SO(3) Symmetric potential

粒子在具有 SO(3) 球对称性的势中运动的定态 Schrodinger 方程为

$$\begin{align} \left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V(r) \right)\psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}) \end{align}$$

其中 $\nabla^2$ 为

$$\begin{align} \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{r^2} \frac{\hat{L}^2}{\hbar^2} \end{align}$$

SO(3) 群有 $2l + 1$ 维的不可约表示. 由不可约表示的维度, 可得出它的能级至少有 $2l + 1$ 重的简并. $Y_{l,m}(\theta, \phi)$ 给出了 $SO(3)$ 群的所有不可约表示. 波函数可 以写成

$$\begin{align} \psi(\vec{r}) = f_l(r) Y_{l,m} (\theta, \phi) \end{align}$$

其中 $Y_{l,m}(\theta, \phi)$ 满足

$$\begin{align} \hat{\Pi} Y_{l,m}(\theta, \phi) = ( - 1)^l Y_{l,m}(\theta, \phi) \end{align}$$

代回原来的方程有

$$\begin{align} \left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu}\left( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2} + \frac{2}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \right) + \frac{l(l + 1)}{r^2} \frac{\hbar^2}{2\mu} + V(r) \right] f_l (r) = E f_l (r) \end{align}$$

如果做代换

$$\begin{align} \psi(\vec{r}) = \frac{\phi_l(r)}{r} Y_{l,m}(\theta, \phi) \end{align}$$

那么径向的方程就等价成了一个一维问题

$$\begin{align} \left( -\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2} + \frac{l(l + 1)}{r^2} \frac{\hbar^2}{2\mu} + V(r) \right) \phi_l(r) = E \phi_l(r) \end{align}$$

不用说, 径向方程是正交归一的, 也可以验证

$$\begin{align} \langle \psi_{l,m} | \psi_{l', m'} \rangle = \delta_{l,l'} \delta_{m, m'} \int_0^{\infty} r^2 \mathrm{d}r\cdot \frac{\phi_l^{ * }(r)}{r} \frac{\phi_{l'}(r)}{r} = \delta_{l,l'} \delta_{m, m'} \int_0^{\infty} \mathrm{d}r\cdot \phi_l^{ * }(r) \phi_{l'}(r) \end{align}$$

Boundary Condition

假设 $\phi$ 在 $r \to 0$ 时的行为为 $r^{\alpha}$ . 如果 $V(r)$ 趋于 $0$ 的速度比 $r^{-2}$ 要慢, 那么将 $\phi_l (r) \propto r^{\alpha}$ 代回径向方程就可以得到

$$\begin{align} -\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2} + l(l + 1) r^{\alpha - 2} = k^2 r^{\alpha} \\ \left[ - \alpha(\alpha - 1) + l(l + 1)\right] r^{\alpha - 2} = k^2r^a \end{align}$$

等式右边相对于左边在 $r\to 0$ 时可以忽略, 可得 $\alpha l + 1$ 或者 $\alpha - l$ . 但 $\alpha = -l $ 时, $\psi\propto r^{-l-1}$ 会使得波函数发散, 无法归一化, 因此

$$\begin{align} \phi_l(0) = 0 \quad\mathrm{for}\quad \mathrm{all} \quad l\\ \phi_l(r) \propto r^{l+1} \quad \mathrm{for} \quad r \to 0 \end{align}$$

Radially Symmetric Harmonic Oscillator

此时的势能为

$$\begin{align} V(r) = \frac{\mu}{2} \omega^2 r^2 \end{align}$$

由于 $r \to \infty$ 时, $V(r) \to \infty$ , 所以解只存在 bound states

$$\begin{align} E_{n, l} = \left( 2n + l +\frac{3}{2} \right)\hbar\omega \end{align}$$

波函数是 generalized Laguerre $L_n^{\alpha}(x)$ 多项式的形式

$$\begin{align} \phi_{n, l} = 2(\sqrt{\pi}\beta)^{-1/2} \left[ \frac{2^{n + l} n!}{(2n + 2l + 1)!!} \right] \left( \frac{r}{\beta} \right)^{l+1} L_n^{l + 1/2} \left(\frac{r^2}{\beta^2}\right) e^{-\frac{r^2}{2\beta^2}} \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \beta = \sqrt{\frac{\hbar}{\mu\omega}} \end{align}$$

Short ranged

短程力, 也就是说当 $r > r_0$ 时, $V(r) = 0$

Bound states

当 $E < 0$ 时, 在 $r > r_0$ 处的解为 modified Bessel functions, 舍去发散的解, 只 剩下

$$\begin{align} \phi_-(r) = \sqrt{\kappa r} K_{l+1/2}(\kappa r) \end{align}$$

如果在 $r > r_0$ 处为 Coulomb 势, 也就是

$$\begin{align} V(r) = - \frac{C}{r}, \quad r > r_0 \end{align}$$

那么它在 $r > r_0$ 处的解是 Whittaker functions

$$\begin{align} \phi_-(r) = W_{\gamma, l+1/2}(2 \kappa r) \end{align}$$

其中 $\gamma = \frac{\mu C}{\hbar^2\kappa}$

Unbound states

当 $E > 0$ 时, 在 $r > r_0$ 处的解有两个, 是 Spherical Bessel 和 Neumann functions

$$\begin{align} \phi_s(r) = k r j_l(kr) \\ \phi_c(r) = kr n_l(kr) \end{align}$$

它们的渐近行为为

$$\begin{align} \phi_s(r) = \sin \left(kr - \frac{l \pi}{2} \right) \left[ 1 + \mathcal{O}\left( \frac{1}{r} \right) \right] \\ \phi_c(r) = \cos \left(kr - \frac{l \pi}{2} \right) \left[ 1 + \mathcal{O}\left( \frac{1}{r} \right) \right] \end{align}$$

可以写成相移的形式

$$\begin{align} \phi(r) \propto \sin \left( kr - \frac{l\pi}{2} + \delta_l \right) \end{align}$$

相称表征了波函数相对于 regular 解的 shift. 如果在 $r > r_0$ 处为 Coulomb 势, 也就是

$$\begin{align} V(r) = - \frac{C}{r}, \quad r > r_0 \end{align}$$

那么对应的结果为 regular Coulomb function 和 irregular Coulomb function

$$\begin{align} \phi_s(r) = F_l(\eta, kr) \\ \phi_c(r) = G_l(\eta, kr), \quad r > r_0 \end{align}$$

其中

$$\begin{align} \eta = - \frac{\mu C}{\hbar^2 k} \end{align}$$

渐近行为为

$$\begin{align} F_l(\eta, kr) \to \sin\left( kr - \eta \ln 2kr - \frac{l\pi}{2} + \sigma_l \right),\quad \mathrm{for} \quad r\to\infty \\ G_l(\eta, kr) \to \cos\left( kr - \eta \ln 2kr - \frac{l\pi}{2} + \sigma_l \right),\quad \mathrm{for} \quad r\to\infty \end{align}$$

类似地, 也可以写成相移的形式.

Reference

  • Harald Siegfried Friedrich, Theoretical Atomic Physics-Springer (2005) Chap 1.2, 1.3

后记

昨天返校, 今天终于把从上学期就想整理的东西草草整理了.