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any
\(r > r_0\) 时, \(V(r) = 0\) , 径向 Schrodinger 方程为
\[ \label{eq:sq} -\chi'' + \frac{l(l+1)}{r^2}\chi = k^2 \chi \]将 \(\chi\) 在 \(k=0\) 处做低能展开
\[ \chi(r) = \phi(r) + k^2 f(r) +k^4 g(r) + \mathcal{O}(k^6) \]将展开代回到 \((\ref{eq:sq})\) , 对比 \(k\) 的系数得到:
零能时, 也就是 \(\phi\) 满足的方程为
\[ \label{eq:phi} - \phi '' + \frac{l(l+1)}{r^2}\phi = 0 \]\(f\) 满足的方程为
\[ \label{eq:f} - f '' + \frac{l(l+1)}{r^2}f = \phi \]\(g\) 满足的方程为
\[ \label{eq:g} - g'' + \frac{l(l+1)}{r^2}g = f \]s-wave
\(l = 0\) 代入 \((\ref{eq:phi})\) 零能解为
\[ \phi \propto \sharp_1 + \sharp_2 r \]舍去一个归一化因子, 相对系数可定义散射长度
\[ \label{eq:phi_s} \phi = 1 - \frac{r}{a} \] \[ \psi(r)|_{k=0} = \frac{\chi(r)}{r} \propto \frac{1}{r} - \frac{1}{a} \]\((\ref{eq:phi_s})\) 代入 \((\ref{eq:f})\) 解得
\[ f = -\frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{6a} + C_1 + C_2 r \]重新定义 \(f \to f - C_1\phi\) (这总是可以做到的, 因为相当于直接在展开的时候令 \(\chi = \phi + k^2 (f-C_1\phi) + k^4 g\) , \(f - C_1 \phi\) 也可以做一到是任意函数 ) ,并用系数定义 effective range
\[ \label{eq:f_s} f = -\frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{6a} + \frac{r_s}{2} r \]\((\ref{eq:f_s})\) 代入 \((\ref{eq:f})\) ,并做类似地处理 ( \(g\to g - \cdots\) , 定义 \(r_s'\) ) 得到 ( \(r_s'\) 的系数why?1/24?? )
\[ g = \frac{r^4}{24} - \frac{r^5}{120a} - \frac{r_s}{12}r^3 +\frac{r_s'}{24}r \]s-wave 非零能的径向方程实际是严格可解的, 舍去一个归一化系数, 另一个系数定义相移( 是 \(k\) 的函数 ), 形式为
\[ \psi(r) = \frac{\sin (k r + \delta_k)}{r\sin\delta_k} \]\(\psi(r)\) 也做低能 \(k\to 0\) 的展开
\[ \psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} = \cot\delta_k \sin(kr)\frac{1}{r} + \cos(kr)\frac{1}{r} = \frac{1}{r} + k\cot\delta_k + \mathcal{O}(r^2) \]\(k\cot\delta_k\) 为 \(r^0\) 的系数, 因此得到 \(k\cot\delta_k\) 低能展开
\[ k\cot \delta_k = -\frac{1}{a} + k^2\frac{r_s}{2} + k^4 \frac{r_s'}{24} + \mathcal{O}(k^6) \]p-wave
\(l = 1\) 代入 \((\ref{eq:phi})\) 零能解为零能时
\[ -\phi'' + \frac{1\times(1+1)}{r^2}\phi = 0 \]解为
\[ \phi(r) \propto \sharp_1 r^2 + \sharp_2 \frac{1}{r} \]舍去一个归一化因子, 相对系数可定义 \(v\)
\[ \label{eq:phi_p} \phi(r) = \frac{1}{r} - \frac{r^2}{3v} \]\((\ref{eq:phi_p})\) 代入 \((\ref{eq:f})\) 解得
\[ f = \frac{r}{2} + \frac{r^4}{30v} + \sharp_1 r^2 +\sharp_2 \frac{1}{r} \]与 s-wave 类似的处理, 用系数定义 \(R\) , 重新定义后的 \(f\) 为
\[ f = \frac{r}{2} + \frac{r^4}{30v} - \frac{r^2}{3R} \]所以
