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本文为 Physics Today 56, 12, 41 (2003), Lawrie Challis, The Green of Green Functions 的翻译. 图片可查看原文.

格林函数的格林

1828 年, 英国诺丁汉的一位磨坊主发表了一篇数学论文, 几乎没有产生任何影响. 然而, 乔治·格林 的分析后来在从经典静电学问题到现代量子场论中都找到了应用.

诺丁汉是英格兰中部地区一个迷人而繁荣的小镇, 因与罗宾汉的关联而闻名. 罗宾汉的雕像屹立在城堡的墙边. 尽管市民的心中不再有恐惧, 诺丁汉郡治安官在市政府中仍然扮演着特殊的角色.

最近, 诺丁汉的天际线上出现了一个新景点, 即风车 (见图1) . 风车在有风的日子会转, 与之相邻的轧机厂出售石磨面粉, 但更令人惊讶的是, 还卖数学物理小册子. 面粉与物理之间的联系是磨坊独特特征的一部分, 并用一块附着在磨坊塔侧面的铭牌加以说明,

HERE LIVED AND LABOURED

GEORGE GREEN

MATHEMATICIAN

B.1793–D.1841.

在这里生活和劳动

乔治·格林

数学家

公元1793–1841

这就是格林定理, 它是全世界物理学本科生都熟悉的定理, 并且格林函数用于经典物理和量子物理学的许多分支.

早期生活和教育

乔治·格林的父亲在诺丁汉市中心附近的一家面包店, 那时是一个人口约 30 000 的小镇. 他的独生子乔治于 1793 年 7 月 14 日受洗. 1801 年 3 月, 乔治以罗伯特·古德克雷的 255 号学生入学, 他在那里呆了仅 18 个月. 他 9 岁那年, 他被安排到父亲的面包店工作. 在古德阿克雷学院度过的那段时间, 是格林在 40 岁去剑桥大学前唯一的正规教育. 他很幸运地接受了那么多的教育. 大多数孩子没有孩子, 尽管有些孩子在主日学被教读写. 格林还很幸运, 他的父亲有能力让他接受私人教育, 并选择了罗伯特·古德克雷学院, 罗伯特·古德克雷以对天文学和自然科学的热情而闻名.

格林在父亲的面包店里呆了五年, 然后被派去学习做磨坊主, 磨坊是父亲在距离诺丁汉约一英里的斯尼顿村的一座小山上建造的塔式磨房. 磨坊高五层, 在一个有粮仓的院子里, 养着八匹马. 院子里还有一个茅屋, 供磨坊主约翰·史密斯, 他的妻子和他的女儿简使用. 诺丁汉的街道在天黑后行走是不安全的, 因此, 格林在磨坊里工作了许多个日夜, 并且是住在磨坊里. 直到他的家人在磨坊附近建了一所房子. 简·史密斯在格林 31 岁时为他生了一个女儿. 他们总共有七个孩子, 但从未结婚. 据说格林的父亲认为简不适合做格林的妻子, 毕竟格林是一个富裕的商人和地主的儿子, 并威胁要取消他的继承权.

对于格林从1802年到1823年的生活知之甚少. 特别是, 不知道他是否在数学发展方面获得了帮助, 或者他是否完全自学成才. 他可能得到了约翰·托普利斯的帮助. 约翰·托普利斯是剑桥大学皇后学院研究员, 也是诺丁汉语法学校校长. 托普利斯对 Pierre-Simon Laplace 的书《Mécanique Céleste》(1814年在诺丁汉出版) 的翻译似乎是格林对势理论感兴趣的一种来源. 由于托普利斯使用了 Gottfried Leibniz 的更方便的微分记号, 而不是Isaac Newton的, 所以在当时的英国是一件不寻常的工作. 由于格林采用了莱布尼兹的记号, 因此格林受托普利斯影响似乎是合理的, 但没有证据表明托普利斯以任何方式充当其导师.

1823年, 格林加入了诺丁汉订阅图书馆, 这是该镇知识活动的中心. 图书馆位于 Bromley House (见图2). 图书馆会员资格为格林提供了鼓励, 支持和使用 Philosophical Transactions of the Royal Society 和其他科学期刊的机会. 这些不包括海外期刊, 但是 Transactions 不在海外期刊之列, 这使得格林可以直接从作者那里获得复印件.

