批作业会用到

第二章几何光学 (Geometrical Optics)

几何光学精确的, 基本的规律

反射定律与折射定律与全反射

从波来理解几何光学: 惠更斯作图法

费马原理 (Fermat’s Principle) 与物像等光程与虚光程

Light traverses the route having the smallest optical path length

教材 38 页. 为了把物像之间的等光程性原理推广到虚物或虚像的情形, 需要引入 “虚光程” 的概念.

光程正负号的规定: 与虚物或虚像相联系的与实际光线的延长线对应的光程称为虚光程，规定其符号取负值. (实际光线没有走到虚物或虚像的位置, 所以要减去)

折射率的规定: 虚光程部分的折射率由与之对应的实际光线的折射率决定. (光按照实际光线那边的折射率才能走到虚像或虚物的位置, 所以折射率按实际光线那边算)

傍轴近似下的成像

球面折射

可以通过折射定律或费马原理在傍轴近似下得到下式:

$\frac{n'}{s'} + \frac{n}{s} = \frac{n'-n}{r}$

按入射光线从左到右, 式中符号规定如下:

物在顶点左侧, $s>0$ , 实物
像在顶点右侧, $s’>0$ , 实像
球心在顶点右侧, $r>0$

球面反射

可理解为一种特殊的 “折射” , $n’=-n$ , 就可以由球面折射得到球面反射.

球面焦距

由球面折射可以得到焦距的表达式

$\begin{align} s'hexo_ver\to&\infty \\ s\to& f = n\cdot\frac{r}{n'-n} \end{align}$ $\begin{align} s\to&\infty \\ s'hexo_ver\to& f' = n' \cdot \frac{r}{n'-n} \end{align}$

那么用焦距来表达球面折射

$\frac{f'}{s'} + \frac{f}{s} = 1$

这也叫高斯物像公式.

横向放大率

根据教材图 2-9 , 对于折射, 一定有 $y’<0$ , 在傍轴近似下, 根据折射定律

$V = \frac{y'}{y} = \frac{(-i') s'}{i s} = -\frac{ns'}{n's} = -\frac{fs'}{f's}$

薄透镜成像

薄透镜的假设是两个球面的顶点几乎重合, 那么就可以认为 $s_1’=-s_2$ , 那么用两次球面折射公式可以得到

$\frac{n'}{s'} + \frac{n}{s} = \frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}$

由上式将 $s$ 或者 $s’$ 取为 $\infty$ 可以得到焦距公式

$\begin{align} s'hexo_ver\to&\infty \\ s\to& f = \frac{n}{\frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}} \end{align}$ $\begin{align} s\to&\infty \\ s'hexo_ver\to& f' = \frac{n'}{\frac{n_L-n}{r_1} + \frac{n' - n_L}{r_2}} \end{align}$

取 $n’=n=1$ 可得磨镜者公式

$f = f' = \frac{1}{(n_L - 1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})}$

薄透镜的成像仍然满足高斯公式. 若透镜两边折射率相等, 那么 $f=f’$ , 便得到最常见的薄透镜成像公式

$\frac{1}{s'}+\frac{1}{s} = \frac{1}{f}$

这个公式的条件是: 傍轴, 薄透镜, 透镜两边折射率相等. 此时过光心的光线方向不变, 横向放大率也变为

$V = - \frac{s'}{s}$

理想光具组成像

理想光具组公式

理想光具组可以用高斯公式.

按入射光线从左到右. $s$ 为物到物方面的距离, 在左为正. $s’$ 为像到像方主面的距离, 在右为正. (教材57页) $f, f’$ 与 $s, s’$ 有相同的符号规则.

两个光具组合在一起

$\begin{align} f =& -\frac{f_1 f_2}{\Delta} \\ f' =& -\frac{f_1' f_2'}{\Delta} \\ X_H = & H_1H = f_1 \frac{d}{\Delta}\\ X_H' =&H_2'H = f_2' \frac{d}{\Delta} \end{align}$

其中按照入射光线从左往右, $\Delta$ 是第一个光具组的像方焦点与第二个光具组的物方焦点的距离, $d$ 是对应的主面的距离.

理想光具作图

节点(冗余的条件): 角放大率为 $1$

光学仪器: 眼镜

近视镜应该让佩戴者看清无穷远的物, 也就是使无穷远处的物成像于佩戴者的远点处.

远视镜应该让佩戴者看清明视距离 ( $25\mathrm{cm}$ ) 处的物, 也就是使明视距离处的物成像于佩戴者近点处.

眼镜的度为

$P = 100\mathrm{m}/f$

近视眼佩戴凹透镜, 度数为负. 远视眼佩戴凸透镜, 度数为正.

几何光学总结

$\begin{align} \left\{\begin{array}{c}惠更斯原理\\费马原理\end{array}\right\} \overset{精确}{\Rightarrow} \left\{\begin{array}{c}折射定律\\反射定律\end{array}\right\} \overset{傍轴近似}{\Rightarrow} \left\{\begin{array}{c}球面折射公式\\球面反射公式\end{array}\right\} \overset{薄透镜近似}{\Rightarrow} 薄透镜高斯物像公式 \end{align}$

第三章干涉

杨氏双缝

在傍轴近似下有

$\frac{\delta}{d} = \frac{x}{D}$

双缝间距为 $d$ , 距离孔 $D$ 处的屏上, $x$ 的距离对应 $\delta$ 的光程差.