\[ \psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} = \left( \frac{1}{r^2} - \frac{r}{3v} \right) + k^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{r}{3R} + \frac{r^3}{30v} \right) + \mathcal{O}(k^4) \]~~p-wave 非零能的径向方程的严格解是求 Bessel 函数, 舍去一个归一化系数, 另一个系数定义相移( 是 \(k\) 的函数 ), 在 \(r\to\infty\) 的渐近形式为~~
$$ \begin{align} \psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} \sim& \frac{1}{r\sin\delta_k}\sin\left(kr - \frac{1}{2}\pi + \delta_k \right) \ =& -\frac{1}{r}\cot \delta_k + k + r\frac{k^2}{2}\cot\delta_k+\mathcal{O}(r^2)\quad, \quad \mathrm{as}\, r \to\infty \end{align} $$
将严格解也在低能展开 ( 此式的来源??? )
\[ \psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} \propto \cot\delta_k j_1(kr) - y_1(kr) = \frac{1}{k^2 r^2} + \frac{1}{2} + \frac{r}{3}k \cot\delta_k + \mathcal{O}(r^2) \]对比 \(\frac{1}{r^2}\) 及 \(r\) 的系数可得
\[ \cot \delta_k = -\frac{1}{v k^3} - \frac{1}{kR} + \mathcal{O}(k) \]d-wave
\(l = 2\) 代入 \((\ref{eq:phi})\) 零能解为零能时
\[ -\phi'' + \frac{2(2+1)}{r^2}\phi = 0 \]解为
\[ \phi(r) = \sharp_1 r^3 + \sharp_2 \frac{1}{r^2} \]舍去一个归一化因子, 相对系数可定义 \(D\)
\[ \label{eq:phi_d} \phi(r) = \frac{1}{r^2} - \frac{r^3}{45 D} \]\((\ref{eq:phi_d})\) 代入 \((\ref{eq:f})\) 解得
\[ f = \frac{1}{6} + \frac{r^5}{630 D} + \sharp_1 r^3 + \frac{\sharp_2}{r^2} \]与 s-wave 类似的处理, 用系数定义 \(v\) , 重新定义后的 \(f\) 为
\[ \label{eq:f_d} f = \frac{1}{6} + \frac{r^5}{630 D} - \frac{r^3}{45v} \]\((\ref{eq:f_d})\) 代入 \((\ref{eq:g})\) ,并做类似地处理 ( \(g\to g - \cdots\) , 定义 \(r_s'\) ) 得到
\[ \begin{align} g =& \frac{r^5}{630 v} + \frac{r^2}{24} - \frac{r^7}{22680 D} + \sharp_1 r^3 + \frac{\sharp_2}{r^2} \\ \Rightarrow g =& \frac{r^5}{630 v} + \frac{r^2}{24} - \frac{r^7}{22680 D} -\frac{r^3}{45R} \end{align} \]所以
\[ \begin{align} \psi(r) =& \frac{\chi(r)}{r} = \frac{\phi(r) + k^2 f(r) +k^4 g(r) + \mathcal{O}(k^6)}{r} \\ =& \left(\frac{1}{r^3} - \frac{r^2}{45 D} \right) +k^2\left( \frac{1}{6} + \frac{r^5}{630 D} - \frac{r^3}{45v} \right) +k^4\left( \frac{r^5}{630 v} + \frac{r^2}{24} - \frac{r^7}{22680 D} -\frac{r^3}{45R} \right) \end{align} \]将严格解也在低能展开
\[ \psi(r) = \frac{\chi(r)}{r} \propto \cot\delta_k j_2(kr) - y_2(kr) = \frac{3}{k^3 r^3} + \frac{1}{2kr} + \frac{kr}{8} + \frac{r^2}{15}k^2 \cot\delta_k + \mathcal{O}(r^3) \]对比系数得
\[ \cot \delta_k = - \frac{1}{Dk^5} - \frac{1}{vk^3} - \frac{1}{kR} + \mathcal{O}(k) \]