$SU(2)$ locally isomorphic to $SO(3)$

在牛津高阶中, iso- 与 morph 的解释为 #+BEGIN_QUOTE iso-: equal

morph: to change smoothly from one image to another using computer action to change, or make sb/sth change into sth different #+END_QUOTE 那么 isomorphic 的意思就是 equal change, 相同的变换, 也就是同构. 选 traceless hermitean 的 Pauli 矩阵 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 做为 $SU(2)$ 群的基底, 对于 一个 $SO(3)$ 的自然表示基底中的一个 vector $\vec{V} = (x, y, z)$ , 它们是对应的 上表在说明 $SU(2)$ 和 $SO(3)$ isomorphic. 而 locally 是说并不是真的 isomorphic ,

SO(2) SU(2)
basis $(\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z)$ $(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$
三维空间中的 vector: $\vec{V}=(x, y, z)$ 任意 traceless hermitean $2\times 2$ matrix: $X = \left(\begin{array}{cc} z&x-\mathrm{i}y \\ x+ \mathrm{i}y & -z \end{array}\right)$
transformation $\vec{V}' = R \vec{V}$ $X' = U^{\dagger} XU$
element $R$ $U$
invariant $V = x^2 + y^2 + z^2$ $\det X = -(x^2 + y^2 + z^2)$

因为 $SU(2)$ 中元素 $U$ 和 $-U$ 对应 $SO(3)$ 中的同一个 $R$ . 因此 $SU(2)$ covers $SO(3)$ twice.

Lie algebra of $SU(2)$

群元 $Ue^{\mathrm{i}H}$ . $U^{\dagger}U 1$ 要求 $H$ 是 hermitean 的. $\det U = 1$ 要求 $H$ 是 traceless 的. 对于 $SU(2)$ , 一个 $2\times 2$ 的 traceless hermitean 的 矩阵有 $N^2 - 1 = 3$ (去掉 $1$ 个 trace)个独立的变量. 对于 $SU(2)$ 来说, 就是由 $3$ 个 Pauli matrix 来线性组合成任意 $2\times 2$ traceless hermitean 的 $H$ #+BEGIN_QUOTE Exercise:

对于 $SO(N)$ 来说, 需要的 $\frac{1}{2}N(N-1)$ . 如何得出这个结论. #+END_QUOTE

#+BEGIN_QUOTE Example:

$SU(2)$ 的参数个数是 $2^2 - 1 = 3$ 个. $SO(3)$ 的参数个数是 $\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot(3 - 1) = 3$ 个. 它们的参数个数是相同的. #+END_QUOTE

Pauli 矩阵的所有性质都包含在下式中

$$\begin{align} \sigma_a\sigma_b = \delta_{ab} + \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c, \quad \mathrm{where}\quad a, b, c= 1, 2, 3 \end{align}$$

#+BEGIN_QUOTE Example:

当 $b a$ 时, 可得 $(\sigma_{a})^2 I$ #+END_QUOTE #+BEGIN_QUOTE Example:

当 $b\neq a$ 时, 可得 $\sigma_a\sigma_b = \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c$ , 也就是 $\sigma_1\sigma_2 = \mathrm{i}\sigma_3$ 以及类似结果 #+END_QUOTE #+BEGIN_QUOTE Example: 通过交换 $a, b$ 可得以下两式

$$\begin{align} \sigma_a\sigma_b = \delta_{ab} + \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c \sigma_b\sigma_a = \delta_{ab} - \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c \end{align}$$

两式相差可得 Pauli 矩阵的对易关系

$$\begin{align} [\sigma_a, \sigma_b] = 2 \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\sigma_c \end{align}$$

两式相加可得 Pauli 矩阵的反对易关系

$$\begin{align} \{ \sigma_a, \sigma_b \} = 2 \delta_{ab} \end{align}$$

#+END_QUOTE

$SU(N)$ 群的李代数可以由 $[T^a, T^b] = \mathrm{i}f^{abc}T^c$ 给出, 那么根据上面的关 系, 就可以得到 $SU(2)$ 群的李代数

$$\begin{align} \left[ \frac{\sigma_a}{2}, \frac{\sigma_b}{2} \right] = \mathrm{i}\varepsilon_{abc}\frac{\sigma_c}{2} \end{align}$$

也就是说 $SU(2)$ 的 generators $T^a$ 由 $\frac{\sigma_a}{2}$ , $SU(2)$ 的 structure constant 就是反对称张量 $f^{abc} = \varepsilon^{abc}$ . 可以看出, 它和 $SO(3)$ 李代数是相同的.

