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批作业会用到
第二章 几何光学 (Geometrical Optics)
几何光学精确的, 基本的规律
反射定律与折射定律与全反射
从波来理解几何光学: 惠更斯作图法
费马原理 (Fermat’s Principle) 与物像等光程与虚光程
Light traverses the route having the smallest optical path length
教材 38 页. 为了把物像之间的等光程性原理推广到虚物或虚像的情形, 需要引入 "虚光程" 的概念.
光程正负号的规定: 与虚物或虚像相联系的与实际光线的延长线对应的光程称为虚光程，规定其符号取负值. (实际光线没有走到虚物或虚像的位置, 所以要减去)
折射率的规定: 虚光程部分的折射率由与之对应的实际光线的折射率决定. (光按照实际光线那边的折射率才能走到虚像或虚物的位置, 所以折射率按实际光线那边算)
傍轴近似下的成像
球面折射
可以通过折射定律或费马原理在傍轴近似下得到下式:
\[ \frac{n'}{s'} + \frac{n}{s} = \frac{n'-n}{r} \]按入射光线从左到右, 式中符号规定如下:
- 物在顶点左侧, \(s>0\) , 实物
- 像在顶点右侧, \(s'>0\) , 实像
- 球心在顶点右侧, \(r>0\)
球面反射
可理解为一种特殊的 "折射" , \(n'=-n\) , 就可以由球面折射得到球面反射.
球面焦距
由球面折射可以得到焦距的表达式
\[ \begin{align} s'\to&\infty \\ s\to& f = n\cdot\frac{r}{n'-n} \end{align} \] \[ \begin{align} s\to&\infty \\ s'\to& f' = n' \cdot \frac{r}{n'-n} \end{align} \]那么用焦距来表达球面折射
\[ \frac{f'}{s'} + \frac{f}{s} = 1 \]这也叫高斯物像公式.
横向放大率
根据教材图 2-9 , 对于折射, 一定有 \(y'<0\) , 在傍轴近似下, 根据折射定律
\[ V = \frac{y'}{y} = \frac{(-i') s'}{i s} = -\frac{ns'}{n's} = -\frac{fs'}{f's} \]薄透镜成像
薄透镜的假设是两个球面的顶点几乎重合, 那么就可以认为 \(s_1'=-s_2\) , 那么用两次球面折射公式可以得到
\[ \frac{n'}{s'} + \frac{n}{s} = \frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2} \]由上式将 \(s\) 或者 \(s'\) 取为 \(\infty\) 可以得到焦距公式
\[ \begin{align} s'\to&\infty \\ s\to& f = \frac{n}{\frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}} \end{align} \] \[ \begin{align} s\to&\infty \\ s'\to& f' = \frac{n'}{\frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}} \end{align} \]取 \(n'=n=1\) 可得磨镜者公式
\[ f = f' = \frac{1}{(n_L - 1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})} \]薄透镜的成像仍然满足高斯公式. 若透镜两边折射率相等, 那么 \(f=f'\) , 便得到最常见的薄透镜成像公式
\[ \frac{1}{s'}+\frac{1}{s} = \frac{1}{f} \]这个公式的条件是: 傍轴, 薄透镜, 透镜两边折射率相等. 此时过光心的光线方向不变, 横向放大率也变为
\[ V = - \frac{s'}{s} \]理想光具组成像
理想光具组公式
理想光具组可以用高斯公式.
按入射光线从左到右. \(s\) 为物到物方面的距离, 在左为正. \(s'\) 为像到像方主面的距离, 在右为正. (教材57页) \(f, f'\) 与 \(s, s'\) 有相同的符号规则.
两个光具组合在一起
\[ \begin{align} f =& -\frac{f_1 f_2}{\Delta} \\ f' =& -\frac{f_1' f_2'}{\Delta} \\ X_H = & H_1H = f_1 \frac{d}{\Delta}\\ X_H' =&H_2'H = f_2' \frac{d}{\Delta} \end{align} \]其中按照入射光线从左往右, \(\Delta\) 是第一个光具组的像方焦点与第二个光具组的物方焦点的距离, \(d\) 是对应的主面的距离.
理想光具作图
节点(冗余的条件): 角放大率为 \(1\)
光学仪器: 眼镜
近视镜应该让佩戴者看清无穷远的物, 也就是使无穷远处的物成像于佩戴者的远点处.
远视镜应该让佩戴者看清明视距离 ( \(25\mathrm{cm}\) ) 处的物, 也就是使明视距离处的物成像于佩戴者近点处.
眼镜的度为
\[ P = 100\mathrm{m}/f \]近视眼佩戴凹透镜, 度数为负. 远视眼佩戴凸透镜, 度数为正.
几何光学总结
\[ \begin{align} \left\{\begin{array}{c}惠更斯原理\\费马原理\end{array}\right\} \overset{精确}{\Rightarrow} \left\{\begin{array}{c}折射定律\\反射定律\end{array}\right\} \overset{傍轴近似}{\Rightarrow} \left\{\begin{array}{c}球面折射公式\\球面反射公式\end{array}\right\} \overset{薄透镜近似}{\Rightarrow} 薄透镜高斯物像公式 \end{align} \]第三章 干涉
杨氏双缝
在傍轴近似下有
\[ \frac{\delta}{d} = \frac{x}{D} \]双缝间距为 \(d\) , 距离孔 \(D\) 处的屏上, \(x\) 的距离对应 \(\delta\) 的光程差.