格林在 1828 年的论文

格林于 1828 年发表了第一篇工作, 《关于将数学分析应用于电磁学理论的论文》. 这项长约70页的工作包含格林定理的推导, 并将该定理与格林函数一起应用于静电问题. 其标题页如图 3 所示.

当时, 在英国出版科学论文的惯用途径是通过两个学会（皇家学会和剑桥哲学学会）的期刊之一. 但是格林没有任何资格, 也没有与科学机构建立联系, 因此认为将他的论文提交给期刊是冒昧的. 因此, 他自费在诺丁汉私下发表. 在他的前言中很明显地看到了他尝试出版的方式. 在那里, 他表达了它的希望, “该学科的难度将使数学家享受地阅读本著作, 尤其是当他们被告知这是由一位年轻人撰写时, 这个年轻人不得不获得他所掌握的很少的知识, 以这样的间隔和方式, 作为其它必不可少的爱好, 提供了很少提高的机会 ”

格林每篇论文的成本为 7 先令半, 大约是诺丁汉长袜制造者每周的工资. 购买者包括当地的医生, 校长, 牧师以及当时诺丁汉的蕾丝, 针织品和其它主要制造业的制造者. 购买该作品的人中有将近一半是诺丁汉订阅图书馆的成员. 几乎没有人能理解这篇文章, 因此他们显然必须对作者的能力有相当大的信心.

格林发表的主要目的是使他的作品引起英国和海外其他数学家的注意. 但是, 似乎除了一个例外, 几乎没有响应. 那一定令人非常沮丧.

唯一的例外是爱德华·布罗姆黑德, 他对格林的论文印象深刻. 他立即回答, 表示愿意帮助格林将来将任何论文发表在期刊上. 布罗姆黑德是一位富有和有影响力的人, 是公众人物, 也是诺丁汉东北 35 英里的林肯市的赞助者. 他曾先后在格拉斯哥大学和剑桥大学学习数学, 尽管他的社会地位使他脱离了学术生涯, 但他仍与包括Charles Babbage, John Herschel 和 William Whewell 在内的许多英国著名数学家和科学家保持着密切联系.

因此, Bromhead 非常适合让格林与这些数学家和其他数学家联系, 并且一定感到惊讶和失望, 因为他没有收到格林的任何答复. 大约20个月后, 终于到达了. 格林的一封长信解释了他一直很高兴和感激 Bromhead 的来信, 以及他最初打算回信并接受他的 offer . 但是他被告知, 布罗姆黑德给他的信是出于礼貌, 而且鉴于他们的社会地位存在差异, 因此不宜回信. 直到后来他才发现那条建议多么糟糕.

Bromhead迅速做出了回应, 随后进行了许多其他交流, 并在林肯附近的 Bromhead 房子见面. 在 Bromhead 的帮助下, 格林于 1833 年在期刊上发表了他的第一篇论文. 那篇论文又是关于电力的, 但是在布罗姆黑德的建议下, 格林随后放弃了这个课题, 当时英国的数学家对这个课题并不感兴趣. 他继续研究流体力学, 波动和光学等更主流的课题, 这是他于 1835 年至 1839 年间发表的八篇论文的主题.

他们见面后不久, 格林告诉布罗姆黑德他想去剑桥的梦想. 他在 1833 年 4 月的一封信中谈到了这个话题, 他在信中写道：“您知道, 如果有一个成功的良好前景, 我会倾向于剑桥. 不幸的是, 我几乎不懂拉丁文, 只懂很少的希腊文, 虚度了太多的冬天, 因此处于一个很纠结的状态. ”格林一定还意识到, 简和他的孩子（当时只有四个）的存在与大学要求成员独身的要求有些矛盾！但是, 只要成员未实际结婚, 独身这一条似乎是可以接受的. 受到布罗姆海德的影响, 格林于 1833 年 10 月进入剑桥大学, 成为一名本科生, 成为了布罗姆海德所在的 Gonville & Caius College 学院的一员. 格林于 1837 年毕业, 1839 年 11 月成为大学研究员. 不幸的是, 他很快病倒, 于1840 年春季回到诺丁汉, 并于 1841 年 5 月 31 日死于流感. 他和简被一起葬在离工厂几百码远的圣史蒂芬教堂的院子里. 没有他的画像, 他在摄影术发明后不久就去世了.

