Fourier transform 总结
分类
根据变量的连续与否，傅立叶变换有以下几种情况：
- 实空间离散，动量空间离散（又见2026-06-18-群表示论备忘的 $Z_n$ 群）
- 实空间有限尺寸，动量空间离散
- 实空间无穷大，动量空间无穷大
上式的等号在分布意义下成立。
例子
实空间离散
周期性边界条件下的紧束缚模型
$$ H = -t \sum_{j=1}^{N} \left( c_j^{\dagger} c_{j+1} + c_{j+1}^{\dagger} c_j \right)， \quad c_{N + 1} = c_1 $$具有平移对称性，本征态是平面波
$$ \begin{align} a_k^{\dagger} = \sum_j c_j^{\dagger} \langle j| k\rangle =\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j c_j^{\dagger} e^{i j k},\quad k = 0, \frac{2\pi}{N}, 2\frac{2\pi}{N}, \cdots (N - 1)\frac{2\pi}{N} \end{align} $$所以
$$ \begin{align} H =& -t \sum_{j = 1}^N \sum_{k_1, k_2} \frac{1}{N} \left( a_{k_1}^\dagger a_{k_2} e^{-i j(k_1 - k_2)} e^{i k_2} + a_{k_2}^\dagger a_{k_1} e^{-i j(k_2 - k_1)} e^{-ik_2} \right) \\ =& -t \sum_k 2\cos k a_{k}^\dagger a_{k} \end{align} $$实空间有限尺寸
尺寸为
动量本征态 $\psi_k(x) = \langle x | k\rangle$ 是周期函数
$$ \begin{align*} \psi_k(x+L) = \psi_k(x) = \frac{1}{\sqrt{L}}e^{ikx}, \quad k = 0, \pm \frac{2\pi}{L}, \pm 2\frac{2\pi}{L}, \pm 3\frac{2\pi}{L}, \cdots \end{align*} $$动量本征态正交归一
$$ \begin{align*} \langle k | k'\rangle = \int_{0}^{L} e^{-ikx} e^{ik'x} \mathrm{d}x = L \delta(k-k') \end{align*} $$实空间无穷大
一维无穷空间中的动量本征函数
$$ \begin{align*} -i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \langle x|k\rangle = k \langle x| k\rangle \quad \Longrightarrow \quad \psi_k(x) = \langle x| k\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i kx} \end{align*} $$正交归一
$$ \begin{align*} \langle k | k' \rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx} e^{ik'x} \mathrm{d}x =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(k'-k)x} \mathrm{d}x = \delta(k'-k) \end{align*} $$