等厚干涉

牛顿环, 由于半波损, 中心为暗点.

等倾干涉

上下表面反射的相同倾角的两束光在无穷远处形成干涉条纹. 无近似, $i$ 为介质内的入射反射角(教材3-35)

$\Delta L = 2 n h \cos i$

F-P 干涉仪条纹的半高全宽 $\varepsilon$ 与反射率 $R$ 之间的关系

$\varepsilon = \frac{2(1 - R)}{\sqrt{R}}$

第四章衍射

用矢量图解法叠加振幅

教材图 4-15

菲涅耳半波带片的焦距公式

好像以前那种老式的手电筒上就是用的这种衍射的会聚透镜.

$f = \frac{\rho_1^2}{\lambda} = \frac{\rho_k^2}{k\lambda}$

夫琅禾费衍射

单缝

$\frac{I}{I_0} = \left(\frac{\sin \alpha} {\alpha}\right)^2 \quad, \mathrm{where} \quad \alpha = \frac{a \pi}{\lambda}\sin \theta$

多缝

$\frac{I}{I_0} = \left(\frac{\sin \alpha}{\alpha}\right)^2 \left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2 \quad, \mathrm{where} \quad\alpha = \frac{a \pi}{\lambda}\sin \theta, \quad\beta = \frac{d \pi}{\lambda}\sin \theta$

当 $\beta = k\pi$ 时, 多缝因子为 $N^2$ 为主极大. 当 $\beta = (k + m/N)\pi,m/N\notin \mathbb{Z}$ 时, 强度为零.

半角宽度, 是 $k$ 级主极大到相邻暗纹的距离

$\begin{align} \Delta \theta_k =& (\theta_k+\Delta\theta_k) - \theta_k = \arcsin\left[\left( k + \frac{1}N \right) \frac{\lambda}{d}\right] - \arcsin\left( \frac{k\lambda}{d}\right) = \frac{\lambda}{Nd\cos\theta_k} + \mathcal{O}\left( \frac{1}{N^2} \right) \\ \approx& \frac{\lambda}{Nd\cos\theta_k} \end{align}{}$

光栅

“光栅的衍射场鲜明地表现出’多光束干涉’的基本特征”. 光栅性能的主要标志为色散本领和色分辨本领.

角色散本领, 是两个很接近的波长产生的两个主极大分开的角度与波长差的比值, 量纲是波长的倒数

$\begin{align} D_{\theta} =& \frac{\delta \theta}{\delta\lambda} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\arcsin\left( \frac{k\lambda}{d} \right) =\frac{k}{d}\frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{k\lambda}{d} \right)^2}} =\frac{k}{d}\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \\ =& \frac{k}{d\cos\theta_k} \end{align}$

线色散本领

$D_l = fD_{\theta} = f \frac{k}{d \cos\theta_k}$

两个很接近的波长产生的两个主极大分开的角度, 刚好等于此波长处的半角宽度时, 根据瑞利判据, 刚好可以分辨这两条谱线, 光栅的色分辨本领 $R$ 由此定义

$D_{\theta} = \frac{\Delta\theta}{\delta \lambda} \Rightarrow R\equiv \frac{\lambda}{\delta\lambda} = Nk$

色分辨本领, 是能够分辨的最小波长差

圆孔正入射

$I(\theta) = I_0 \left[\frac{2J_1(x)}{x}\right]^2\quad\, ,x=\frac{2\pi a}{\lambda} \sin \theta$

口径的最小分辨角, 就是第一暗环角半径

$\delta \theta_{\mathrm{min}} \Delta\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$

第五章变换光学

屏函数

衍射屏的作用可以集中地用屏函数来表征

$\tilde{T}(x, y) = \frac{\tilde{U}_\mathrm{out}(x, y)} {\tilde{U}_\mathrm{in}(x, y)}$

它的模叫振幅变换函数, 它的相位叫做相位变换函数.

平面波和球面波的复振幅

球面波

从 $(x_0, y_0, 0)$ 发出的球面波, 在点 $(x, y, z)$ 处的复振幅为

$\tilde{U}(x, y ) = \frac{Ae^{\mathrm{i}\phi_0}}{r}e^{\mathrm{i}kr}$

其中 $r = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + z^2}$ . 在傍轴近似下, 可以在 $x = 0, y = 0 ,x_0 = 0, y_0 = 0$ . 做 Taylor 展开, 并且只保留到二阶项

$\begin{align} r =& |z| + \frac{1}{2}\frac{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}{|z|} + \mathcal{O}\left\{\left[(x-x_0)^2 + (y - y_0)^2\right]^2\right\} \\ \approx& |z| + \frac{x_0^2 + y_0^2}{2|z|} + \frac{x^2 + y^2}{2|z|} - \frac{xx_0 + yy_0}{|z|} \end{align}$

在复振幅中, 分母中可以直接取领头项 $r\approx |z|$ . 而在指数上, 由于 $k$ 很大, 在不满足远场近似时, 需要保留二阶项. 所以傍轴近似下, 复振幅表示为

$\tilde{U}(x, y ) = \frac{Ae^{\mathrm{i}\phi_0}}{|z|}e^{\mathrm{i}k\left( |z| + \frac{x_0^2 + y_0^2}{2|z|} + \frac{x^2 + y^2}{2|z|} - \frac{xx_0 + yy_0}{|z|} \right)}$

取其复共轭, 即为会聚波.