格林的论文的二次发掘

到 1840 年代初期, 格林的大部分著作都可以在公开文献中找到, 但他最重要的贡献, 即他的论文, 尚未在期刊上发表. 如果不是被威廉·汤姆森（如图4所示）发现的话, 它可能很多年都不会被发现. 汤姆森, 后来的开尔文勋爵, 在格林死后不久就去了剑桥. 他的父亲是格拉斯哥的数学教授, 汤姆森在去剑桥之前已经获得了格拉斯哥的学位. 他对电力很感兴趣, 并且在罗伯特·墨菲的一篇论文的脚注中看到了格林的论文. 在1907年, 他去世前不久写给约瑟夫·拉莫尔的一封关于格林的信中, 汤姆森写到：

When I went up to Cambridge as a freshman, I asked at all the book shops in Cambridge for Green’s Essay on Electricity and Magnetism, and could hear nothing of it.

The day before I left Cambridge for Paris after taking my degree, in Jan. 1845, I met [William] Hopkins on what I believe was then called the Senior Wranglers’ Walk, and I told him I had enquired in vain for Green’s Essay. . . . He said “I have some copies of it.” He turned with me and took me to his house, and there, in his chief coaching room in which I had been day after day for two years, he found three copies of Green’s Essay in his bookcase and gave them to me.

I had only time that evening to look at some pages of it, which astonished me. Next day, if I remember right, on the top of a diligence [stagecoach] on my way to Paris, I managed to read some more of it.

当我还是剑桥新生时, 我在剑桥的所有书店里寻找格林的《电和磁学随笔》, 却没有结果.

1845 年 1 月, 我获得学位后, 在离开剑桥前往巴黎的前一天, 遇到了[William] Hopkins, 遇见的那个地方在当时称之为 Senior Wranglers’ Walk, 我告诉他我打听格林的论文无果时. . . . 他说：“我有一些副本. ” 他带我去了他的家. 在那里, 在我两年的时间每天都待的首席教练室里, 他在书架上发现了三篇格林的论文的副本, 并将它们交给了我.

我只在晚上有时间看它一些, 内容让我感到惊讶. 第二天, 如果我没记错的话, 我在去巴黎的路上尽了全力[驿马车], 我设法读了更多.

汤姆森去巴黎待四个月, 以获取一些实验物理学的经验. 但他也想见一些理论家, 例如米歇尔·查尔斯, 约瑟夫·刘维尔和查尔斯·斯图姆. 他给拉莫尔的信中继续说, 在刘维尔家中向他展示时, 刘维尔对格林的论文“给予了极大的关注”. 后来, 汤姆森和一位剑桥同事在一起时, 斯图姆气喘吁吁地走过来. 他热切地想要看格林的文章. “所以我把它交给了他. 他坐下来, 热情洋溢地翻了翻书页. 他在一个地方停下来, 喊道：“啊, 这是我的工作(法语). ”“不可避免地, 自从这篇论文发表以来的17年间, 格林的许多发现被重新发现了. 汤姆森指出, 除斯图姆外, 查尔斯也在论文中发现了自己的成果和示范.

汤姆森回到英格兰后, 安排格林的论文重新发表在 Crelle’s Journal 上. 埃德蒙·惠特克在他的《以太与电的理论史》（Dover, 1989）中说：

It is impossible to avoid noticing throughout all Kelvin’s work evidences of the deep impression which was made on him by the writings of Green. The same may be said of Kelvin’s friend and contemporary, [George] Stokes, and indeed it is no exaggeration to describe Green as the founder of that “Cambridge School” of natural philosophers of which Kelvin, Stokes, [Lord] Rayleigh, [James] Clerk Maxwell, [Horace] Lamb, J. J. Thomson, Larmor and [Augustus] Love were the most illustrious members in the latter half of the nineteenth century. 不可避免的是, 在开尔文所有作品中, 都能够感受到格林的论文给他的深刻影响. 对于开尔文的朋友以及当时的[乔治] 斯托克斯来说, 也可以这样说. 实际上, 毫不夸张地说, 格林是自然哲学家 “Cambridge School” 的创始人. 开尔文, 斯托克斯, [瑞利]勋爵, [詹姆斯] ] 克拉克 麦克斯韦, [贺拉斯] 兰姆, J. J. 汤姆森, 拉莫尔和 [奥古斯都] 洛夫都是19世纪下半叶 “Cambridge School” 中最杰出的成员.

