群表示论备忘

2026-06-18

-physics

Definition of group

群（group）是一个抽象的数学概念。定义如下（Wikipedia: Group (mathematics)）:

A group is a set G together with a binary operation on ⁠ G⁠, here denoted " $\cdot$ ", that combines any two elements $a, b\in G$ to form an element of ⁠G, denoted $ab$⁠ , such that the following three requirements, known as group axioms, are satisfied:

  1. Associativity: $\forall a, b, c \in G$ ⁠, one has $(ab)c = a(bc)$ ⁠.
  2. Identity element $\exists e \in G$ , $\forall a\in G$⁠, one has ⁠$e a = a e = a$ ⁠.
  3. Inverse element $\forall a \in G$ ⁠, $\exists b \in G$ , such that $ab = ba = e$ .

Notes:

Definition of representation

一般一个数学上抽象的群会同态于一些具体的群。群的表示就是把一个群，映射到一个和它同态的矩阵构成的群。 群的乘法由矩阵乘法表示。 这样，我们就可以把具体实际物理意义的群，如对称操作构成的群，与矩阵乘法对应起来。

定义如下（Wikipedia: Group representation）：

A representation of a group G on a vector space V over a field K is a group homomorphism from G to $GL(V)$, the general linear group on V. That is, a representation is a map

$$ \begin{align} \rho \colon G\to \mathrm {GL} \left(V\right) \end{align} $$

such that

$$ \begin{align} \rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad \forall g_{1},g_{2}\in G. \end{align} $$

Notes:

Orthogonality theorems

$n_c$ 表示类 c 中群元的个数。 $d_r$ 表示不可约表示 r 的维度。

Dimensions of the irreducible representations:

$$ \begin{align}\label{eq:d-of-irr} \sum_r d_r^2 = N(G) \end{align} $$

Column orthogonality:

$$ \begin{align}\label{eq:col-orth} \sum_c n_c \cdot (\chi^{(r)}(c))^* \cdot \chi^{(s)}(c) = N(G) \delta^{rs} \end{align} $$

Row orthogonality:

$$ \begin{align} \sum_r \chi^{(r)} (c)^* \, \chi^{(r)}(c') = \frac{N(G)}{n_c} \delta^{c c'} \end{align} $$

The character table is square:

$$ \begin{align} N(C) = N(R) \end{align} $$

Great orthogonality theorem

$$ \begin{align} \sum_g D^{(r) \dagger}(g)^i_{\, j} D^{(s)} (g)^k_{\, l} = \frac{N(G)}{d_r} \delta^{rs} \delta^i_{\,l}\delta^k_{\,j} \end{align} $$

正则表示（Regular Representation）约化出所有的不可约表示

正则表示 $D^{(\mathrm{reg})}$ 是把所有的群元当基底，即 $|e\rangle, |g_1\rangle, |g_2\rangle, \cdots$，即

$$ \begin{align} D^{(\mathrm{reg})}(g) |h\rangle = |gh\rangle. \end{align} $$

将正则表示约化成不可约表示的直和 $D^{(\mathrm{reg})} \simeq \bigoplus_r n_r D^{(r)}$， 对应的特征标有 $\chi^{(\mathrm{reg})}(c) = \sum_r n_r \chi^{(r)}(c)$ ，其中 $n_r$ 表示不可约表示 r 出现的次数 。 根据列正交公式 $\eqref{eq:col-orth}$ 可知，

$$ \begin{align} \sum_c n_c \cdot(\chi^{(r)}(c))^* \cdot \chi^{(\mathrm{reg})}(c) =& \sum_c \sum_s n_c\cdot (\chi^{(r)}(c))^* \cdot n_s\cdot \chi^{(s)}(c) \\ =& \sum_s N(G) \delta_{r,s} \cdot n_s \\ =& n_r N(G) \end{align} $$

即

$$ \begin{align} n_r = \frac{1}{N(G)} \sum_c n_c \cdot(\chi^{(r)}(c))^* \cdot \chi^{(\mathrm{reg})}(c) \end{align} $$

容易证明：

$$ \begin{align} \chi^{(\mathrm{reg})}(g) = \left\{ \begin{matrix} N(G), \quad &g=e, \\ 0, \quad &g\neq e. \end{matrix} \right. \end{align} $$

所以

$$ \begin{align} n_r =& \frac{1}{N(G)} \sum_c n_c \cdot(\chi^{(r)}(c))^* \cdot N(G)\delta_{c,[e]} \\ =& n_{[e]} \cdot (\chi^{(r)}(e))^* \\ =& (\chi^{(r)}(e))^* \\ =& d_r, \end{align} $$

