所以衍射屏会过虑掉一些频率的作用.
全息照相
全息底片记录了照片的相位信息 $$ I_H(x, y) = (\tilde{U}_O + \tilde{U}_R) (\tilde{U}_O + \tilde{U}_R)^* $$
经过线性冲洗后的透过率函数为 $\tilde{T}_H$ , 用 $\tilde{U}_R'$ 照射后, 透射场为 $$ \begin{align} \tilde{U}_T =& \tilde{T}_H\tilde{U}_R' = [T_O + \beta I_H(x, y)]\tilde{U}_R'\ =&(T_0 + \beta A_O^2 + \beta A_R^2)\tilde{U}_R' + \beta \tilde{U}_R'\tilde{U}_R^ \tilde{U}_O + \beta \tilde{U}_R'\tilde{U}_R \tilde{U}_O^ \end{align} $$ 三项分别对应 0, 1, -1 级
第六章 偏振
马吕斯定律
线偏振光通过检偏器后透射光的强度随 $\theta$ 角变化的规律 $$ I_2 = I_1 \cos^2\theta $$
布儒斯特角
使 p 分量反射率为零的入射角 $i_B$ 称为布儒斯特角. 从介质 $n_1$ 到 $n_2$ 的布儒斯特角为 $$ i_B = \arctan \frac{n_2}{n_1} $$
菲涅耳反射折射公式
$$ \begin{align} &\left{ \begin{array}{c} \tilde{r}_p = \frac{\tan(i_1 - i_2)}{\tan(i_1 + i_2)} \ \tilde{r}_s = \frac{\sin(i_2 - i_1)}{\sin(i_2 + i_1} \end{array} \right. \ &\left{ \begin{array}{c} \tilde{t}_p = \frac{2n_1\cos i_1}{n_2\cos i_1 + n_1 \cos i_2} \ \tilde{t}_s = \frac{2n_1\cos i_1}{n_1\cos i_1 + n_2 \cos i_2} \end{array} \right. \end{align} $$
偏振度
$$ I = \frac{I_{\mathrm{max}} - I_{\mathrm{min}}}{I_{\mathrm{max}} + I_{\mathrm{min}}} $$
强度透射反射率
$$ R = \frac{I_1'}{I_1} = |\tilde{r}|^2 $$
$$ T = \frac{I_2}{I_1} = \frac{n_2}{n_1}|\tilde{t}|^2 $$
全反射光的相移
$$ \begin{align} \left{ \begin{array}{c} \delta_p = 2 \arctan \left( \frac{n_1}{n_2} \frac{\sqrt{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\sin^2i_1-1}}{\cos i_1} \right) \ \delta_s = 2 \arctan \left( \frac{n_2}{n_1} \frac{\sqrt{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\sin^2i_1-1}}{\cos i_1} \right) \end{array} \right. \end{align} $$
双折射
光线垂直于主光轴传播, 可用折射定律
第七章 光与物质相互作用
布格定律
$$ I = I_0 e^{-\alpha l} $$
科西公式
$$ n = A + \frac{B}{\lambda^2} $$
群速度与相速度的关系
群速度 $$ v_{\mathrm{g}} = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} $$
Reference
- 赵凯华, 新概念物理教程 光学 , 2004, 高等教育出版社
- Eugene Hecht, Optics, Global Edition, 2017, Pearson Higher Education