格林对科学的贡献

格林论文的灵感来自法国, 拉普拉斯和西蒙·泊松. 最近通过实验建立了两个电荷之间力的平方反比定律, 泊松证明了如何由此确定导体表面电荷分布的. 他使用的技术仅适用于具有简单几何形状的曲面, 因此格林设计了强大的技术来得到任何曲面的分布. 他充分利用了电势, 并给它起了名字. 他发展的其中一个定理, 现在称为格林定理, 可以简化为通常称为散度定理或高斯定理的定理. 不过, 许多早期的教科书也将这种简化称为格林定理, 以强调他是最先发现的. 文章中发展的的另一种强大工具现在称为 Green function 或者 Green’s function.

格林接下来对弹性研究的工作, 因为格林的张量而被大家记住. 格林通过考虑“以太”而对弹性产生了兴趣, “以太”当然必须是固体, 因为光波是横波. 他表明, 通常需要 21 个模量才能描述各向异性介质的弹性, 并且他解释了对称如何减少模量的个数.

在另一篇论文中, 格林首次修正了界面上的反射和折射的能量比的计算, 并解释了全内反射现象. 该解释中包括对存在于较高折射率介质中的倏逝波的描述. 在这项工作中, 他成为最早写下能量守恒原理的人之一. 格林后来的工作还包括其他一些数学上的先河. 这些包括从他的论文中得出的一种求解微分方程的近似方法的推论, 该微分方程是关于水波在宽度和深度可变的导管中的运动的. 一个多世纪之后, 他的方法作为 Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）方法重新出现. 他也是第一个陈述泛函最小化的 Dirichlet 原则的人, 尽管 Bernhard Riemann 给它起了那个众所周知的名字.

格林定理和格林函数

格林函数的概念最容易通过一个例子来说明: 一个最初静止的粒子, 它受随时间变化的力 \(F(t)\) , 考虑它的动力学. 首先要考虑一个很短时间内的力：猛推一下. 这个冲量在时间 \(t'\) 产生单位大小的动量改变. 在之后的时间 \(t\) , 粒子的位移 \(s(t)\) 被定义为格林函数 \(G(t, t')\) . 但是, 作用在无穷小的时间间隔 \(\Delta t'\) 上的力 \(F(t')\) 是大小为 \(F(t') \Delta t'\) 的冲量, 并且随时间连续施加的力可以看作是产生了一系列这样的冲量. 通过对从初始时间 \(t_0\) 到时间 \(t\) 施加的所有冲量的影响进行求和, 可以求得粒子的运动, 从而

\[ \begin{align} \label{eq:1} S(t) = \int_{t_0}^t G(t, t') F(t') \mathrm{d}t' \end{align} \]

它的初始条件为 \(s=0\) , \(\mathrm{d}s/\mathrm{d}t = 0\) . 得到格林函数后, 就可以计算系统对任意力的响应. 注意, 格林函数取决于动力系统, 而不取决于作用力的形式. 方框1给出了具体的计算.

式 ( \(\ref{eq:1}\) ) 中的连续冲量的影响的叠加仅对线性系统有效, 在线性系统中, 响应与施加的力成比例. 尽管如此, 格林的方法显然已广泛应用于各种系统, 包括力学和电气系统, 在实际应用中, 对力或电压的线性响应非常重要.

格林的原始工作是针对解决封闭区域内的静电问题. 在这种情况下, 格林函数 \(G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\) 是在 \(\mathbf{r}'\) 处的单位点电荷产生的点 \(\mathbf{r}\) 处的电势. 点电荷是仅在单个时刻起作用的冲量的空间类比. 格林函数与点电荷产生的静电库仑电势不同, 因为点源还会在边界上感应出电荷. 利用现在知道的格林定理, 静电势 \(\phi(\mathbf{r})\) 可以用现代符号表示为 (有关更多详细信息, 请参见框2) :

\[ \begin{align} \phi(\mathbf{r}) =& \int_{\tau} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') \rho(\mathbf{r}')\mathrm{d}\tau' + \\ & \int_S \left[\phi(\mathbf{r}')\nabla' G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') - G(\mathbf{r}, \mathbf{r}' ) \nabla' \phi(\mathbf{r}') \right]\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}' \end{align} \]