等厚干涉
牛顿环, 由于半波损, 中心为暗点.
等倾干涉
上下表面反射的相同倾角的两束光在无穷远处形成干涉条纹. 无近似, \(i\) 为介质内的入射反射角(教材3-35)
\[ \Delta L = 2 n h \cos i \]F-P 干涉仪条纹的半高全宽 \(\varepsilon\) 与反射率 \(R\) 之间的关系
\[ \varepsilon = \frac{2(1 - R)}{\sqrt{R}} \]第四章 衍射
用矢量图解法叠加振幅
教材图 4-15
菲涅耳半波带片的焦距公式
好像以前那种老式的手电筒上就是用的这种衍射的会聚透镜.
\[ f = \frac{\rho_1^2}{\lambda} = \frac{\rho_k^2}{k\lambda} \]夫琅禾费衍射
单缝
\[ \frac{I}{I_0} = \left(\frac{\sin \alpha} {\alpha}\right)^2 \quad, \mathrm{where} \quad \alpha = \frac{a \pi}{\lambda}\sin \theta \]多缝
\[ \frac{I}{I_0} = \left(\frac{\sin \alpha}{\alpha}\right)^2 \left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2 \quad, \mathrm{where} \quad\alpha = \frac{a \pi}{\lambda}\sin \theta, \quad\beta = \frac{d \pi}{\lambda}\sin \theta \]当 \(\beta = k\pi\) 时, 多缝因子为 \(N^2\) 为主极大. 当 \(\beta = (k + m/N)\pi,m/N\notin \mathbb{Z}\) 时, 强度为零.
半角宽度, 是 \(k\) 级主极大到相邻暗纹的距离
\[ \begin{align} \Delta \theta_k =& (\theta_k+\Delta\theta_k) - \theta_k = \arcsin\left[\left( k + \frac{1}N \right) \frac{\lambda}{d}\right] - \arcsin\left( \frac{k\lambda}{d}\right) = \frac{\lambda}{Nd\cos\theta_k} + \mathcal{O}\left( \frac{1}{N^2} \right) \\ \approx& \frac{\lambda}{Nd\cos\theta_k} \end{align}{} \]光栅
"光栅的衍射场鲜明地表现出'多光束干涉'的基本特征". 光栅性能的主要标志为色散本领和色分辨本领.
角色散本领, 是两个很接近的波长产生的两个主极大分开的角度与波长差的比值, 量纲是波长的倒数
\[ \begin{align} D_{\theta} =& \frac{\delta \theta}{\delta\lambda} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\arcsin\left( \frac{k\lambda}{d} \right) =\frac{k}{d}\frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{k\lambda}{d} \right)^2}} =\frac{k}{d}\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \\ =& \frac{k}{d\cos\theta_k} \end{align} \]线色散本领
\[ D_l = fD_{\theta} = f \frac{k}{d \cos\theta_k} \]两个很接近的波长产生的两个主极大分开的角度, 刚好等于此波长处的半角宽度时, 根据瑞利判据, 刚好可以分辨这两条谱线, 光栅的色分辨本领 \(R\) 由此定义
\[ D_{\theta} = \frac{\Delta\theta}{\delta \lambda} \Rightarrow R\equiv \frac{\lambda}{\delta\lambda} = Nk \]色分辨本领, 是能够分辨的最小波长差
圆孔正入射
\[ I(\theta) = I_0 \left[\frac{2J_1(x)}{x}\right]^2\quad\, ,x=\frac{2\pi a}{\lambda} \sin \theta \]口径的最小分辨角, 就是第一暗环角半径
\[ \delta \theta_{\mathrm{min}} \Delta\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D} \]第五章 变换光学
屏函数
衍射屏的作用可以集中地用屏函数来表征
\[ \tilde{T}(x, y) = \frac{\tilde{U}_\mathrm{out}(x, y)} {\tilde{U}_\mathrm{in}(x, y)} \]它的模叫振幅变换函数, 它的相位叫做相位变换函数.
平面波和球面波的复振幅
球面波
从 \((x_0, y_0, 0)\) 发出的球面波, 在点 \((x, y, z)\) 处的复振幅为
\[ \tilde{U}(x, y ) = \frac{Ae^{\mathrm{i}\phi_0}}{r}e^{\mathrm{i}kr} \]其中 \(r = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + z^2}\) . 在傍轴近似下, 可以在 \(x = 0, y = 0 ,x_0 = 0, y_0 = 0\) . 做 Taylor 展开, 并且只保留到二阶项
\[ \begin{align} r =& |z| + \frac{1}{2}\frac{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}{|z|} + \mathcal{O}\left\{\left[(x-x_0)^2 + (y - y_0)^2\right]^2\right\} \\ \approx& |z| + \frac{x_0^2 + y_0^2}{2|z|} + \frac{x^2 + y^2}{2|z|} - \frac{xx_0 + yy_0}{|z|} \end{align} \]在复振幅中, 分母中可以直接取领头项 \(r\approx |z|\) . 而在指数上, 由于 \(k\) 很大, 在不满足远场近似时, 需要保留二阶项. 所以傍轴近似下, 复振幅表示为
\[ \tilde{U}(x, y ) = \frac{Ae^{\mathrm{i}\phi_0}}{|z|}e^{\mathrm{i}k\left( |z| + \frac{x_0^2 + y_0^2}{2|z|} + \frac{x^2 + y^2}{2|z|} - \frac{xx_0 + yy_0}{|z|} \right)} \]取其复共轭, 即为会聚波.
