关于 Heisenberg 运动方程

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时间演化算符

时间演化

\begin{align} U(t_0 + \mathrm{d}t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar}Ht \end{align}

那么

\begin{align} U(t + \mathrm{d}t, t_0) = \left(1 - \frac{i}{\hbar}Ht \right)U(t, t_0) \end{align}

所以

\begin{align} U(t + \mathrm{d}t, t_0) - U(t + , t_0) =& - \frac{i}{\hbar}\mathrm{d}t U(t, t_0) \\ \Downarrow &\\ \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t, t_0) =& H(t) U(t, t_0) \end{align}

关键在于如果 Hamiltonian 中含时, 它和演化算符中是同一个 \(t\) . 由此得到最 general 的演化算符的形式

\begin{align} U(t,t_0) = T \left\{ e^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int _{t_0}^t \mathrm{d}t' H(t')} \right\} \end{align}

也就是说最 general 的情况下, \([U(t, t_0), H(t)] \neq 0\) .

Heisenberg 运动方程为

\begin{align} \frac{\mathrm{d}A^H}{\mathrm{d}t} = -\frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t)[A, H(t)] U(t) + U^{\dagger}(t)\frac{\partial A}{\partial t} U(t) \end{align}

上式中的 \(H(t), U(t)\) 也是同一个 \(t\) .

Liouville–von Neumann equation

密度矩阵的演化满足 Liouville–von Neumann equation

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \rho(t) = \frac{\mathrm{i}}{\hbar} [\rho(t), H] \end{align}

它的 Heisenberg 运动方程类似, 但要注意差了一个负号, 并且它是在 Schrodinger picture 中的.

密度算符

\begin{align} \rho(t) = \sum_n p_n U(t)|n\rangle\langle n| U^{\dagger}(t) \end{align}

从上式可以看出负号的来源. Heisenberg picture 中的算符是 \(U^{\dagger}AU\) , 而密度算符是 \(U|n\rangle\langle n|U^{\dagger}\) , \(U\) 和 \(U^{\dagger}\) 的位置刚好相反.