电势 \(\phi(\mathbf{r})\) 是体积 \(\tau\) 中空间电荷密度 \(\rho(\mathbf{r}')\) 和体积边界表面 \(S\) 上的感应电荷所引起的效应的叠加, 其影响通过格林函数 \(G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\) 来传递. 格林的工作的重要性在于它的普遍性. 对表面的几何形状没有限制.容易证明, 例如, 如果任何表面保持零电势（接地）并且不包含电荷 ( \(\rho = 0\) ), 则在内部的每个位置都是 \(\phi = 0\) 也就是说, 内部完全不受外部静电影响.

散射理论中的格林函数

在19世纪后半叶, 越来越多地使用格林函数方法来求解偏微分方程, 这些方程非常相似, 描述了电, 磁, 力学和热现象. 格林函数也可以用来表述经典波的散射理论. 实际上, 由于薛定谔方程的形式与波动方程类似, 因此格林函数还可用于描述外势 \(V(\mathbf{r})\) 对单个粒子的非相对论性散射. 对于总能量 \(E\) , 质量 \(m\) 的粒子, 波函数 \(\psi(\mathbf{r})\) 的不含时部分满足

\[ \begin{align} \label{eq:3} -\frac{\hslash^2}{2m}\nabla^2 \psi + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \end{align} \]

对项 \(V\psi\) 做和静电问题中的施加电荷相同的处理, 可以写出式 ( \(\ref{eq:3}\) ) 的形式解：

\[ \begin{align} \label{eq:4} \psi(\mathbf{r}) = \psi_0(\mathbf{r}) +\int G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') \frac{2m}{\hslash^2}V(\mathbf{r}')\psi(\mathbf{r}') \mathrm{d}\tau' , \end{align} \]

其中 \(\psi_0(\mathbf{r})\) 是能量为 \(E\) 的粒子的入射波, 格林函数 \(G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\) 是在 \(\mathbf{r}'\) 处的给定点源在 \(\mathbf{r}\) 处产生的波幅. 但是与式 ( \(\ref{eq:1}\) ) 不同, 式 ( \(\ref{eq:4}\) ) 不是显式解, 因为未知波函数出现在积分内. 物理上的原因是, 与式 ( \(\ref{eq:1}\) ) 中由外部影响确定的力不同, 仅当存在入射波时才存在散射波源 (式 ( \(\ref{eq:3}\) ) 中的 \(V\psi\) 项).

解式 ( \(\ref{eq:4}\) ) 的常用方法是迭代. 第一个迭代项是将积分中的 \(\psi(\mathrm{r}')\) 替换为 \(\psi_0(\mathrm{r}')\) , 这是散射理论中熟悉的玻恩近似. 迭代中的接下来的项是下列形式的积分

\[ \begin{align} \label{eq:5} \int G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')V(\mathbf{r}')\psi_0 (\mathbf{r}') G(\mathbf{r}', \mathbf{r}'')V(\mathbf{r}'')\psi_0 (\mathbf{r}'') \cdots \mathrm{d}\tau'' \mathrm{d}\tau' \end{align} \]

这些项对应于多次散射事件, 它们发生在入射波在到达 \(\mathbf{r}\) 之前的点 \(\mathbf{r}'\) , \(\mathbf{r}''\) 等处. 因为在每个散射点都有一个动量变化, 所以 \(G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\) 就像是时间依赖的格林函数对冲量的响应一样.

之后的发展

在基本粒子物理学中, 散射至关重要, 因为我们研究基本粒子特性的唯一方法是通过它们彼此之间的相互作用. 但是, 这些相互作用必须通过由虚能量和动量量子来传递力的量子场来描述. 对于通过电磁相互作用的带电粒子, 这些量子是量子电动力学 (QED) 中的的光子. 电子 (和正电子) 之间通过量子化电磁场进行相互作用的理论是在 1940 年代后期提出的, 用于解释氢原子 1s 能级的兰姆位移以及电子的磁矩与狄拉克值的偏差. 这两种现象均归因于场的涨落, 但是早期的理论受到无穷大修正的困扰, 直到证明可以通过电子质量和电荷的重整化来消除无穷大.