平面波
\[ \tilde{U}(\vec{r}) = Ae^{\mathrm{i}\phi_0}e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{r}} \]傅里叶变换
夫琅禾费积分
\[ \begin{align} \tilde{U}(x', y') =& Ae^{\mathrm{i}kz}e^{\mathrm{i}k\frac{x'^2 + y^2}{2}} \int\mathrm{d}x\int\mathrm{d}y \cdot \tilde{T}(x, y) \cdot e^{-\mathrm{i}k\frac{xx' + yy'}{z}} \\ \tilde{U}(\theta_1, \theta_2) =& Ae^{\mathrm{i}\phi(\theta_1, \theta_2)} \int\mathrm{d}x\int\mathrm{d}y \cdot \tilde{T}(x, y) \cdot e^{-\mathrm{i}k(x\sin\theta_1 + y\sin\theta_2)} \\ \end{align} \]都是傅里叶变换的形式. 衍射屏上的一点 \((x, y)\) 就对应一对频率. 衍射屏的大小是有限的, 所以衍射屏会过虑掉一些频率的作用.
全息照相
全息底片记录了照片的相位信息
\[ I_H(x, y) = (\tilde{U}_O + \tilde{U}_R) (\tilde{U}_O + \tilde{U}_R)^* \]经过线性冲洗后的透过率函数为 \(\tilde{T}_H\) , 用 \(\tilde{U}_R'\) 照射后, 透射场为
\[ \begin{align} \tilde{U}_T =& \tilde{T}_H\tilde{U}_R' = [T_O + \beta I_H(x, y)]\tilde{U}_R'\\ =&(T_0 + \beta A_O^2 + \beta A_R^2)\tilde{U}_R' + \beta \tilde{U}_R'\tilde{U}_R^* \tilde{U}_O + \beta \tilde{U}_R'\tilde{U}_R \tilde{U}_O^* \end{align} \]三项分别对应 0, 1, -1 级
第六章 偏振
马吕斯定律
线偏振光通过检偏器后透射光的强度随 \(\theta\) 角变化的规律
\[ I_2 = I_1 \cos^2\theta \]布儒斯特角
使 p 分量反射率为零的入射角 \(i_B\) 称为布儒斯特角. 从介质 \(n_1\) 到 \(n_2\) 的布儒斯特角为
\[ i_B = \arctan \frac{n_2}{n_1} \]菲涅耳反射折射公式
\[ \begin{align} &\left\{ \begin{array}{c} \tilde{r}_p = \frac{\tan(i_1 - i_2)}{\tan(i_1 + i_2)} \\ \tilde{r}_s = \frac{\sin(i_2 - i_1)}{\sin(i_2 + i_1} \end{array} \right. \\ &\left\{ \begin{array}{c} \tilde{t}_p = \frac{2n_1\cos i_1}{n_2\cos i_1 + n_1 \cos i_2} \\ \tilde{t}_s = \frac{2n_1\cos i_1}{n_1\cos i_1 + n_2 \cos i_2} \end{array} \right. \end{align} \]偏振度
\[ I = \frac{I_{\mathrm{max}} - I_{\mathrm{min}}}{I_{\mathrm{max}} + I_{\mathrm{min}}} \]强度透射反射率
\[ R = \frac{I_1'}{I_1} = |\tilde{r}|^2 \] \[ T = \frac{I_2}{I_1} = \frac{n_2}{n_1}|\tilde{t}|^2 \]全反射光的相移
\[ \begin{align} \left\{ \begin{array}{c} \delta_p = 2 \arctan \left( \frac{n_1}{n_2} \frac{\sqrt{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\sin^2i_1-1}}{\cos i_1} \right) \\ \delta_s = 2 \arctan \left( \frac{n_2}{n_1} \frac{\sqrt{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\sin^2i_1-1}}{\cos i_1} \right) \end{array} \right. \end{align} \]双折射
光线垂直于主光轴传播, 可用折射定律
第七章 光与物质相互作用
布格定律
\[ I = I_0 e^{-\alpha l} \]科西公式
\[ n = A + \frac{B}{\lambda^2} \]群速度与相速度的关系
群速度
\[ v_{\mathrm{g}} = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} \]Reference
- 赵凯华, 新概念物理教程 光学 , 2004, 高等教育出版社
- Eugene Hecht, Optics, Global Edition, 2017, Pearson Higher Education