Intro

多次看到过 Legendre transform 这个名词.

Reference [Am. J. Phys. 77 (7), July 2009] 非常详细清晰友好地解答了我心中的各种 疑惑, 现将它做一个整理.

它在开头说道:

#+BEGIN_QUOTE The Legendre transform is a powerful tool in theoretical physics and plays an important role in classical mechanics, statistical mechanics, and thermodynamics.

Legendre transform 在理论物理领域是一个强有用的工具, 在经典力学, 统计力学, 以及 热力学中发挥了的作用. #+END_QUOTE

进行 Legendre transform 之后, 相当于是相同的信息, 用了不同的方式进行展示 (display).

Definition

给定一个函数 $F(x)$ 如果它满足

1. 是一个凸(conves)函数, 也就是像 $y=x^2$ 这种二阶导数恒正的函数. 并且是光滑的函 数.

2. $F$ 的导数, 比 $x$ 本身, 更加容易去测量, 控制或者考虑.

那么对它 Legendre transform 更加方便.

对于函数 $F(x)$ 它的斜率

$$\begin{align} s(x) \equiv \frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x} \end{align}$$

$s(x)$ 是一个单调函数, 也就是说 $s$ 和 $x$ 是一一对应的. 那么, 就可以将 $s$ 做为 一个独立变量来代替 $x$, 即

$$\begin{align} F(x(s)) \end{align}$$

也就是说我们用了 $F$ 的导数, 而不是 $x$ 本身来描述这个函数关系.

这个用复合函数的方法, 将 $x$ 用 $F$ 的导数, 即 $s$ 做了替换. 这是最容易想到的. 而 Legendre transform 提供了另一种方法, 定义 $F(x)$ 的 Legendre transform $G(s)$ 为

$$\begin{align} G(s) \equiv s x(s) - F(x(s)) \end{align}$$

需要注意的是上式只有一个独立变量 $s$ . Legendre transform 的好处是, $G(s)$ 和 $F(x)$ 一种对称的的关系(此外 Reference [Am. J. Phys. 77 (7), July 2009] 给出一一 种几何上的直观理解) 以及一些其它的性质. 这体现在

$$\begin{align} x(s) = \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}s} \\ s(x) = \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} \end{align} $$
  • Legendre 变换的逆变换是它本身. 也就是说经过两次 Legendre 变换后, 回到函数本身. 形式上将这种关系表示为
$$\begin{align} \{F, x\} \Leftrightarrow \{G, s\} \\ G(s) + f(x) = sx \end{align}$$

要注意独立变量只有一个, $s, x$ 并不相互独立.

  • 它们的极值
$$\begin{align} F_{\mathrm{min}} = -G(0) \\ G_{\mathrm{min}} = -F(0) \end{align}$$

Examples

Lagrangian to Hamiltonian

In Statistical Thermodynamics

Reference

  • Herbert Goldstein Charles P. Poole John Safko - Classical Mechanics
  • Making sense of the Legendre transform, Am. J. Phys. 77 (7), July 2009 (arXiv:0806.1147v2 [physics.ed-ph] 4 Mar 2009)