幂函数的割线选取 Branch cut of exponentiation

问题

一个简单的计算

$$\begin{align} \mathrm{i}\sqrt{-1} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1 \end{align}$$

但在 Mathematica 中

In[1]:= I*Sqrt[-1]
Out[1]= -1

结果差了一个负号。

或者另一种计算方法

$$\begin{align} \mathrm{i}\sqrt{-1} = \mathrm{i}\cdot \mathrm{i} = \mathrm{i}^2 = -1 \end{align}$$

就会给出与 Mathematica 相同的结果。

$$\begin{align} \sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w} \end{align}$$

并不总是成立。在我们的例子里

$$\begin{align} \sqrt{-1}\sqrt{-1}\neq \sqrt{(-1)^2} \end{align}$$

一般来讲，也是 Mathematica 的约定，将根号函数的割线取为实轴负半轴根号函数的割线取为实轴负半轴，将辐角 $\theta\in (-\pi, \pi]$ 选为第一黎曼面，也就是主值所在的黎曼面。所以平时做复数运算时要小心。