平面波

$\tilde{U}(\vec{r}) = Ae^{\mathrm{i}\phi_0}e^{\mathrm{i}\vec{k}\cdot \vec{r}}$

傅里叶变换

夫琅禾费积分

$\begin{align} \tilde{U}(x', y') =& Ae^{\mathrm{i}kz}e^{\mathrm{i}k\frac{x'^2 + y^2}{2}} \int\mathrm{d}x\int\mathrm{d}y \cdot \tilde{T}(x, y) \cdot e^{-\mathrm{i}k\frac{xx' + yy'}{z}} \\ \tilde{U}(\theta_1, \theta_2) =& Ae^{\mathrm{i}\phi(\theta_1, \theta_2)} \int\mathrm{d}x\int\mathrm{d}y \cdot \tilde{T}(x, y) \cdot e^{-\mathrm{i}k(x\sin\theta_1 + y\sin\theta_2)} \\ \end{align}$

都是傅里叶变换的形式. 衍射屏上的一点 $(x, y)$ 就对应一对频率. 衍射屏的大小是有限的, 所以衍射屏会过虑掉一些频率的作用.

全息照相

全息底片记录了照片的相位信息

$I_H(x, y) = (\tilde{U}_O + \tilde{U}_R) (\tilde{U}_O + \tilde{U}_R)^*$

经过线性冲洗后的透过率函数为 $\tilde{T}_H$ , 用 $\tilde{U}_R’$ 照射后, 透射场为

$\begin{align} \tilde{U}_T =& \tilde{T}_H\tilde{U}_R' = [T_O + \beta I_H(x, y)]\tilde{U}_R'hexo_ver\\ =&(T_0 + \beta A_O^2 + \beta A_R^2)\tilde{U}_R' + \beta \tilde{U}_R'hexo_ver\tilde{U}_R^* \tilde{U}_O + \beta \tilde{U}_R'hexo_ver\tilde{U}_R \tilde{U}_O^* \end{align}$

三项分别对应 0, 1, -1 级

第六章偏振

马吕斯定律

线偏振光通过检偏器后透射光的强度随 $\theta$ 角变化的规律

$I_2 = I_1 \cos^2\theta$

布儒斯特角

使 p 分量反射率为零的入射角 $i_B$ 称为布儒斯特角. 从介质 $n_1$ 到 $n_2$ 的布儒斯特角为

$i_B = \arctan \frac{n_2}{n_1}$

菲涅耳反射折射公式

$\begin{align} &\left\{ \begin{array}{c} \tilde{r}_p = \frac{\tan(i_1 - i_2)}{\tan(i_1 + i_2)} \\ \tilde{r}_s = \frac{\sin(i_2 - i_1)}{\sin(i_2 + i_1} \end{array} \right. \\ &\left\{ \begin{array}{c} \tilde{t}_p = \frac{2n_1\cos i_1}{n_2\cos i_1 + n_1 \cos i_2} \\ \tilde{t}_s = \frac{2n_1\cos i_1}{n_1\cos i_1 + n_2 \cos i_2} \end{array} \right. \end{align}$

偏振度

$I = \frac{I_{\mathrm{max}} - I_{\mathrm{min}}}{I_{\mathrm{max}} + I_{\mathrm{min}}}$

强度透射反射率

$R = \frac{I_1'}{I_1} = |\tilde{r}|^2$ $T = \frac{I_2}{I_1} = \frac{n_2}{n_1}|\tilde{t}|^2$

全反射光的相移

$\begin{align} \left\{ \begin{array}{c} \delta_p = 2 \arctan \left( \frac{n_1}{n_2} \frac{\sqrt{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\sin^2i_1-1}}{\cos i_1} \right) \\ \delta_s = 2 \arctan \left( \frac{n_2}{n_1} \frac{\sqrt{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\sin^2i_1-1}}{\cos i_1} \right) \end{array} \right. \end{align}$

双折射

光线垂直于主光轴传播, 可用折射定律

第七章光与物质相互作用

布格定律

$I = I_0 e^{-\alpha l}$

科西公式

$n = A + \frac{B}{\lambda^2}$

群速度与相速度的关系

群速度

$v_{\mathrm{g}} = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}$

Reference

赵凯华, 新概念物理教程光学 , 2004, 高等教育出版社
Eugene Hecht, Optics, Global Edition, 2017, Pearson Higher Education

第二章 几何光学 (Geometrical Optics)