其中 $[e]$ 表示单位元的类，它只有一个群元，即 $n_{[e]} = 1$ 。

即： 正则表示可以约化出所有的不可约表示，不可约表示出现的次数等于不可约表示的维度。也容易得公式 $\eqref{eq:d-of-irr}$ $\sum_r d_r^2 = N(G)$ 。

对于 Abel 群，每个群元都自成一类。 又因为 the character table is square，不可约表示的个数又与类的个数相同，所以不可约表示的个数 $N(R) = N(G)$。根据 $\sum_r d_r^2 = N(G)$ 可得所有不可约表示都是一维的。 即，对于有 n 个群元的 Abel 群，它所有的不可约表示都是一维的，并且一共有 n 个。

例如：Cyclic groups $Z_n = \{g, g^2, g^3, \cdots g^{n-1}, g^n = e\}$ 是 Abel 群。 它的第 k 个一维不可约表示记为 $\lambda^{(k)}(g)$ , $k = 0, 1, 2, \cdots, n$ ， 那么 $\left[\lambda^{(k)}(g)\right]^n = 1$， 可解得 $\lambda^{(k)} (g) = e^{i k \frac{2\pi}{n}}$ 。 由正交定理可得 $$ \begin{align} \sum_{j = 1}^{n} e^{i \frac{2\pi}{n}j(l - k)} = \sum_{j=1}^n (\lambda^{(k)} (g^j))^*\cdot \lambda^{(l)} (g^j) =n\delta_{k,l}. \end{align} $$

如 $Z_3$ 的特征值表为

$$ \begin{array}{c|ccc} \hline Z_3 & I & g & g^2 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1' & 1 & \omega & \omega^2 \\ 1'' & 1 & \omega^2 & \omega ,\\ \end{array} $$

其中 $\omega=e^{2\pi i /3}$ 。

投影到某个不可约表示的投影算符

假设表示 $D(g)$ 可以分解成不可约表示的直和 $D(g) = \bigoplus_p \left[ I_{n_p}\otimes D^{(p)} \right]$ ， 那么可以在表示 D 的基底上构建到不可约表示 r 的投影算符：

$$ \begin{align} P_{r} = \frac{d_r}{N(G)} \sum_{g\in G} \left(\chi^{(r)}(g)\right)^* D(g). \end{align} $$

可以写成分量式，并利用大正交定理证明它在 r 表示上是单位阵，在其它表示上是 0 ，

$$ \begin{align} \left(P_{r}\right)_{pa_pi, qb_qj} =& \frac{d_r}{N(G)} \sum_{g\in G} \left[ \left( \sum_k D_{kk}^{(r)*}(g) \right) \left( \delta_{pq}\delta_{a_pb_p} D^{(p)}_{ij} \right) \right] \\ =& \frac{d_r}{N(G)} \sum_{k} \delta_{pq}\delta_{a_pb_p} \cdot \frac{N(G)}{d_r}\delta_{rp} \delta_{ki}\delta_{kj} \\ =& \delta_{rp} \cdot \delta_{rq} \delta_{a_pb_p} \delta_{ij} \end{align} $$

其中 $a_p$ 标记的是不可约表示 p 的第几重。

在非块对角的基底下，即 $D'(g) \simeq \bigoplus_p \left[ I_{n_p}\otimes D^{(p)} \right]$ ， 时，也可以用同样的公式构造投影算符。因为投投影算符不会因为改变基底而改变。

Schur's lemma and degeneracy

If $D^{(r)}(g)$ is irreducible representation, If $\exists H, \forall g \in G$ , $HD^{(r)}(g) = D^{(r)}(g) H$, then $H = \lambda I$

也就是说，所有使得 Hamiltonian H 保持不变的操作构成一个群 $G = \{g| g H = H g \}$ 。 如果选择合适基底，使得 Hilbert 空间所负载的群表示约化成了不可约表示的直和 $D(g) = \bigoplus_r I_{n_r} \otimes D^{(r)}$，并且所有出于的不可约表示都只有一重， 那么在这样的基底下， Hamiltonian 也是块对角的，并且每个块都是一个常数矩阵。 如果有不可约表示出现多重，那么 Hamiltonian 在同一个不可约表示之间可以有非对角项。

所以，如果我们可以找到一个系统的所有对称性，就相当于知道了它的所有的简并度。 当对称性破缺了一部分时，新对称群变成了原来的对称群的一个子群，原来的一些不可约表示变成了可约的，可进一步约化成维度更低的不可约表示，也就是说一些原来简并的能量本征态会解除简并。