朱利安·史温格和理查德·费曼分别独立完成了一样的 QED. Schwinger 在雷达工作时曾使用格林函数来描述微波传播, 他给出了形式的场论处理, 其中格林函数作为时空点之间传播场出现. 他的理论的某些方面与日本的朝永振一郎的工作非常相似, 后者正在发展量子场论方法来进行重整化. 费曼将他的时空直觉方法用于量子力学. 在该理论中, 给定过程的概率幅度是每个可能的时空路径的概率幅总和. 对于任何特定路径, 振幅都是自由传播或散射相互作用的因子的乘积, 如式 ( \(\ref{eq:5}\) ) 所示. 每个传播子和相互作用的都可以表示为所谓的费曼图, 该图给出了该过程有用的物理图景. 后来, 弗里曼·戴森证明了费曼的理论和史温格的理论的等效性, 并将 QED 中高阶效应的计算系统化了.

在费曼的方法中, 可以很清晰地看出格林函数为何在粒子物理理论中发挥如此自然而基本的作用. 粒子间相互作用是复杂的多重散射事件, 其中力通过量子场传递. 但是, 不同点之间场的传播正是格林函数最初的想要用来描述的. 因此, 格林函数, 在粒子物理学中通常被称为费曼传播子, 是现代量子物理学中理论分析的标准工具之一.

在 1950 年代和 1960 年代, 物理学家开始使用格林函数方法来描述凝聚态物理学的多体相互作用. 固体的电导率实质上是对外部电场的线性响应. 因此, 可以如久保亮五等人所展示的那样, 用格林函数表示. 固体中的电阻的来源是散射过程, 其自然地通过格林函数来描述. 但是与粒子物理学中通常描述的过程不同, 凝聚态过程在有限的温度下发生. 该理论的推广导致热或者有限温格林函数. 但值得注意的是, 在引入了虚部与温度倒数成正比的复数时间坐标后, 可以使用与普通零温度格林函数几乎相同的技术来计算非零温格林函数. 如今, 物理学家将格林函数应用了到许多领域, 这些领域在格林的时代是难以想像的, 并且有可能继续这样做. 将来什么都有可能发生.

在自己国家的荣誉

蒸汽机结束了风车的时代, 格林的磨坊渐渐失修了. 1920年, 工厂由当地商人和慈善家奥利弗·辛德买下, 后者修理了木帽. 同年, 霍尔布鲁克捐赠了磨坊的纪念牌匾. 有一段时间, 这个磨坊像是被重新上光的家具一样焕然一新, 但在1947年, 它起火并被完全毁坏. Hind 通过登上门窗并用混凝土板代替盖子来密封外壳. 多年来, 当地对格林的兴趣一直保持在中等水平, 这主要是由于诺丁汉大学成员的活动所致. 1945年, 大学数学系成员H. Gwynedd Green（不是乔治格林的亲戚）撰写了格林的传记. 玛丽·坎内尔（Mary Cannell）在1993年发表了更长的著作. 扩充的第二版于2001年出版.

恢复磨坊的计划最初是由谣言引起的, 谣传它将被拆除以进行重新开发. 这导致了诺丁汉大学物理学家和其他人士组建了乔治·格林纪念基金, 最终, 作为对格林的纪念馆, 诺丁汉市对该磨坊进行了修复. 现在是诺丁汉的主要博物馆和旅游景点之一. 格林的第二个主要纪念馆是伦敦的威斯敏斯特大教堂. 那是英国国王和王后的安息之地, 也是最近许多人回想起著名文学和科学人物的地方. 1993年, 在格林诞辰200周年之际, 皇家学会主席迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）揭幕了纪念馆. 如图 5 所示, 该牌匾位于修道院的地板上, 毗邻牛顿, 迈克尔·法拉第, 麦克斯韦和开尔文的纪念馆. 会众包括格林的许多后裔以及包括史温格和戴森在内的许多其他科学家和数学家. 开尔文（Kelvin）的纪念馆必须向侧面移动才能容纳格林（Green）的纪念碑. 但是他肯定不会反对.