The group elements of $SU(2)$

$SU(2)$ 的任何元素都可以写为

$$\begin{align} U = e^{\mathrm{i} \phi_a \frac{\sigma_a}{2}} = \cos \frac{\phi}{2}\,I + \mathrm{i}\hat{\phi}\cdot\vec{\sigma}\sin \frac{\phi}{2} \end{align}$$

现在看 $U^{\dagger} X U$ 是如何作用的. 不失一般性地, 取 $\phi$ 的方向沿 $\sigma_3$ , 也就是说 绕 $z$ 轴旋转.

$$\begin{align} U^{\dagger} X U =& \left[ \cos \frac{\phi}{2}\,I - \mathrm{i}\sigma_3\sin \frac{\phi}{2} \right] (x\sigma_1 + y\sigma_2 + z\sigma_3) \left[ \cos \frac{\phi}{2}\,I + \mathrm{i}\sigma_3\sin \frac{\phi}{2} \right] \\ =&\left( \begin{array}{ccc} \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi & -\sin\phi&0 \\ \sin\phi&\cos\phi&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) \end{align}$$

#+BEGIN_QUOTE Exercise:

计算 $U^{\dagger} X U$ .

$$\begin{align} U^{\dagger} \sigma_1 U = \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_1 + \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_3\sigma_1\sigma_3 + \mathrm{i}\sin \frac{\phi}{2}\cos \frac{\phi}{2}[\sigma_1, \sigma_3] \end{align} $$

而 $\sigma_3\sigma_1\sigma_3 \sigma_3\{\sigma_1\sigma_3\} - \sigma_3\sigma_3\sigma_1 2 \sigma_3 \delta_{13} - \sigma_1 = -\sigma_1$ , $[\sigma_1, \sigma_3] 2\mathrm{i}\epsilon_{132}\sigma_2 -2\mathrm{i}\sigma_2$ 所以

$$\begin{align} U^{\dagger} \sigma_1 U =& \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_1 - \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_1 +2\sin \frac{\phi}{2} \cos \frac{\phi}{2} \sigma_2 \\ &= \cos \phi \,\sigma_1 + \sin \phi\, \sigma_2 \end{align} $$

同样的

$$\begin{align} U^{\dagger} \sigma_2 U =& \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_2 - \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_2 -2\sin \frac{\phi}{2}\cos \frac{\phi}{2} \sigma_1 \\ = & \cos \phi \, \sigma_2 - \sin \phi \, \sigma_1 \end{align} $$

对于 $U^{\dagger} \sigma_3 U$ , $\sigma_3\sigma_3\sigma_3 = \sigma_3$ , $[\sigma_3, \sigma_3] = 0$ 所以

$$\begin{align} U^{\dagger} \sigma_3 U = \cos^2 \frac{\phi}{2}\sigma_3 + \sin^2 \frac{\phi}{2} \sigma_3 = \sigma_3 \end{align}$$

将以上三个结果合在一起为

$$\begin{align} U^{\dagger} X U =&U^{\dagger} \left( \begin{array}{ccc} \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) U \\ =&\left( \begin{array}{ccc} \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi & -\sin\phi&0 \\ \sin\phi&\cos\phi&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) \end{align}$$

#+END_QUOTE 注意, 以上并没有用到 Pauli 算符的具体形式. 这样我们就找出了 $U = e^{\mathrm{i}\phi_a \frac{\sigma_a}{2}}$ 所对应的 $SO(3)$ 群中的群元, 它就对应 $SO(3)$ 中 对应的角度 $\vec{\phi}$ 的转动.

如果把 Pauli 矩阵代入, 会有下面的矩阵

$$\begin{align} \left( \begin{array}{cc} z & x - \mathrm{i}y \\ x + \mathrm{i}y & -z \end{array} \right) \end{align}$$

和下式对比

$$\begin{align} U = e^{\mathrm{i} \phi_a \frac{\sigma_a}{2}} = \cos \frac{\phi}{2}\,I + \mathrm{i}\hat{\phi}\cdot\vec{\sigma}\sin \frac{\phi}{2} \end{align}$$

注意区分上面两个式子, 第一个式子是 tarceless hermitean 的. 而第二个式子是满足 $U^{\dagger}U 1, \det U 1$ , 但并不是 tarceless hermitean 的. 所以只有第二个式子是 $SU(2)$ 的一个表示

如果我们再次不失一般性地取 $\vec{\phi}$ 沿 $\sigma_3$ 方向, 那么

$$\begin{align} U(\phi) = \left( \begin{array}{cc} e^{\mathrm{i}\frac{\phi}{2}} &0 \\ 0 & e^{-\mathrm{i}\frac{\phi}{2}} \end{array} \right) \end{align}$$

上式是 $SU(2)$ , 可以看出, 对于 $\phi\in[0, 2\pi)$ 和 $\phi\in[2\pi, 4\pi)$ ,它对应不同的群元, 但是它对应的 $SO(3)$ 转动却是相同的, 从这个意义上来说, 它不构成 $SO(3)$ 的一个通常意义上的表示, 它有时被叫做又会表示( a double-valued representation of $SO(3)$ ) .

Reference

  • A. Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, 2016, Princeton University Press