Character tables of some group

Even permutation group $A_3$

$$ \begin{array}{ccc|ccc} \hline A_3 & n_c & & 1 & 1' & 1'' \\ \hline & 1 & I & 1 & 1 & 1 \\ Z_3 & 1 & c=(123) & 1 & \omega & \omega^* \\ Z_3 & 1 & a=(132) & 1 & \omega^* & \omega \\ \hline \end{array} $$

Even permutation group $A_4$

$$ \begin{array}{ccc|cccc} \hline A_4 & n_c & c & 1 & 1' & 1'' & 3 \\ \hline & 1 & I & 1 & 1 & 1 & 3 \\ Z_2 & 3 & (12)(34) & 1 & 1 & 1 & -1 \\ Z_3 & 4 & (123) & 1 & \omega & \omega^* & 0 \\ Z_3 & 4 & (132) & 1 & \omega^* & \omega & 0 \\ \hline \end{array} $$

Permutation group $S_3$

$$ \begin{array}{ccc|ccc} \hline S_3 & n_c & & 1 & \bar{1} & 2 \\ \hline & 1 & I & 1 & 1 & 2 \\ Z_3 & 2 & (123),(132) & 1 & 1 & -1 \\ Z_2 & 3 & (12),(23),(31) & 1 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} $$

三个不可约表示：平凡一维表示 1 ，一维符号表示 $\bar{1}$ ，以及二维表示（三角形在平面中的对称操作）：

单位元：

$$ \begin{align} D^{(2)}(I) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} $$

旋转 $120$ 度:

$$ \begin{align} D^{(2)}((123)) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{align} $$

旋转 $-120$ 度:

$$ \begin{align} D^{(2)}((132)) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{align} $$

三个反射操作

$$ \begin{align} D^{(2)}((12)) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} $$$$ \begin{align} D^{(2)}((13)) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{align} $$$$ \begin{align} D^{(2)}((23)) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{align} $$

Permutation group $S_4$

$$ \begin{array}{ccc|ccccc} \hline S_4 & n_c & & 1 & \bar{1} & 2 & 3 & \bar{3} \\ \hline & 1 & I & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 \\ Z_2 & 3 & (12)(34) & 1 & 1 & 2 & -1 & -1 \\ Z_3 & 8 & (123) & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ Z_2 & 6 & (12) & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 \\ Z_4 & 6 & (1234) & 1 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ \hline \end{array} $$

Appendix

Covariance and contravariance of vectors

在不正交的基底下：

例如： 例如，取二维非正交基底

$$ \begin{align} e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\quad e_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} $$

任意向量 $\psi = \psi^1 e_1 + \psi^2 e_2$ 。如

$$ \begin{align} \psi = 3 e_1 + 5 e_2 = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align} $$

metric $g_{ij} = e_i \cdot e_j$ ,即

$$ \begin{align} g = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{align} $$

比如可以用来计算长度 $\psi^i g_{ij} \psi^j = 89$ 。

但在这里考虑的正交归一基底下，只是为了少写复共轭符号：

$$ \begin{align} \psi_i \equiv (\psi^i)^* \end{align} $$

直和

如果一个矩阵是块对角的

$$ \begin{align} D = \begin{pmatrix} D^{(1)} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & D^{(2)} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & D^{(3)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \end{align} $$

那么它可以写成直和的形式

$$ \begin{align} D =& \bigoplus_r D^{(r)} \\ =& D^{(1)}\oplus D^{(2)} \oplus D^{(3)} \oplus \cdots \end{align} $$

写成分量

$$ \begin{align} D_{ri, sj} = \delta_{rs} D^{(r)}_{ij} \end{align} $$

如果同一个矩阵出现多次，则

$$ \begin{align} D =& \bigoplus_r \left( I_{n_r} \otimes D^{(r)} \right) \\ \end{align} $$

其中 $n_r$ 是矩阵 $D^{(r)}$ 出现的次数，或重数， $I_{n_r}$ 是 $n_r$ 维的单位矩阵。 写成分量形式

$$ \begin{align} D_{ra_ri, sb_sj} = \delta_{rs}\delta_{a_r b_r} D^{(r)}_{ij} \end{align} $$

其中 $a_r , b_s$ 标记的是第 r 个矩阵出现的第几重， $a_r = 1, 2, 3, \cdots, n_r$ 。

Reference

#group theory #Fourier transform