Box1

假设希望得到一个粒子的速度 \(v(t)\) . 初始时刻粒子静止, 受到粘滞力 \(\alpha v\) 和任意力 \(F(t)\) 的作用. 那么它的运动方程为

\[ \begin{align} m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + \alpha v = F(t) \end{align} \]

对于在时间 \(t=t'\) 时施加的一个单位冲量, 它的解是格林函数 \(G(t, t')\) . 施加冲量后的一瞬间, 它的速度是 \(1/m\) , 然后随时间指数衰减, 所以对于 \(t > t'\) ,

\[ \begin{align} G(t, t') = \frac{1}{m} e^{-\alpha (t - t')/m} \quad (t\ge t') . \end{align} \]

对于 \(t < t'\) 时, 格林函数为零.

因此, 这个问题对于任意力的通解为

\[ \begin{align} v(t) = \int_0^t \frac{1}{m} e^{-\alpha (t - t')/m} F(t') \mathrm{d}t' \, . \end{align} \]

对于这个简单的例子, 也可以直接将运动方程用常数变易法积分, 从而得到问题的解.

Box2

格林函数通常用来求解一个经典场的偏微分方程

\[ \begin{align} \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) + k^2 \phi(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r}) \end{align} \]

其中对于静电场 \(k=0\) , 但对于波动场不为零. 格林函数 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')\) 是一个在 \(\mathbf{r}'\) 处, 由 Dirac Delta 函数 \(\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\) 表示的点源的解. 也就是说, 格林函数满足方程

\[ \begin{align} \nabla^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') + k^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \end{align} \]

对 \(\phi\) 和 \(G\) 用格林第二公式,

\[ \begin{align} \int_\tau (\phi \nabla^2 G - G\nabla^2 \phi) \mathrm{d}\tau = \int_S (\phi \nabla G - G\nabla \phi) \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \, , \end{align} \]

交换 \(\mathbf{r}\) 和 \(\mathbf{r}'\) 并利用 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')\) 的对称性后, 可以得到式 ( \ref{eq:2} )

为了唯一确定 \(\phi(\mathbf{r})\) 的解, 我们必须给定边界条件. 也必须给 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')\) 选定合适的边界条件. 因此, 格林函数是由一个点源产生, 并由边界上的影响进修正, 得到的场. 在静电场中, 边界上的影响来自于表面电荷. 在波动问题中, 边界产生反射波, 反射波可以通过求解适当的无源方程来得到.

在格林函数对粒子运动的处理中, 单位冲量由一个力 \(F(t) = \delta(t - t')\) 表示, 可以与空间中的单位点源类比. 初始条件与这里的边界条件扮演同样的角色.

在散射问题中, 格林函数由式 ( \ref{eq:3} ) 的变形得到, 将式 ( \ref{eq:3} ) 中的 \(V\psi\) 移到右边, 并由的一个 delta 函数源 \(\delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}')\) 替换. 对于这样的问题, 边界条件要求解在离源很远的地方是出射波, 因为入射波意味着在无穷远的反射, 这是不物理的.

扩展阅读

  • The Scientific Papers of George Green, compiled in 1995 into three volumes, available on the George Green Society Web site at http://www.nottingham.ac.uk/physics/gg. Click on “The George Green Memorial Fund” for ordering information.
  • N. M. Ferrers, ed., Mathematical Papers of George Green, (1871; reprint, Chelsea, New York, 1970).
  • H. G. Green, “A Biography of Geroge Green,” in M. F. A. Montagu, ed., Studies and Essays in the History of Science and Learning, Schuman, New York (1946; New York: Arno Press, 1975).
  • D. M. Cannell, George Green: Mathematician & Physicist, 1793–1841: The Background to His Life and Work, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia (2001).

知识背景

罗宾汉（英語：Robin Hood）是英國民间传说中的俠盜. 他武艺出众、机智勇敢, 仇视官吏和教士, 是一位劫富濟貧、行俠仗義的綠林英雄. 传说他住在诺丁汉雪伍德森林（Sherwood Forest）.

主日學（英語：Sunday school）是基督教教會於主日（通常即星期日，部分教派为安息日）早上在教堂或其他场所進行的宗教教育，一般在主日敬拜之前或之後舉行。主日學的形式多樣化，因教會而異，內容多以查經、教授基本聖經內容為主，並由教會所指定的小組長、執事、傳道或牧師講道。